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Clase  n°1 de psu matemática 2010   conjuntos númericos
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Clase n°1 de psu matemática 2010 conjuntos númericos

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  • 1. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Clase N°1 Preparación PSU De Matemática 2010 Conjuntos Numéricos Y Sus Operatorias www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 2. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Aprendizajes Esperados:
    • Identificar el conjunto de los Naturales, Enteros, Racionales y Reales, caracterizando sus elementos componentes y la operatoria básica entre sus elementos.
    • Diferenciar entre números enteros, racionales e irracionales, expresarlos en notación decimal y señalar su ubicación relativa en la recta numérica.
    • Resolver problemas que involucren operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones.
    www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 3. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Conjunto de los Números Naturales (IN ) Definición Son los números desde el 1 al infinito positivo. IN = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…….) Números consecutivos Una de las aplicaciones importantes de este conjunto es que un número cualquiera se representa por “n”. Entonces, el número que se obtiene al restarle uno será su antecesor, y el número que se obtiene al sumarle uno, será su sucesor. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 4. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Ejemplo: La suma de tres números naturales consecutivos es 78 ¿Cuáles son los números? Solución: Se designa el primer número por n, el segundo por n+1 y el tercero por n + 2. Entonces, sumando los tres números se tiene: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com Antecesor de n número Sucesor de n Sucesor de n + 1 n - 1 n n + 1 n + 1 + 1 = n + 2
  • 5. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Por lo tanto, el primer número es 25. Respuesta: los números son 25, 26 y 27. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 6. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Números pares e impares a) Números pares: Los números pares son de la forma general o son representados por: 2n, donde n pertenece a IN. Los números pares son, por lo tanto, múltiplos de 2. Ejemplos: Si n = 1 el primer par es 2. Si n = 2 el primer par es 4. Si n = 3 el primer par es 6 . Observa que ellos van de 2 en 2 www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 7. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl b) Números pares consecutivos Se denotan o designan por: Ejemplo: Tres números pares consecutivos suman 42 ¿Cuál es el valor del mayor?: Solución: Se designa el primer número por 2n, el segundo por 2n+2 y el tercero por 2n + 4. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com Antecesor par Número par Sucesor par 2n - 2 2n 2n + 2
  • 8. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Entonces, sumando los tres números se tiene : Luego el valor del número mayor es de 16 www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 9. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl c) Números impares Los números impares por lo general se representan por 2n – 1 (1,3,5,7,…) pero a veces también suelen estar representados por: 2n + 1 (aunque en este caso empiezan desde el 3), donde n pertenece a IN. d) Números impares consecutivos www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com Antecesor impar Número impar Sucesor impar Sucesor 2n - 1 2n + 1 2n +  3 2n + 5
  • 10. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Propiedades de la paridad:
    • La suma de dos números pares es un número par.
    • La suma de dos números impares es un número par.
    • La suma de un número par y uno impar es un número impar.
    • El producto de dos números pares es un número par.
    • El producto de dos números impares es un número impar.
    • El producto de un número par por uno impar es un número par.
    • El cuadrado de un número par es un número par.
    • El cuadrado de un número impar es un número impar.
    www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 11. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Números primos Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se pueden dividir por 1 y por sí mismo. Los primeros números primos de la recta numérica son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Números compuestos Los números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números compuestos, es decir son números que tienen mas de dos divisores. Ejemplo: El 12 no es primo, porque se puede dividir por 2, por 3 y por 6, entonces estese llama número compuesto porque 12 = 3 • 4 o bien 12 = 2 • 6, etc. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 12. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Múltiplos de un número Se definen, por ejemplo, los múltiplos del 4, como M (4) = {4, 8, 12, 16, 20, ...} En general, los múltiplos de k son el conjunto que se obtiene al multiplicar k www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 13. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Divisibilidad www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com Cuadro de criterios de divisibilidad Es divisible por Si el número ejemplo 2 Termina en cero, dos, cuatro, seis y ocho o si es par 1.575.024: Es número par. Luego, es divisible por 2. 3 Al sumar sus cifras, resulta un múltiplo de 3. 751.242: La suma 7+5+1+2+4+2 es 21, cuyas cifras, a su vez suman 3: 2+1= 3. Luego, es divisible por 3. 4 Las dos últimas cifras corresponden a un múltiplo de 4. 700.128: Las dos últimas cifras corresponden a 28, que es múltiplo de 4. Luego, es divisible por 4. 5 Termina en cero ó en 5. 3.905: Termina en 5. Luego, es divisible por 5.
