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    Suite exercice Suite exercice Document Transcript

    • 1 TP MATHEMATIQUES SERIES NUMERIQUES www.tifawt.com ExercicesExercice n°1 : u1 = 1/ 3 ∗ ∗ un On considère la suite définie pour tout n ∈ N , par  n + 1 . On pose, pour tout n ∈ N , vn = un +1 = 3n un n 1) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique.2) Exprimer vn en fonction de n .3) En déduire l’expression de un en fonction de n . n4) Soit la série Sn = ∑ vk . Calculer Sn en fonction de n et montrer que la suite Sn est convergente. k =1Exercice 2 : anOn considère la suite définie pour tout n ∈ N ∗ , par un = où a une constante réelle quelconque. nα Etudier la convergence de la suite (un ) .Exercice 3 : 4Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un = n −1 21) Montrer que cette série est convergente. 4 a b2) Déterminer les réels a et b tels que : = + n −1 n −1 n +1 2 n 4n + 23) En déduire que : ∑ uk = 3 − k =2 n(n + 1)4) En déduire la somme S de la série ( un ).Exercice 4 : 2Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un = n −121) Montrer que cette série est convergente. 2 a b2) Déterminer les réels a et b tels que : = + n −1 n −1 n +1 2 n 3 2n + 13) En déduire que : ∑ uk= − . En déduire la somme S de la série ( un ). k =2 2 n(n + 1)Exercice 5 : 1Soit la suite ( un ) définie par : un = n(n + 1) a b1. Déterminer les réels a et b tels que : un= + n n +12. On pose Sn = u1 + u2 + u3 + ........... + un −1 + un . Calculer Sn et la limite S de Sn quand n tend vers +∞ .www.tifawt.com
    • 2Exercice 6 : k=2n ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n . 1 1 1 1Soit (un) la suite définie sur N * par un = k= n −3n − 21. Montrer que pour tout n de N * , un+1 − un = . n( 2n + 2 )( 2n + 1 )2. En déduire le sens de variation de la suite (un).3. Établir alors que (un) est une suite convergente.Exercice 7 : +∞1. Etudier la convergence de la série ∑2 n =0 n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n ; n 12. Etudier la convergence de la série ∑2 p= 0 p 33. Etudier la convergence des séries de terme général : a) un = n +1 2 +∞ 1 14. Etudier la convergence de la série ∑ de terme général un = . ( 2n + 1) ) ( 2n + 1) ) 2 2 n =0 +∞ (−1) n (−1) n5. Etudier la convergence de la série ∑ de terme général un = n =1 n n ( −1) ( −1) n n +∞6. Etudier la convergence de la série ∑ 2n + 1 de terme général un = 2n + 1 . n =0 ∞ (−1) n +1 (−1) n +17. Etudier la convergence de la série ∑ n 2 de terme général un = n2 . n =1 +∞ n2 n28. Etudier la convergence de la série ∑ 2n + n de terme général un = 2n + n . n =0Exercice 8 : +∞ 1  2nπ  1  2nπ 7. Etudier la convergence de la série ∑ n2 sin   de terme général un = 2 sin   n =1  3  n  3  +∞ arctan n arctan n8. Etudier la convergence de la série ∑ n 2 de terme général un = n2 . n =1 n +1 14. Etudier la convergence de la série de terme général : un = ; vn = n! n!www.tifawt.com
    • 3 CorrectionExercice n°1 n +1 un un +1 1 un 11) Pour tout entier n ∈ N ∗ , = = 3n = = vn vn +1 n +1 n +1 3 n 32) ( vn ) est donc une suite géométrique de raison 1/ 3 et de premier terme v1 u1 1 = = 1 3 n −1 n ∗ 1 1 13) Pour tout n ∈ N = = v1  =   . , vn vn −1  3 3 3 n ∗ u 1 Puisque pour tout n ∈ N , vn = n , on aura = nvn n   un = n 3Exercice 2 an  an   ln n un = α .posons vn = ln un , vn = ln  α  = ln a n − ln nα = n ln a − α ln n = n  ln a − α  n n   n   ln n   ln n  lim n →+∞  n   = 0 , nlim  ln a − α →+∞  =ln a n Donc : 2 cas :Si a > 1 , ln a > 0 et lim vn = +∞ d’où : lim un = lim evn = +∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞Si a < 1 , ln a < 0 et lim vn = −∞ d’où : = lim un = lim evn 0 . n →+∞ n →+∞ n →+∞ anOn conclut que lorsque n tend vers l’infini , le comportement de un = α est celui de a n pour a ≠ 1 . nExercice 3www.tifawt.com
