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Movimiento planetario

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  • 1. Capítulo 8MOVIMIENTO PLANETARIOGRAVITACIÓN UNIVERSAL PLANETARIO MOVIMIENTO PLANETARIO Uno de los problemas de gran dis- cusión, desde tiempos antiguos hasta la actualidad, es precisamen- te el estudio de los cuerpos celeste, es decir el movimiento planetario. Fue la necesidad que obligó al hom- bre antiguo a la evolución del estu- dio de la Astronomía. La vida de los pueblos antiguos es- taban orientadas por los fenóme- nos celestes. Las actividades huma- ¿Por qué las estrellas no caen hacia la Tierra? ¿De dónde están suspendidas? nas estaban reguladas por la pre- sencia y ausencia del Sol, la Luna, las estrellas, los vientos, etc. Inclusive hoy en día, gran parte de nuestros quehaceres están supeditado a la presencia de los mismos. En ciertas épocas, las noches son más largas que los Con la Luna llena es más difícil la pesca. días ¿Por qué? Pero, ¿Qué tiene que ver nuestra vida con el Sol, la Luna, los vientos, las estrellas?.- Muy fácil. No estamos solos, nuestro planeta pertenece a una galaxia y así también existen otras galaxias y todas estas al Universo. Por todo lo explicado, no es de extrañar que el cielo haya sido objeto de investigación y que se hayan realizado muchos intentos para explicar el movimiento de los astros. Las diferentes posiciones de los astros fue- ron quizá, el motivo de gran estudio para los antiguos.
  • 2. 202 Jorge Mendoza DueñasLos egipcios y los babilonios trataron de darle ex-plicación certera al movimiento planetario, sinembargo sólo pudieron explicarlos mediante mi-tos y leyendas. Cabe mencionar que un negocio odesviación de este estudio es la Astrología, a travésde los horóscopos, que en la actualidad todavíaatrae a ciertas personas, las cuales creen inocente-mente en dicho “Estudio” .Los griegos, que consideraban al hombre como elcentro del Universo, suponían que la Tierra era elcentro geométrico del Universo y que los cuerposcelestes se movían alrededor de la Tierra.Los cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron or-denados de acuerdo con la distancia promedio ala Tierra; la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, SISTEMA DE PTOLOMEOJúpiter y Saturno. Esta teoría parecía lógica, puesto que con esto se explicaba el movimiento retrógrado de algunos planetas, o sea que a veces se veía que un planeta se movía en cierto sentido y otras veces en senti- do contrario. Con el fin de mejorar esta teoría se le introdujeron ciertas modificaciones, hasta que terminó por ser una teoría muy confusa, lo que indujo a Alfonso X Rey de Castilla en el Siglo XII, a comentar que si hubiese sido consultado en la creación del Univer- so, habría hecho un mundo mejor y más simple. Sin embargo, las ideas de Ptolomeo guardaban gran concordancia con la Iglesia Católica, ya que la “Suprema Creación” tenía que ser el hombre y como habitaba en la Tierra, pues, la Tierra tendría que ser el centro del Universo. Esto se alimentó mucho más con algunas ideasLos Filósofos de esa época suponían que los plane- vertidas por el filósofo Aristóteles, quien no tuvotas, el Sol, la Luna y las estrellas, estaban incrusta- mucha suerte en el campo de la Astronomía.das en esferas que giraban en torno a la Tierra. A (1) Solpesar de conseguir, con este modelo, una reproduc- (2) Mercurioción razonable de los movimientos observados, la (3) Venus (4) Tierranecesidad de ajustarlo del modo conveniente a los (5) Lunahechos, obligó a los griegos a usar a veces un gran (6) Marte (7) Júpiternúmero de esferas para explicar el movimiento de (8) Saturnoun único planeta, con lo cual el “Universo Griego”resultó muy complicado.En el siglo segundo de la Era Cristiana, el astróno-mo Claudio Ptolomeo de Alejandría, estructuró unmodelo planetario que tendría gran aceptación,que prevalecería durante la Edad Media. El supo-nía que todos los planetas se movían en círculos,cuyos centros giraban en torno a la Tierra. SISTEMA DE COPÉRNICO
  • 3. Movimiento Planetario 203Esta descripción fue aceptada como correcta hasta que en el siglo XVI el monje y astrónomo polaco NicolásCopérnico, que buscaba una solución más simple, propuso describir el movimiento de todos los planetasen órbitas circulares; incluyendo la Tierra con respecto al Sol, el cual estaría en el centro. La idea no eranueva, había sido propuesta por primera vez por el astrónomo griego Aristarco alrededor del siglo III A.C.De acuerdo a Copérnico, el orden de las órbitas de los planetas, con respecto al Sol, era: Mercurio, Venus,Tierra, Marte, Júpiter y Saturno; la Luna girando en torno a la Tierra.Sin embargo; un sistema en que el Sol se consideraba inmóvil y la Tierra pasaba a ser un planeta en movi-miento, como cualquiera de los otros era totalmente contrario a la Filosofía de la Iglesia.Temiendo represalias por parte de la Inquisición, Copérnico se abstuvo durante mucho tiempo de publicarsu libro. El primer ejemplar lo recibió en su lecho de muerte. Debido a está publicación, Copérnico fuetachado de loco y hereje; sus ideas fueron consideradas falsas y opuestas a las Sagradas Escrituras.Tycho Brahe, con el deseo de demostrar que la teoría de Copérnico era falsa, realizó mediciones de lasposiciones de los cuerpos celestes durante 20 años. Lo realizó con tanta precisión, que esas medidas fueronaprovechadas por su alumno, el alemán Johannes Kepler, quien descubrió que las órbitas que realizabanlos planetas no eran circulares sino elípticas. Así pues, el error que tuvo Copérnico fue admitir órbitas circulares para los planetas, si- guiendo una antigua tradición griega que consideraba el círcu- Profesor: lo como curva perfecta; como el Copérnico, tenía razón, su Universo era obra de Dios y por único error era que las lo tanto una obra perfecta, las orbitas no son circulares sino elípticas. trayectorias de los planetas de- berían ser circulares. Tycho Brahe J. KeplerLos descubrimientos de Kepler se reducen a tres leyes que daremos a conocer en la síntesis que viene acontinuación.1.- TEORÍA GEOCÉNTRICA 3.- TEORÍA ACTUAL Johannes Kepler, basado en las mediciones de Fue enunciada por Claudio Ptolomeo, quien su profesor Tycho Brahe, formuló las siguien- sostenía que todos los cuerpos celestes gira- tes leyes: ban alrededor de la Tierra describiendo órbi- tas circulares. Es decir que se consideraba a la A) Ley de las Orbitas Tierra como el centro del Universo. Los planetas giran alrededor del Sol descri- biendo órbitas elípticas, en uno de cuyos fo-2.- TEORÍA HELIOCÉNTRICA cos se encuentra el Sol. Fue enunciada por Nicolás Copérnico, quien sostenía que eran los planetas los que giraban alrededor del Sol describien- do órbitas circulares. Años más tarde esta teoría fue apoyada por Galileo Galilei, quien utilizando su te- lescopio rudimentario también llegó a la conclusión que los planetas giraban alre- dedor del Sol.
