Bab i
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Bab i

on

  • 2,263 views

 

Statistics

Views

Total Views
2,263
Views on SlideShare
2,263
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
45
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Bab i Bab i Document Transcript

    • BAB I RISET OPERASI1.1 Sejarah dan Latar Belakang Riset Operasi. Sejak revolusi industri, dunia usaha mengalami perubahan dalam hal ukuran (besarnya) dan kompleksitas organisasi-organisasi perusahaan. Bagian yang mengalami perubahan yang cukup mencolok adalah perkembangan dalam pembagian kerja dan segmentasi tanggung jawab manajemen dalam organisasi organisasi tersebut. Disisi lain, organisasi-organisasi (perusahaan) pada saat ini harus beroperasi di dalam situasi dan kondisi lingkungan bisnis yang dinamis dan selalu bergejolak, serta siap untuk berubah-ubah. Perubahan-perubahan tersebut terjadi sebagai akibat dari kemajuan teknologi yang begitu pesat ditambah dengan dampak dari beberapa faktor- faktor lingkungan lainnya seperti keadaan ekonomi, politik, sosial dan sebagainya. Perkembangan Kemajuan teknologi tersebut telah menghasilkan dunia komputerisasi. Buah-buah pembangunan telah melahirkan para pimpinan dan pengambilan keputusan, para peneliti, perencana dan pendidik untuk memikirkan serta memecahkan/menganalisis permasalahan, mengambil langkah-langkah dan strategi yang tepat serta target yang sesuai secara sistematis dalam rangka mencapai tujuan yang telah ditentukan, yakni hasil yang memuaskan. Hasil yang memuaskan tersebut adalah hasil yang optimal yang berarti dampak positifnya maksimum dan dampak negatifnya minimum. Tim-tim riset operasi dalam lingkungan dunia bisnis ini menandai kemajuan teknik-teknik riset operasi. 1
    • Sebagai contoh utama adalah metode simpleks untuk pemecahan masalah-masalah linear programming, yang dikembangkan oleh George Dantzig dalam tahun 1947. Disamping itu banyak peralatan-peralatan riset operasi standar, seperti linear programming, dynamic programming, teori antrian dan teori pengendalian persediaan telah dikembangkan sebelum akhir tahun 1950-an.1.2 Pengertian Riset Operasi. Arti riset operasi (operations research) telah banyak didefinisikan oleh beberapa ahli. Morse dan Kimball mendefinisikan riset operasi sebagai metode ilmiah (scientific method) yang memungkinkan para manajer mengambil keputusan mengenai kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitatif. Definisi ini kurang tegas karena tidak tercermin perbedaan antara riset operasi dengan disiplin ilmu yang lain. Churchman, Arkoff dan Arnoff pada tahun 1950-an mengemukakan pengertian riset operasi sebagai aplikasi metode-metode, teknik-teknik dan peralatan- peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah masalah yang timbul di dalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan yang optimum masalah-masalah tersebut. Miller dan M.K. Starr mengartikan riset operasi sebagai peralatan manajemen yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam kerangka pemecahan masalah masalah yang dihadapi sehari-hari, sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal. 2
