• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Cours Algo 1   Resume
 

Cours Algo 1 Resume

on

  • 2,645 views

introduction a l algorithmique commencer a comprendre

introduction a l algorithmique commencer a comprendre

Statistics

Views

Total Views
2,645
Views on SlideShare
2,645
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
91
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Cours Algo 1   Resume Cours Algo 1 Resume Presentation Transcript

    • Cours d’Algorithmique Marc Gengler [email_address] Alexandra Bac - Henry Kanoui - Alain Samuel 24h de cours 24h de TD des devoirs un projet … et un examen
      • Trier et chercher
      • Listes et arbres
      • Le back-track
      • Arbres équilibrés
      • Récursivité et induction sur la structure
      • Divide and conquer
      • Minimax
      • Dérécursion
      • Divers problèmes particuliers
      • Logique de Hoare
      • Programmation dynamique
      • Complexité et calculabilité
      Les grandes lignes du cours
    • Bibliographie
      • Tout ce qui contient
        • algorithmes, algorithms.
      • Internet
        • souvent, c’est très (trop) simplifié,
        • et pas toujours correct.
      • Mes choix
        • Introduction to Algorithms, Leiserson et al.
        • Algorithms, Sedgewick.
        • Fundamental Algorithms, Knuth.
        • des anciens cours ;-)
      • D’autres choix
        • Introduction à l’algorithmique, Leiserson et al.
        • chez Dunod.
        • Initiation à l’algorithmique et aux structures de données, Courtin et Kowarski.
    • Al Khwarizmi
      • Célèbre mathématicien à Bagdad,
      • vers 780-850.
      • « Kitâb al-jabr wa al-muqâbala ». Livre sur la science de la transposition et de la réduction : résolution systématique de l’équation du second degré.
      • Traduit en latin au 12 e siècle par Gherardo di Cremona sous le titre «  Dixit Algorismi  ».
      • Aussi : « Kitâb al Jami wa al Tafriq bi Hisab al Hind ». Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des indiens.
      • http ://trucsmaths.free.fr/alkhwarizmi.htm
      • http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL016.htm
    • Al Khwarizmi 16 + X^2 + 8 * X = 33 + 16 X^2 2 * X 4 ( X + 4 )^2 = 7^2
    • Les tris sur tableaux -----------------------------------------------------------------
      • Tableau d’entrées 0 à n-1.
      • Entiers naturels, mais n’importe quel ensemble ordonné peut convenir.
      • Les répétitions sont possibles.
      Les hypothèses : Le but :
      • Ordonner le tableau par valeurs non décroissantes.
      Nous trions pour accélérer les recherches !
    • Les tris sur tableaux -----------------------------------------------------------------
      • En général, l’ordre est imposé par le monde extérieur.
      • Je peux trier des personnes :
        • d’après l’âge,
        • d’après le poids,
        • d’après la taille,
        • d’après l’ordre lexicographique des patronymes,
        • . . .
      Quelle relation d’ordre ?
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Situation initiale Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Pas de relation entre les indices et les valeurs !
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Situation finale Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Une relation claire entre les indices et les valeurs !
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- situation intermédiaire Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Triées Non triées et plus grandes i-1
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par échange - suite
      • Les entrées de 0 à i-1 sont triées.
      • Elles sont plus petites que les entrées suivantes.
      • Les entrées à partir de l’indice i ne sont pas triées.
      Les hypothèses : A faire pour mettre en place l’entrée i :
      • Chercher l’indice j du minimum à partir de i.
      • Echanger les éléments i et j.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- situation intermédiaire Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Triées Non triées et plus grandes i j <- échange ->
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- situation intermédiaire Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Triées Non triées et plus grandes i j
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- propriété invariante
      • Nous avions une certaine situation sur l’intervalle [ 0 .. i-1 ] :
        • les éléments jusqu’à i-1 sont triés,
        • ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.
      • Nous retrouvons la même situation sur l’intervalle [ 0 .. i ] :
        • les éléments jusqu’à i sont triés,
        • ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.
