Makalah

1,158 views
1,079 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,158
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
72
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Makalah

  1. 1. Tugas Kelompok Metode Numerik INITIAL VALUE PROBLEMS (Single, First Order ODE and Systems of Coupled First Order ODE) Oleh : Kelompok 6 Kelas C Ella Melyna 0907114082 Riska Widiya 0907114087 Muchlis Ade Putra 0907114265 Andreas Sahat P 0907133207 PROGRAM SARJANA TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU PEKANBARU 2011
  2. 2. KATA PENGANTAR Metode Numerik merupakan mata kuliah wajib Semester V pada program studi S1 Teknik Kimia dengan beban 3 SKS. Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan masalah matematis teknik kimia secara numerik. Makalah Initial Value Problems (Single, First Order ODE and Systems of Coupled First Order ODE) ini disusun untuk memenuhi nilai tugas pada semester V mata kuliah Metode Numerik. Makalah ini disusun berdasarkan hasil studi pustaka dan diskusi kelompok. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan saran-saran yang sifatnya membangun sebagai bahan pertimbangan untuk penulisan makalah di masa yang akan datang. Semoga makalah ini dapat memberikan sumbangan bagi perkembangan pendidikan dan bermanfaat bagi kita semua terutama bagi mahasiswa Teknik Kimia, Universitas Riau. Pekanbaru, November 2011 Penulis
  3. 3. DAFTAR ISI Kata Pengantar .........................................................................................................i Daftar Isi..................................................................................................................ii Bab I : Pendahuluan 1.1 Pengertian Persamaan Differensial.................................................................1 1.2 Initial Value Problem (IVP)...........................................................................3 1.3 Contoh – Contoh Permasalahan Dalam Bidang Teknik yang diselesaikan dengan IVP.....................................................................................................4 Bab II : Dasar Teori 2.1 Metode Penyelesaian Single, First Order ODE ............................................8 2.1.1 Metode Euler (Explicit).........................................................................8 2.1.2 Metode Runge Kutta............................................................................11 2.1.3 Metode Implisit....................................................................................14 2.2 Metode Penyelesaian Systems of Coupled First Order ODE.......................14 2.2.1 Metode Explicit Euler..........................................................................14 2.2.2 Metode Runge Kutta............................................................................17 2.2.3 Metode Trapezoidal.............................................................................22 2.3 Converting an nth Order ODE to a System of First Order ODE’s..............26 Bab III: Contoh-Contoh Kasus Dalam Teknik Kimia dan Penyelesaiannya.30 Bab IV : Ringkasan..............................................................................................41 Daftar Pustaka......................................................................................................43
  4. 4. BAB I PENDAHULUAN 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. (A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or partial derivatives). Selanjutnya jika dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Differensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Differensial Parsial (PDP). Contoh: 1. 5=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ xy t y x y (Persamaan Differensial Parsial) 2. 03 2 2 2 =−      −+ x dx dy dx yd dx dy (Persamaan Differensial Biasa) Order suatu persamaan differensial biasa adalah order tertinggi dari turunan dalam persamaan 0),....,",',( )( =n yyyxF . Contoh no.2 adalah persamaan differensial biasa order dua. Persamaan differensial biasa order n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk. )()(')(......)()( 1 )1( 1 )( 0 xFyxayxayxayxa nn nn =++++ − − dengan 0)(0 ≠xa . 1. Jika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. 2. Jika koefisien )(),.....,(),( 10 xaxaxa n konstan maka disebut persamaan differensial linier dengan koefisien konstan, jika tidak disebut persamaan differensial linier dengan koefisien variable. 3. Jika 0)( =xF , maka disebut persamaan differensial linier homogen, jika 0)( <>xF disebut tidak homogen. Persamaan differensial itu terbagi berdasarkan :
