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Leccion 6

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  1. 1. U Universidad abierta y NAD Nacional a distancia2.2.2 Estabilidad y condiciónLa condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambiosen los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamenteinestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentanconsiderablemente por el método numérico.Estas ideas pueden estudiarse usando la serie de Taylor de primer orden: f ( x) f ( x) f ( x)( x x) (2.6)Esta relación puede emplearse para estimar el error relativo de f(x) como en: f ( x) f ( x) f ( x)( x x) # (2.7) f ( x) f ( x) xxel error relativo de x esta dado por: . xUn número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos xf ( x)Número condicionado = . f ( x)El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto laincertidumbre de x aumentada por f(x). Un valor de 1 nos indica que el errorrelativo de la función es idéntico al error relativo de x. Un valor mayor que 1 nosindica que el error relativo es amplificado, mientras que para un valor menor que 1decimos que está disminuido. Funciones con valores muy grandes nos dicen queestán mal condicionados. Cualquier combinación de factores de la ecuación ¿???,al incrementarse el valor numérico del número condicionado, tiene tendencia aaumentar la incertidumbre en el cálculo de f(x).2.3. ERROR NUMERICO TOTALEl error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Engeneral, el único camino para minimizar los errores de redondeo es incrementandoel número de cifras significativas en la computadora. Adicionalmente, se notaráque un error de redondeo se incrementará tanto por la cancelación por resta comoporque en el análisis exista un incremento en el número de cálculos. En contraste,en el calculo, se podría disminuir el tamaño del paso aproximado para un cálculo 25
  2. 2. U Universidad abierta y NAD Nacional a distanciaen particular. Se debería seleccionar un tamaño del paso largo a fin de disminuirla cantidad de cálculos y errores de redondeo sin incurrir en la penalización degrandes errores de redondeo. Error total Log error Error de redondeo Error de truncamiento Log tamaño del pasoFigura 6. Representación gráfica de elementos de juicio entre el error de redondeoy error de truncamiento que algunas veces son inseparables en el papel quejuegan en un método numérico. El punto de retorno disminuido es presentado,donde el error de redondeo empieza a negar los beneficios de la reducción deltamaño del paso.2.3.1 Errores por equivocaciónA todos les son familiares los errores por negligencia o por equivocación. En losprimeros años de la computadoras, los resultados numéricos erróneos fueronatribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la propia computadora. En laactualidad esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de lasequivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelaciónmatemática y pueden contribuir con todos los otros componentes del error. Sepueden evitar únicamente con un sólido conocimiento de los principiosfundamentales y con el cuidado del método y diseño de la solución del problema.2.3.2 Errores de formulaciónLos errores de formulación o errores de modelamiento pueden ser atribuidos a loque se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo deerror de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newtonno toma en cuenta los efectos relativísticos. Esto no desvirtúa la validez de lasolución del ejemplo del paracaidista, ya que estos errores son mínimos en las 26
  3. 3. U Universidad abierta y NAD Nacional a distanciaescalas del tiempo y espacio asociadas con el problema de la caída delparacaidista. Se debe estar consciente de estos problemas y darse cuenta que sise está usando un modelo deficiente, ningún método numérico generará losresultados adecuados.2.3.3 Incertidumbre de los resultadosAlgunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre enlos datos físicos sobre los que se basa el modelo cuando se realizan variascorridas o cálculos, estos errores pueden mostrar inexactitud e imprecisión. Si losinstrumentos constantemente subestiman o sobrestiman las mediciones se estarátratando con un instrumento inexacto o desviado.Los errores de medición se pueden cuantificar sumando los datos con una o mástécnicas estadísticas bien conocidas, que generen tanta información como seaposible, observando las características específicas de los datos. Esta estadísticadescriptiva es a menudo seleccionada para presentar 1) la posición del centro dedistribución de los datos y 2) el grado de esparcimiento de los datos. Como tales,dan una medida de la desviación e imprecisión, respectivamente.  2.4. EJERCICIOS RESUELTOS™ Encontrar el número de cifras significativas de las cantidades siguientes:Solución 74,24 S(4) 13258 S(5) 8200,02 S(6) 0,35 S(2) 0,005 S(1) 1200 S(4) -1863,000 S(7) -0,00743 S(3) 750,0000 S(7)™ Expresar las cantidades anteriores en formato de coma flotante normalizada con exponente o notación científica.Solución 27