    • Dari ketiga definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa riset operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan yang optimal dalam, dan penyusunan model dari sistem-sistem baik yang diterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata. Atau dunia pengelolaan atau dunia usaha yang memakai pendekatan ilmiah atau pendekatan sistematis disebut riset operasi (Operations Resech).1.3 Riset Operasi Sebagai Seni dan Ilmu. Istilah riset operasi sering kali diasosiasikan secara eksklusif dengan penggunaan teknik-teknik matematis untuk membuat model dan menganalisi masalah keputusan. Walaupun matematika dan model matematis merupakan inti dari riset operasi, pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara spesifik, masalah keputusan biasanya mencakup factor-faktor penting yang tidak berwujud dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis. Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, riset operasi harus dipandang sebagai ilmu dan seni. Aspek ilmu terletak dalam penyediaan teknik-teknik matematis dan algoritma untuk memecahkan masalah keputusan yang tepat. Riset operasi adalah sebuah seni karena keberhasilan dalam semua tahap yang mendahului dan melanjuti pemecahan dari sebuah model matematis sebagian besar bergantung pada kreativitras dan kemampuan pribadi dari mereka yang menganalisis pengambilan keputusan. Sebagai contoh, Sebuah ilustrasi yang baik dari kasus diatas adalah salah satu versi dari masalah elevator yang dikenal luas. Sebagai tanggapan 3
    • terhadap keluhan para penghuni tentang lambatnya elevator disebuah bangunan perkantoran yang besar, sebuah pemecahan yang didasari oleh analisis teori jalur antrian ditemukan tidak memuaskan. Setelah mempelajari sistem tersebut lebih lanjut, ditemukan bahwa keluhan para penghuni tersebut lebih disebabkan oleh kebosanan, karena pada kenyataannya, waktu menunggu sangat singkat. Sebuah pemecahan diajukan dimana sebuah cermin panjang dipasang ditempat masuk elevator. Keluhan menghilang karena para pengguna elevator asik memandangi diri mereka sendiri dan orang lain sambil menunggu elevator. Ilustrasi elevator ini menggarisbawahi pentingnya memandang aspek matematis dari riset operasi dalam konteks yang lebih luas dari sebuah proses pengambilan keputusan yang unsur-unsurnya tidak dapat diwakili sepenuhnya oleh sebuah model matematis.1.4 Metodologi Riset Operasional Step 1 : 1. Efining and Formulating the Problem. 2. Organisational Culture 3. Grey or Problem Area 4. Climate for ecision Making 5. Availability of Various Alternatives Step 2 : 4
    • eveloping and Constructing a ModelModel yang digunakan adalah model matematikadipandang simpel dan mudahdalam mengasumsikan permasalahandalam model matematika.Teknik yang digunakan dalam OR antara lain : a. linear programming, b. transportation, c. assignment,andd. simulation etc.Menggunakan seluruh ilmu pada RO, secara model matematika terbagi menjadi 3y aitu :1. ecision Variables and Parameters2. Constraints3. Objective FunctionStep 3 :Solving the Model Menyelesaikan permasalahan sesuai dengan modelyang telahdibangun dan dikontruksi.Step 4 : Solution-Testing or Model-ValidationMenghasilkansolusi.Solusi ini kemudian dilakukan uji validasi pada sistem yangakandijalankan.Jika validasi sudah memunuhi syarat maka solusi bisadijalankanpada step berikutnya. 5
    • Step 5 : Implementation StageMenjalankan solusi yang sudah divalidasi Step 6 : Establishing Control Mechanisms Melakukan mekanisme kontrol terhadap solusi yang diimplementasikan. BAB II PROGRAM LINIER2.1 Sejarah Program Linier Ide Linear Programming pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul ”MATHEMATICAL METHODS IN THE ORGANIZATION AND PLANNING OF PRODUCTION”. Dengan buku ini, ia telah merumuskan pertama kalinya persoalan “Linear Programming”. Namun, cara-cara 6
