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  • www.tifawt.com CHAPITRE 1 SÉRIES NUMÉRIQUES1.1 GénéralitésDéfinition 1.1.1Soit (un )n une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u1 + . . . + u n = uk . k=0La limite de Sn est appelée série de terme général un .(Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série.Notation    Une série de terme général un est notée un ou  un .         n≥01.2 ConvergenceDéfinition 1.2.1Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n estconvergente.Dans ce cas, la limite de la suite (Sn )n est appelée somme de la série et on note : +∞ lim Sn = un n→+∞ n=0Une série qui n’est pas convergente est dite divergente.En d’autres termes, si on note ℓ = lim Sn on a alors :  n→+∞ un  converge vers ℓ ⇐⇒ lim Sn = ℓ     n→+∞ n≥⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ |Sn − ℓ| < ε)   n  ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N n ≥ N =⇒ un − ℓ < ε.         k=0 1www.tifawt.com
  • Exemple 1.2.1 www.tifawt.com1) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la formeun = a.qn , a 0.Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est donné par la formule suivante :Sn = u0 + u1 + · · · + un = a + a.q + a.q2 + · · · + a.qn = a(1 + q + q2 + · · · + qn )  1 − qn+1 a si q 1 = 1−q   a(n + 1) si q = 1. On remarque ainsi que lim Sn existe si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas la série géométrique n→+∞ +∞ 1 aconverge et on a a.qn = a = . n=0 1−q 1−q 12) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un = où n ∈ N∗ . nMontrons que cette série n’est pas convergente. Pour cela montrons qu’elle n’est pas de Cauchy. 1 1 1En effet, posons Sn = + + · · · + · 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1Alors S2n − Sn = + + ··· + + + ··· + − + + ··· + 1 2 n n+1 2n 1 2 n 1 1 1 = + + ··· + . n+1 n+2 2nOr pour tout p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n, on n + 1 ≤ p + n ≤ 2n et par suite : 1 1 1 + n ≤ 2n =⇒ ≥ . n + 1 2n 1 1 2 + n ≤ 2n =⇒ ≥ . n + 2 2n . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2n ≤ 2n =⇒ ≥ . 2n 2n 1 1Par conséquent S2n − Sn ≥ n = . La suite (Sn )n n’est pas de Cauchy, donc divergente. 2n 2 +∞ 1De plus, (Sn )n est strictement croissante, on déduit alors que = +∞. n=1 n 13) Soit la série de terme général un = avec n ≥ 1. On peut écrire après décomposition n(n + 1) 1 1en éléments simples que : un = − . n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1D’où Sn = 1 − + − + ··· + − + − =1− · 2 2 3 n−1 n n n+1 n+1 +∞ 1Comme = lim Sn = 1, notre série est convergente et vaut 1. n=1 n(n + 1) n→+∞Remarque 1.2.1 (Cas complexe) nSi le terme général un est complexe un = an + ibn ; la somme partielle est Sn = uk k=0 n n n= (an + ibn ) = ak + i bk . Alors on a le résultat suivant : k=0 k=0 k=0 un converge ⇐⇒ an et bn convergent en même tempsM er A  N -E  2www.tifawt.com
  • +∞ +∞ +∞ www.tifawt.comA ce moment là on a le résultat évident un = an + i bn . n=0 n=0 n=0Proposition 1.2.1 Soient un et vn deux séries, on suppose que ces deux séries ne diffèrent que par unnombre fini de termes (i.e il existe p ∈ N tel que pour tout n ≥ p on a un = vn ) alors les deuxséries sont de même nature.Preuve.Soit n ≥ p. n p n nSn = uk = uk + uk = Sp + uk . k=0 k=0 k=p+1 k=p+1 n p n nTn = vk = vk + vk = Tp + vk . k=0 k=0 k=p+1 k=p+1La différence Sn − Tn = Sp − Tp = c; c étant étant une constante indépendente de n et palors : un converge ⇐⇒ (Sn )n converge ⇐⇒ (Tn )n converge ⇐⇒ vn convergeRemarque 1.2.2La proposition (1.2.1) permet de dire que les séries sont de même nature mais en cas deconvergence, elles n’ont pas nécessairement la même somme.Corollaire 1.2.1On ne change pas la nature d’une série un si on lui rajoute ou on lui retranche un nombrefini de termes.Proposition 1.2.2Soit un une série convergente alors lim un = 0. La réciproque est fausse. n→+∞Preuve. +∞1) Posons ℓ = un = lim Sn = lim Sn−1 . n→+∞ n→+∞ n=0Sn − Sn−1 = (u0 + u1 + · · · + un−1 + un ) − (u0 + u1 + · · · + un−1 ) = un et lim (Sn − Sn−1 ) = n→+∞ lim un = lim Sn − lim Sn−1 = 0.n→+∞ n→+∞ n→+∞ 1 12) La série harmonique est divergente bien qu’elle vérifie lim = 0. n n→+∞ nRemarque 1.2.3La proposition (1.2.2) est utile sous sa forme contraposée lim un 0 =⇒ un diverge. n→+∞On dira que la série est grossièrement divergenteProposition 1.2.3Soit un et vn deux séries convergentes respectivement vers u et v. Alors 3 M er A  N -E www.tifawt.com