  5. 5. 1. Berdasarkan pangkat orde : a. Persamaan differensial biasa orde satu Persamaan differensial orde satu merupakan bentuk persamaan differensial yang paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel tak bebasnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut persamaan differensial yang terpisah dan untuk menentukan selesaiannya tinggal diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut persamaan differensial tak terpisah. Suatu persamaan differensial orde satu yang tak terpisah biasanya dapat dengan mudah dijadikan persamaan differensial terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya. b. Persamaan differensial biasa orde dua c. Persamaan differensial biasa orde tiga 2. Berdasarkan kondisi batas: a. IVP (Initial Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya diketahui pada kondisi nilai mula-mula b. BVP (Boundary Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya diketahui lebih dari satu nilai variabel bebasnya 1.2 Initial Value Problem (IVP) Initial Value Problem (IVP) merupakan materi yang penting untuk dipelajari oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar IVP adalah masalah sementara yaitu, variabel-variabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu contoh
  6. 6. permasalahan yang bisa diselesaikan dengan IVP dalam bidang teknik kimia adalah variasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reaktor batch. ODE (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan differensial yang berisi turunan dari satu variabel independen, sementara itu PDE berisi turunan dari variabel independen yang lebih dari satu. Pada persamaan differensial biasa (ODE), hanya terdapat 1 variabel bebas. Penyelesaian persamaan differensial biasa (ODE) dapat dilakukan dengan 4 metode yaitu : • Metode Euler (Explicit) • Metode Runge Kutta • Metode Euler Modifikasi (Implisit) • Metode Trapezoidal Initial Value Problem (IVP) terbagi 3 yaitu : 1.2.1 Single, First Order ODE Persamaan untuk IVP Single, First Order ODE bisa ditulis mengikuti bentuk: dimana : Metode penyelesaian Single, First Order ODE ada 3 yaitu: • Metode Euler (Explicit) • Metode Runge Kutta • Metode Euler Modifikasi (Implisit) 1.2.2 Systems of Coupled First Order ODE Persamaan untuk IVP Systems of Coupled First Order ODE bisa ditulis mengikuti bentuk:
  7. 7. Permasalahan yang lebih umum akan menjadi salah satu di mana f1 dan f2 juga fungsi dari variabel independen, x; yaitu Metode penyelesaian Systems of Coupled First Order ODE ada 3 yaitu: • Metode Euler (Explicit) • Metode Runge Kutta • Metode Trapezoidal 1.2.3 Initial Value Partial Diffrential Equations 1.3 Contoh – Contoh Permasalahan Dalam Bidang Teknik yang diselesaikan dengan IVP a. Untuk menghitung panjang lintasan bisbol yang dilempar dari bidang tengah lapangan bisbol ke home plate (lihat gambar 1.1). Asumsikan bahwa outfielder melepaskan bola delapan meter di atas tanah dan bisbol yang memiliki kecepatan awal V0 yang memiliki sudut θ dengan horizontal. Ingatlah bahwa perjalanan bisbol melalui udara, udara akan menyebabkan gaya gesek pada bola menentang kecepatan bola. Kekuatan tarik dapat ditunjukkan bervariasi dengan kuadrat kecepatan. Keseimbangan gaya pada bola di kedua arah x dan y hasil dalam dimana k adalah konstanta tarik, m adalah massa bola, ag adalah accelaration gravitasi, ay adalah accelaration bersih bola dalam arah y, dan ax adalah accelaration bersih bola dalam arah x. Perhatikan bahwa
  8. 8. kV2 adalah gaya gesekan total dan bahwa Vx/V adalah komponen gaya gesekan dalam arah x. Kedua accelaration dari bola dan kecepatan bola yang berhubungan dengan laju perubahan terhadap waktu dari jarak, x dan y, yaitu, persamaan yang dihasilkan adalah dimana pada t=0 Perhatikan, bahwa semua kondisi yang diketahui ditentukan pada satu kondisi waktu (yaitu, t = 0) dan dengan demikian ini merupakan kondisi awal dari masalah. Oleh karena itu, Trajectory of Baseball
  9. 9. Centerfielder Home Plate Gambar 1.1 Lintasan Bisbol masalah ini adalah masalah nilai awal (IVP) karena semua kondisi tertentu untuk satu nilai dari variabel independen (t) yaitu 0. x=0 x=250 ft t=0 t=3 sec y=6 y=1 ft Untuk menemukan lintasan yang cocok untuk kondisi batas akan mewakili Boundary Value Problem (BVP). b. Diasusmsikan reaktor Batch non-isotermal yang dioperasikan pada keadaan adiabatik (tidak ada pertukaran panas diantara rekator dengan lingkungan). Reaktor dapat dilihat pada gambar 4.7. Dalam reaktor terdapat reaksi campuran cairan dengan reaksi A P dimana r = kCA dan CA adalah konsentrasi A, dan E adalah energi aktivasi dari reaksi, R adalah konstanta gas, dan T adalah temperatur absolut. Dimana reaktor diasumsikan teraduk sempurna, unsteady state kesetimbangan mol komponen A adalah Karena volum reaktor, VR adalah konstan dan CA =nA/VR
  10. 10. Unsteady state kesetimbangan energi Dimana adalah densitas dari campuran reaksi, Cp adalah panas kapasitas rata-rata dari campuran reaksi, dan adalah panas reaksi dalam fungsi temperatur. Jadi untuk dT/dt, Persamaan ini kira-kira mendekati persamaaan 4.10 yang menjelaskan dimana konsentrasi A dan temperatur dalam sistem akan berubah terhadap waktu. Secara umum, panas reaksi tidak akan berpengaruh besar pada temperatur, sehingga persamaan 4.10 da 4.11 bisa menjadi dimana T=T0 dan CA=CA0 pada saat t=0. Di bawah ini adalah contoh gabungan dari dua persamaan pada sistem orde pertama. Dua persamaan ini digabungkan karena dCA/dt adalah fungsi T sementara CA dT/dt juga dalam fungsi CA dan T. BAB II DASAR TEORI