  • 4. 204 Jorge Mendoza DueñasB) Ley de la Áreas GRAVITACIÓN UNIVERSAL GRAVIT VITACIÓN El área barrida por el radio vector que une el Sol con un planeta es la misma para tiempos El estudio del movimiento de los planetas, trajo iguales. como consecuencia que el famoso astrónomo Galileo (amigo de Kepler) se inclinara a defender la Si: TAB = TCD Se cumple: A1 = A2 teoría de Copérnico, gracias a la ayuda del telesco- pio que el mismo inventara. Sucede que los estudios realizados por Kepler y Galileo fueron la base para que Newton formulara su Ley de la Gravitación Universal. Newton, quien precisamente había nacido el mismo año que falle- ció Galileo, se preguntaba -¿Por qué los planetas gi- ran en torno al Sol?-, llegó a la conclusión que una fuerza centrípeta obligaba a los planetas a realizar este movimiento; así pues, Newton nota que el Sol atraía a los planetas. Con cierta fuerza “F”; es más,C) Ley de los Períodos Newton notó que cada planeta atraía también al Sol. Cuando un planeta se mueve alrededor del Newton descubrió también que no solo los plane- Sol, se observa que el cuadrado de su perío- tas se atraen, sino que todos los cuerpos experimen- do de revolución es directamente proporcio- tan una atracción mutua. nal al cubo del radio vector medio. Radio medio = RM R1 + r1 RM1 = 2 R2 + r2 RM2 = 2 T12 T22 3 = 3 = .... = cte. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL RM1 RM2 “Dos cuerpos cualesquiera en el Universo, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional a cada una de las masas e inversamente proporcional al cua- drado de la distancia que separa sus centros.” Gm1m2 N × m2 r1 R 1 F= G = 6 , 67 × 10−11 d2 kg2 NOTA Con las leyes de Kepler no significa que se ha- yan resuelto los enigmas del sistema solar y Algunos Valores: menos del Universo, aún falta mucho por Radio de la Tierra : RT = 6 370 km descubrir. 24 Masa de la Tierra : MT = 5,98×10 kg 27 3 Volumen de la Tierra : VT = 1,09×10 cm 3 Densidad de la Tierra : DT = 5,5 g/cm
  • 5. Ciencia y TecnologíaMovimiento Planetario 205 Dibujo Dibujo Los cuerpos caen ¿Porqué los cuerpos no caen hacia arriba?, en realidad muchas personas se hacen esta pre- gunta en algún momento; sin embargo los tér- minos “arriba” y “abajo” son relativos y depen- den enteramente de la posición del observador. Cuando un cuerpo es soltado desde cierta altu- ra, éste se ve atraída por la Tierra con cierta fuer- za llamada peso (fuerza gravitacional); como quiera que la fuerza es una magnitud vectorial, tiene dirección y sentido; la Tierra atrae al cuer- po en mención hacia su centro. De todo lo ex- puesto hay que precisar que lo correcto es de- cir: “el cuerpo cae hacia el centro de la Tierra”. Aguas abajo Las aguas del río aprovechan la pendiente del mis- mo, no podría existir un río plano. Cada partícula de agua tiene una componente de su peso en la di- rección del plano del río que hace que la masa del agua se muevan “aguas abajo”. Este mismo principio se usa en los sistemas de al- cantarillado, canales de irrigación, etc.
  • 6. 206 Jorge Mendoza Dueñas Ciencia y Tecnología astronauta El peso de un astronauta en la Luna La fuerza de atracción que un planeta ejerce sobre otro cuerpo, toma el nombre de peso; dicha fuerza se rige mediante la siguiente expresión. GmM F= d2 Donde “M” es la masa del planeta o cuerpo celeste; en virtud a ello, es que se puede afirmar. Mayor masa del planeta o cuerpo celeste ⇒ mayor fuerza F. Menor masa del planeta o cuerpo celeste ⇒ menor fuerza F. Como quiera que la Tierra tiene mayor masa que la Luna; una persona pesará más en la Tierra que en la Luna y por tanto flotará en la Luna como lo hace un papel en la Tierra (exagerando un tanto). artificial? ¿Cómo lanzar un satélite artificial? Newton fue uno de los primeros científicos que consideró la posibilidad de lanzar un cuerpo desde una cima muy alta y hacerlo girar alrededor de la Tierra gracias al lanzamiento con un cañón; sin embargo, apoyándonos en las ecuaciones de gravitación universal podemos calcular fácilmente la velocidad necesaria que requiere el proyectil para realizar tan fabulosa aventura; ésta es v = 8 km/s = 28 800 km/h; no existe un misil que empuje al proyectil a tanta velocidad. Para poner en orbita alrededor de la Tierra un cuerpo; es necesario el uso de una nave espacial, la cual está comformada por la nave en sí y un cohete cuyo interior está compuesto por un conjunto de almacenes de combustible para posteriormente quemarlo y formar grandes nubes de gas los cuales escapan con fuerza hacia atrás, mientras que la nave es empujada hacía arriba. En realidad un cohete tiene varios sub-cohetes, la primera hace que la nave alcance una velocidad de 9 500 km/h, para después ser dejado caer al océano; la segunda hace que la nave alcance 22 500 km/h; mientras que la tercera alcanza la velocidad de 28 800 km/h que es la velocidad mínima que necesita un cuerpo para que gire en orbita alrededor de la Tierra; en ese momento la altura promedio es de 190 km. Estando la nave a dicha velocidad; se puede lanzar el “satélite artificial” con una velocidad tangencial, el cual quedará en orbita.