    • pemecahan persoalan in di Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan AS yang menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan baik. Pada tahun 1947, seorang ahli matematika dari AS yang bernama George B. Dantzig menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan- persoalan linear programming. Cara pemecahan ini dinamakan ” Simplex Method”, yang diuraikan dalam bukunya ”LINEAR PROGRAMMING AND EXTENTION”. Selanjutnya teori ini berkembang pesat sekali terutama dibidang kemiliteran yang menyangkut optimisasi dalam strategi perang dan di bidang-bidang lainnya.2.2 Pengertian Program Linier Linear Programming (LP) / Pemrograman linier merupakan suatu model yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal dengan menggunakan model matematika. Sumber-sumber yang dimaksud dapat berupa bahan baku, peralatan & mesin, ruang, waktu, dana dan orang. istilah linier menunjukan bahwa seluruh fungsi matematika yang ada di dalam model harus merupakan suatu fungsi linier, sedangkan programming pada hakekatnya adalah sinonim dengan perencanaan. Jadi pemrograman linier mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasatan tertentu yang paling baik diantara alternatif-alternatif yang mungkin dengan mengunakan fungsi linier. Atau 7
    • dengan kata lain LP adalah metode atau teknik matematis yang digunakanuntuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan LP ialah merumuskanmasalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia,kemudian menerjemahkan masalah ini kedalam bentuk model matematikaguna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi. Pada saat kita akan menentukan alat program linier dalam mencobamemecahkan suatu persoalan, maka ada beberapa hal yang harus dicermatiatau kondisi yang diperlukan. Hal-hal tersebut adalah:1. Tujuan dari pemecahan kasus merupakan optimalisasi. Optimalisasiartinya mencari suatu titik pada besaran angka yang akan menunjuk padatujuan utama dari kasus yang akan dipecahkan. Tujuan utama dari kasusadalah maksimasi atau minimasi. Contoh suatu perusahaan apakah inginmemaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya dalam targetoperasionalnya. Optimalisasi dari perusahaan itu adalah mencari tingkatoutput dan kombinasi input yang akan mencapai tujuan dari perusahaan, yaitumaksimasi laba atau minimasi biaya.2. Terdapat berbagai alternatif dari kombinasi berbagai variabel input yangtersedia yang salah satunya akan memberikan tingkat output yang sesuaidengan tujuan dari optimalisasi. Misalnya apakah membuat nasi goreng yangakan memaksimumkan keuntungan dibuat dengan proporsi satu piring nasidan dua takar bumbu atau dengan proporsi satu piring nasi dengan tiga takarbumbu?3. Variabel-variabel input merupakan variabel yang terbatas. Keterbatasan disini dalam arti jumlah yang tersedia terbatas disertai dengan biaya dari tiap 8
