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Teodre ma de moivre (3)

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  • 1. ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA
    TRIGONOMETRIA
    Temas:
    UNIDAD IMAGINARIA
    NUMERO COMPLEJO
    TEOREMA DE DE MOIVRE
    Nivel:
    - Primero “A”
    Docente:
    - Ing. VICTOR VASCONEZ
    Periodo:
    2009 - 2010
  • 2. NÚMEROS
    REALES
    COMPLEJOS
    IMAGINARIOS
  • 3. UNIDAD IMAGINARIA
    La unidad imaginariaes el número y se designa por la letra i.
    Potencias de unidad imaginaria
    i0 = 1
    i1 = i
    i2 = −1
    i3 = −i
    i4 = 1  
    Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.
    Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
    i22
    i22 = (i4)5 · i2 = − 1
  • 4. NÚMEROS IMAGINARIOS
    Un número imaginariose denota por bi, donde :
    b =es un número real
    i =es la unidad imaginariaCon los números imaginariospodemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
    x2 + 9 = 0
  • 5. NUMEROCOMPLEJO
  • 6. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NUMEROS COMPLEJOS
  • 7. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NUMERO COMPLEJO
    Para representarlo en forma trigonométrica ,es necesario conocer el radio vector (r) y el ángulo o (φ)argumento.
    El radio vector r=
    Geométricamente el módulo o valor absoluto es la longitud del vector ŌĀ es decir │a+bi │=
    a+bi=r(cosφ+isenφ)
    = a+bi
  • 8. TEOREMA DE MOIVRE
  • 9. Potencia y raíz de un numero complejo
    POTENCIA. (FÓRMULA DE MOIVRE)
    Si z=(m)se verifica que: zⁿ= [(m)]ⁿ= (mⁿ)n
    Expresión que escrita en forma trigonométrica:
    se denomina FÓRMULA DE MOIVRE
    [m(cosφ+isen φ)]ⁿ= mⁿ(cosn φ +isenn φ)
  • 10. Uso del teorema de moivre
    Representar (1+i)20
    Forma trigonométrica
    1+i=√2 (cosπ/4 + isenπ/4)
    Aplicando el teorema de moivre
    (1+i)20=(21/2)20[cos(20 . π/4)+i sen (20. π/4)]
    = 210 (cos5 π+isen5 π)
    =210(-1)
    =-1024
  • 11. Teorema sobre raíces n-simas
    Si z=r(cosφ+isenφ) es cualquier número complejo de cero y si n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces n- ésimas distintas ,w0,w1,w2,….wn-1
    Esas raíces cuando φ esta radianes son:
    Para φ en grados sexagesimales:
    Donde k=0,1,…..n-1
  • 12. CALCULAR LAS CUATRO RAÍCES CUARTAS DE -8-8√3i
    Representación geométrica
    Forma trigonométrica
    -8 -8√3i=16(cos de 240 +isen 240)
    Aplicando el teorema sobre raíces n-esimas con n=4 y teniendo en cuenta que √16=2,tenemos:
    Para k=0,1,2,3, esta fórmula se puede escribir como:
    W k=2[ cos(60o+90ok) + i sen(60o+90ok)]
    Sustituyendo 0,1,2,3 en lugar de k en (60o+90ok) :
    W0=2(cos60o+isen60o) =1+√3i
    W1=2(cos150o+isen150o) =-√3+i
    W2=2(cos240o+isen240o) =-1-√3i
    W3=2(cos330o+isen330o) =√3-i