  • 14. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com 6 Es divisible por 2 y 3 a la vez. 5.142: es par y sus dígitos suman 12, cuyas cifras, a su vez, suman 3. Luego, es divisible por 6. 9 Al sumar sus cifras es múltiplo de 9. 738: suma 18, cuyos dígitos, a su vez, suman 9. Luego, es divisible por 9. 10 Termina en cero. 701.300: termina en cero. Luego, es divisible por 10.
  • 15. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Ejemplo : De los siguientes, ¿cuáles son divisores de 13.380?: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 8 g) 10 www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 16. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Solución : El número 13.380 es par. Luego, es divisible por 2. Los dígitos de 13.380 suman: 1 + 3 + 3 + 8 + 0 = 15, que es múltiplo de 3. Luego, 13.380 es divisible por 3. La dos última cifras de 13.380 corresponden a 80, que es múltiplo de 4. Luego, 13.380 es divisible por 4. El número 13.380 termina en cero. Luego, es divisible por 5 y por 10. El número 13.380 es divisible por 2 y por 3 a la vez. Luego, es divisible por 6. Conclusión : 13.380 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 10. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 17. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Conjunto De Los Números Cardinales (IN 0 ) Definición Es el conjunto de los Naturales, incluyendo el cero. IN 0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las mismas propiedades y características que en los Naturales. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 18. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Conjunto de los Números Enteros (Z) Definición Son los enteros positivos, el cero y los negativos. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com   Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }     Es decir + : es el conjunto de los enteros positivos - : es el conjunto de los enteros negativos
  • 19. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Recta numérica de los enteros Valor absoluto o Módulo de un número entero ( l l ) www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 20. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Operatoria en Z Cuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a los signos y las reglas de las operaciones. Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b Entonces: a) Adición (suma) a + b. (importante: ) EL PROCEDIMIENTO A SEGUIR ES: SE SUMAN DOS O MÁS NÚMEROS ENTEROS CUEANDO ESTOS SEAN DE IGUAL SIGNO, CONSERVANDO DICHO SIGNO (COLOCA EL SIGNO ANTES DE SUMAR, PARA QUE NO TE LO COMAS) Ejemplo: -4 – 6 = - 10 www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 21. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com   OTRO EJEMPLO: – 7 +–15 = -22 CONSEJO: CUANDO APARESCAN DOS SIGNOS (+–) LOS CUALES SE ESTAN MULTIPLICANDO ENTRE SI, SOLO DEBES DEJAR UNO, POR LO QUE DEBES RESOLVER EL PRODUCTO. (MAS ADELANTE SE EXPLICA EL PRODUCTO) LUEGO: Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22
  • 22. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl c) Sustracción (resta)  a – b Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a  al  opuesto de b. OTROS EJEMPLOS: Ejemplo : 57 – 34 = 57 + (-34) = 23 Ejemplo : (-12) – 22 = –12 + –22 = –34 Ejemplo : –25 – (–6) = –25 + 6 = –19 EL PROCEDIMIENTO A SEGUIR ES: SE RESTAN DOS NÚMEROS ENTEROS CUEANDO ESTOS SON DE DIFERENTES SIGNOS, CONSERVANDO EL SIGNO DEL NÚMERO MAYOR (COLOCA EL SIGNO ANTES DE RESTAR, PARA QUE NO TE LO COMAS) Ejemplo: -20 + 4 = –16 O bien:    4 –20 = –16 www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 23. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl b) Multiplicación y/o división Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la siguiente regla: Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo. Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo. Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 24. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl EN RESUMEN www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 25. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Definición Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción donde : a: Numerador;        b: Denominador (b 0);    y     k: Cuociente Conjunto de los Números Racionales (Q) www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 26. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Ejemplos de racionales: Pertenecen al conjunto de los racionales Q :
    • El cero; que se puede escribir como
    • Los números enteros positivos y negativos
    • Las fracciones comunes;
    • Los decimales finitos; y
    • Los decimales infinitos: periódicos o semiperiódicos