    • variabel juga tertentu. Kombinasi variabel input dalam menghasilkan output mempunyai sifat substitusi, artinya semakin banyak satu variabel input digunakan untuk membuat suatu output, maka alokasi variabel input tersebut untuk output lain akan berkurang. 4. Semua output yang akan dihasilkan merupakan suatu pertidaksamaan linier dari input. Pertidaksamaan ini akan menggambarkan keterbatasan atau kemungkinan yang timbul dari kondisi input dan output. Misalnya, jika X adalah nasi goreng biasa dan Y adalah nasi goreng spesial, serta ada ketentuan bahwa biaya untuk membuat 3 piring nasi goreng biasa dan 2 piring nasi goreng spesial tidak boleh melebihi 30.000 rupiah. Oleh karena itu, bisa kita tulis: 3X + 2Y ≤ 30.000.2.3 Karakteristik Pemrograman Linier Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas. Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya 9
    • tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi. Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.2.4 Formulasi Model Pemrograman Linier 10
    • Ada 3 langkah utama dalam merumuskan model pemrograman linier, yaitu :1. Tentukan variabe yang ingin diketahui atau variabel keputusan dan gambar dalam simbol-simbol aljbar.2. Tentukan semua keterbatasan atau kendala dan gambar dalam bentuk persamaan linier atau ketidaksamaan dari variable tadi.3. Tentukan tujuan atau kreteria dan gambaran sebagai fungsi linier dari variabel keputusan yang akan berbentuk maksimasi atau minimalisasi.Contoh :Perusahaan han dani mau menjadwalkan produksi dari peralatan dapur yangmembutuhkan dua jenis sumber yaitu tenaga buruh dan bahanbaku.Perusahaan telah merencanakan tiga jenis model dan ketiganyamembutuhkan sumber dan memberikan keuntungan sebagai berikut :Penyediaan bahan baku yang didapat dilakukan per hari adalah 300 kgsedangkan kepastian tenaga kerja yang dimiliki adalah 150 jam/hari.Bagaimana perumusan pemrograman liniernya sehingga keuntungan totalnyamaksimumnya untuk menentukan kecwpatan produksi hariannya. 11
    • PerumusannyaLangkah 1. Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian dari ketiga model. Maksimalkan = produksi harian dari produk A = produksi harian dari produk B = produksi harian dari produk CLangkah 2. Menentukan kendala.Dalam masalah ini kendala yang dihadapi adalah kepastian dari kedua sumber yaitu tenaga kerja dan bahan baku. Untuk setiap unit produk A dibutuhkan 7 jam, model B membutuhkan 3 jam buruh dan model C membutuhkan 6 jam. Maka kebutuhan tenaga kerja total adalah: 7 + 3 + 6 yang tidak boleh lebih dari 150 jam/hari,maka: 7X1 + 3X2 + 6X3 ≤ 150 Demikian juga dengan bahan baku untuk model A dibutuhkan 4, model B dibutuhkan 4 dan untuk model C dibutuhkan 5. Maka kendala yang diberikan oleh kepastian bahan baku adalah: 4X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 200 Selain itu variabel keputusan harus dibatasi jangan sampai negatif,keterbatasan ini disebut kendala non negatif.Langkah 3. Menentukan tujuan. Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan keuntungan sehingga dengan anggapan bahwa semua produksi akan terjual, maka keuntungan total bagi perusahaan adalah: 12
    • Z = 4X1 + 20X2 + 30X3 Maka model pemrograman linier bagi masalah perencanaan campuran produksi ini adalah : Cari harga + + yang akan memaksimumkan Z = 4X1 + 20X2 + 30X3 Dengan memperhatikan kendala : 7X1 + 3X2 + 6X3 ≤ 150 4X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 200 ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 BAB III SOLUSI GRAFIK PROGRAM LINIER3.1 Metode Grafik Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). 13
