Este documento describe los pasos para derivar la ecuación asociada de Legendre a partir de la ecuación usual de Legendre. Primero, se diferencia la ecuación usual de Legendre "m" veces usando la fórmula de Leibniz. Esto resulta en un término adicional de -m2/(1-x2). Luego, se propone una solución de la forma ψ(x)=AαU y al sustituir en la ecuación diferenciada múltiples veces, se obtiene que α=m/2. Finalmente, la ecuación

1. [1]
Soluciónaecuaciónasociadade Legendre
Solución a ecuación asociada de Legendre
By Héctor L.Cervantes C.
Abstract.- En la primera parte de este artículo se diferencia “m” veces la ecuación de Legendre, la segunda
parte se obtiene específicamente el factor juntamente con su exponencial que modifican ó complementan la
solución usual a la ecuación usual ó común de Legendre.
ECUACIÓN ASOCIADA DE LEGENDRE
(1 − 𝑥2)
𝑑2 𝑃 𝑛
𝑚
𝑑𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑃 𝑛
𝑚
𝑑𝑥
+ 𝑛( 𝑛 + 1) 𝑃𝑛
𝑚
−
𝑚2
1−𝑥2 𝑃𝑛
𝑚
= 0 (1)
ECUACIÓN USUAL Ó COMÚN DE LEGENDRE
(1 − 𝑥2)
𝑑2 𝑃 𝑛
𝑑𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑃 𝑛
𝑑𝑥
+ 𝑛( 𝑛 + 1) 𝑃 𝑛 = 0(2)
La ecuación asociada de Legendre tiene un término adicional que es −
𝒎 𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
DIFERENCIACIÓN “m” VECES LA ECUACIÓN USUAL DE LEGENDRE
Diferenciar “m” veces una ecuación diferencial significa diferenciar “m” veces cada uno de todos sus
términos. Y para ello se emplea la fórmula de Leibniz de la diferenciación sucesiva de un producto de
funciones.
( 𝑈𝑉)( 𝑛)
= ∑ (
𝑛
𝑠
) 𝑈 𝑛−𝑠
𝑉 𝑠𝑛
𝑠=0 (3) Donde el exponente indica las veces de derivación
Para “m” veces ( 𝑈𝑉)( 𝑚)
= ∑ (
𝑚
𝑠
) 𝑈 𝑚−𝑠
𝑉 𝑠𝑚
𝑠=0 (4)
Cristo el factor (1 − 𝑥2)del primer término de ecuación (2) admite un máximo de dos derivaciones
sucesivas, por ello en la derivación de “m” veces solo los tres últimos términos aparecen (los demás son cero)
( 𝑈𝑉)( 𝑚)
=
…+ (
𝒎
𝒎 − 𝟐
) 𝑼( 𝟐)
𝑽( 𝒎−𝟐)
+ (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) 𝑼( 𝟏)
𝑽( 𝒎−𝟏)
+ (
𝒎
𝒎
)𝑼( 𝟎)
𝑽( 𝒎)
(5)
0Donde U = (1 − 𝑥2); 𝑼( 𝟎)
= (1 − 𝑥2); (
𝒎
𝒎 − 𝟐
)=
𝒎!
( 𝒎−𝟐)!𝟐!
Para 𝑉 =
𝑑2
𝑑𝑥2 𝑃 𝑛 = 𝑃𝑛
(2)
La fórmula (5) queda aplicándola

2. [2]
Soluciónaecuaciónasociadade Legendre
( 𝑈𝑉) 𝑚
= [(1 − 𝑥2)(
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑃𝑛)]
( 𝑚)
=
=
𝒎!
( 𝒎−𝟐)!𝟐!
(−2) 𝑽
( 𝒎−𝟐)
+
𝒎!
( 𝒎−𝟏)!𝟏!
(−2𝑥) 𝑉
( 𝑚−1)
+ (1 − 𝑥
2
) 𝑉
( 𝑚)
=
=
( 𝑚)( 𝑚−1)
2
(−2) 𝑃 𝑛
( 𝑚)
+ 𝑚(−2𝑥) 𝑃
( 𝑚+1)
+ (1 − 𝑥
2
) 𝑃
( 𝑚+2)
(6)
Cristo ahora para el segundo término−2𝑥
𝑑𝑃 𝑛
𝑑𝑥
de ecuación (2) solo admite una diferenciación por lo que
un total de dos últimos términos sobreviven de acuerdo a la fórmula de Leibniz.
Para U = −2𝑥 ; V = 𝑃𝑛
(1)
entonces
( 𝑈𝑉) 𝑚
= (
𝑚
𝑚 − 1
)𝑈(1)
𝑉( 𝑚−1)
+ (
𝑚
𝑚
) 𝑈0
𝑉 𝑚
=
=
𝑚!
( 𝑚−1)!1!
(−2) 𝑃𝑛
𝑚
+ (−2𝑥) 𝑃𝑛
𝑚+1
(7)
Sumando resultados (6) y (7)
−𝑚( 𝑚 − 1) 𝑃𝑛
( 𝑚)
− 2𝑥( 𝑚)(𝑃𝑛
´
)
( 𝑚)
+ (1 − 𝑥2)(𝑃𝑛
´´
)
( 𝑚)
− 2𝑚𝑃𝑛
( 𝑚)
− 2𝑥(𝑃𝑛
´
)
( 𝑚)
(8)
Como [ 𝑛( 𝑛 + 1) 𝑃𝑛]( 𝑚)
= 𝑛( 𝑛 + 1) 𝑃𝑛
𝑚
(9);
Sumando (8) y (9) obtengo el total de la diferenciación “m” veces de la ecuación usual de Legendre
[−𝑚( 𝑚 − 1) − 2𝑚 + 𝑛( 𝑛 + 1)] 𝑃𝑛
𝑚
+ (−2𝑥𝑚 − 2𝑥)(𝑃𝑛
´
)
( 𝑚)
+ (1 − 𝑥2)(𝑃𝑛
´´
)
( 𝑚)
= 0
= (1 − 𝑥2)(𝑃𝑛
´´
)
( 𝑚)
− 2𝑥( 𝑚 + 1)(𝑃𝑛
´
)
( 𝑚)
+ (−𝑚2
− 𝑚 + 𝑛2
+ 𝑛) 𝑃𝑛
𝑚
= 0
. ( 𝑛 + 𝑚 + 1)( 𝑛 − 𝑚)
Entonces llamando U = 𝑷 𝒏
( 𝒎)
y como; (𝑃𝑛
´´
)
( 𝑚)
= ( 𝑃𝑛
𝑚)´´
la ecuación anterior resulta:
(1 − 𝑥2) 𝑈´´
− 2𝑥( 𝑚 + 1) 𝑈´
+ ( 𝑛 − 𝑚)( 𝑛 + 𝑚 + 1) 𝑈 = 0 (9)
Cristo ahora para solucionar la ecuación (9) se sugiere la solución: 𝜓( 𝑥) = Aα
U
Esta es la primer transformación
resultado de diferenciar la ecuación
común de Legendre “m” veces

