´
Algebra de Boole
Alberto Sim˜es
o
alberto.simoes@eu.ipp.pt
3 de Outubro de 2009
Alberto Sim˜es
o ´
Algebra de Boole

´
Algebra de Boole
Simplificadamente, uma ´lgebra define:
a
um conjunto de valores;
um conjunto de opera¸˜es;
co
e garante um conjunto de propriedades
Alberto Sim˜es
o ´
Algebra de Boole

´
Algebra de Boole
Simplificadamente, uma ´lgebra define:
a
um conjunto de valores;
um conjunto de opera¸˜es;
co
e garante um conjunto de propriedades
George Boole definiu uma ´lgebra baseada em valores l´gicos:
a o
sobre um conjunto de dois valores:
verdadeiro (1)
falso (0)
Alberto Sim˜es
o ´
Algebra de Boole

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Algebra de Boole
Simplificadamente, uma ´lgebra define:
a
um conjunto de valores;
um conjunto de opera¸˜es;
co
e garante um conjunto de propriedades
George Boole definiu uma ´lgebra baseada em valores l´gicos:
a o
sobre um conjunto de dois valores:
verdadeiro (1)
falso (0)
com trˆs opera¸˜es b´sicas:
e co a
nega¸˜o (n˜o)
ca a
conjun¸˜o (e)
ca
disjun¸˜o (ou)
ca
Alberto Sim˜es
o ´
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Nega¸˜o
ca
A nega¸˜o ´ habitualmente lida n˜o (not);
ca e a
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ¬;
ca a e
Alberto Sim˜es
o ´
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Algebra de Boole
Nega¸˜o
ca
A nega¸˜o ´ habitualmente lida n˜o (not);
ca e a
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ¬;
ca a e
x ¬x
0 1
1 0
Alberto Sim˜es
o ´
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Algebra de Boole
Nega¸˜o
ca
A nega¸˜o ´ habitualmente lida n˜o (not);
ca e a
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ¬;
ca a e
x ¬x
0 1
1 0
¬0 = 1
¬1 = 0
Alberto Sim˜es
o ´
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Algebra de Boole
Conjun¸˜o
ca
A conjun¸˜o ´ habitualmente lida e (and);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ∧;
ca a e
Alberto Sim˜es
o ´
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´
Algebra de Boole
Conjun¸˜o
ca
A conjun¸˜o ´ habitualmente lida e (and);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ∧;
ca a e
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
Alberto Sim˜es
o ´
Algebra de Boole

´
Algebra de Boole
Conjun¸˜o
ca
A conjun¸˜o ´ habitualmente lida e (and);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ∧;
ca a e
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
1∧1 = 1
1∧0 = 0
0∧1 = 0
0∧0 = 0
Alberto Sim˜es
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Algebra de Boole
Disjun¸˜o
ca
A disjun¸˜o ´ habitualmente lida ou (or);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ∨;
ca a e
Alberto Sim˜es
o ´
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Algebra de Boole
Disjun¸˜o
ca
A disjun¸˜o ´ habitualmente lida ou (or);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ∨;
ca a e
∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
Alberto Sim˜es
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Algebra de Boole
Disjun¸˜o
ca
A disjun¸˜o ´ habitualmente lida ou (or);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ∨;
ca a e
∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
1∨1 = 1
1∨0 = 1
0∨1 = 1
0∨0 = 0
Alberto Sim˜es
o ´
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Operadores Derivados
Implica¸˜o:
ca
a ⇒ b = ¬(a ∧ ¬b)
Ou exclusivo:
a ⊕ b = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)
Equivalˆncia:
e
a ≡ b = ¬(a ⊕ b)
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Algebra de Boole
Implica¸˜o
ca
A implica¸˜o ´ habitualmente lida implica (implies);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ⇒;
ca a e
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Implica¸˜o
ca
A implica¸˜o ´ habitualmente lida implica (implies);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ⇒;
ca a e
⇒ 0 1
0 1 1
1 0 1
Alberto Sim˜es
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Algebra de Boole
Implica¸˜o
ca
A implica¸˜o ´ habitualmente lida implica (implies);
ca e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ⇒;
ca a e
⇒ 0 1
0 1 1
1 0 1
1⇒1 = 1
1⇒0 = 0
0⇒1 = 1
0⇒0 = 1
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Algebra de Boole
Ou exclusivo
O ou exclusivo ´ habitualmente denotado por xor;
e
a ⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;
N˜o tem uma representa¸˜o matem´tica oficial;
a ca a
Nestes slides, ser´ usado o ⊕;
a
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Algebra de Boole
Ou exclusivo
O ou exclusivo ´ habitualmente denotado por xor;
e
a ⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;
N˜o tem uma representa¸˜o matem´tica oficial;
a ca a
Nestes slides, ser´ usado o ⊕;
a
⊕ 0 1
0 0 1
1 1 0
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Algebra de Boole
Ou exclusivo
O ou exclusivo ´ habitualmente denotado por xor;
e
a ⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;
N˜o tem uma representa¸˜o matem´tica oficial;
a ca a
Nestes slides, ser´ usado o ⊕;
a
⊕ 0 1
0 0 1
1 1 0
1⊕1 = 0
1⊕0 = 1
0⊕1 = 1
0⊕0 = 0
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Equivalˆncia
e
A equivalˆncia ´ habitualmente lida equivale a;
e e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ≡;
ca a e
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Equivalˆncia
e
A equivalˆncia ´ habitualmente lida equivale a;
e e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ≡;
ca a e
≡ 0 1
0 1 0
1 0 1
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Algebra de Boole
Equivalˆncia
e
A equivalˆncia ´ habitualmente lida equivale a;
e e
A sua representa¸˜o matem´tica ´ ≡;
ca a e
≡ 0 1
0 1 0
1 0 1
1≡1 = 1
1≡0 = 0
0≡1 = 0
0≡0 = 1
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Algebra de Boole
Leis b´sicas
a
Associatividade da disjun¸˜o e conjun¸˜o:
ca ca
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Alberto Sim˜es
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Algebra de Boole
Leis b´sicas
a
Associatividade da disjun¸˜o e conjun¸˜o:
ca ca
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Comutatividade da disjun¸˜o e conjun¸˜o:
ca ca
a∧b =b∧a
a∨b =b∨a
Alberto Sim˜es
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Leis b´sicas
a
Associatividade da disjun¸˜o e conjun¸˜o:
ca ca
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Comutatividade da disjun¸˜o e conjun¸˜o:
ca ca
a∧b =b∧a
a∨b =b∨a
Distributividade:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
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Leis b´sicas
a
Dupla Nega¸˜o
ca
¬¬a = a
Alberto Sim˜es
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Leis b´sicas
a
Dupla Nega¸˜o
ca
¬¬a = a
De Morgan
¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b
Alberto Sim˜es
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Leis b´sicas
a
Dupla Nega¸˜o
ca
¬¬a = a
De Morgan
¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b
Mais em http:
//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_Boolean_algebra
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