    • 3.2 Maksimisasi Optimalisasi yang dilakukan dengan tujuan untuk maksimasi bisa menggunakan aplikasi program linier dengan menggunakan grafik. Syarat yang diperlukan untuk dapat menggunakan pendekatan grafik adalah jumlah dari variabel output tidak boleh lebih dari dua. Hal ini disebabkan dimensi yang digunakan hanya terdiri dari dua dimensi atau hanya satu sumbu horizontal dan satu sumbu vertikal yang menggambarkan masing-masing output. Gambar satu di bawah memperlihatkan gambaran grafik yang akan digunakan dalam pemecahan masalah optimalisasi dengan pendekatan grafik. Sumbu horizontal menggambarkan output barang X, dimana semakin ke kanan, jumlah output akan semakin besar. Sumbu vertikal mencerminkan output barang Y, dimana semakin ke atas akan menggambarkan jumlah output Y yang semakin besar. Output Y 0 Output X Gambar 1. Grafik dua dimensi Misalkan sebuah perusahaan "A" memproduksi 2 jenis barang yaitu barang X dan barang Y. Kedua jenis barang tersebut diproduksi dengan 14
    • mempergunakan 3 jenis mesin (P, Q dan R). Barang X diproses dengan mesinP selama 4 jam, mesin Q selama 3 jam dan mesin R selama 1 jam, sedangkanbarang Y diproses dengan mesin Q dan mesin R masing-masing selama 2 jam.Dalam 1 hari mesin P bisa beroperasi selama 16 jam, mesin Q selama 24 jamdan mesin R selama 20 jam. Barang X dapat dijual di pasar dengan harga Rp400.000 per buah sedangkan barang Y dijual seharga Rp 300.000 per buah. Perusahaan akan menghitung pendapatan tiap hari berdasarkankemampuan per hari dari mesin yang dimiliki. Oleh karena itu, dengan tujuanmemaksimumkan pendapatan perusahaan setiap harinya, perusahaan harusmenentukan suatu kombinasi dari jumlah barang X dan jumlah barang Y yangakan diproduksi dan dijual guna memperoleh pendapatan yang maksimum. Kasus di atas bisa kita buat ikhtisarnya dalam bentuk tabel informasipersoalan untuk perusahaan “A” seperti diperlihatkan oleh tabel 1. Tabeltersebut memperlihatkan waktu yang diperlukan tiap barang dari masing-masing mesin yang digunakan, serta memperlihatkan keterbatasanpenggunaan mesin tiap harinya. Tabel ini juga memperlihatkan kendala dariproses produksi untuk pembuatan barang X dan barang Y yang secaraterperinci akan dijelaskan nanti.Tabel 1. Informasi Persoalan Pembuatan Barang X dan Barang Y bagiPerusahaan “A” Waktu yang diperlukan Total jam yang Mesin untuk tiap unit barang tersedia X Y untuk tiap mesin P 4 - 16 15
    • Q 3 2 24 R 1 2 20Objective Function Tujuan dari pemecahan masalah contoh di atas adalahmemaksimumkan pendapatan perusahaan per harinya dari dua output barangyang dihasilkan perusahaan. Pendapatan maksimum yang ingin diraih disebutdengan Objective Function atau Fungsi Tujuan. Objective Function daripersoalan di atas kita rumuskan dengan persamaan matematik sebagai berikut:Output Barang X : Pendapatan per unit sebesar Rp 400.000,-Output Barang Y : Pendapatan per unit sebesar Rp 300.000,-Total Output (X+Y) : 400.000 X + 300.000 Y = Objective FunctionConstraint Perusahaan akan mencoba meraih objective function tersebut denganmengacu pada proses produksi dari tiga mesin seperti yang diperlihatkan padatabel 1. Mesin-mesin tersebut merupakan variabel input bagi perusahaandengan keterbatasan pada kemampuan dari mesin dalam menghasilkan outputyang diperlihatkan pada waktu yang tersedia bagi tiap mesin untukberproduksi. Kombinasi dari penggunaan mesin untuk tiap output mempunyaispesifikasi khusus yang dicerminkan oleh koefisien dari tiap mesin secarasimultan. Jika kita gabungkan tiap kombinasi mesin untuk tiap output denganketersediaan waktu bagi tiap mesin, maka kita akan dapatkan suatu persamaanConstraint (kendala). 16