  11. 11. 2.1 Metode Penyelesaian Single, First Order ODE 2.1.1 Metode Euler (Explicit) Metode Ekplisit Euler disebut juga metoda integrasi nilai awal, dimana kondisi awal digunakan untuk menghitung slope y(x) pada saat x=x0 kemudian diasumsikan bahwa slope tetap konstan untuk jarak yang kecil , maka nilai adalah Rekursi umum hubungan metode Explicit Euler adalah atau ...................................................(2.1) Example 4.1 Hitung nilai y pada x = 1 dengan metode Euler jika persamaannya dimana y=1 pada saat x=0 Solusi Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y) maka Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi) maka yi+1 = yi + ∆x xi 2 yi Langkah 3. Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan
  12. 12. Asumsi ∆x= 0.1, ∆x= 0.05, ∆x= 0.02, ∆x= 0.01 xo = 0, yo = 1 Perbandingan nilai analitis dengan metode euler: x ∆x Nilai Analisis0,1 0,05 0,02 0,01 0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,1 1,0000 1,0001 1,0002 1,0003 1,0003 0,2 1,0010 1,0018 1,0023 1,0025 1,0027 0,3 1,0050 1,0069 1,0081 1,0086 1,0090 0,4 1,0140 1,0176 1,0199 1,0207 1,0216 0,5 1,0303 1,0361 1,0400 1,0412 1,0425 0,6 1,0560 1,0650 1,0707 1,0727 1,0747 0,7 1,0940 1,1070 1,1154 1,1182 1,1211 0,8 1,1476 1,1661 1,1718 1,1819 1,1861 0,9 1,2211 1,2468 1,2635 1,2692 1,2751 1,0 1,3200 1,3559 1,3792 1,3873 1,3956 ∆x y (x=1) 0,1 1,3200 0,05 1,3559 0,02 1,3792 0,01 1,3873 Gambar 2.1 Perbandingan nilai analitis dengan nilai yang didapat dengan metode Euler Example 4.2 Nilai Analisis
  13. 13. dimana nA=0 pada saat t=0 Gunakan metode explicit euler dan tentukan konsentrasi A (nA) pada saat t=100 sekon. Solusi Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y) maka Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi) maka nA (t + ∆t) = nA (t) + ∆t Langkah 3. Pilih ∆t yang tepat lalu selesaikan. Untuk ∆t=1. i t nA 0 1 2 3 . . . 10 . . . 100 0 1 2 3 . . . 10 . . . 100 0 10 19,8333 29,2713 . . . 80,9194 . . . 297,9401 Jadi, konsentrasi A (nA) pada saat t=100 sekon adalah 297,9401 gmol/liter
  14. 14. Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara nA dengan t Gambar 2.2 Hubungan konsentrasi A (nA) dengan waktu (t) 2.1.2 Metode Runge Kutta Metode Runge Kutta menyediakan pendekatan orde tinggi untuk integrasi explicit dari Persamaan Differesial Biasa (PDB) yang telah diketahui nilai awalnya (initial value). Sehingga, metode ini sangat luas penggunaanya untuk menyelesaikan integrasi PDB secara numerik. Seperti metode Euler, PDB diasumsikan memiliki bentuk umum sebagai berikut ......................................................(2.2) Metode Runge Kutta didasari oleh perluasan deret Taylor dari fungsi y(x) sebagai berikut .........................(2.3) Sebagai tambahan, ∆y diasumsikan memiliki bentuk sebagai berikut : .................................(2.4) dimana
  15. 15. ..........................(2.5) konfigurasi ini dipilih dengan tujuan untuk mendapatkan pendekatan slope y terhadap ∆x yang lebih baik. Dengan menuliskan perluasan deret Taylor untuk k1, k2, k3, dan k4 kemudian mensubtitusikannya ke persamaan (2.3), akan diperoleh persamaan yang bentuknya mirip dengan persamaan (2.2). Kemudian, dengan menyamakan koefisien yang variabelnya sama dan mengasumsikan nilai untuk n, m, dan p, maka nilai a, b, c, dan d dapat ditentukan. Berikut ini adalah persamaan umum Runge Kutta (n= ½, m=1/2, dan p= 1) ............................(2.6) dimana ) ) ) Example 4.3 Diketahui persamaan differensial sebagai berikut: Dimana y = 1, pada x = 0. Tentukan nilai y pada saat x = 1 dengan metode Runge Kutta! Solusi Langkah 1. Ubah persamaan ke bentuk dy/dx = f(x,y)
  16. 16. Langkah 2. Ubah persamaan tersebut ke bentuk Runge Kutta ) ) ) maka +0.0025x0.1) = 0.01 Langkah 3. Tentukan nilai yi+1 dengan persamaan Langkah 3. Pilih nilai ∆x yang tepat, lalu selesaikan Untuk ∆x = 1 i x y k1 k2 k3 k4 0 0 1 0 0,0025 0,0025 0,010003 1 0,1 1,00033 3 0,01000 3 0,02251 9 0,02253 3 0,040103 2 0,2 1,00267 0,04010 7 0,06279 2 0,06286 3 0,090806 3 0,3 1,00904 1 0,09081 4 0,12416 4 0,12436 8 0,163436 4 0,4 1,02156 0,16345 0,20852 0,20897 0,260615
  17. 17. 3 1 8 5 0,5 1,04254 7 0,26063 7 0,31931 3 0,3202 0,386844 6 0,6 1,07465 5 0,38687 6 0,46221 5 0,46380 6 0,549308 7 0,7 1,12112 6 0,54935 2 0,64608 4 0,64880 4 0,759044 8 0,8 1,18609 5 0,75910 1 0,88437 6 0,88890 2 1,032738 9 0,9 1,27506 9 1,03280 6 1,19735 5 1,20478 1,395547 10 1 1,39561 2 1,39561 2 1,61559 6 1,62772 2 1,885645 Jadi nilai y pada saat x=1 adalah 1,395612. Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan x
  18. 18. Gambar 2.3 Hubungan konsentrasi A (nA) dengan waktu (t) 2.1.3 Metode Implisit Metode implisit Euler dapat diturunkan dari perluasan deret Taylor sebagai berikut ) kemudian, dengan mengurangi ∆x2 dan orde yang lebih tinggi, maka persamaan (2.6) menjadi Metode implisit lain yang umum digunakan adalah metode trapezoidal. Persamaan umumnya adalah ......................(2.7) 2.2 Metode Penyelesaian Systems of Coupled First Order ODE 2.2.1 Metode Explicit Euler Metode Explicit Euler disajikan pada bagian terakhir dapat langsung diperpanjang untuk solusi sistem n-coupled first order ODE’s. Hal ini karena masing-masing dyi/dx bergantung secara umum pada semua nilai yi, masing- masing fi(x,y) dihitung sebelum nilai baru yi dihitung. Oleh karena itu, algoritma ini . . .