  • +∞ +∞ +∞ www.tifawt.com 1. La série (un + vn ) est convergente et on a (un + vn ) = un + vn = u + v. n=0 n=0 n=0 +∞ +∞ 2. Pour tout α ∈ R, la série αun est convergente et on a (αun ) = α un = αu. n=0 n=0Preuve.1) Soit wn = un + vn . On aura : n n n nWn = wk = (uk + vk ) = uk + vk = Sn + Tn . Ainsi lim Wn = lim (Sn + Tn ) = n→+∞ n→+∞ k=0 k=0 k=0 k=0lim Sn + lim Tn = u + v.n→+∞ n→+∞ n n n2) Soit tn = αun . Tn = tk = αtk = α uk = αSn et par suite lim Tn = lim (αSn ) = n→+∞ n→+∞ k=0 k=0 k=0α lim Sn = αu. n→+∞Définition 1.2.2 (Critère de Cauchy)Une série un est dite de Cauchy si la suite des sommes partielles (Sn )n est de Cauchy. Celarevient à dire que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. un est de Cauchy. 2. (Sn )n est de Cauchy. 3. ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀p, q ∈ N p ≥ q ≥ N =⇒ |Sp − Sq | < ε . p q     4. ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀p, q ∈ N p ≥ q ≥ N =⇒ uk − uk < ε         k=0 k=0    p  5. ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀p, q ∈ N p ≥ q ≥ N =⇒   uk < ε         k=q+1Proposition 1.2.4Toute série réelle ou complexe de Cauchy est convergente.M er A  N -E  4www.tifawt.com
  • 1.3 Séries à termes positifs www.tifawt.comDéfinition 1.3.1Une série un est dite série à termes positifs si un ≥ 0 pour tout n ∈ N.Remarque 1.3.1 1. Les séries un vérifiant un ≥ 0 pour n ≥ n0 sont aussi appelées séries à termes positifs (voir corollaire (1.2.1)) car la nature d’une série ne change pas si on lui retranche un nombre fini de termes. 2. Si une série un est à termes positifs, la suite des sommes partielles (Sn )n est croissante. En effet, Sn − Sn−1 = un ≥ 0 ; d’où la proposition :Proposition 1.3.1Soit un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn )n est majoréePreuve.Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes etmajorées sont convergentes.Théorème 1.3.1 (Règle de comparaison) Soit un vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour toutn ∈ N. Alors : 1. vn converge =⇒ un converge. 2. un diverge =⇒ vn diverge.Preuve. n n1) un ≤ vn =⇒ Sn = un ≤ vk = Tn . Puisque (Tn )n est une suite convergente k=0 k=0donc majorée alors (Sn )n est convergente comme étant une suite croissante et majorée, un converge.2) C’est la contraposée de la première proposition.Ce théorème reste vrai si l’inégalité 0 ≤ un ≤ vn est réalisée à partir d’une certain ordrep0 (i.e un ≤ vn si n ≥ p0 ).Exemple 1.3.1 +∞ 1 1 1 1Soit la série sin ; on a 0 ≤ sin n ≤ n et donc est une série géométrique n=0 2 n 2 2 2n 1convergente, alors la série sin n est convergente. 2Théorème 1.3.2 (Règle de comparaison logarithmique)Soit un et vn deux séries à termes strictement positifs. On suppose queun+1 vn+1 ≤ . Alors un vn 5 M er A  N -E www.tifawt.com
  • 1. vn converge =⇒ un converge. www.tifawt.com 2. un diverge =⇒ vn divergePreuve. un+1 vn+1 un+1 un1) ≤ ⇐⇒ ≤ . un vn vn+1 vnun+1 un un−1 u0 u0 ≤ ≤ ≤ ··· ≤ . Ceci implique que un ≤ vn . Sachant que vnvn+1 vn vn−1 v0 v0 u0converge alors vn converge et d’après le théorème de comparaison ci-dessus, v0 un converge.2) C’est la contraposée de la première proposition.Théorème 1.3.3 (Critère d’équivalence)Soit un et vn deux séries à termes strictement positifs. unOn suppose que lim = ℓ, ℓ 0 et +∞. Alors les deux séries sont de même nature. n→+∞ vnPreuve.En effet : un un lim = ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ − ℓ < ε) . n→+∞ vn vn unPour un ε tel que 0 < ε < ℓ on a alors ℓ − ε < < ℓ + ε pour tout n ≥ N. On a aussi vn(ℓ − ε)vn < un < (ℓ + ε)vn pour tout n ≥ N.1) Si vn converge alors (ℓ + ε)vn converge et par suite grâce au théorème decomparaison (1.3.1), (un ) converge.2) Si un converge alors (ℓ − ε)vn converge et donc vn converge.ExerciceQue se passe-t-il si ℓ = 0 ou ℓ = +∞ ?Exemple 1.3.2 1 1 unSoient les séries un et vn tels que un = Log 1 + et vn = n . On a lim =1 2 n 2 n→+∞ vnet comme vn est convergente alors, série gémétrique de raison 1/2 < 1; un l’est aussi.Exemple 1.3.3 1 1 unSoient les séries un et vn tels que un = et vn = Log 1 + . On a lim = 1. n n n→+∞ vnLa première série étant la série harmonique qui est divergente, donc il en est de même de laseconde.Remarque 1.3.2 On remarque ici qu’on peut facilement démontrer la divergence de vn .M er A  N -E  6www.tifawt.com
  • En effet on a : www.tifawt.com k=n 1 1 1 1 1Sn = vn = Log 1 + + Log 1 + + Log 1 + + · · · + Log 1 + + Log 1 + 1 2 3 n−1 n k=1 2 3 4 n n+1 = Log + Log + Log + · · · + Log + Log 1 2 2 n−1 n = (log 2 − Log 1) + (log 3 − Log 2) + (log 4 − Log 3) + · · · + (log n − Log(n − 1)) +(log(n + 1) − Log n)) = Log(n + 1) − Log 1 = Log(n + 1).Comme lim Sn = lim Log(n + 1) = +∞, on en conclut que la série considérée est divergente, n→+∞ n→+∞il en est donc de même de la série harmonique.Ceci est une autre démonstration de la divergence de la série harmonique, on verra une troisièmedémontration différente, voir exemple (1.3.4).Théorème 1.3.4 (Comparaison avec une intégrale) Soit f : [1, +∞[−→ R+ une application continue, décroissante et positive. On pose un = f (n)pour n ∈ N∗ . Alors +∞ un converge ⇐⇒ f (x) dx existe 1Preuve.Remarquons tout d’abord la chose suivante :(x ∈ [n, n + 1] ⇐⇒ n ≤ x ≤ n + 1) et comme f est décroissanteun+1 = f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n) = un . En intégrant membre à membre on obtient n+1 n+1 n+1 n+1 un+1 dx ≤ f (x) dx ≤ un dx ou encore un+1 ≤ f (x) dx ≤ un . n n n n n n k+1 nEn sommant membre à membre, on obtient uk+1 ≤ f (x) dx ≤ uk . k=1 k=1 k k=1Finalement on aboutit à : n+1 Sn+1 − u1 ≤ f (x) dx ≤ Sn (∗) 1Démonstration du théorème : n1) Si un converge alors Sn = uk est majorée. Cela veut dire qu’il existe M > 0 k=1tel que pour tout n ∈ N, Sn ≤ M. n+1D’après la remarque (∗) ci-dessous, f (x) dx ≤ Sn ≤ M. 1Soit t ∈ R+ . Posons n = [t] la partie entière de t ; t [t]+1 n+1 f (x) dx ≤ f (x) dx = f (x) dx ≤ Sn ≤ M. 1 1 1 +∞On passe à la limite quand t → +∞ (=⇒ n → +∞), on obtient f (x) dx ≤ M. 1 +∞Ce qui se traduit par l’existence de l’intégrale f (x) dx. 1 +∞2) Inversement, on suppose que l’intégrale f (x) dx existe. De la relation (∗) on 1déduit que 7 M er A  N -E www.tifawt.com
  • n+1 +∞ www.tifawt.comSn+1 ≤ u1 + f (x) dx ≤ u1 + f (x) dx = C. 1 1La suite (Sn )n étant croissante et est majorée par C, elle est donc convergente. La série un l’est aussi.Remarque 1.3.3Le résultat est encore valable si la fonction f est positive, continue et décroissante sur unintervalle [a, +∞[ en considérant la série f (n) avec n0 ≥ a. n≥n0Exemple 1.3.4 11) Considérons l’application f : [1, +∞[ −→ R+ définie par f (x) = . x t t 1 1 1 dx = Log t et lim dx = +∞. Donc diverge. 1 x t→+∞ 1 x n 12) Soit la fonction f : [1, +∞[ −→ R+ définie par f (x) = . f est continue, décroissante x(x + 1)(à vérifier en étudiant la dérivée par exemple) et positive. t t t 1 f (x) dx = Log − Log ; et comme lim f (x) dx = Log 2 < +∞ ; 1 t+1 2 t→+∞ 1 1la série est alors convergente. n(n + 1)1.3.1 Séries de RiemannDéfinition 1.3.2Soit α ∈ R. On appelle série de Riemann toute série dont le terme général est de la forme 1un = α , n ≥ 1 et α ∈ R. nLes séries de Riemann sont donc des séries à termes positifs.  0 si α > 0  1 si α = 0 Remarquons que lim un =   n→+∞ +∞ si α < 0  On conclut immédiatement que si α ≤ 0, la série de Riemann est divergente puisquele terme général ne tend pas vers 0.Si α = 1, on obtient la série harmonique qui est divergente elle aussi.Examinons le cas α > 0, α 1. 1Soit la fonction fα : [1, +∞[ −→ R+ définie par f (x) = α . fα est une fonction positive, x −αcontinue et décroissante car la dérivée fα (x) = α+1 < 0. ′ x t 1On a fα (x) dx = t−α+1 − 1 et comme 1 1−α  +∞ si 0 < α < 1  t   lim f (x) dx =  1  t→+∞ 1 si α > 1    α−1Proposition 1.3.2 1 Une série de Riemann converge si et seulement si α > 1. nαM er A  N -E  8www.tifawt.com