    • 4 4 a b a (n + 1) + b(n − 1) (a + b)n + (a − b) = + = = , d’où n=2 2 2 − =2 − 2 n −1 n −1 n +1 2 n2 − 1 n2 − 1 2 −1 3 3 a + b =0 n= 2 − 2 = 1− 1  et a = 2 ; b = −2 a − b = 3 4 3 −1 3 +1 2 2 2 2 2 4 2 2 n=4 − =− = − 4 −1 4 +1 3 5 n −1 n −1 n +1 2 2 2 1 1 n= 5 − =− 5 −1 5 +1 2 3 n 2 2  2 2 4n + 2 n=6 2 − 2 =− 2 2 ∑ uk = 2 + 1 − n + 1 − n = 3 −  n + 1 + n  = 3 − n(n + 1) 6 −1 6 +1 5 7 k =2   2 2 1 1 = 7 n − = −  4n + 2   4n + 2  7 −1 7 +1 3 4 lim  3 − =  3 − lim  = n →+∞  n(n + 1)  n →+∞ n( n + 1)  n= 8 2 − 2 =− 2 2     8 −1 8 +1 7 9  4n  1 1 3 − lim  2  =   ; lim   = 3 − 4 lim 0 ....................................... n →+∞  n  n →+∞  n  n →+∞  n  2 2 2 2 n= p −3 − =−  n  p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2 = Donc la série converge vers S lim  ∑ uk  3 = n →+∞   2 2 2 2  k =2  n= p−2 − = − p − 2 −1 p − 2 +1 p − 3 p −1 2 2 2 2 n= p −1 − =− p −1−1 p −1+1 p − 2 p 2 2 2 2 n= p − = − p −1 p +1 p −1 p +1Exercice 4www.tifawt.com
    • 5 2 1 1 1 1 1 = − n=2 2 −1 3 − =1 − 3 n −1 n −1 n +1 2 n 1 1 1 3  1 1  3 2n + 1 n= 3 1 − 3 −1 3 +1 2 4 1 =− 1 1 ∑ uk = 1 + 2 − n + 1 − n = 2 −  n + 1 + n  = 2 − n(n + 1) k =2   1 1 1 1 n=4 − =− 4 −1 4 +1 3 5  3 2n + 1  3  2n + 1  lim  − =  − lim  = n= 1 − 1 =− 1 1 n →+∞  2 n(n + 1)  2 n→+∞  n(n + 1)  5    5 −1 5 +1 4 6 3  2n  3 1 1 n=6 1 − 1 =− 1 1 − lim   =   ; lim   = − 2 lim 0 6 −1 6 +1 5 7 2 n→+∞  n 2  2 n →+∞  n  n →+∞  n  n= 1 − 1 = 1 1 −  n  3 7 7 −1 7 +1 6 8 = Donc la série converge vers S lim  ∑ uk  = n →+∞   1 1 1 1  k =2  2 n= 8 − =− 8 −1 8 +1 7 9 ....................................... 1 1 1 1 n= p −3 − =− p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2 1 1 1 1 n= p−2 − = − p − 2 −1 p − 2 +1 p − 3 p −1 1 1 1 1 n= p −1 − =− p −1−1 p −1+1 p − 2 p 1 1 1 1 n= p − = − p −1 p +1 p −1 p +1Exercice 5 +∞ 1 1 1 1 1 1un = n(n + 1) . on a : = 2 n(n + 1) n + n et 2 n +n  +∞ n 2 la série ∑ n(n + 1) est donc convergente en vertu n =0 1 1 1du théorème de Riemann. Il est immédiat de vérifier que = − n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2On obtient successivement : S1 =u1 = − = ; S2 =u1 + u2 = − + − =1 − = 1 2 2 1 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3S 2 =u1 + u2 + u3 = − + − + − = − = et de même en observant les groupements de termes qui 1 1 2 2 3 3 4 4 4s’annulent, on obtient : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nS 2 =u1 + u2 + u3 + ..........un −1 + un = − + − + − + ........ + − + − =− 1 = 1 2 2 3 3 4 n −1 n n n +1 n +1 n +1 +∞ n ∑ un lim SnPar définition de la somme d’une série , on a := = lim = 1. n →+∞ n →+∞ n +1 n =1Exercice 6 k =2n ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n . 1 1 1 1 un = k =n1. un +1 − =   1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 un  + ... + + + − + + ... + =  + − d’où  n +1 2n 2n + 1 2n + 2   n n +1 2n  2n + 1 2n + 2 n −3n − 2 un +1 − un = . n ( 2n + 2 )( 2n + 1 )www.tifawt.com