  19. 19. ......................................(2.8) dimana yi = (y1,j, y2,j, ..., yn,j). Sebagai contoh, yi,j adalah nilai yi pada ke-j nilai x (yaitu bila kondisi awal yang ditentukan saat x=0, maka j-ke nilai x akan menjadi jΔx). Karena metode ini didasarkan pada metode Euler Explicit, ini adalah metode orde pertama. Bergantung variabel (yi) yang paling cepat berubah biasanya menentukan apakah metode ini akan stabil untuk ukuran langkah yang diberikan. Untuk contoh pengantar untuk bagian ini, konsentrasi berubah dengan cepat dengan waktu, kemudian akan menentukan ukuran langkah yang diperlukan untuk stabilitas. Example 4.4 Diketahui persamaan differensial sebagai berikut: Dimana CA awal = 1 dan T awal = 300 K, tentukan konsentrasi dan temperatur setelah 100 sekon hingga tiga angka penting jika Solusi Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk maka Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Explicit Euler
  20. 20. maka dimana T0=300 K dan CA0=1 gmol/liter Langkah 3. Pilih Δt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas Untuk Δt = 0,02 i t NA T 0 1 2 . . . 2500 . . . 5000 0 0,02 0,04 . . . 50 . . . 100 1 0,999264 0,998529 . . . 0,153627 . . . 0,023062 300 300,007358 300,01471 . . . 308,463728 . . . 309,769376 Jadi, konsentrasi A (CA) dan temperatur (T) setelah t=100 sekon adalah CA=0,023062 gmol/liter dan T=309,769376 K Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara CA dan T terhadap t
  21. 21. Gambar 2.4 Hubungan antara konsentrasi A (CA) dan Temperature (T) terhadap waktu (t) 2.2.2 Metode Runge Kutta Dalam cara yang mirip dengan pengembangan metode Euler Explicit, metode Runge Kutta dapat diterapkan langsung ke solusi dari a set of coupled first order ODE’s. Mempertimbangkan urutan metode Runge Kutta keempat disajikan dalam bagian terakhir, Nilai-nilai k1 ditentukan untuk masing-masing bergantung variabel dan kemudian nilai ini digunakan untuk menghitung nilai-nilai k2, dan sebagainya. Kemudian hubungan rekursi untuk metode Runge Kutta urutan keempat diberikan sebagai
  22. 22. ................(2.9) dimana y,i,j adalah nilai i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j dalam x dan ..................(2.10) Metode ini adalah metode urutan keempat. Perilaku stabilitas metode ini akan serupa dengan yang dari metode Euler Explicit. Integrator Explicit dapat dengan mudah dimodifikasi untuk menyesuaikan ukuran langkah x selama proses integrasi. Sebagai contoh, Δx dapat dipilih sedemikian rupa sehingga perubahan relatif maksimal dalam setiap variabel adalah P persen. Dengan cara ini, ketika variabel-variabel bergantung yang berubah dengan cepat, ukuran langkah kecil dapat digunakan, dan ketika mereka berubah lebih cepat, langkah-langkah lebih besar dapat diambil. i=1,2,...,n Prosedur ini harus menghasilkan proses integrasi yang lebih efisien. Selain itu, P biasanya harus antara 1 dan 20%, sehingga memeriksa keakuratan ditentukan lebih langsung. Example 4.5 Persamaan differensial sebagai berikut: dimana y1=y2=y3=1 dan x=0.