  • Les théorèmes (1.3.1), (1.3.2) et (1.3.3) vont nous permettre d’étudier beaucoup de séries www.tifawt.comen les comparant seulement à une série géométrique ou une série de Riemann.Proposition 1.3.3 (Règle de Riemann)Soit un une série à termes positifs. 1. S’il existe α > 1 tel que la suite (nα un )n soit majorée par un constante M > 0 ; alors un est convergente. 2. S’il existe α ≤ 1 tel que la suite (nα un )n soit minorée par une constante m > 0 ; alors la série un est divergente.Preuve. 11) Par hypothèse nα un ≤ M pour tout n ∈ N. Alors un ≤ α . Comme α > 1 la série n 1 est convergente et d’après le théorème de comparaison un converge. nα m m2) On a nα un ≥ m > 0 et donc un ≥ α . Le fait que α ≤ 1 alors diverge et par n nαsuite un diverge en vertu du théorème de comparaison.Corollaire 1.3.1Soit un une série à termes positifs. On suppose qu’il existe α ∈ R tel que lim nα un = ℓ, n→+∞ 1ℓ 0 et ℓ +∞. Les séries un et sont de même nature. nαPreuve. lim nα un = ℓ ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ ℓ − ε < nα un < ℓ + ε)). Cecin→+∞ ℓ−ε ℓ+εest équivalent à dire α < un < pour tout entier n ≥ N. On choisit alors n nαε > 0 de manière que ℓ − ε > 0. 11) converge ⇐⇒ α > 1 et ceci implique que un converge. nα ℓ−ε 12) Si un converge alors α converge et par suite converge et donc n nαα > 1.1.3.2 Critère de de D’AlembertProposition 1.3.4Soit un une série à termes strictement positifs. un+1 1. S’il existe λ ∈ R, 0 < λ < 1 tel que ≤ λ pour tout n ∈ N alors la série un est un convergente. un+1 2. Si ≥ 1 alors un diverge. unPreuve. un+1 un1) ≤ λ < 1 =⇒ ≤ λ =⇒ un ≤ λun−1 . un un−1Par récurrence on obtient un ≤ λn u0 . Puisque 0 < λ < 1, alors u0 λn est une 9 M er A  N -E www.tifawt.com
  • série géométrique convergente et en vertu du critère de comparaison, la série un www.tifawt.comconverge. un+12) ≥ 1 =⇒ un ≤ un+1 la suite (un ) est alors croissante. Puisque un > 0, lim un 0 un n→+∞et par suite un diverge.Corollaire 1.3.2 (Crière de D’Alembert) un+1Sous les mêmes hypothèses que la proposition (1.3.4), posons lim = ℓ. n→+∞ un 1. ℓ < 1 =⇒ un converge. 2. ℓ > 1 =⇒ un diverge. 3. ℓ = 1, on ne peut rien conclure.Preuve.1) Si ℓ < 1. un+1 un+1 lim = ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ ℓ − ε < < ℓ + ε).n→+∞ un un un+1On choisit dans ces conditions ε > 0 tel que ℓ + ε < 1 pour que < ℓ + ε) < 1. La unconclusion est une conséquence de la proposition (1.3.4).2) Si ℓ > 1, on choisit ε tel que ℓ − ε > 1 et par suite il existe N ∈ N tel que pour un+1tout n ≥ N, on ait ≥ ℓ−ε > 1. D’après la proposition (1.3.4), la série un diverge. un 13) Considérons la série de terme général un = 2 . C’est une série de Riemann conver- n un+1 n2gente car α = 2 > 1. lim = lim = 1. n→+∞ un n→+∞ (n + 1)2 1Soit la série de terme général (vn = ), n ≥ 1, (c’est la série harmonique divergente). n vn+1 n lim = lim = 1.n→+∞ vn n→+∞ n + 1 un+1Ces deux exemples illustrent bien le fait que lim = 1 n’apporte aucune informa- n→+∞ untion sur la nature de la série un .Exemple 1.3.5 11) Soit la série de terme général un = . n! un+1 1 1 lim = lim = 0 < 1. La série est convergente.n→+∞ un n→+∞ n + 1 n! n≥0 nn2) Soit la série de terme général un = . n! n un+1 (n + 1)n+1 n! n+1On a lim = = lim = e > 1 et par suite la série est divergente. n→+∞ un (n + 1)! n n n→+∞ nM er A  N -E  10www.tifawt.com