    • 62. La suite (un) est décroissante puisque −3n − 2 < 0 .3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien.Exercice 7 +∞ p 1 − 2 p +11. la série ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n diverge car n =0 ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2 p = n =0 1− 2 = 2 p +1 − 1 p +∞ lim n →+∞ ∑ 2n = ∑ 2n = lim (2 p +1 − 1) = +∞ . p →+∞ = 0= 0n n n 1 12. la série ∑2 p= 0 p est la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2 1 1 − (1/ 2 ) n +1 ( ) , la série converge puisque : n =2 1 − (1/ 2 ) 1 1 1 n +1 et on a : ∑ p = + + 2 + ......... + n = 1 p =0 2 2 2 2 1 − 1/ 2 +∞ n +1 n 1 lim ∑ p = p = 2 1 − (1/ 2 )  = ; lim   1 1 n +1 1 n →+∞ ∑ 2 nlim  →+∞   2  n →+∞  2  =0 ( q = 2 <1) = 0= 0p 2 p n 1 n 1 La série de terme général   converge , on écrit : lim ∑ p = 2 . 2 n →+∞ p =0 2 1 1 13 .On considère la série de terme général ; on a : 2 < 2 pour tout n ; or la série de terme général n +1 n +1 n 2 1 1 converge ( comme série de Riemann avec α = 2 ), donc la série de terme général 2 converge . n 2 n +1 +∞ +∞ +∞ 3 1 3 En admettant que ∑ 2 = 3∑ 2 , on peut dire que ∑ 2 est une série convergente . = 0= 0 n + 1 n n +1 n n =0 n + 1 On peut aussi utiliser le théorème d’équivalence : On directement : +∞ 3 3 3 3  2 , la série de terme général 2 est convergente donc n + 1 +∞ n 2 n ∑ n2 + 1 est une série convergente. n =0 +∞ 1 1 14. On considère la série positive ∑ de terme général U n = = ( 2n + 1) ) ( 2n + 1) ) 2 2 2 n =0  1  4n  1 + 2  2  2n  n2 n2 1 On = a : n 2U n = donc lim n 2U n = , par conséquent , la règle de Riemann ( 2n + 1) ) 4n + 4n + 1 2 2 n →+∞ 4 s’appliquant aux séries à terme positifs permet d’affirmer que la série converge . 1 Quand n tend vers l’infini , un est un équivalent de , on reconnaît le terme général d’une série de 4n 2 Riemann qui avec α= 2 > 1 est une série qui converge , donc la série de terme général un converge aussid’après le théorème d’équivalence des séries positives . (−1) n5. La série de terme général répond au critère d’une série alternée : n 1 1 1 1 La suite   est décroissante ( on a pour tout n > 0 , ≤ donc vn +1 ≤ vn ou ( un+1 ≤ un )( x  )  n n∈N n +1 n xwww.tifawt.com
    • 7 +∞ 1 (−1) n = et lim vn n →+∞ = 0 , donc la série lim n →+∞ n ∑ n converge. Cette série est appelée la série harmonique alternée n =1 ( −1) ( −1) n n +∞6.1a série ∑ de terme général un = . On reconnaît une série alternée, et ici le théorème n =0 2n + 1 2n + 1 spécial de convergence des séries alternées sapplique. En effet, pour tout n entier naturel on a : 1 1 1 1 un +1 = = < = un .Ainsi, la suite définie par un = est décroissante 2(n + 1) + 1 2n + 3 2n + 1 2n + 1 ( −1) n +∞ et lim un = 0 , donc 1a série ∑ est convergente n →+∞ n =0 2n + 1 ∞ (−1) n +1 (−1) n +17. Etudier la convergence de la série ∑ n2 de terme général un = n2 . On reconnaît une série n =1 alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées sapplique. (−1) n +1 1 1 1 1 = En effet, pour tout n entier naturel on a : un = 2 un +1 = = 2 < = un . n 2 n (n + 1) 2 n + 2n + 1 n 2 1 ∞ (−1) n +1 Ainsi, la suite définie par un = n2 est décroissante et lim un = 0 , donc la série n →+∞ ∑ n2 est convergente. n =1 n2 n28. 0 < < n = vn 2n + n 2 Etudions la convergence de la série de terme général vn en utilisant la règle d’Alembert (n + 1) 2 2 vn +1 2n +1 1  n +1 1 = =   → < 1 donc la série de terme général vn est convergente .D’après le théorème de vn n 2 2 n  2 n 2 n2 comparaison sur les séries à termes positifs , la séries de terme général un = n est convergente également . 2 +nExercice 8 +∞ +∞ +∞ 1  2nπ  1  2nπ  1 11. soit la série ∑ un = ∑ n2 sin   ; pour tout n > 0 un = 2 sin   ≤ 2 . La série ∑ n2 converge = 1= 1 n n  3  n  3  n n =1 +∞ (théorème de Riemann ), donc la série ∑ un converge ( critère de comparaison n =1 +∞ +∞  2nπ  ∑u 1 La série n est absolument convergente , ∑ n2 sin   est convergente . n =1 n =1  3  +∞ arctan n arctan n π π 12. Soit la série ∑ n 2 . Pour tout n > 0 , on a : 0 ≤ n 2 < 2 , donc 0 ≤ un < × 2 . La série 2n 2 n n =1 +∞ π π +∞ 11 +∞ arctan n ∑ 2 n2 2 ∑ n × = 2 converge ( théorème de Riemann)donc la série ∑ n2 est convergente. n 1= 1 n n =1 un +1 u  n + 2   n +1 n + 2 n! n+2 un +13. On calcule . On obtient n +1=   (n + 1)!  /  n ! = (n + 1)! × n + 1= (n + 1) 2 , donc nlim un = 0 , 0 < 1  →+∞ un un     n +1 Donc d’après la règle d’Alembert , la série ∑ n! est convergentewww.tifawt.com
