Este documento describe los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales. Explica que tres superficies que se cortan entre sí definen un sistema de coordenadas curvilíneo, con curvas coordenadas donde se intersectan las superficies. También define vectores tangentes y normales a los ejes y superficies coordenadas, y conceptos como bases covariante y contravariante, elemento de arco, y factor de escala para describir estos sistemas de coordenadas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS
CURVILÍNEAS ORTOGONALES.
LECCIÓN SIETE.
SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS.
Las ecuaciones que describen las dimensiones y las propiedades geométricas de un cuerpo y las ecuaciones que
describen un fenómeno físico, pueden ser muy simplificadas eligiendo el sistema de coordenadas adecuadas.
Por ejemplo, para describir las propiedades físicas o geométricas de un paralelepípedo, se debe adoptar un
sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, cuyos ejes y direcciones sean escogidos adecuadamente para
poder aprovechar al máximo las simetrías existentes. De igual manera cuando se tiene un fenómeno en un al
interior de un tubo cilíndrico, en donde el fenómeno tiene simetría con el eje, lo mas adecuado será seleccionar
un sistema de coordenadas cilíndricas. Las definiciones y las propiedades de los sistemas de coordenadas que se
presentan aquí, son absolutamente generales, pudiéndose por tanto, ser utilizadas en cualquier sistema de
coordenadas curvilíneas ortogonales.
Generalidades.
Seas tres superficies [1 C1 , [2 C2 , [3 C3 que se cortan dos a dos. Las curvas
[1 int([ 2 C2 , [3 C 3 ), [ 2 int([ 1 C1 , [3 C3 ) y [3 int([ 1 C1 , [2 C2 ) , son denominadas curvas
coordinas y las superficies coordenadas [ 1 C 1 , [ 2 C 2 , [ 3 C 3 . Las curvas [ i C i , son las tres líneas que
definen un sistema de coordenadas curvilíneas. La siguiente figura representa un sistema de coordenadas
cartesianas (x1,x2,x,3) y curvilíneas ([ 1 , [ 2 , [ 3 ) .
x3
[3 a1 1 C1
2 C2
a2 [2
& a3
r [1
x2
3 C3
x1
En relación al sistema cartesiano xi, i=1,2,3, los puntos sobre las curvas coordenadas [ i , j 1,2 ,3 , pueden ser
& & &
descritos por el vector de posición, r x i e i r([ 1 , [ 2 , [ 3 ) . Se cumple que, si las curvas
[ 1 C 1 , [ 2 C 2 , [ 3 C 3 representan a un sistema de coordenadas curvilíneo generalizado, los vectores
& & &
a 1 , a 2 , a 3 son ortogonales entre sí.
1

2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Vectores de los ejes.
Sea P un punto de coordenadas (x1,x2,x,3) y ([ 1 , [ 2 , [ 3 ) , para un sistema de coordenadas curvilíneas es común
definir los siguientes vectores:
- Tangentes a los ejes coordenados en el punto P.
&
wr
& w[ i
ai & i 1,2,3
wr
w[ i
&
En el sentido positivo de a i y en el sentido creciente de la coordenada [ i .
-Normales a las superficies coordenadas en el punto P.
& ’[ i
bi i 1,2,3
’[ i
& &
El vector b i es un vector normal a la superficie coordenada, [ i C i en el punto P. En el sentido positivo de b i y
de la normal a la superficie.
Los sistemas de coordenadas curvilíneas en que las tres superficies coordenadas sean ortogonales, dos a dos, son
& &
denominados “sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales”. En estos sistemas los vectores a i y b i son
coincidentes.
& &
En vez de trabajar con la base normalizada ( a i y b i ) es común trabajar con las bases:
&
& wr
gi (base natural)
w[ i
&
g j ’[ i (base dual o reciproca)
Bases covariante y contravariante.
& &
Si las coordenadas [ i fueran transformadas para [ i , las bases g i y g j serán transformadas respectivamente a:
& &
& wr w[ k wr w[ k &
gi gi
w[ i w[ i w[ k w[ i
& w[ i w[ i & k
gj ’[ i ’[ k g
w[ k w[ k
En las dos ecuaciones anteriores, las repeticiones en k indican la suma de 1 a 3. Observe que las matrices de
w[ k w[ i
transformación de las bases natural y dual, son respectivamente y . Los vectores que transforman la
w[ i w[ k
primera ecuación son llamados “covariantes” y os que transforman la segunda ecuación se llaman
“contravariantes”. Así, la base natural es denominada “base covariante”” y la base dual “base contravariante”.
& &
Un vector puede ser descrito en términos de la base natural, g i , o de la base dual g j . Los componentes de los
& &
términos de g i son denominados “componentes contravariantes” y los referentes a la base g j , “componentes
covariantes”. Se denominan “componentes físicos” a los componentes de un vector descrito en términos de las
& &
bases a i y b i .
2