      • Cette propriété est donc invariante avec i, on l’appelle
      un invariant
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- le code for ( i=0 ; i<n-1 ; i++ ) {ind_min = i; for ( j=i+1 ; j<n ; j++ ) if ( t[j] < t[ind_min] ) ind_min = j; aux = t[i]; t[i] = t[ind_min]; t[ind_min] = aux; }
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- la complexité
      • Ont fait n-1 fois, pour i de 0 à n-2 :
      • Un parcours de [i..n-1].
      • Il y a donc un nombre de lectures qui vaut :
         (n-i) = 0 (n^2) i=0..n-2 Tri en complexité quadratique.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Triées Non triées et quelconques i-1
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par insertion - suite
      • Les entrées de 0 à i-1 sont triées.
      • Elles sont plus petites que les entrées suivantes.
      • Les entrées à partir de l’indice i ne sont pas triées.
      Les hypothèses : A faire pour mettre en place l’entrée i :
      • Si elle est plus grande que les précédentes : RIEN !
      • Si elle est plus petite que certaines précédentes : l’insérer plus à gauche en décalant d’autres entrées.
      ////////////////////////////////////////////
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Triées i-1 Plus grande : Rien à faire ! Non triées et quelconques
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Triées i-1 Non triées et quelconques Plus petit : L’insérer à gauche.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire
      • Vous avez vu qu’il y a à nouveau un INVARIANT ?
      • Lequel est-ce ??????????????????
      • Les éléments déjà traités sont triés,
      • les autres sont dans le désordre et sans rapport particulier (ni plus grands, ni plus petits) aux premiers.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- le code for ( i=1 ; i<n ; i++ ) {cont = 1; j = i; while ( j>0 && cont ) {if ( t[j] < t[j-1] ) echange(t, j-1, j); else cont = 0; j--; } }
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- la complexité
      • Ont fait n-1 fois, pour i de 1 à n-1 :
      • Jusqu’à i échanges au maximum (peut-être moins).
      • Le nombre d’échanges peut donc atteindre :
         i = 0 (n^2) i=1..n-1 Tri en complexité quadratique.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri bulle Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Situation normale Situation anormale : Une bulle
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri bulle : on échange l’ordre dans la bulle Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Situation normale La bulle a disparu par échange
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri bulle : évolution des bulles Valeurs 0 1 2 3 … n-1 Régions qui peuvent être ignorées lors du prochain passage.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri bulle - principe des algorithmes
      • Tant qu’il y a des bulles,
      • on en choisit une et on la fait monter.
      L’idée : De nombreuses optimisations :
      • Suivre une bulle et la faire monter aussi haut que possible.
      • Si au dernier passage la première bulle était ( i , i+1 ) , il ne peut y avoir de bulle avant ( i-1 , i ) au passage courant.
      • Faire alternativement monter et descendre des bulles.
      • … et puis d’autres trucs !
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Tri bulle - complexité
      • Le tri bulle a une complexité quadratique, car il existe des instances pour lesquels il faut 0 (n^2) échanges.
      • Par contre, pour de nombreuses instances, le nombre des échanges est bien plus petit.
      • Le tri bulle est bien adapté, comme d’autres tris, pour rétablir l’ordre dans un tableau presque trié (léger désordre produit par quelques insertions d’éléments par exemple).
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Différentes notions de complexité
      • Complexité du meilleur cas :
        • inintéressante, car ce n’est pas le cas typique.
      • Complexité du cas moyen :
        • intéressante, mais difficile à établir,
        • est-ce que mes instances du problème sont dans la moyenne ?
      • Complexité du pire cas :
        • donne une limite supérieure pour le nombre d’opérations,
        • celle-ci peut être atypique,
        • souvent assez facile à calculer,
        • mais, c’est la COMPLEXITE utilisée PAR DEFAUT.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Principe du tri par fusion
      • Couper le tableau en deux (mentalement et de façon non violente),
      • trier récursivement chaque partie
      • et fusionner les deux parties triées (cf. cours d’Introduction à la programmation).