  23. 23. Tentukan y1, y2, y3 pada x=0,3 menggunakan 4 urutan langkah metode Runge Kutta dengan Δx=0,1. Solusi Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke persamaan maka Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Runge Kutta maka
  24. 24. Langkah 3. Tentukan nilai yi+1 dengan persamaan maka Langkah 4. Pilih Δx yang tepat lalu selesaikan persamaan differensial tersebut Δx=0,1
  25. 25. x y1 y2 y3 dy1/dx dy2/dx dy3/dx k1,1 k1,2 k1,3 k2,1 k2,2 k2,3 k3,1 k3,2 k3,3 k4,1 k4,2 k4,3 0 1 1 1 0 3 0 0 3 0 0,0575 3,325 0,165 0,058 3,385 0,1678 0,1324 3,8471 0,373 0,1 1,0061 1,3378 1,0173 0,1323 3,8467 0,373 0,1323 3,8467 0,373 0,2244 4,4625 0,6276 0,2271 4,5935 0,6437 0,3418 5,4981 0,9811 0,2 1,029 1,7954 1,0823 0,3414 5,4936 0,9808 0,3414 5,4936 0,9808 0,4785 6,7218 1,4227 0,4865 7,0447 1,4793 0,657 9,0141 2,1285 0,3 1,0778 2,4961 1,2308 0,6557 8,997 2,1267 0,6557 8,997 2,1267 0,8564 11,822 3,0436 0,8755 12,822 3,2477 1,1322 18,213 4,8373 Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan x Jadi didapat nilai y1=1,0778, y2=2,4961, dan y3=1,2308 pada x=0,3.
  26. 26. 2.2.3 Metode Trapezoidal Metode trapezoidal juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan a set of coupled first order ODE’s. Secara umum, jika ada n- coupled first order ODE’s, setiap langkah akan membutuhkan solusi dari persamaan aljabar ditambah seperangkat n-nonlinier. Menerapkan metode trapezoidal ke sistem agar hasil of first order ODE’s di persamaan berikut (yaitu, satu untuk setiap ODE); . . . ...................(2.11) dimana ........................................(2.12) dan di mana yi,j adalah i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j. Example 4.6 Gunakan metode Trapezoidal untuk dimana y1=y2=0 pada x=0 Tentukan y1 dan y2 pada x=0,2 dengan Δx=0,1. Solusi Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke persamaan maka
  27. 27. Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Trapezoidal . . . dimana maka ..............................................................................................(1) ..............................................................................................(2)
  28. 28. Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga menjadi Masukkan nilai y1,1 ke persamaan (2) sehingga didapatkan y1,2 Kemudian dicari y1,2 dan y2,2
  29. 29. ..............................................................................................(3) .............................................................................................(4) Substitusi persamaan (4) ke persamaan (3) sehingga menjadi
  30. 30. Masukkan nilai y1,2 ke persamaan (4) sehingga didapatkan y2,2 2.3 Converting an nth Order ODE to a System of First Order ODE’s Perhatikan ODE orde kedua dengan kondisi awal: dimana y(x0) = a dan karena kedua kondisi yang ditentukan untuk nilai x yang sama, masalahnya adalah sebuah IVP. Membuat substitusi berikut: kemudian turunan differensial menjadi kemudian kedua persamaan disusun kembali dimana z(x0) = b y(x0) = a
  31. 31. sekarang orde kedua ODE telah diubah menjadi a set of two coupled first order ODE’s yang dapat terintegrasi dengan menggunakan salah satu metode yang dijelaskan sebelumnya. Sekarang perhatikan masalah umum dari orde n-ke ODE, IVP; yaitu dimana . x = x0 . . dalam rangka untuk mengubah masalah ini menjadi a set of coupled first order ODE’s membuat, maka dibuat substitusi berikut: . . . maka selama kamu dapat secara eksplisit memecahkan dalam fungsi umum, masalah dapat diubah menjadi bentuk berikut . . .
  32. 32. dimana . . x = x0 . sekarang masalah telah dikonversi ke dalam a set of n coupled first order ODE’s membentuk suatu IVP. Example 4.7 Ubah persamaan differensial orde 3 berikut ke Systems First Order ODE’s dimana Solusi Persamaan nya dapat diubah menjadi: gunakan substitusi:
  33. 33. sehingga menjadi dengan
  34. 34. BAB III CONTOH-CONTOH KASUS DALAM TEKNIK KIMIA DAN PENYELESAIANNYA 1) Dua buah tangki air tersambung secara seri dan saling berinteraksi. Kecepatan aliran keluar merupakan fungsi akar kuadrat dari ketinggian air, jadi untuk tangki 2 sebagai fungsi . Akan ditentukan ketinggian h1 dan h2 sebagai fungsi waktu dari t = 0 sampai t=40 menit dengan interval 4 menit. Setelah disusun neraca bahan diperoleh persamaan differensial simultan sebagai fungsi waktu : Harga – harga parameter yang ada : β1 = 2.5 ft2.5 /menit β1 = 5/ ft3 /menit A1 = 5 ft2 A2 = 10 ft2 F= 5 ft3 /menit Dengan kondisi awal pada t = 0, h1 = 12 ft dan h2 = 7 ft Solusi menggunakan Metode Euler: Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y) Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi) maka hi+1 = hi + ∆x
  35. 35. hi+1 = hi + ∆x( Langkah 3 : Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan Untuk ∆t= 4 i t (menit) h1 (ft) h2 (ft) 1 0 12 7 2 4 11,5278 6 6,665495 3 8 11,1177 1 6,357934 4 12 10,7543 3 6,080485 5 16 10,4305 1 5,832305 6 20 10,1418 3 5,611301 7 24 9,88482 5,415085 8 28 9,65647 5,241286 9 32 9,45400 3 5,087661 10 36 9,27484 4 4,952119 11 40 9,11661 1 4,832731 2) Sebuah persamaan isotermal tekanan konstan reaktor batch mengikuti reaksi berikut : r A (g)  2P (g) dimana r = 0,1 CA 2 [=] gmole/L.sec Mula – mula reaktor mengandung 0,01 gmole A dan 0.01 gmole dari gas inert pada volum 0,5 L.