  • 7. Movimiento Planetario 207 TEST1.- Para determinar la atracción gravitacional entre dos III. Los planetas giran alrededor del Sol describien- cuerpos, es necesario conocer: do órbitas elípticas en uno de cuyos focos se en- cuentra el Sol. a) Sus masas y la distancia entre ellas. b) Sus velocidades orbitales y sus masas. a) FVV c) Sus velocidades orbitales y la distancia entre ellas. b) VVV d) Sus masas, la distancia entre ellas y sus velocidades. c) VVF e) Solo sus masas. d) FFV e) FFF2.- La velocidad mínima para que un cuerpo se mantenga en órbita alrededor de la Tierra, es de aproximadamente. 6.- Señalar la alternativa incorrecta respecto a la Ley de Gravitación Universal. a) 1 km por segundo. b) 15 km por segundo. a) La fuerza gravitatoria es proporcional al produc- c) 3 km por segundo. to de las masas. d) 8 km por segundo. b) La fuerza gravitatoria es inversamente propor- e) No se puede predecir. cional al cuadrado de la distancia que separa las masas.3.- Respecto al movimiento planetario señalar verdade- c) El campo gravitatorio es un campo energético ro o falso: vectorial. d) La constante de gravitación es variable con el I.- El período de movimiento es proporcional a la dis- tiempo y de acuerdo a los cuerpos que tancia media al Sol. interactúan. II.- Barren áreas iguales en tiempos iguales en sus e) Los cuerpos ubicados en la superficie de los pla- respectivas orbitas. netas soportan la mayor fuerza gravitatoria. III.- Todos los planetas describen orbitas hiperbólicas y parabólicas. 7.- Un planeta barre las áreas observa- a) FFF das en la figura, b) VVF siendo A1 = 3 A2 c) FVF ¿Qué podría opi- d) VFV nar de los tiempos e) VVV transcurridos?4.- Relaciona correctamente: a) TAB = 1/3 TCD I.- Teoría Geocéntrica. (a) Lord Cavendichs b) TAB = TCD II.- Teoría Heliocéntrica. (b) Isaac Newton c) TAB = 3 TCD III.- Descubrimiento de la (c) Nicolás Copérnico constante de gravitación (d) Claudio Ptolomeo d) TAB = 9 TCD universal. e) TAB = 27 TCD IV.- Ley de Gravitación Universal. 8.- Hallar la relación entre los períodos de los planetas “A” y a) I c, II a, III b, IV d “B” alrededor del Sol, conociendo los datos de la figura. b) I c, II d, III a, IV a c) I a, II b, III c, IV d d) I b, II c, III a, IV d e) I d, II a, III c, IV b5.- Señalar verdadero o falso, respecto al movimiento pla- netario y la Ley de Gravitación Universal. a) TA = TB d) b g TA = 7 / 9 TB 2 2 I. La teoría geocéntrica fue sostenida por Claudio 2 TA 73 Ptolomeo y apoyada por Galileo Galilei. b) TA = 7/9 TB e) 2 = II. El radio vector que une el Sol con un planeta, re- TB 93 corre arcos iguales en tiempos iguales. c) TA = 9/7 TB