    www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 27. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Números decimales Todo número racional se puede escribir como número decimal. Un número decimal se obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción. Caso 1: Decimales finitos: Tienen una cantidad limitada de dígitos decimales. Ejemplo : 3,75. Caso 2: Decimales infinitos periódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales, y tienen el período inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplo:    www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 28. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Caso 3: Números decimales infinitos semiperiódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales y tienen, después de la coma el anteperíodo y luego el período. Ejemplo : www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 29. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Entonces en resumen tenemos lo siguiente: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 30. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Aproximación decimal Con frecuencia,  nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una aproximación decimal. Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 31. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Caso 2 : Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el dígito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 32. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Operaciones con números racionales Sean a, b, c y d distintos de cero . Suma:   Ejemplo: Resta:   Ejemplo: Producto: Ejemplo: Ejemplo: División:           Importante : Es conveniente trabajar la división de fracciones como producto (multiplicación) de fracciones, por las opciones de simplificación  que pueden presentarse. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 33. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Amplificar y simplificar una fracción Amplificar una fracción: E s multiplicar su numerador y denominador por el mismo número, obteniéndose una fracción equivalente: Ejemplo : la fracción   será amplificada por 7             Entonces: resultando que: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 34. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Fracciones equivalentes (iguales) Sean Esto es, dos fracciones son equivalentes solo si el producto del denominador de una por el numerador de la otra es igual al producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción (producto cruzado). www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 35. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Simplificar una fracción : Es dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, obteniéndose una fracción equivalente: Ejemplo : La fracción será simplificada por 7. Entonces : Resultando: , como puede verificarse por medio del producto cruzado www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 36. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Transformación de racionales Caso 1: De fracción a decimal: Para esto, basta dividir el numerador por el denominador Ejemplo : , al hacer la división 11 : 8 = 1,375. Entonces: = 1,375. Caso 2: De decimal finito a fracción común : La fracción resultante tiene como numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como el número total de decimales. Ejemplo: 1,25 = . Simplificando: 1,25 = www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 37. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Caso 3: De decimal periódico a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador el número, sin coma, incluyendo el período, menos los enteros. Como denominador, tantos 9 como cifras tenga el período. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 38. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Caso 4: De decimal semiperiódico a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador una cifra formada por el número sin la coma, menos los enteros y anteperíodo. Como denominador lleva un número de tantos 9 como cifras tenga el período, seguidos de tanto ceros como cifras tenga el anteperíodo decimal. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 39. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b, siendo a y b enteros, con b Conjunto de los Números Irracionales ( Q ^ ) www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com Ejemplo 1 : El número   es irracional, puesto que = 1,414213562...  Este es un número de infinitas cifras decimales, sin que presente un período o semiperíodo. Por lo tanto, es imposible expresarlo como una fracción y es más cómodo expresarlo simplemente como . Ejemplo 2: El número es irracional, puesto que = 3,141592654... y no es posible expresarlo como fracción. Por este motivo es más cómodo expresarlo simplemente como . Algunas civilizaciones antiguas conocieron los números irracionales. Pero su concepto de mundo perfecto, en el cual todo encajaba racionalmente, no les permitió su comprensión. Tal fue su confusión que les llamaron “irracionales”.
  • 40. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación: La Recta Real Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 41. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Conjunto de los Números Reales (IR) Definición Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los Irracionales. Lo que hoy conocemos como toda la recta numérica.