  36. 36. Tentukan volum reaktor setelah 25 detik reaksi. Reaktor dijalankan pada unsteady-state dengan persamaan mole balance pada komponen A di reaktor, yielding : dimana gas dapat diasumsikan sebagai gas ideal, maka : V = 0,75 – 25 nA [=] L maka Solusi menggunakan Metode Euler: Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y) Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi) maka Langkah 3 : Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan Untuk ∆t= 1 sekon i t nA 1 0 0,01 2 1 0,00998 3 2 0,00996 4 3 0,00994 5 4 0,009921 6 5 0,009901 7 6 0,009881 8 7 0,009862 9 8 0,009843
  37. 37. 10 9 0,009824 11 10 0,009804 12 11 0,009785 13 12 0,009766 14 13 0,009748 15 14 0,009729 16 15 0,00971 17 16 0,009692 18 17 0,009673 19 18 0,009655 20 19 0,009636 21 20 0,009618 22 21 0,0096 23 22 0,009582 24 23 0,009564 25 24 0,009546 26 25 0,009528 27 26 0,00951 Diperoleh nA setelah 25 detik = 0,00951 gmole Langkah 4 : Hitung Volum setelah 25 detik reaksi : V = 0,75 – 25 nA V = 0,75 – 25 (0,00951) V = 0,51225 L 3) Suatu sistem aliran di mana air ditambahkan ke dalam tangki dengan laju alir masuk 50 galon per menit dan laju alir keluar pada tingkat Q GPM sampai tangki terisi setringgi, H (t). Tentukan H sebagai fungsi waktu untuk data berikut H awal 2 ft Fluida adalah H2O Diameter Tangki, Dt = 5 ft Lc= 30 ft Dp= 1 inch Persamaan kesetimbangan neraca massa dalam sistem
  38. 38. Dimana Q berhubungan dengan H(t) penurunan tekanan melalui pipa pembuangan nilainya sama dengan perbedaan tekanan antara pembukaan ke garis debit dan tekanan atmosfer, yaitu dimana dan dan ρ adalah densitas dan µ adalah viskositas, substitusi persamaan menjadi Dengan menggunakan metode numerik maka Q Dengan H dalam ft dan Q dalam GPM, maka Dimana H = 2 pada t = 0. Hitung waktu yang dibutuhkan untuk mencapai 90% level tangki pada keadaan unsteady state dengan menggunakan metode Runge Kutta. Solusi menggunakan Metode Runge Kutta: Langkah 1. Ubah persamaan ke bentuk dy/dx = f(x,y) Langkah 2. Ubah persamaan tersebut ke bentuk Runge Kutta
  39. 39. ) ) ) maka Langkah 3. Tentukan nilai yi+1 dengan persamaan Langkah 3. Pilih nilai ∆x yang tepat, lalu selesaikan Untuk ∆t = 1=0,2 menit i t H k1 k2 k3 k4 0 0 2 0,19861 3 0,19781 1 0,19781 5 0,19702 1 0,2 2,039563 0,19702 0,19623 1 0,19623 5 0,195453 2 0,4 2,07881 0,19545 3 0,19467 7 0,19468 0,19391 3 0,6 2,117745 0,19391 0,19314 7 0,19315 0,192392 ... ... ... ... ... ... 449 89,8 8,343568 0,02002 7 0,01998 3 0,01998 4 0,01994 450 90 8,347565 0,01994 0,01989 6 0,01989 6 0,019853 451 90,2 8,351544 0,01985 3 0,01980 9 0,01980 9 0,019766 452 90,4 8,355506 0,01976 6 0,01972 2 0,01972 3 0,019679
  40. 40. 453 90,6 8,35945 0,01967 9 0,01963 6 0,01963 6 0,019593 ... ... ... ... ... ... 4407 881,4 9,278408 1,2E-09 1,2E-09 1,2E-09 1,2E-09 4408 881,6 9,278408 1,2E-09 1,2E-09 1,2E-09 1,19E-09 4409 881,8 9,278408 1,19E-09 1,19E-09 1,19E-09 1,19E-09 4410 882 9,278408 1,19E-09 1,19E-09 1,19E-09 1,18E-09 Sehingga diperoleh H pada keadaan unsteady state ( H konstan terhadap waktu ) adalah 9,278407 ft pada waktu 881,4 menit. Maka untuk mencapai 90% H (0,9 x 9,278407=8,3505663 ft) diperlukan waktu 90,2 menit. Berdasarkan tabel di atas dibuat grafik hubungan H dengan t Gambar 2.6 Hubungan antara konsentrasi tinggi tangki (H) dengan waktu 4) Pada reaktor semi batch dengan reaksi
