Cap3 lec3

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Cap3 lec3

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN NUEVE.Sistemas especiales de coordenadas curvilíneas ortogonales.Coordenadas cilíndricas circulares.Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas:- Una superficie cilíndrica de radio [ 1 r C 1 cuyo eje es el eje x3 del sistema cartesiano x1,x2,x3.- Una superficie plana que forma un ángulo [ 2 M C 2 constante con el plano x1x3 , y- una superficie [ 3 x 3 C 3 constante.Las tres superficies son ortogonales dos a dos.Coordenadas: [1 r, [ 2 M, [3 x3 zVectores: & & & & & & a1 ar , a2 aM , a3 e3Ecuaciones de transformación: x1 x r cos M ; x2 y rsenM y x3 zRangos de variación de las coordenadas: rt0 ; 0 d M d 2S ; -fdzdfFactores de escala: h1 hr 1 ; h2 hM r ; h3 hz 1Elemento de volumen: dVol rdrdMdzGradiente de una función : & & w a M w & w ’ a r az wr r wM wz Divergencia de un vector V : 1 ª w(rVr ) wVM w(rVz ) º ’˜V « » ó: r ¬ wr wM wz ¼ 1 w(rVr ) 1 wVM 1 w(rVz ) ’˜V r wr r wM r wzLaplaciano de una función : 1 w § w · 1 w 2 w 2 ’2 ¨r ¸ r wr © wr ¹ r 2 wM 2 wz 2 1
  2. 2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOSCoordenadas esféricas.Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas:- Una superficie esférica de radio [ 1 r C 1 cuyo eje es el centro del sistema cartesiano x1,x2,x3.- Una superficie plana que forma un ángulo [ 2 T C 2 constante con el plano x1x3 ,y- una superficie plana que forma un ángulo [ 3 M C 3 variante en el plano x2x3.Las tres superficies son ortogonales dos a dos.Coordenadas: [1 r, [ 2 T, [3 MVectores: a1 ar , a2 aT , a3 aMEcuaciones de transformación: x 1 x rsenT cos M ; x2 y rsenTsenM y x3 z r cos TRangos de variación de las coordenadas: rt0 ; 0dTdS ; 0 d M d 2SFactores de escala: h1 hr 1 ; h2 hT r ; h3 hI rsenTElemento de volumen: dVol r 2 senTdrdMdTGradiente de una función : w a T w a M w ’ ar wr r wT rsenT wM Divergencia de un vector V : 1 ª w(r 2 senTVr ) w(rsenTVT ) w(rVM ) º ’˜V « » r 2 senT « ¬ wr wT wM » ¼Laplaciano de una función : 1 w § 2 w · 1 w § w · 1 w2 ’2 2 wr ¨ r ¸ 2 ¨ senT ¸ 2 r © wr ¹ r senT wT © wT ¹ r sen T wM 2 2 2

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