  • 1.3.3 Critère de Cauchy www.tifawt.comProposition 1.3.5Soit un une série à termes positifs. √ 1. S’il existe λ ∈ R, 0 < λ < 1 tel que n un ≤ λ alors la série un converge. √ 2. Si n u ≥ 1, la série est alors divergente. nPreuve. √1) n un ≤ λ =⇒ un ≤ λn . λn étant une série géométrique convergente (0 < λ < 1),d’après le théorème de comparaison un converge. √2) n un ≥ 1 =⇒ un ≥ 1 =⇒ lim un ≥ 1 et donc un diverge. n→+∞Corollaire 1.3.3 (Critère de Cauchy) √Sous les mêmes hypothèses de la proposition (1.3.5), posons lim n un = ℓ. n→+∞ 1. ℓ < 1 =⇒ un converge. 2. ℓ > 1 =⇒ un diverge. 3. ℓ = 1 on ne peut rien conclure.Preuve. √ √ lim n un = ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ ℓ − ε < n un < ℓ + ε) ou encoren→+∞∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n ≥ N =⇒ (ℓ − ε)n < un < (ℓ + ε)n ).1) Si ℓ < 1. On choisit ε tel que 0 < ℓ + ε < 1. La série (l + ε)n est alors convergenteet par voie de conséquence un converge.2) Si ℓ > 1. On choisit ε vérifiant ℓ − ε > 1. On aura alors un > (ℓ − ε)n > 1 ce qui entraîneque lim un ≥ 1 et par suite la série diverge. n→+∞ 1 n 13) Prenons la série harmonique . Cette diverge bien que lim = 1. n≥1 n n→+∞ n 1 n 1Soit la série de Riemann convergente et lim = 1. n≥1 n2 n→+∞ n2Exemple 1.3.6 1 nSoit la série de terme général a + , avec a > 0 et p 0. np √ 1 lim n un = lim a + p n→+∞ n→+∞ n √ n u = a + 1 > 1 et la série diverge.1) Si p = 0. lim n n→+∞ √ n u = a. La série est convergente pour a < 1 et divergente si a > 1.2) Si p > 0, lim n n→+∞ 1−p  +∞ si 0 < p < 1  n np n 1 1 −− −→  e si p=1 3) Si a = 1, un = 1 + p = 1 + p −−−   n n n−→∞  1 si p>1Le terme général ne tend pas vers zéro, la série est divergente. 11 M er A  N -E www.tifawt.com
  • Une question se pose maintenant ; peut-on avoir des limites différentes en appliquant www.tifawt.comles deux critères de d’Alembert et celui de Cauchy ? La réponse est donnée par les deuxpropositions suivantes.Proposition 1.3.6Soit un une série à termes positifs. Alors si un+1 √ lim = ℓ1 0 et lim n un = ℓ2 0 n−→+∞ un n−→+∞on a ℓ1 = ℓ2 .Preuve.Considérons la série de terme général vn = an .un ; où a est un réel positif qu’on vapréciser. On a vn+1 un+1 √ √ lim = a lim = aℓ1 et lim n vn = a lim n un = aℓ2 0. n−→+∞ vn n−→+∞ un n−→+∞ n−→+∞ 1 1Fixons a strictement entre et alors nécessairement 1 est compris entre aℓ1 et aℓ2 ; ℓ1 ℓ2donc notre série de terme général vn est convergente suivant un critère et divergentesuivant l’autre, ce qui est absurde ; d’où ℓ1 = ℓ2 .Proposition 1.3.7Soit un une série à termes positifs. Alors un+1 √ lim = ℓ =⇒ lim n un = ℓ n→+∞ un n→+∞On n’a pas l’équivalence.Preuve. un+1Soit lim = ℓ. Alors pour tout ε > 0, il existe un entier N ∈ N tel que pour tout n→+∞ un ε un+1 εentier n ≥ N on ait : ℓ − < < ℓ + . Soit n ≥ N. 2 un 2 ε un ε ℓ− < <ℓ+ . 2 un−1 2 ε un−1 ε ℓ− < <ℓ+ . 2 un−2 2 . . . . . . . . . . . . ε uN+1 ε ℓ− < <ℓ+ . 2 uN 2En faisant le produit membres à membres, on obtient : ε n−N un un−1 uN+2 uN+1 ε n−N ℓ− < ··· < ℓ+ . 2 un−1 un−2 uN+1 uN 2 ε n−N un ε n−NAprès simplification on obtient : uN ℓ − < < ℓ+ et donc 2 uN 2 N 1− N 1 ε 1− n √ n u < un ℓ + ε n . 1 uN ℓ − n < n 2 N 2 1− N 1− N 1 ε n 1 ε nSoit αn = uN ℓ − n et βn = uN ℓ − n . 2 2M er A  N -E  12www.tifawt.com
  • ε ε ε www.tifawt.comlim αn = ℓ − =⇒ ∃N1 ∈ N : ∀n ≥ N1 on ait αn > ℓ − − = ℓ − ε.n→+∞ 2 2 2 ε ε ε lim βn = ℓ + =⇒ ∃N2 ∈ N : ∀n ≥ N2 on ait βn < ℓ + + = ℓ + ε.n→+∞ 2 2 2Soit N3 ≥ max{N, N1 , N2 }. Pour tout n ≥ N3 on a : √ √ℓ − ε < αn < n un < βn < ℓ + ε, ce qui exprime bien que n un − ℓ < ε √pour tout n ≥ N3 et donc lim n un = ℓ. n→+∞Contre-exempleSoit a > 0 et b > 0, a b et considérons la série un définie par an+1 bn si n est pair un = an+1 bn+1 si n est impair+∞ un = a + ab + a2 b + a2 b2 + a3 b2 + a3 b3 + · · ·n=0En utilisant le critère de Cauchy : √ 2n n+1 1 √ nu = an+1 bn = a 2n b 2 si n est pair n √ 2n+1 n+1 n+1 an+1 bn+1 = a 2n+1 b 2n+1 si n est impair √ √Dans les deux cas,on a lim n un = ab. n→+∞En utilisant la règle de D’Alembert :  (ab)n+1  un+1  an+1 bn = b   si n est pair =  n+2 n+1  un a b =a si n est impair   (ab)n+1 Ainsi un+1 b si n est pair lim = n→+∞ un a si n est impairDonc la limite n’existe pas. Cette exemple montre bien que le critère de Cauchy estplus "fort" que celui de D’Alembert.Un autre exemple plus simple est u2n = 2 et u2n+1 = 3, le série est donc : ∞ un = 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + · · ·n=0 un+1 3/2 si n est pair √ lim = et lim n un = 1 n→+∞ un 2/3 si n est impair n→+∞1.3.4 Critère de KummerProposition 1.3.8Soit un une série à termes strictement positifs. un+1 1. S’il existe α > 1 tel que n 1 − ≥ α alors la série est convergente. un un+1 2. Si n 1 − ≤ α alors la série diverge. un 13 M er A  N -E www.tifawt.com