    • Pertenecen al conjunto de los Reales IR: (todos los números)
    • El cero, los enteros positivos y negativos;
    • Las fracciones;
    • Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y
    • Los irracionales
    www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 42. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Los números reales se sitúan sobre la recta valiéndose de construcciones geométricas o bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). Ejemplo: Ordene los siguientes números de menor a mayor: P = Q = y R = Solución : Primero se expresarán todos los números como decimal: Por lo tanto, el orden de menor a mayor es: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 43. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Prioridad de operatoria matemática en los Reales En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente prioridad operatoria: 1° Paréntesis 2° Potencias y raíces 3° Multiplicaciones y divisiones Ejemplo: 4° Sumas y restas Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)                          Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.                          Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20  Segundo: el cuadrado de 3 = 9             Está quedando: 13 – 20 – 9             Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16. www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 44. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl Autoevaluación 1.- ¿Para cuál de los siguientes valores de r, la expresión   es un número irracional? a)–4 b)5 c)41/9 d)19/4 e)–1 TU RESPUESTA ES LA RESPUESTA CORRECTA ES E www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 45. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl 2.- Si  “a” es un número natural y “b” es un número cardinal, entonces puede darse que: A) a + b = 0 TU RESPUESTA ES: B) a : b = 0 C) b : a = 0 D) b – a = b E) a + b 2 = b 3.- Si x es un número entero, la expresión   da origen a un número racional: A) Para ningún valor de x. B) Solo para x igual a cero. C) Solo para x distinto de uno. D) Solo para x mayor que siete. E) Para cualquier valor de x. LA ALTERNATIVA CORRECTA ES C LA ALTERNATIVA CORRECTA ES E TU RESPUESTA ES: www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 46. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl 4.- ¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 360? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5.- La suma de tres pares consecutivos es 150. Luego, la suma de los impares ubicados entre estos pares es: A) 151 B) 149 C) 102 D) 100 E) 99 TU RESPUESTA ES: LA ALTERNATIVA CORRECTA ES B TU RESPUESTA ES: LA ALTERNATIVA CORRECTA ES D www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 47. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl 6.- La suma de dos enteros impares consecutivos es 8x – 4. Entonces, el mayor de ellos es: A) 4x – 3 B) 4x – 2 C) 4x – 1 D) 2x – 2 E) 2x – 1 7.- Si p representa un número par y q un número impar, entonces, de las expresiones siguientes: I: (p + 1) 2   q                  II: p 2 (q + 1)                   III: (p + 1) (q + 1) ¿Cuál(es) representa(n) siempre un número par? A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III TU RESPUESTA ES: LA ALTERNATIVA CORRECTA ES C TU RESPUESTA ES: LA ALTERNATIVA CORRECTA ES D www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 48. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl 8.- El cuociente de   es igual a: A) 2,5 B) 0,4 C) 4 D) 0,8 E) 9.- La expresión numérica:   es igual a: A) –0,1 B) –0, C) 0,3 D) 0,09 E) 1/3 TU RESPUESTA ES: LA ALTERNATIVA CORRECTA ES B TU RESPUESTA ES: LA ALTERNATIVA CORRECTA ES A www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 49. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl 10.- Jaime recorre una distancia total de 48 Km. Primero, se traslada un tercio del recorrido en auto. Del resto, los dos novenos los hace en bicicleta, para, finalmente, completar su trayecto caminando. ¿Cuántos Km. recorre en bicicleta? A) 32 Km. B) 40 Km. C) 60 Km. D) 80 Km. E) 64/9 Km. TU RESPUESTA ES: LA ALTERNATIVA CORRECTA ES E www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 50. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 51. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 52. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl PARA DESCARGAR O VOLVER A VER…. http://www.youtube.com/watch?v=k41Ddk9EN_c http://www.dailymotion.com/video/x8xdcf_analisis-i-matematica-conjunto-de-n_tech www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
  • 53. Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemática www.oliverclases.es.tl www.fotolog.com/oliver_clases oliver_clases@hotmail.com 77906829 / 89461103 http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.com http://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.4shared.com
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