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Principe du tri par fusion Tri récursif des deux moitiés. Fusion des deux suites.
    • Les tris sur tableaux ----------------------------------------------------------------- Complexité du tri par fusion
      • Soit f(n) la fonction de complexité pour trier n éléments.
      • Le découpage se fait en temps constant ou 0( n ), s’il y a copie.
      • Les deux appels récursifs nécessitent 2 * f( n/2 ).
      • La fusion se fait en 0( n ).
      • Donc f(n) = 0(n) + 2 * f(n/2)
      • = 0(n) + 2 * ( 0(n/2) + 2 * f(n/4) )
      • = 2 * 0(n) + 2^2 * f(n/2^2)
      • = 3 * 0(n) + 2^3 * f(n/(2^3))
      • = k * O(n) + 2^k * f(n/(2^k))
      • = 0(n * log n) + 2^(log n) * f(n/(2^(log n)))
      • = 0(n * log n) car f(n/(2^(log n))) = f(1) = 0
      Tri en complexité n log n.
    • Recherche dans des tableaux triés -----------------------------------------------------------------
      • On utilise l’ordre pour
        • anticiper l’abandon dans une recherche linéaire,
        • guider la recherche : recherche par dichotomie.
      petit grand moyen 0 n-1 (n-1)/2 X X < moyen Oui ! Chercher X dans [ 0 .. (n-1)/2- 1 ] Non ! Chercher X dans [ (n-1)/2 .. n-1 ]
    • Recherche dans des tableaux triés ----------------------------------------------------------------- Recherche par dichotomie - complexité
      • 1 test -> n/2 éléments.
      • 2 tests -> n/4 éléments.
      • 0( log n) tests -> 1 élément.
      • Est-ce bien lui ? Donc un test en plus.
      • Il existe des arguments théoriques (théorie de l’information) qui montrent que l’on ne peut pas faire mieux.
    • Recherche dans des tableaux triés ----------------------------------------------------------------- d = 0; f = n-1; While ( d < f ) if ( d == f-1 ) if ( x == t[d] ) f = d; else d = f; else {m = (d+f)/2; if ( x < t[m] ) f = m-1; else d = m; } Return ( x == t[d] ); Résultat. Cas général. Intervalle de 2 éléments. Initialisation.
    • Recherche dans des tableaux triés ----------------------------------------------------------------- Di-chotomie - Tri-chotomie - etc.
      • Di-chotomie :
        • 1 test -> 2 intervalles de n/2 éléments.
        • Donc, 1 * log_2 (n) + 1 tests.
      • Tri-chotomie :
        • 2 tests -> 3 intervalles de n/3 éléments.
        • Donc, 2 * log_3(n) + 1 tests.
      • K-chotomie :
        • k-1 tests -> k intervalles de n/k éléments.
        • Donc, (k-1) * log_k(n) + 1 tests.
      Optimal si k = 2 ! ! !
    • Soyons critiques ! -----------------------------------------------------------------
      • Tableau trié :
        • Recherche efficace 
        • Insertions et suppressions pénibles 
      • Liste triée :
        • Insertions et suppressions efficaces 
        • Recherche pénible 
      • Hashage sur tableaux & arbres de recherche équilibrés :
        • Toutes les opérations sont efficaces  
    • Hashage ----------------------------------------------------------------- H : Eléments à stocker Indices d’un tableau INSEE(Marc Gengler) 1.61.01 … 1.61.01 … MG Attention, certaines cases du tableau contiennent des valeurs alors que d’autres sont vides.
    • Hashage ----------------------------------------------------------------- Une seule valeur par entrée du tableau ! ! !
      • Parfait, si H est injective
        • Si H(x) = H(y) alors x = y.
      • Souvent, H ne l’est pas :
        • x = y mais H(x) = H(y) - il y a donc collision !
        • Il y a différentes manières de gérer les collisions.
      /
    • Hashage -----------------------------------------------------------------
      • Résolution locale des collisions :
        • Petite recherche séquentielle dans une liste chainée.
        • Prendre la première case libre en séquence dans le tableau.
        • Et si on peut supprimer des éléments ????? Des éléments qui étaient responsables d’une collision viennent à disparaître !
      • Re-hashage :
        • Si H(x) est déjà occupé on calcule H’(x) ou H(x+  ), etc. jusqu’à trouver une place.
        • Et si on peut supprimer des éléments ?????
      La solution la plus fréquente : chainage des collisions !
    • Hashage ----------------------------------------------------------------- X X Y Y /
    • Hashage -----------------------------------------------------------------
      • Faits :
        • La fonction de hashage doit être « uniforme » : pour des choix au hasard de données d , les indices H( d ) doivent être répartis le plus uniformément possible.
        • A ce moment, le taux de remplissage donne la proportion des collisions.
      • Coût :
        • Coût du calcul de H multiplié par le nombre moyen de collisions (re-hashage).
        • Coût du calcul de H plus le coût de la recherche dans la liste chainée.