1. NP 데브루키 알고리즘 스터디 2011. 5. 14. 해보리 Completeness

2. 우리가 지금까지 공부한 문제들은 모두 O(logn), O(n), O(nlogn), O(𝑛2), O(𝑛3)등의 시간 복잡도를 갖는 알고리즘 이었다. 오늘 이야기할 내용

3. 하지만 모든 문제에 대해 이와 같은 빠른 알고리즘이 존재하는것은 아니다. 오늘 이야기할 내용

4. NP-완비 NP-완전 문제 NP-완전성 NP-Complete NP-Completeness 이게 뭔 소리야?! 오늘 이야기할 내용

5. 나는 그저 NP-완비 이론이 흥미로운 발상이라고만 생각했다. 그것이 지닌 잠재적 영향력은 제대로 인식하지 못했다. -스티븐 쿡 NP-Completeness

6. 스티븐 아서 쿡 쿡의 정리 충족 가능성 문제(SAT) Stephen Arthur Cook

7. 나에 대해 알고 싶다면 링크 타고 오셈 http://www.aistudy.com/pioneer/Cook_Levin.htm#_bookmark_1ac95e0 http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8A%A4%ED%8B%B0%EB%B8%90_%EC%BF%A1 http://www.cs.toronto.edu/~sacook/ Stephen Arthur Cook

8. 때로는 어떤 것이 불가능하다는 사실이 유용할 때도 있다. -레오니드레빈 NP-Completeness

9. 나도 알고 싶다면 링크 타고 오셈 http://en.wikipedia.org/wiki/Leonid_Levin http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A0%88%EC%98%A4%EB%8B%88%EB%93%9C_%EB%A0%88%EB%B9%88 http://www.cs.bu.edu/fac/lnd/ http://www.aistudy.com/pioneer/Levin.L.htm Leonid Levin

10. NP는아리송한 문제 NP란 무엇인가?

11. P는 빨리 풀 수 있는 문제군이고, NP는 빨리 확인할 수 있는 문제군이다. 책에 정의된 내용

12. 어떤 집단문제들은 어려워 보이기는 하지만, 그 답을 보면 옳다는 것을 검증하기 쉬운 집단 문제 NP에 관한 비유

13. 평범한 고등학생들이 “수학의 정석”과 낑낑대고 씨름하다가 포기하고 해답을 본 후 “아! 바로 그것이구나”하는 것 NP에 관한 비유

14. 미정다항시간집단문제 (nondeterministic polynomial Time problem)들의 집합을 NP라 한다. NP에 관한 비유

15. NP P⊆NP P P⊆NP P와 NP의 관계

16. P와 NP의 관계

17. P는 NP의진부분집합일 것으로 추정 P⊆NP P와 NP의 관계

18. P-NP 문제 클레이 수학연구소에서 밀레니엄 문제로 내걸은 7가지 문제 중 하나 백만불짜리 문제

19. 헉!!

20. 다항식과 비다항식? 다항식과 비결정성 다항식!! Non-Polynomial Nondeterministic Polynomial NP란 무엇인가?

21. Nondeterministic Polynomial 비결정론적 다항식 시간에 해결할 수 있는 문제군 NP란 무엇인가?

22. 完: 완전할 완 備 : 갖출 비 완비(完備) 빠짐없이 완전히 갖춤 완비란 무엇인가?

23. 쉬운 문제와 어려운 문제 Tractable Problem Intractable Problem

24. 답을 구하는데 걸리는 시간이 짧은 문제가 쉬운 문제이고, 그렇지 않은 문제는 어려운 문제이다. Tractable Problem Intractable Problem

25. 현실적인 시간은 다항식 시간을 의미 입력의 크기 n의 다항식으로 표시되는 시간 예) 3nk + 5nk-1 + … 비다항식 시간의 예 지수 시간 : 2n 계승 시간 : n! 현실적인 시간

26. 최근의 컴퓨터 암호화 기법들도 근본적인 원리를 따져보면 NP문제를 이용해 해독하기 어렵게(시간이 오래 걸리게) 만들어 놓은 것이다. 컴퓨터 암호

27. 풀 수 있는 문제 (Solvable) (Decidable) 풀 수 없는 문제 (Unsolvable) (Undecidable) 문제의 종류

28. 풀 수 있는 문제 (Solvable) (Decidable) 현실적인 시간 내에 풀 수 없는 문제 현실적인 시간 내에 풀 수 있는 문제 문제의 종류