  • 8. 208 Jorge Mendoza Dueñas9.- En la figura, la masa “m” tiene un peso “P” en el planeta 10.- El peso de una masa “m” sobre la superficie de un pla- “A” ¿Cuál es su peso en el planeta “B”? neta es “P” ¿Cuál será su peso a una altura igual al ra- dio del planeta respecto a su superficie? P a) 2 b) 2P c) 4P 3 8 P a) P d) P d) 2 9 4 P 2 P b) e) P e) 2 3 8 c) 2P RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A problemas de aplicación1.- Se tiene dos cuerpos de masa m1 y m2 separados 3 m 2.- Determinar una expresión que nos permita calcular como muestra la figura. Calcular la fuerza de atracción. la aceleración de la gravedad en cualquier punto res- pecto a la Tierra. m1 = 3 × 107 kg Solución: m2 = 3 × 105 kg t En el punto “P” Solución: F = peso = mg t Datos: GMm 2 = mg N × m2 bR + hg G = 6 , 67 × 10 −11 2 ; d = 3m kg GM m1 = 3 × 107 kg ; F = ?(N) De donde: g= 2 bR + hg m2 = 3 × 105 kg 3.- Calcular la aceleración de la gravedad en la superficie t De la fórmula: de la Tierra. Gm1m2 Solución: F= d2 GMT −11 e6,67 ×10 je3 ×10 je3 ×10 j 7 5 g= 2 F= 2 b RT + h g b3g Superficie de la Tierra: h= 0 F = 6 , 67 × 101 GMT F = 6 , 67 N Luego: g= R2 T
  • 9. Movimiento Planetario 209 N × m2 t Equilibrio: G = 6 , 67 × 10 −11 kg2 FT = FL MT = 5, 98 × 1024 kg GMT GML 2 = 2 R = 6 370 000 m x bd − xg Reemplazando: Gb81M g L GM 2 = L 2 g= GMT = 9, 8 x bd − x g R2 2 T FG 9 IJ = FG 1 IJ ⇒ 2 9 = 1 g = 9 , 8 m / s2 H xK H d− xK x d− x4.- Un cuerpo pesa al nivel del mar 75 N; ¿a qué altura x = 0, 9 d debe elevarse para que su nuevo peso sea 3 N? (dar su respuesta en función de R = radio terrestre). 2.- Hallar la gravedad a una altura igual a 1 600 km sobre la superficie terrestre, asumiendo que el radio terres- Solución: tre es R = 6 400 km. t t En la superficie (punto A) Solución: 6 400 Rt 1 600 = = GMm 4 4 = 75 ........... (1) R2 GM g= 2 bR + hg t GM GM 16 g= ⇒ g= = gt t En el punto B: 2 2 FG R + R IJ t FG 5 R IJ 25 GMm = 3 ........... (2) H 4K t H4 K t 2 bR + Hg 16 g= 25 b g 9, 8 ⇒ g = 6 , 27 m / s2 t De (1) y (2): 2 FG R + HIJ = 25 ⇒ H = 4R 3.- ¿Cuánto pesará un cuerpo de 20 N en un planeta cuya densidad promedio es el triple de la densidad promedio H R K terrestre y cuyo radio es la tercera parte del radio terres- tre?, considere a los planetas como esferas perfectas. 4 Vesfera = πR3 3 B problemas complementarios Solución:1.- La separación entre la Tierra y la Luna es “d” ¿en qué , lugar del espacio entre estos dos cuerpos, se debe colocar una pequeña masa para que se encuentre el equilibrio si M = 81 M ?, dar como respuesta en fun- T L ción de “d”. Solución: t Datos: RT DP = 3 D T ; RP = 3 t Para calcular el peso de un cuerpo de 20 N en el planeta (P), bastará calcular (g ) en función de g . P T
  • 10. 210 Jorge Mendoza Dueñas t Partiendo de: DP = 3 D T Solución: mP m =3 T VP VT F V I = 3 m FG 3 πR IJ 4 3 P = 3m G J P mP H V K GGH 4 πR JJK T T T 3 T 3 3 RP mP = 3 mT R3 t FC = FG T t Ahora: En la superficie del planeta mv 2 GMm F 3m R I 3 = 2 T P r r G R JJ 3 F I = GG Gm 3GmT RP g = GG R JJ ⇒ gP = P T GM GM 1 GM P R 2 P 2 P R2 T GH JK RT v2 = r ⇒ v= 4R ⇒ v= 2 R H K 6.- Si la masa de la Tierra es 80 veces la de la Luna y su radio F 1I g = 3g G J ⇒ g = g 4 veces el de ésta, ¿qué tiempo tardará en alcanzar la P H 3K T P T altura máxima, un cuerpo lanzado verticalmente hacia t Finalmente: arriba en la Luna, con una velocidad de 20 m/s? Wcuerpo en = Wcuerpo en = 20 N Solución: el planeta la Tierra MT = 80 ML FG M IJ G T U | gL = GML = H 80 K R T = 4RL V 2 24.