  41. 41. Dimana konsentrasi dalam gmol/liter dan kecepatan reaksi dalam gmol/liter.sekon. Tentukan waktu yang dibutuhkan untuk beraksi untuk mencapai konsentrasi maksimum B. Kesetimbangan mol komponen pada keadaan unsteady-state: tapi dan Dengan asumsi: Substitusi nilai numerik sehingga menghasilkan dimana nA=nB=nC=0 pada t=0. Solusi menggunakan Metode Euler: Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk
  42. 42. maka Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Explicit Euler maka Langkah 3. Pilih Δt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas, dengan dan Untuk Δt = 1 sekon i t nA nB nC VR CA CB CC 0 0 0 0 0 50 0 0 0 1 1 10 0 0 60 0,16666 7 0 0 2 2 19,8333 3 0,16666 7 0 70 0,28333 3 0,00238 1 0
  43. 43. 3 3 29,2797 2 0,72025 8 1,98E-05 80 0,36599 7 0,00900 3 2,48E-07 4 4 38,2441 1 1,75554 8 0,00034 4 90 0,42493 5 0,01950 6 3,82E-06 5 5 46,7067 6 3,29118 3 0,00205 6 10 0 0,46706 8 0,03291 2 2,06E-05 6 6 54,6898 5,30272 9 0,00747 2 11 0 0,49718 0,04820 7 6,79E-05 7 7 62,2358 7 7,74387 9 0,02025 4 12 0 0,51863 2 0,06453 2 0,000169 8 8 69,3953 1 10,5594 5 0,04524 13 0 0,53381 0,08122 7 0,000348 9 9 76,2188 9 13,6929 8 0,08812 5 14 0 0,54442 1 0,09780 7 0,000629 1 0 1 0 82,7540 3 17,0908 9 0,15508 9 15 0 0,55169 4 0,11393 9 0,001034 1 1 1 1 89,0430 8 20,7044 6 0,25245 5 16 0 0,55651 9 0,12940 3 0,001578 1 2 1 2 95,1228 9 24,4907 0,38641 6 17 0 0,55954 6 0,14406 3 0,002273 1 3 1 3 101,024 9 28,4123 2 0,56282 6 18 0 0,56124 9 0,15784 6 0,003127 1 4 1 4 106,775 5 32,4374 8 0,78706 5 19 0 0,56197 6 0,17072 4 0,004142 1 5 1 5 112,396 8 36,5392 4 1,06395 7 20 0 0,56198 4 0,18269 6 0,00532 1 6 1 6 117,907 2 40,6950 2 1,39773 6 21 0 0,56146 3 0,19378 6 0,006656 1 7 1 7 123,321 9 44,8860 2 1,79204 2 22 0 0,56055 4 0,20402 7 0,008146 1 8 1 8 128,653 4 49,0966 8 2,24994 23 0 0,55936 3 0,21346 4 0,009782 1 9 1 9 133,911 8 53,3142 2 2,77395 9 24 0 0,55796 6 0,22214 3 0,011558 2 0 2 0 139,105 7 57,5281 6 3,36612 6 25 0 0,55642 3 0,23011 3 0,013465 2 1 2 1 144,242 61,7300 2 4,02802 4 26 0 0,55477 7 0,23742 3 0,015492 2 2 2 2 149,326 3 65,9129 2 4,76083 1 27 0 0,55306 0,24412 2 0,017633 2 3 2 3 154,363 3 70,0713 7 5,56537 28 0 0,55129 7 0,25025 5 0,019876 2 4 2 4 159,356 8 74,2010 2 6,44215 6 29 0 0,54950 6 0,25586 6 0,022214 2 2 164,310 78,2984 7,39143 30 0,5477 0,26099 0,024638
  44. 44. 5 5 1 6 0 5 2 6 2 6 169,225 8 82,3610 3 8,41320 5 31 0 0,54589 0,26568 1 0,027139 2 7 2 7 174,106 86,3867 5 9,50729 2 32 0 0,54408 1 0,26995 9 0,02971 2 8 2 8 178,952 5 90,3741 5 10,6733 3 33 0 0,54228 0,27386 1 0,032343 2 9 2 9 183,767 94,3221 8 11,9108 3 34 0 0,54049 1 0,27741 8 0,035032 3 0 3 0 188,550 7 98,2301 8 13,2191 7 35 0 0,53871 6 0,28065 8 0,037769 3 1 3 1 193,304 6 102,097 7 14,5976 2 36 0 0,53695 7 0,28360 5 0,040549 3 2 3 2 198,029 9 105,924 7 16,0453 9 37 0 0,53521 6 0,28628 3 0,043366 3 3 3 3 202,727 2 109,711 1 17,5616 1 38 0 0,53349 3 0,28871 4 0,046215 3 4 3 4 207,397 5 113,457 2 19,1453 7 39 0 0,53178 8 0,29091 6 0,049091 3 5 3 5 212,041 2 117,163 2 20,7956 9 40 0 0,53010 3 0,29290 8 0,051989 3 6 3 6 216,659 120,829 5 22,5115 9 41 0 0,52843 6 0,29470 6 0,054906 3 7 3 7 221,251 4 124,456 6 24,2920 5 42 0 0,52678 9 0,29632 5 0,057838 3 8 3 8 225,818 9 128,045 26,1360 3 43 0 0,52516 0,29777 9 0,060781 3 9 3 9 230,362 1 131,595 4 28,0424 9 44 0 0,52355 0,29908 1 0,063733 4 0 