29. 현실적인 시간 내에 풀 수 있는 문제 여태까지 우리가 스터디 했던 다양한 문제들 최소신장트리 문제 최단거리 문제 … 문제의 종류

30. 현실적인 시간 내에 풀 수 없는 문제 NP-완비 문제들 (이곳에 속한다고 추정) 문제의 종류

31. 튜링의 정지 문제 힐베르트의10번째 문제 … 풀 수 없는 문제들

32. 튜링의 정지 문제 Turing’s Halting Problem

33. Q. 일반 정수방정식 p(X1, …, Xn) = 0 이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라. 디오판토스 방정식 힐베르트의10번째 문제

34. 다비드힐베르트 독일의 수학자 힐베르트의23개 문제 http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%9E%90%EB%B2%A0%EB%A5%B4%ED%8A%B8%EC%9D%98_%EB%AC%B8%EC%A0%9C%EB%93%A4 David Hilbert

35. A. 부정적으로 해결: 마티야세비치의정리에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다. 힐베르트의10번째 문제

36. 유리 마티야세비치 러시아 수학자 힐베르트의열번째 문제 해결 불가능함을 증명 http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%EB%A6%AC_%EB%A7%88%ED%8B%B0%EC%95%BC%EC%84%B8%EB%B9%84%EC%B9%98 Yuri Matiyasevich

37. 상사가 아주 어려운 문제를 해결하라고 지시했다. 1. 나는 답을 구할 수가 없습니다. 아마 나는 멍청한 모양입니다. NP-완비에 관한 비유

38. 2. 나는 답을 구할 수가 없습니다. 왜냐하면 이 문제는 답이 없어요. NP-완비에 관한 비유

39. 3. 나는 답을 구할 수가 없습니다. 그렇지만 저렇게 수많은 천재들도 이 문제를 해결할 수 없습니다 NP-완비에 관한 비유

40. NP-완전 이론에서는 판정 문제(decision problem) 만을 다룬다. NP-완전 이론

41. 판정 문제란 문제의 해가 “예/아니오”로 나오는 형태를 말한다. Decision problem

42. ICM(국제수학자대회)에서 제시됐던 내용 어떠한 수학적 명제라도 그것의 옳고 그름을 판정할 수 있는 효과적인 방법이 있는가? Hilbert의 꿈

43. 나는 지금 거짓말을 하고 있다. 거짓말쟁이의 역설

44. 모순 없는 형식 체계는 완전하지 않다. 불완전성 정리

45. 판정 문제와는 반대로, 최소치나 최대치를 구하는형태의 문제를 최적화 문제(optimization problem) 라고 한다. Optimization problem

46. Yes/No문제 예) 그래프 G에서 길이가 k 이하인 해밀토니안 경로가 존재 하는가? 최적화문제 예) 그래프 G에서 길이가 가장 짧은 해밀토니안경로는 얼마인가? 판정 문제와 최적화 문제

47. 즉, NP-완전 이론은 Yes/No 대답을 요구하는 문제에국한되나 최적화 문제와 밀접한 관계를 갖고 있음 문제를 현실적인 시간안에 풀 수 있는가에 관한 이론 NP-완전 이론

48. 해당 문제가 NP-완전 이론임이 확인되면, 최적의 해를 구하는 방법을아직 모름 아직까지는 이 문제를 현실적인 시간에 풀 수 있는 방법이 없다고 생각하면 됨 NP-완전 이론

49. 판정 문제와 최적화 문제가 서로 관계가 있고, 최적화 문제에 비해 판정 문제가 쉽다. 변환

50. 문제 A 문제 B 다항식 시간 변환 Yes Yes No No 변환

51. 변환은 다항식 시간에 이루어 진다. 두 사례의 답은 일치한다. 문제 A의 사례 α를 문제 B의 사례 β로바꾸되 이 성질에 만족하면 다항식시간변환이라 하고, α≤pβ로 표기한다 Poly-Time Reduction

52. 모든 NP 문제가 문제 L로 다항식 시간에 변환가능 하면, 문제 L은 NP-Hard이다. NP-Hard

53. 문제 L은 NP 이다. 문제 L은 NP-Hard 이다. 그렇다면 문제 L은 NP-완전 문제 이다. NP-Complete

54. 해밀토니안싸이클 문제가 NP-Hard임을 알고 있다. (가정) 이를 이용해 TSP 문제가 NP-Hard임을 보일 수 있다. NP-Hard 증명의 예

55. NP-Hard 증명의 예

56. 0-1 배낭 문제 (0-1 Knapsack problem) 짐을 쪼갤 수 없는 경우의 배낭문제를 말함 NP-완전 문제

57. NP-완비 문제들이 증명된 관계 트리

58. 어떤 문제가 NP-Complete/Hard임이 확인되면 쉬운 알고리즘을 찾고자 하는 헛된 노력을 중지하고, 주어진 시간내에 최대한 좋은 해를 찾는 알고리즘 개발에 집중한다. NP 이론의 유용성

59. 감사합니다.

60. 쉽게 배우는 알고리즘 위키피디아 대한수학회소식지 그밖에 여기저기~ >.< 참고자료