- En la figura mostrada, un planeta demora 4 meses en gL = ? | RL FG R IJ T hacer el recorrido AB. ¿Qué tiempo emplea el planeta W H 4K en el recorrido BC? GMT g 9, 8 gL = = = 5R2 T 5 5 gL = 1, 96 m / s2 t Cuando el cuerpo es lanzado en la superficie de la Luna. t AB = ? vF = v o − gLt AB Solución: Ley de las Áreas: b g 0 = 20 − 1, 96 t AB El área barrida por el radio vector que une el t AB = 10 , 20 s Sol con un planeta es la misma para tiempos iguales. 7.- Determinar el período de revolución de un satélite artificial de la “Tierra” el cual se encuentra a una altura , t Luego: S 4 meses igual al doble del radio terrestre: 2S t g : aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. t = 8 meses R : radio terrestre. t Finalmente: tBC = 8 meses Solución:5.- ¿Con qué velocidad lineal se traslada un satélite alre- dedor de la Tierra si su órbita se encuentra a una altu- ra h = 3R sobre la superficie de la Tierra?. Dar la res- puesta en términos de G, M (masa de la Tierra) y R (ra- dio de la Tierra).
  • 11. Movimiento Planetario 211 t Calculando la aceleración de la gravedad en P. GM GM GM gP = 2 = 2 ⇒ gP = bR + hg bR + 2Rg 9R2 g gP = 9 Siendo : g, la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. t FC = peso = mgP t Caso “B”: GM b g mω 2 radio = mgP gB = r2 mω b3Rg = mg 2 P ⇒ mω 2 3R = m b g FGH gIJK 9 g GM ........... (1) = 2 4 r2 ω2 = g ⇒ FG 2π IJ = g 27R H TK 27R t Nótese que la densidad es la misma. M M T = 6π 3R ρ= = 4 3 4 3 g πR πr 3 3 M⋅r 3 ........... (2)8.- Si el radio terrestre es “R” ¿A qué profundidad de la . De donde: M = superficie terrestre, la aceleración de la gravedad es R3 el 25% de su valor en la superficie? t (2) en (1): Solución: g G Mr 3 GM r = = 2 ⇒ g =g r FG IJ ⇒ r= R Aparentemente se puede creer que a medida que 4 r 2 R3 R R 4 R H K 4 uno se introduce al globo terráqueo, la aceleración t Nos piden: x = ? de la gravedad aumenta, en realidad sucede lo con- trario ( g disminuye). Esto se debe a que la masa atrac- R 3R x =R−r =R− ⇒ x= tiva también disminuye. 4 4 PROBLEMAS PROPUESTOS A problemas de aplicación1.- Si la aceleración de la gravedad en la Luna es 1/6 del 3.- Si en Júpiter la aceleración de la gravedad es 2,64 ve- valor de la aceleración de la gravedad terrestre. ¿Cuán- ces mayor que la terrestre. ¿Cuánto pesará una perso- to pesará en la Luna un astronauta, que en Tierra pesa na de 70 kg? 800 N? (g = 10 m/s2). Tierra Rpta. 1 811 N Rpta. 133,33 N 4.- ¿Con qué velocidad debe dispararse un cuerpo verti- calmente y hacia arriba desde la superficie terrestre,2.- ¿A qué altura debe elevarse un cuerpo, para que su para que alcance una altura igual al doble del radio peso sea la mitad del que tiene en la superficie de la de la Tierra? (g = 10 m/s2 ; R = 6 400 km). Tierra T 2 Tierra? (gTierra = 10 m/s ; RT = 6 400 km). Rpta. 9,24 km/s 5.- Dos planetas A y B giran alrededor de una estrella. El Rpta. h = 2 560 km planeta A demora en dar 1 vuelta 365 días y el planeta