    • Kendala yang dihadapi oleh perusahaan tersebut pada intinya adalahwaktu yang digunakan untuk tiap input (mesin) untuk membuat kedua outputdan tidak boleh melebihi total dari waktu yang tersedia bagi ketiga mesin.Pertidaksamaan akan digunakan di sini karena mempunyai pengertian kurangatau sama dengan untuk total waktu yang tersedia bagi tiap mesin.Mesin P :4X ≤ 16Mesin Q : 3X + 2 Y ≤ 24Mesin R :X+2Y ≤ 20 Output yang dihasilkan untuk kedua barang harus memperlihatkanhasil yang nyata dalam matematis tidak boleh kurang dari nol (negatif).Secara grafik, semua angka positif tersebut hanya ada pada satu kuadran, yaitukuadran pertama. Oleh karena itu, gambar 1 di atas, menunjukkan bahwahanya kuadran pertama yang akan digunakan dalam pendekatan grafik di sini.Bentuk pertidaksamaan tambahan untuk constraint bagi kasus perusahaan ”A”adalah :Output barang X :X≥0Output barang Y :Y≥0Mathematical Summary Perumusan masalah untuk perusahaan ”A” sekarang bisa disimpulkanberdasarkan ringkasan matematiknya (Mathematical Summary). secaralengkap sebagai berikut: 17
    • Objective Function: Pendapatan Maksimum = 400.000 X + 300.000 YConstraint :4X ≤ 163X + 2Y ≤ 24X + 2Y ≤ 20X ≥0Y ≥0Pembuatan Grafik Langkah berikutnya adalah membuat grafik untuk tiap persamaanConstraint. Grafik akan dibuat seperti gambar 1, dimana Output barang Xuntuk sumbu horizontal dan Output barang Y untuk sumbu vertikal. Kitaharus meletakkan setiap persamaan kendala di atas ke grafik yang akan kitabuat, sehingga kita memerlukan dua titik untuk dapat menarik garis linier tiappersamaan. Untuk mendapatkan dua titik tersebut kita andaikan salah satu barangtidak dibuat atau produksi hanya atas satu barang. Misalkan untuk persamaanConstraint yang kedua yaitu 3X + 2Y≤ 24, bila produksi hanya untuk Xartinya produksi Y tidak ada (Y = 0), maka ditemukan satu titik yaitu :3X + 2Y≤ 24 bila Y = 03X ≤ 24X ≤ 24/3 18
    • X≤8Ditemukan titik : (8, 0)  A Sehingga titik tersebut adalah (8, 0) artinya di sumbu X untuk 8 dan 0untuk sumbu Y, dimana penulisan koordinat harus sumbu x baru diikutidengan sumbu y. (sumbu X ; Sumbu Y). Titik yang kedua kita lakukan samadengan mengandaikan semua produksi untuk barang Y, sehingga tidak adabarang X yang dibuat (X = 0).3X + 2Y≤ 24 bila X = 02Y ≤ 24Y ≤ 24/2Y ≤ 12Ditemukan titik : (0, 12)  B Kita gabungkan kedua titik tersebut untuk mendapatkan satu garislinier. Gambar dua memperlihatkan garis AB yang mencerminkan kombinasikedua barang akan menghabiskan 24 jam pemakaian mesin Q. Titik-titik diatas garis ini tidak bisa dilakukan karena akan menghabiskan waktupemakaian di atas 24 jam, sedangkan bila di bawah garis akan bisa dilakukankarena berada pada tingkat pemakaian mesin di bawah 24 jam. Output Y B 12 D 8 5 C A 19 0 2 6 8 Output X
