1. Unidad III:
Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Análisis Numérico
SAIA B

2. • El objetivo primordial de la unidad III es conocer y entender los
diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre
los cuales tenemos los de eliminación y los iterativos.
• Entre los métodos de eliminación tenemos: Eliminación
gaussiana, el método de eliminación de Gauss-Jordan, (descomposición
LU, factorización de Cholesky y el de QR, factorización
Householder.) Los métodos iterativos son el de Gauss Seidel y el de
Jacobi.

3. Métodos de Eliminación:
Eliminación Gaussiana: Este método consiste en descomponer
una matriz ampliada del sistema de ecuaciones dado, en una
matriz Diagonal superior o Diagonal inferior, y según el
caso se hace sustitución hacia atrás o hacia adelante para
hallar el valor de las variables en cuestión.
• Para la descomposición matricial existen varios métodos:
descomposición LU, factorización de Cholesky y el de QR,
factorización Householder.
• Para la eliminación Gaussiana se requiere conocer las
operaciones básicas con matrices, a saber:
• Cualquier renglón de la matriz de coeficientes
aumentadas puede multiplicarse por cualquier
constante.
• Es posible sumar un múltiplo de un renglón a un
múltiplo de cualquier otro renglón.
• Es posible intercambiar el orden de dos renglones
cualesquiera.

4. Supongamos que se quiere resolver el sistema:
4x1-2x2+x3=15
-3x1-x2+4x3=8
X1-x2+3x3 =13
La matriz ampliada es:
Si multiplicamos

5. la matriz final resultante se conoce
por matriz triangular superior, puesto
que todos los elementos por debajo de
la diagonal principal son ceros.
Pudimos haber hecho que todos los ceros
quedaran por encima de la diagonal
principal, en este caso sería una
matriz diagonal inferior.
Esta matriz podría descomponerse de la
forma A=L*U donde L es diagonal
inferior y U diagonal superior. Pero
podría descomponerse de la forma:
A=L*Lt, siendo Lt la transpuesta de la
matriz diagonal inferior (Esto se
conoce por factorización de Cholesky) y
finalmente pudimos descomponerla con el
método QR, que es un método
computacional que trabaja con valores
propios de la matrices.

6. Eliminación de Gauss-Jordan:
• Este método consiste en realizar las mismas operaciones anteriores pero
en mayor cantidad, pues se requiere dejar una matriz ampliada Diagonal,
es decir los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal
son ceros. En el ejemplo anterior, si operásemos un poco mas deberíamos
llegar a la matriz:

7. Métodos Iterativos:
• Los métodos anteriores son métodos fijos que utilizan
un número determinado de operaciones que permiten
llegar a un resultado exacto o aproximado. Los métodos
iterativos resuelven un sistema de ecuaciones A.X=B a
partir de valores iniciales Xo. Si el limite de Xn
converge se dice que el método es consistente con el
sistema y la solución existente converge a la solución
del mismo.
• Entre estos métodos tenemos el de Jacobi y el de Gauss-
Seidel.

8. Método de Jacobi:
• El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones
lineales más simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con
tantas incógnitas como ecuaciones.
• Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para el lo se ordenan las
ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En
notación matricial se escribirse como
• Donde x es el vector de incógnitas
• esta se le designa por
• Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

9. Ejemplo Partiendo de aplique dos iteraciones del método de
Jacobi para resolver el sistema:
Solución
Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente
Escrito en la notación vectorial quedaría:
Aplicamos la primera iteración partiendo de
Aplicamos la segunda iteración partiendo de

10. Aplicamos la siguiente iteración partiendo de
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de

11. El Método de Gauss-Seidel:
• El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras
que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar
una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los
valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no
en la siguiente. Por ejemplo, en el método de Jacobi se obtiene en el
primer calculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la
siguiente iteración. En el método de Gauss-Seidel en lugar de eso se
utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor
de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se
utilizan las variables recién calculadas

12. Método de Gauss-Seidel: Ejemplo
Partiendo de aplique dos iteraciones del método de Gauss-
Seidel para resolver el sistema:
Solución
Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente
Aplicamos la primera iteración partiendo de
Aplicamos la segunda iteración partiendo de

13. Aplicamos la tercera iteración partiendo de