  • 12. 212 Jorge Mendoza Dueñas B demora 2 920 días. ¿Cuál es la relación (R /R ) sien- 3.- El tren lunar (conjunto módulo de servicio, módulo A B do R y R los radios de sus orbitas? de comando, módulo de alunizaje) del proyecto A B Apolo para la conquista de la Luna, tiene 63 000 kg RA 1 de masa. ¿Cuál será su peso cuando está en Tierra y Rpta. = cuál a 200 km de altura? (g = 10 m/s2). RB 4 Tierra 56.- ¿A qué distancia del centro de la Tierra debe estar una Rpta. Peso en Tierra = 6,3×10 N 5 nave espacial en vuelo hacia la Luna para que ahí so- Peso en (h = 200 km) = 5,9×10 N porte una fuerza de gravedad nula. Si la distancia en- tre los centros de la Tierra y la Luna es 384 000 km y la 4.- En la figura, se muestra las posiciones relativas de tres masa terrestre es 81 veces la masa de la Luna? masas en un instante dado. Dos masas iguales “m” se- paradas una distancia “b” y una tercera masa “m/2” en Rpta. 345 600 km un punto P equidistante de las otras dos. Calcular la aceleración de la masa colocada en el punto P.7.- Determinar el período de revolución de un satélite ar- tificial de la Tierra el cual se encuentra a una altura igual al doble del radio terrestre. Determinar la velocidad 3b tangencial con que gira. (gT = 10 m/s2 ; RT = 6 400 km) 2 Rpta. T = 7,25 h v = 4,62 km/s8.- Si la Luna está a 60 radios terrestres del centro de la Tierra, ¿Cuál es el valor de la aceleración de la grave- dad terrestre, sobre nuestro satélite, si el valor prome- Gm 3 dio de g en la superficie de la Tierra es 9,8 m/s2? Rpta. a= b2 Rpta. 0,002 72 m/s2 5.- Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la Tierra igual a seis veces el radio9.- La densidad de Marte es aproximadamente 5/8 de la de la Tierra. Calcular la velocidad que tendría al llegar a la densidad de la Tierra; y su radio es 16/25 del radio de superficie de la Tierra (g = 10 m/s2). la Tierra. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la grave- dad en Marte? (gTierra = 10 m/s2). 400 Rpta. v= 10 m / s Rpta. 4 m/s2 310.- El satélite “INTELSAT” usado para transmitir vía satéli- , 6.- Si el radio terrestre es “R” y suponemos que la Tierra es te, siempre está sobre el Brasil. ¿A qué distancia de la esférica, maciza y homogénea. ¿A qué profundidad de superficie de la Tierra se encuentra? la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es el 25% de su valor en la superficie? GMT2 Rpta. h= 3 −R 3R 4π 2 Rpta. 4 7.- Un cuerpo se ha lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad ini- B problemas complementarios cial vo. Determinar la altura H alcanzada teniendo en cuenta que la variación de la fuerza de gravedad es1.- ¿A qué altura un cuerpo tendrá un peso que es 1/3 inversamente proporcional al cuadrado de la distan- del que tiene en la superficie de la Tierra? cia al centro de la Tierra. La resistencia del aire se des- R : radio terrestre. precia. El radio de la Tierra es 6 400 km y vo = 1 km/s Rpta. R e 3 −1 j Rpta. 50 km2.- Un cuerpo en la superficie terrestre pesa un prome- 8.- ¿Con qué velocidad debe dispararse un proyectil para dio de 800 N; a 1 000 km sobre la superficie de la Tie- que escape del campo gravitatorio terrestre como rra, ¿cuál será su peso? mínimo? Rpta. 597 N Rpta. 11,18 km/s

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