    • Gambar 2. Grafik persamaan 2. Kombinasi-kombinasi output X dan Y (X, Y) yang ada di bawah garisAB bisa dilakukan, tetapi masih kurang dari jumlah jam yang maksimum.Misalnya titik C (2, 5) masih bisa dilakukan karena jumlah pemakaian mesinmasih di bawah 24 jam, yaitu 3X + 2Y≤ 24 sehingga, 3(2) + 2(5) = 16 jam.Titik D (6, 8) ada di atas garis AB, oleh karena itu tidak mungkin kita lakukankarena ada di atas kapasitas mesin 24 jam, yaitu 3X + 2Y≤ 24 sehingga, 3(6)+ 2(8) = 34 jam. Persamaan pertama, keempat dan kelima bisa kita buat grafiknyadengan cara seperti untuk persamaan 2. Tabel berikut memperlihatkanbagaimana koordinat didapat untuk masing-masing persamaan constraint. Jikahanya terdapat satu titik potong, maka garis tersebut akan sejajar sumbu yangtidak ada titik potongnya. Contoh persamaan satu, tidak ada titik potongdengan sumbu Y, maka garisnya akan sejajar dengan sumbu Y. Khusus untukpersamaan 4 dan 5, titiknya unik yaitu ada di titik origin (0, 0). Untuk yangdidefinisikan di sumbu X maka, arahnya sepanjang sumbu X demikian pulauntuk sumbu Y.Tabel 2. Koordinat Persamaan ConstraintNo. Persamaan Sumbu X Sumbu Y Keterangan1. 4X ≤ 16 (4, 0) - Satu titik potong 20
    • 2. 3X + 2Y≤ 24 (8, 0) (0, 12) Dua titik potong3. X + 2Y (20, 0) (0, 10) Dua titik ≤ 20 potong4. X≥0 (0, 0) - Satu titik potong5. Y≥0 - (0, 0) Satu titik potongFeasible Region Tiap persamaan yang sudah didapat koordinatnya akan dibuatgambarnya pada gambar 3. Setiap garis linier yang dibuat harus menjelaskanarea yang dicakup oleh garis tersebut berdasarkan persamaannya. Misalnyauntuk persamaan pertama yang diperlihatkan berupa garis tegak sejajardengan sumbu Y pada gambar 3, akan mencakup area ke sebelah kiri darigaris tersebut. Hal ini karena pertidaksamaannya merupakan kurang dari atausama dengan, yang berarti mencakup area sebelum atau sama dengan garis X= 4. Daerah layak atau feasible region untuk tiap persamaan diperlihatkanpada gambar 3 sampai dengan gambar 5, dimana untuk gambar 6 merupakanirisan dari tiap gambar. 21
    • Output Y 1 0 4 Output X Gambar 3. Daerah Layak dari persamaan 1. Output Y 2 12 0 8 Output X 22
    • Gambar 4. Daerah Layak dari persamaan 2. Output Y 10 3 0 20 Output X Gambar 5. Output Y Daerah Layakdari 0 Output X persamaan 3. 23
    • Gambar 6. Daerah Layak dari persamaan 4 dan persamaan 5. Gambar 3 sampai dengan gambar 6 memperlihatkan daerah layakuntuk tiap persamaan. Gambar 7 memperlihatkan daerah layak bagi semuapersamaan yang ada pada area 0EFGH. Setiap titik kombinasi output X danoutput Y yang diproduksi di dalam area daerah layak 0EFGH akanmemberikan kita alasan untuk dapat memproduksinya. Masalahnya sekarangadalah titik mana saja yang dapat memberikan tingkat pendapatan per haribagi Perusahaan yang tertinggi. Kita bisa mencari tingkat pendapatan yangbisa dihasilkan oleh titik E, F, G dan H serta menentukan titik mana yangmenghasilkan pendapatan tertinggi. Hal ini menyisakan masalah lain berupatidak diketahuinya kombinasi X dan Y (koordinat) dari semua titik tersebut.Titik E dan H saja yang ada kombinasinya yaitu (0, 10) untuk E dan (4, 0)untuk H. Koordinat titik F dan G bisa dicari dengan mencari titik potong darikedua garis. Output Y 1 2 12 E 10 F 3 G H A 0 4 8 20 Output X 24
    • Gambar 7. Daerah Layak dari persamaan 1 sampai dengan persamaan 5.Titik F : Merupakan titik potong dari persamaan 2 dan persamaan 3.3X + 2Y ≤ 24 Persamaan 2X + 2Y ≤ 20 Persamaan 3Pertama kita eliminasikan Y untuk menghasilkan X3X + 2Y = 24 X + 2Y = 20 −2X = 4, X=2Substitusikan X yang didapat ke salah satu persamaan. Misal ke Persamaan 2.3X + 2Y = 243(2) + 2Y = 24 2Y = 24 – 6 Y = 18/2 Y =9 25