    • 8 n n n n n n −n n +2 n 2 n4. On a : un = , un − = = − = , cette expression est positive pour n−2 n n−2 n n(n + 1) n(n + 1) n 1 1tout n > 2 . On a donc un > ou un > 1/ 2 . La série de terme général 1/ 2 diverge ( comme série de Riemann n n n +∞ 1 navec α= 2 < 1 ), on déduit donc que la série ∑ n − 2 est divergente .on peut aussi la règle d’équivalence : n =0 n n n 1 n  donc  la conclusion vient de manière immédiate : la série de terme généraln − 2 +∞ n n − 2 +∞ n n−2 est divergente. 1Quelques séries numériques de référence : Série harmonique : cest la série : ∑n n ≥1Bien que son terme général tend vers 0 en + , cette série est divergente en effet :2p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∑ k =1 + 2 + + + + + + + ......... + p −1 3 4 5  7  6 8 + ........ + p + 1 k =1    2  2 2 termes 4 termes 2 p −1 termes2p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∑ k =1 + 2 + + + + + + + ......... + p −1 3 4   5  7  6 8 + ........ + p + 1 k =1  2  2 2 termes 4 termes 2 p −1 termes1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ≥ 2× ; + + + ≥ 4 × ; ……………. ; p −1 + ........ + ≥ 2 p −1 ×3 4 4 5 6 7 8 8 2 +1 2 p 2p p2 n 1 1 1 1 1 1∑ k ≥ 1 + 2 + 2 × 4 + 4 × 4 + ....... + 2 p−1 × 2 p = 1 + 2 (1 + 1 + 1 + 1 p  ........... + 1) ; donc ∑ n ≥ 1+ 2k =1 k =1 p n ln n 1 psoit n un entier naturel non nul, soit p la partie entière du nombre ln 2 , on a : n 2p et : ∑ n ≥ 1+ 2 k =1 1quand n tend vers + , p tend également vers + dou la série ∑ n est une série divergente. n ≥1III. Raisonnement par Récurrence.Propriété : Soit P(n) une propriété dépendant dun entier n et n0 un entier fixé.Etape 1 : Vérification (initialisation) On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme : P(0) ou P(1) est vraie.Etape 2 : Hérédité On suppose que la propriété est vraie pour le terme de rang n et on démontre que si elle est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n + 1. Si pour tout entier n ≥ n0 on a P(n) vraie ⇒ P(n+1)vraie.Exercice 3. Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 , on a : n n ( n + 1) 1. ∑ k =1 + 2 + 3 + ... + n = k =1 2 . n n(n + 1)(2n + 1) 2. ∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6 k =1www.tifawt.com
    • 9 Exercice 3. 2 n  n  Soit à démontrer par récurrence que ∑ k =  ∑ k  . Pn0=1 : 13 = 1² 3 = 1= 1  k k 2  n(n + 1)  n ²(n + 1)² 2 n  n  n On suppose que ∑ k =  ∑ k  , cest-à-dire ∑ k 3 = 3 =  = 1= 1 k k k =1  2  4 n +1 n n ²(n + 1)² n ²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n ² + 4n + 4) ∑ k= 1= 1 k k= ∑ k 3 + (n + 1)= 3 3 4 + (n + 1)= 3 4 = 4 2 (n + 1)²(n + 2)²  (n + 1)(n + 2)   n +1  2 =  = ∑k   4  2   k =1  n 2 (n + 1) 2 Somme des n premiers cubes ( non nuls) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 = 4 Démonstration : Le principe est le même que pour la somme des n premiers carrés , la formule du binôme de Newton permet décrire : on obtient en faisant varier k de 1 à n , n équations que lon peut ajouter membre à membre : en isolant S3 on obtient la formule de la somme des cubes. Somme des n premiers carrés (non nuls) démonstration : on sait que : ( k + 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1 on peut donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes : www.tifawt.com
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