  • Preuve. www.tifawt.com1) Cas où α > 1.Considérons la fonction f : R+ −→ R définie par f (x) = (1 + x)−α . Son développementlimité à l’ordre 1 au voisinage de 0 est donné par : f ′ (0) f ′′ (θx ) f (x) = f (0) + x + x2 , avec 0 < θx < 1. 1! 2! α(α + 1) 1 f (x) = 1 − αx + (1 + θx )−α−2 x2 . Pour x = , on obtient : 2! n 1 α α(α + 1) −α−2 1 α un+1 f = 1− + (1 + θ n ) 1 ≥ 1 − . L’hypothèse n 1 − ≥ α étant n n 2! n2 n un un+1 αéquivalente à ≤ 1 − , nous permet d’avoir finalement un nun+1 α 1 1 −α n + 1 −α n α ≤1− ≤ f = 1+ = = . un n n n n n+1 1 vn+1 n αSoit vn = α , vn est une série de Riemann convergente. = . Comme n vn n+1un+1 vn+1 ≤ et d’après le critère de comparaison logarithmique (1.3.2), la série un un vnest convergente. un+1 un+1 1 n−12) On suppose que n 1 − ≤ 1. Ceci implique ≥ 1− = . Posons wn = un un n n 1 wn+1 n − 1 un+1 , n ≥ 2. wn est la série harmonique divergente. De plus = ≤ .n−1 wn n unD’après critère de comparaison logarithmique (1.3.2), la série un diverge.Corollaire 1.3.4 (Critère de Raab) un+1Soit un une série à termes strictement positifs. On pose lim n 1 − = ℓ. n→+∞ un 1. Si ℓ > 1 alors la série un converge. 2. Si ℓ < 1 alors la série un diverge. 3. Si ℓ = 1, on ne peut rien conclure.Preuve.On utilise toujours la définition de la limite d’une suite quand elle existe : un+1 lim n 1 − = ℓ ⇐⇒ n→+∞ un un+1 ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N n ≥ N =⇒ ℓ − ε < n 1 − <ℓ+ε un un+11) Si ℓ > 1. On choisit ε de manière à avoir ℓ − ε = α > 1 pour qu’on ait n 1 − ≥α unpour n ≥ N et par suite utiliser le critère de Kummer pour affirmer qu’il y a convergence. un+12) Si ℓ < 1. On choisit ε tel que 0 < ε ≤ 1 − ℓ. Dans ces conditions, on aura n 1 − < unℓ + ε < 1 pour tout n ≥ N et donc la série diverge.M er A  N -E  14www.tifawt.com
  • 1.4 Séries à termes quelconques www.tifawt.comLe paragraphe précédent était consacré à l’étude des séries à termes positifs et c’est danscette partie qu’il y a beaucoup de résultats sur la convergence . Dans ce paragraphe ilsera question des séries à termes quelconques.1.4.1 Regroupement des termesThéorème 1.4.1 Soit un une série à termes quelconques et soit ϕ : N −→ N une application strictementcroissante vérifiant ϕ(0) = 0 . On suppose en plus : 1. lim un = 0. n→+∞ 2. ∃M ∈ N tel que ϕ(n + 1) − ϕ(n) ≤ M pour tout n ∈ N. ϕ(n+1)On considère la série vn définie par vn = uk . k=ϕ(n)+1Alors les séries un et vn sont de même nature. ∞ ∞Si les séries sont convergentes on a en plus : un = vn n=1 n=0Remarque 1.4.1Prenons un exemple d’application pour comprendre les hypothèses de ce théorème.Soit ϕ : N −→ N définie par ϕ(n) = 2n. ϕ(n+1) 2n+2On a ϕ(n + 1) − ϕ(n) = 2n + 2 − 2n = 2 = M et vn = uk = uk = u2n+1 + u2n+2 . k=ϕ(n)+1 k=2n+1Ceci donne par exemple v0 = u1 + u2 , v1 = u3 + u4 et ainsi de suite. On remarque sur cetexemple que les termes sont regroupés 2 par 2.Preuve.Notons comme d’habitude (Sn )n et (Tn )n les suites des sommes partielles respectivementdes séries un et vn . n ϕ(1) ϕ(2) ϕ(n+1)Tn = vp = v0 + v1 + · · · + vn = uk + uk + · · · + uk = p=0 k=ϕ(0)+1 k=ϕ(1)+1 k=ϕ(n)+1ϕ(n+1) uk = Sϕ(n+1) . Sachant que ϕ est une application strictement croissante, la suite (Tn )n k=1est alors une suite extraite de de (Sn )n . Par conséquent :1) un converge =⇒ (Sn )n converge =⇒ (Sϕ(n+1) )n converge =⇒ (Tn )n converge=⇒ vn converge.2) Si un diverge.ϕ étant strictement croissante on a ϕ(n) < ϕ(n + 1). Donc pour tout entier n ∈ N, ilexiste p ∈ N tel que ϕ(p) ≤ n < ϕ(p + 1). n n nSn − Sϕ(p) = uk − uϕ(p) = uk . Puisque lim un = 0 alors pour tout ε > 0, il n→+∞ k=0 k=0 k=ϕ(p)+1 15 M er A  N -E www.tifawt.com