3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Elemento de arco.
x3
El elemento de vector de localización es: &
& 'r
& & r
dr e i dx i g i d[ i
& &
Y el elemento de arco es: r 'r
* x2
ds

4. 2 dr ˜ dr g i g j d[ i d[ j con suma en i y en j
En el sistema curvilíneo ortogonal x1
g i g j 0, e i z j
Factor de escala.
En el estudio de sistemas de coordenadas curvilíneas, una de las cantidades importantes es el factor de escala,
definido por la ecuación:
wr
hi
w[ j
Las coordenadas cartesianas xi y en las curvilíneas [ i un mismo punto están relacionadas a través de las
ecuaciones:
x i x i ([ 1 , [ 2 , [ 3 )
[i [ i ( x 1 ,x 2 , x 3 )
O viceversa.
De las ecuaciones anteriores se obtienen:
1
ª§ wx ·
2
§ wx ·
2
§ wx ·
2 º2
hi «¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ »
¨
«© w[ i ¸ ¨ w[ ¸ ¨ w[ ¸ »
¬ ¹ © i ¹ © i ¹ ¼
1
hi
1
ª§ w[ ·
2
§ w[ ·
2
§ w[ ·
2 º2
«¨ i ¸ ¨ i ¸ ¨ i ¸ »
«¨ wx 1 ¸ ¨ wx ¸ ¨ wx ¸ »
¬© ¹ © 2 ¹ © 3 ¹ ¼
Derivada de los vectores a i en relación a [ i .
Los vectores a i de un sistema de coordenadas curvilíneas, al contrario de los vectores de un sistema cartesiano,
dependen de las coordenadas, por tanto, sus derivadas no son nulas. Para sistemas de coordenadas ortogonales
tales derivadas son:
wa i a n wh i a r wh i
, n z i, n z r, r z i
w[ i h n w[ n h r w[ r
wa i a n wh n
, nzi
w[ n h i w[ i
Los índices repetidos en las dos últimas ecuaciones, no indican suma. De las ecuaciones anteriores se obtiene:
3

5. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
wa 1 a 2 wh 1 a 3 wh 1 wa 2 a 1 wh 2 a 3 wh 2
w[ 1 h 2 w[ 2 h 3 w[ 3 w[ 2 h 1 w[ 1 h 3 w[ 3
wa 3 a 1 wh 3 a 2 wh 3 wa 1 a 3 wh 2
w[ 3 h 1 w[ 1 h 2 w[ 2 w[ 2 h 1 w[ 1
wa 1 a 3 wh 3 wa 2 a 1 wh 1
w[ 3 h 1 w[ 1 w[ 1 h 2 w[ 2
wa 2 a 3 wh 3 wa 3 a 1 wh 1
w[ 3 h 2 w[ 2 w[ 1 h 3 w[ 3
wa 3 a 2 wh 2
w[ 2 h 3 w[ 3
4