  4. 4. U Universidad abierta y NAD Nacional a distancia 74,24 0,7424x102 S(4) 13258 0,13258x105 S(5) 8200,02 0,820002x104 S(6) 0,35 0,35x100 S(2) 0,005 0,5x10-2 S(1) 1200 0,1200x104 S(4) -1863,000 -0,1863000x104 S(7) -0,00743 -0,743x10-2 S(3) 750,0000 0,7500000x103 S(7)™ Redondear simétricamente a tres o dos cifras decimales, las cantidades que se indicanSolución 23,65487 23,655 D(3) 0,004563 0,005 D(3) -1238,83421 -1238,83 D(2) 77,235 77,24 D(2) -5,8765 -5,877 D(3) 23,4899 23,490 D(3)™ Al estudiar el fenómeno diario de la variación que experimentan las condiciones meteorológicas, se suprimen muchas variables que deberían de intervenir en los cálculos. A qué tipo de errores pertenecen tales simplificaciones.Solución Corresponderían a errores del modelo.™ Considerando las cantidades 28294 y -13485 y sus respectivas cantidades redondeadas a cuatro y tres cifras significativas, 28290(4S) y -13500(3S), encontrar las cotas de los errores absoluto y relativo de tales redondeos.Solución x = 28294 x = 28290 x = 5 = 0,5x101 Gx = 5/28290 | 0,00088 y = -13485 y = -13500 y = 50 = 0,5x10 2 Gy = 5/28290 | 0,0037™ Si x = 1,414 es una aproximación obtenida redondeando a tres cifras decimales una cantidad exacta x, indicar en qué intervalo está contenido el valor exacto.Solución x  1,4135 1,4145 ) 28
  5. 5. U Universidad abierta y NAD Nacional a distancia Otra forma de llegar al mismo resultado: si x está redondeada, la cota del error absoluto de ese redondeo, será: x =0,5x10-3 = 0,0005 y, por consiguiente, el valor exacto estará comprendido entre los valores x = 1.414 r 0,0005, es decir, entre: 1,4115 y 1,4135™ Cómo se catalogaría el error cometido al transcribir mal una cantidad desde un documento original a otro cualquiera.Solución Se tratará de un error grosero o bien de una verdadera equivocación.™ La cantidad exacta x = 5,342 se redondea a dos cifras decimales. Encontrar el error absoluto cometido.Solución La cantidad aproximada obtenida por el redondeo será x = 5,34 por lo que el módulo del error absoluto cometido será «ex « = «5,342 - 5,34 « = 0,002™ A una cinta métrica defectuosa le falta el primer centímetro. Después de medir una longitud con la misma, se obtienen 15 cm. Determinar la verdadera longitud de la magnitud medida, el error absoluto de la medición, el relativo y el porcentaje.Solución x = 15 cm. y x = 14 cm. «ex « = «x - x « = 1 cm. = x rx = «ex «/x = 1/14 = 0,071 o bien 1/15 = 0,067 Porcentaje del error = 0,071x100 = 7,1% o bien 0,067x100 = 6,7%™ Un voltímetro maraca las lecturas con un error de +0,05V. Se toma una lectura de 60V. Calcular los errores absoluto, relarivo y porcentaje del error.Solución V = 60 V = 59,95 «ev « = «60 - 59,95 « = 0,05V rv = 0,05/60 = 0,00081 Porcentaje = 0,00081x100 = 0,081% 29
  6. 6. U Universidad abierta y NAD Nacional a distancia™ El peso de 1 dm3 de agua a 0°C está contenido entre los valores indicados por p = 999,847 gr r 0,001 grDeterminar la cota o límite máximo del error relativo del resultado del peso delagua.Solución p = 999,847 y p = 0,001con lo que será : Gp = 0,001/999,847 = 0,1x10-4 = 10-4™ Deducir los dígitos correctos de la cantidad aproximada 48,361 que tiene un error relativo máximo del 1%.Solución a = 48,361 Ga = 1% = 1/100 = 0,01 Ga = a/a con lo que, entonces a = Ga ˜ a = 0,01x48,361 = 0,48661 0,5 = 0,5x100 luego, no existe ninguna cifra decimal correcta, es decir, la última cifra correcta será la de las unidades. Ello equivale a asegurar que las cifras correctas son las que forman la parte entera: la 4 y la 8™ Como aproximación de S = 3,141592... se toma el valor 3,14. Cuáles son sus cifras exactas y cuáles las correctas?Solución eS = ¨3,141592 - 3,14 ¨ = 0,001592 = 0,1592x10-2 0,5x10-2 es decir, tiene correctas dos cifras decimales : el 1 y el 4 y, por tanto, también la entera 3. Otra forma, más laboriosa pero basada en la propia definición de dígito correcto, de llegar al mismo resultado, es la que sigue. Según el resultado anterior, una cota del error absoluto es S = 0,0016. Entonces, 0,0016 0,5 Ÿ el 3 es correcto 0,0016 0,05 Ÿ el 1 es correcto 0,0016 0,05 Ÿ el 4 es correcto En cualquier caso, las cifras exactas, es decir, coincidentes con las que forman el verdadero valor de S, son, en este caso, también las tres : 3, 1 y 4. 30

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