  • εexiste N ∈ N tel que |un | < pour tout n ≥ N. Pour p assez grand (ϕ(p) + www.tifawt.com 1 ≥ N), on M n n ε εa |Sn − Sϕ(p) | = uk ≤ |uk | < (n − ϕ(p)) ≤ (ϕ(p + 1) − ϕ(p)) ≤ ε car on a M M k=ϕ(p)+1 k=ϕ(p)+1par hypothèse ϕ(p + 1) − ϕ(p) ≤ M. On conclut que lim Sn − Sp = 0 et puisque la suite n→+∞(Sn )n diverge alors (Sϕ(p) ) diverge et par suite (Tp ) diverge car Sϕ(p) = Tp−1 .Exemple 1.4.1 +∞ ϕ(n+1) 2n+2 (−1)nSoit la série et soit ϕ : N −→ N définie par ϕ(n) = 2n. vn = uk = uk = n=1 n k=ϕ(n)+1 k=2n+1 −1 1 −1u2n+1 + u2n+2 = + = . 2n + 1 2n + 2 (2n + 1)(2n + 2) 1 1 1Posons wn = . wn est convergente car wn ≤ et est (2n + 1)(2n + 2) 4n 2 4n2convergente. En conclusion : wn converge =⇒ −wn converge =⇒ vn converge =⇒ un converge.Théorème 1.4.2 (Critère D’Abel) Soit un une série à termes quelconques. On suppose qu’il existe deux suites (εn )n et (vn )ntelles que : 1. un = εn vn pour tout n.    p    2. Il existe M > tel que pour tout p, q ∈ N p ≥ q =⇒ vk ≤ M.         k=q +∞ 3. |εn − εn−1 | converge. n=1 4. lim εn = 0. n→+∞Alors la série un converge.Preuve.On va montrer que les conditions du théorème impliquent que la série un est deCauchy.Soit ε > 0 et posons  p    vk si p ≥ q Vq,p =  k=q    0 si p < q Soit n + 1 ≤ p. p pVn,p − Vn+1,p = vk − vk = vn . D’autre part : k=n k=n+1M er A  N -E  16www.tifawt.com
  • p p p www.tifawt.com uk = εk vk = εk (Vk,p − Vk+1,p )k=q+1 k=q+1 k=q+1 = εq+1 (Vq+1 − Vq+2,p ) + εq+2 (Vq+2 − Vq+3,p ) + . . . + εp (Vp,p − Vp+1,p ) = εq+1 Vq+1,p − εp Vp+1,p + Vq+2,p (εq+2 − εq+1 ) + Vq+3,p (εq+3 − εq+2 ) + . . . Vp,p (εp − εp−1 ) p = εq+1 Vq+1,p − εp Vp+1,p + Vk,p (εk − εk−1 ). k=q+2 p pDonc uk ≤ |εq+1 | · |Vq+1,p | + |εp | · |Vp+1,p | + |Vk,p | · |εk − εk−1 |. k=q+1 k=q+2De plus on a les conséquences suivantes : εa) lim εn = 0 =⇒ ∃N1 ∈ N tel que |εn | ≤ pour tout n ≥ N1 . n→+∞ 3Mb) La série |εn − εn−1 | converge donc elle est de Cauchy. Il existe alors N2 ∈ N tel p εque pour tous p ≥ N2 et q ≥ N2 , (p ≥ q) on a |εk − εk+1 | < . 3M k=q+1 pc) | vk | ≤ M pour tous p et q, p ≥ q. k=q p ε ε εSoit N = max{N1 , N2 }. Pour n ≥ N on a alors uk ≤ M+ M+ M = ε. La 3M 3M 3M k=q+1série un est alors de Cauchy donc convergente.Exemple 1.4.2 +∞ (−1)n Appliquons ce théorème pour étudier la série qu’on sait qu’elle converge d’après n=1 nl’exemple (1.4.1). 1Soit εn = et vn = (−1)n . n +∞ +∞ 1 1 1 lim εn = 0 et |(−1) | ≤ 1 = M. La série n − = est convergente carn→+∞ n=2 n n−1 n=2 n(n − 1) 1elle est équivalente à la série de Riemann . n2Nous allons étudier un cas particulier de série à termes quelconques à savoir les sériesalternées.1.4.2 Séries alternéesDéfinition 1.4.1On appelle série alternée toute série un vérifiant la relation un .un+1 ≤ 0.Le terme général un d’une telle série peut-être noté un = (−1)n vn ou un = (−1)n+1 vn avec vn ≥ 0.Dans le cas général une série alternée sera souvent notée : (−1)n |un | .Théorème 1.4.3 (Critère de Leibniz)Soit un une série alternée. On suppose que : 17 M er A  N -E www.tifawt.com
  • 1. La suite (|un |)n est décroissante. www.tifawt.com 2. lim un = 0. n→+∞Alors la série un est convergente.Preuve.On suppose pour se fixer les idées que u2n+1 ≥ 0 et u2n ≤ 0.a) U2n+1 − U2n = u2n+1 ≥ 0 et donc U2n+1 ≥ U2n .b) U2n+1 − U2n−1 = u2n+1 + u2n ≤ 0 car |u2n+1 | = u2n+1 ≤ |u2n | = −u2n d’après l’hypothèse(1) du théorème. La suite (U2n−1 )n est donc décroissante.c) U2n+2 − U2n = u2n+2 + u2n+1 ≥ 0 car |u2n+2 | = −u2n+2 ≤ |u2n+1 | = u2n+1 . La suite (U2n )n estdonc croissante.En regroupant les résultats (a), (b) et (c), on a la situation suivante :U0 ≤ U2n ≤ U2n+2 ≤ U2n+1 ≤ U2n−1 ≤ U1 pour tout n ∈ N. La suite (U2n )n est croissantemajorée par U1 , (U2n+1 )n est décroissante minorée par U0 . Elles sont donc toutes les deuxconvergentes. Puisque lim (U2n+1 − U2n ) = lim un+1 = 0 alors lim U2n+1 = lim U2n = n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞lim Un . Ceci traduit le fait que la série un est convergente.n→+∞Au fait, les suites (U2n )n et (U2n+1 )n sont adjacentes.1.5 Séries absolument convergentesDéfinition 1.5.1Une série un est dite absolument convergente si la série |un | est convergente.Il est clair que toute série à termes positifs convergente est absolument convergente.Théorème 1.5.1Toute série absolument convergente est convergente. La réciproque