3. [3]
Soluciónaecuaciónasociadade Legendre
o sea: U = ψA−α
(10); De donde diferenciando una y dos veces se obtiene respectivamente
U´ = [𝜓´A−α
−
𝛼
𝐴
𝐴´𝜓] A−α
(11)
U´´=[𝜓´´ +
𝛼
𝐴2
( 𝛼 + 1)( 𝐴´)2
𝜓 −
𝛼
𝐴
𝐴´´𝜓 −
2𝛼
𝐴
𝐴´𝜓´] A−α
(12)
Cristo ahora introduzco (10), (11) y (12) en (9)
(1 − 𝑥2) [𝜓´´ +
𝛼
𝐴2
( 𝛼 + 1)( 𝐴´)2
𝜓 −
𝛼
𝐴
𝐴´´𝜓 −
2𝛼
𝐴
𝐴´𝜓´] A−α
−2𝑥( 𝑚 + 1) [𝜓´A−α
−
𝛼
𝐴
𝐴´𝜓] A−α
+ ( 𝑛 − 𝑚)( 𝑛 + 𝑚 + 1) ψA−α
=0
Cristo ahora elimino A−α
y colecto términos semejantes en 𝜓´
(1 − 𝑥2) (−
2𝛼
𝐴
𝐴´𝜓´) − 2𝑥( 𝑚 + 1) 𝜓´ Primera pista se observa que A=( 𝟏 − 𝒙 𝟐)
para poder simplificar denominador en guía de la semejanza con el coeficiente de −2𝑥
𝑑𝑃 𝑛
𝑑𝑥
Simplificando resulta:
(1 − 𝑥2) ψ´´+(4𝑥𝛼 − 2𝑥𝑚 − 2𝑥) 𝜓´
+[
𝛼( 𝛼 + 1)
1 − 𝑥2
( 𝐴´)2
+ 2𝛼 −
4𝑥2
𝛼
1 − 𝑥2
( 𝑚 + 1) + ( 𝑛 − 𝑚)( 𝑛 + 𝑚 + 1)] 𝜓 = 0
Cristo el coeficiente de ψ´ en ecuación (13) brinda información de valor del exponente α mediante la
similitud con la ecuación usual de Legendre si: (4𝑥𝛼 − 2𝑥𝑚 − 2𝑥)= −2𝑥 (14)
Entonces; 4𝑥𝛼 − 2𝑥𝑚 = 0; de donde: 𝜶 =
𝒎
𝟐
(15)
Cristo ahora traslado el valor del exponente α al coeficiente de ψ en ecuación (13) y simplifico:
𝑚
2
(
𝑚
2
+1)(−2𝑥)2
1−𝑥2
+2(
𝑚
2
) −
𝑚
2
( 𝑚+1)(4𝑥2)
1−𝑥2
+ ( 𝑛 − 𝑚)( 𝑛 + 𝑚 + 1)=
= 𝑚 + ( 𝑛2
+ 𝑛𝑚 + 𝑛 − 𝑚𝑛 − 𝑚2
− 𝑚) +
4𝑥2
1−𝑥2 [
𝑚
2
(
𝑚+2
2
) −
𝑚
2
( 𝑚 + 1)]=
= 𝑛2
+ 𝑛 − 𝑚2
−
𝑚2 𝑥2
1−𝑥2
(13)

4. [4]
Soluciónaecuaciónasociadade Legendre
=𝑛2
+ 𝑛 −
𝑚2
1−𝑥2 Coeficiente de ψ en ecuación (13)
Cristo resulta finalmente que la ecuación (13) se transforma en:
(1 − 𝑥2) ψ´´+(−2𝑥) 𝜓´ +[𝑛2
+ 𝑛 −
𝑚2
1−𝑥2] 𝜓 = 0 (14)
Para: 𝜓( 𝑥) = (1 − x2)m/2
Pn
m
Estaesla soluciónalaecuaciónasociadadeLegendre la mayoría de las páginas muestranla solución
como”sacadade la manga” como la muestra unmago que de su sombrero hace aparecer unconejo ó
palomas.