4 0 234,881 2 135,108 4 30,0103 7 45 0 0,52195 8 0,30024 1 0,06669 4 1 4 1 239,376 8 138,584 5 32,0386 2 46 0 0,52038 4 0,30127 1 0,069649 4 2 4 2 243,849 3 142,024 5 34,1262 47 0 0,51882 8 0,30218 0,072609 4 3 4 3 248,298 9 145,429 1 36,2720 5 48 0 0,51728 9 0,30297 7 0,075567 4 4 4 4 252,726 1 148,798 8 38,4751 3 49 0 0,51576 8 0,30367 1 0,078521 4 5 4 5 257,131 3 152,134 3 40,7344 2 50 0 0,51426 3 0,30426 9 0,081469 4 6 4 6 261,514 7 155,436 4 43,0489 1 51 0 0,51277 4 0,30477 7 0,08441 4 7 4 7 265,876 7 158,705 7 45,4175 8 52 0 0,51130 1 0,30520 3 0,087342
  45. 45. 4 8 4 8 270,217 7 161,942 9 47,8394 6 53 0 0,50984 5 0,30555 3 0,090263 4 9 4 9 274,537 9 165,148 5 50,3135 6 54 0 0,50840 4 0,30583 1 0,093173 5 0 5 0 278,837 7 168,323 3 52,8389 3 55 0 0,50697 8 0,30604 2 0,096071 5 1 5 1 283,117 5 171,467 9 55,4146 4 56 0 0,50556 7 0,30619 3 0,098955 5 2 5 2 287,377 4 174,582 9 58,0397 5 57 0 0,50417 1 0,30628 6 0,101824 5 3 5 3 291,617 8 177,668 9 60,7133 6 58 0 0,50278 9 0,30632 6 0,104678 5 4 5 4 295,839 180,726 4 63,4345 9 59 0 0,50142 2 0,30631 6 0,107516 5 5 5 5 300,041 3 183,756 1 66,2025 6 60 0 0,50006 9 0,30626 0,110338 5 6 5 6 304,225 186,758 6 69,0164 2 61 0 0,49872 9 0,30616 2 0,113142 5 7 5 7 308,390 3 189,734 4 71,8753 3 62 0 0,49740 4 0,30602 3 0,115928 5 8 5 8 312,537 6 192,683 9 74,7784 9 63 0 0,49609 1 0,30584 8 0,118696 Dari tabel di atas, didapat konsentrasi maksimum B adalah 0,306326 gmol/L pada saat t=53 sekon. Berdasarkan tabel di atas dibuat grafik hubungan CB dengan t Gambar 2.7 Hubungan antara konsentrasi B (CB) dengan waktu (t)
  46. 46. BAB IV RINGKASAN 1) Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. (A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or partial derivatives). Selanjutnya jika dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Differensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Differensial Parsial (PDP).
  47. 47. 2) Initial Value Problem (IVP) merupakan materi yang penting untuk dipelajari oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar IVP adalah masalah sementara yaitu, variabel-variabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu contoh permasalahan yang bisa diselesaikan dengan IVP dalam bidang teknik kimia adalah variasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reaktor batch. 3) ODE (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan differensial yang berisi turunan dari satu variabel independen, sementara itu PDE berisi turunan dari variabel independen yang lebih dari satu. Pada persamaan differensial biasa (ODE), hanya terdapat 1 variabel bebas. 4) Ada 3 metode penyelesaian persamaan differensial, Single, First Order ODE a) Metode Euler (Explicit) b) Metode Runge Kutta dimana ) ) ) c) Metode Euler Modifikasi (Implisit) 5) Ada 3 metode penyelesaian persamaan differensial, Systems of Coupled First Order ODE a) Metode Explicit Euler
  48. 48. . . . b) Metode Runge Kutta dimana y,i,j adalah nilai i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j dalam x dan c) Metode Trapezoidal . . . dimana DAFTAR PUSTAKA http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan- diferensial.pdf http://elista.akprind.ac.id/upload/files/9637_BAB_IIOK.pdf
  49. 49. Riggs., B., J. 1988. An Introduction To Numerical Methods For Chemical Enggineers. Texas Tech University Press, Texas.

×