est fausse.En d’autres termes : |un | converge =⇒ un converge.Preuve.On va prouver que un est de Cauchy. p pSoit ε > 0 et p, q deux entiers tels que p ≥ q. Up − Uq = uk ≤ |uk |. Comme la k=q+1 k=q+1série |un | converge, elle est de Cauchy. Il existe alors N ∈ N tel que ∀p, q ∈ N(p ≥ p p pq ≥ N) on a |uk | = |uk | < ε. Donc pour p ≥ q ≥ N, |Up − Uq | ≤ |uk | < ε et k=q+1 k=q+1 k=q+1par suite (Un )n est de Cauchy donc convergente et ainsi un converge aussi.Remarque 1.5.1 n nOn sait que pour tout n ∈ N, on a un ≤ |un | (inégalité triangulaire). En cas de k=0 k=0 +∞ +∞convergence absolue, cette inégalité est conservée ; à savoir un ≤ |un | k=0 k=0M er A  N -E  18www.tifawt.com
  • +∞ (−1)n www.tifawt.comPour montrer que la réciproque est fausse, il suffit de considérer la série qu’on n=1 n (−1)n 1a vu qu’elle est convergente mais pas absolument convergente puisque = . n nThéorème 1.5.2Soit un une série absolument convergente. Alors pour toute bijection ϕ : N −→ N on a : 1. uϕ(n) est absolument convergente. +∞ +∞ 2. un = uϕ(n) . n=0 n=0Preuve.La démonstration se fera en deux étapes :1) Etape 1. On suppose que un ≥ 0.Alors : un convergente ⇐⇒ un absolument convergente.Soit ϕ : N −→ N une bijection et posons vn = uϕ(n) . Vn = v0 + v1 + . . . + vn = +∞uϕ(0) + uϕ(1) + . . . + uϕ(n) ≤ un . Puisque la suite des sommes partielles (Vn )n est n=0 +∞ +∞ +∞croissante et est majorée par un alors (Vn )n est convergente et on a vn ≤ un . n=0 n=0 n=0De même, ϕ−1 est bijective, un = vϕ−1 (n) . +∞Un = u0 + u1 + . . . + un = vϕ−1 (0) + vϕ−1 (1) + . . . + vϕ−1 (n)≤ vn . En passant à la limite n=0 +∞ +∞et sachant que les séries convergent on obtient un ≤ vn et par conséquent n=0 n=0+∞ +∞ un = vn .n=0 n=01) Etape 2. un est une série à termes quelconques telle que |un | converge.D’après l’étape 1, |un | converge =⇒ |vn | converge, avec vn = uϕ(n) et on a +∞   +∞  |vn |.    |un | =           n=0 n=0Posons u+ = max{un , 0} et u− = max{−un , 0}. On a u+ ≥ 0, u− ≥ 0 et un = u+ − u− . On n n n n n na aussi comme conséquence 0 ≤ un ≤ |un | et 0 ≤ un ≤ |un |. Puisque la série + − |un | estconvergente alors et d’après le théorème de comparaison les séries u+ et n u− nsont convergentes.+∞ +∞ +∞ +∞ un = (u+ n − u− ) n = + un − u− . nn=0 n=0 n=0 n=0 +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞Or u+ n = + uϕ(n) et u− n = u− ϕ(n) et donc un = u+ n − u− = n n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 19 M er A  N -E www.tifawt.com
  • +∞ +∞ +∞ +∞ www.tifawt.com u+ ϕ(n) − u− ϕ(n) = uϕ(n) = vn .n=0 n=0 n=0 n=0Remarque 1.5.2Le théorème précédent cesse d’être vrai si la série un est seulement convergente. La série+∞ (−1)n+1 est convergente (voir l’exemple 1.4.2) mais n’est pas absolument convergente.n=1 n+∞ (−1)n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + − + − + − ... = 1 − − +n=1 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − + − − + ... + − − + . . .. 3 6 8 5 10 12 2k + 1 2(2k + 1) 2(2k + 2) 1 1 1 1 1 1On pose vn = − − = 1− − = 2n + 1 2(2n + 1) 2(2n + 2) 2n + 1 2 2(2n + 2)1 1 1 − .2 2n + 1 2n + 2+∞ +∞ 1 1 1 1 1 (−1)n+1 vn = 1− + − + ... = .n=0 2 2 3 4 2 n=1 nEn réorganisant autrement la somme d’une série convergente, on obtient une série convergentemais pas de même somme. Cela est dû au fait que l’addition d’une infinité de termes n’est pasnécessairement commutative.C Un bel exemple de série convergente et non commutativement converg ente. ∞ 1Soit le série alternée (−1)n+1 Log 1 + . n=1 n 1Il s’agit d’une série alternée et le terme Log 1 + décroit vers zéro, ce qui assure la nconvergence de la série donnée. ∞ ∞ ∞ 1 n+1On a : (−1) Log 1 + n+1 = (−1) Log n+1 = (−1)n+1 [Log(n + 1) − Log n] n=1 n n=1 n n=1= [Log 2 − Log 1] − [Log 3 − Log 2] + [Log 4 − Log 3] − [Log 5 − Log 4] + · · · ∞= 2[Log 2 − Log 3 + Log 4 − Log 5 + · · ·] = 2 (−1)n Log n. n=1la série ainsi obtenue est grossièrement divergente, puisque le terme général ne tendpas vers zéro.Il est facil de vérifier que la série n’est pas absolument convergente.M er A  N -E  20www.tifawt.com