    • Maka didapat koordinat untuk kombinasi F adalah (2, 9) yang berartimemproduksi dua buah output X dan memproduksi sembilan output Y. Untuktitik G bisa dicari dengan cara yang sama yaitu:Titik G : Merupakan titik potong dari persamaan 1 dan persamaan 2.4X ≤ 16 Persamaan 13X + 2Y≤ 24 Persamaan 2Pertama kita cari X dari persamaan 14X = 16 X = 16/4 = 4Substitusikan X yang didapat ke Persamaan 2.3X + 2Y = 243(4) + 2Y = 24 2Y = 24 – 12 Y = 12/2 Y =6 26
    • Maka didapat koordinat untuk kombinasi G adalah (4, 6) yang berartimemproduksi empat buah output X dan memproduksi enam output Y. Langkah terakhir untuk menentukan titik mana yang merupakankombinasi optimal dalam memaksimumkan pendapatan adalah denganmemasukkan tiap kombinasi ke persamaan tujuan (objective function) danmencari yang menghasilkan pendapatan tertinggi.Objective Function: Pendapatan = 400.000 X + 300.000 YTabel 3. Pendapatan dari Tiap KombinasiNo. Kombinasi Koordinat Pendapatan1. E (0, 10) 400.000 (0) + 300.000 (10) = 3.000.0002. F (2, 9) 400.000 (2) + 300.000 (9) = 3.500.0003. G (4, 6) 400.000 (4) + 300.000 (6) = 3.400.0004. H (4, 0) 400.000 (4) + 300.000 (0) = 1.600.000 Berdasarkan tabel 3 di atas, bisa kita simpulkan bahwa perusahaanharus menentukan memproduksi dua buah barang X dan sembilan buahbarang Y agar pendapatan per hari perusahaan bisa maksimum. Kendalaperusahaan terhadap perbedaan waktu pakai mesin menjadi teralokasikansecara efisien menurut persamaan linier programming. 27
    • 3.3 Minimisasi Program linier bisa digunakan untuk tujuan meminimumkan suatu fungsi. Biaya merupakan contoh yang paling sering digunakan sebagai fungsi tujuan untuk diminimumkan. Contoh untuk kasus minimum, misalnya pilihan atas dua jenis makanan dengan perhatian terhadap kebutuhan nutrisi yang terkandung atas masing-masing makanan tersebut. Misalkan makanan tersebut adalah daging sapi dan ikan. Harga untuk daging sapi adalah Rp 20.000 per Kg dan Rp 30.000 per Kg untuk ikan. Kandungan nutrisi yang diperlukan dari kedua makanan tersebut adalah protein, mineral dan vitamin yang kandungan dan keperluan minimal per hari yang dibutuhkan oleh tubuh dapat diperlihatkan pada tabel berikut: Tabel 4. Ikhtisar Kebutuhan Unit Nutrisi per Kg Minimum Per Hari Nutrisi Daging Sapi Ikan (Y) Jumlah (X) Protein 1 2 14 Mineral 1 1 10 Vitamin 1 0,5 6 Objective Function 28
    • Tujuan dari pemecahan masalah contoh di atas adalah meminimumkanbiaya dari makanan atas harga dari tiap jenis makanan. Objective Functiondari persoalan di atas kita rumuskan dengan persamaan matematik sebagaiberikut:Daging Sapi (X) : Harga per Kg Rp 20.000,-Ikan (Y) : Harga per Kg Rp 30.000,-Total Makanan (X+Y) : 20.000 X + 30.000 Y = Objective FunctionConstraint Kendala yang dihadapi untuk meminimumkan biaya dari konsumsimakanan tetapi kebutuhan atas nutrisi yang minimal adalah sebagai berikut:Protein : X + 2Y ≥ 14Mineral : X+Y ≥ 10Vitamin : X + 0,5 Y ≥6 Jumlah tiap jenis makanan yang dikonsumsikan tidak boleh bertandanegatif karena akan tidak berarti. Oleh karena itu, untuk X dan Y ditambahkendala harus positif berupa:Konsumsi daging sapi : X ≥ 0 29
    • Konsumsi ikan :Y≥0Mathematical Summary Perumusan masalah untuk Konsumsi makanan, sekarang bisadisimpulkan berdasarkan ringkasan matematiknya (Mathematical Summary).secara lengkap sebagai berikut:Objective Function: Biaya minimum = 20.000 X + 30.000 YConstraint :X + 2Y ≥ 14X+Y ≥ 10X + 0,5 Y ≥6X ≥0Y ≥0Pembuatan Grafik Langkah berikutnya adalah membuat grafik untuk tiap persamaanConstraint. Seperti untuk maksimasi akan dibuat dua titik dari tiap persamaanuntuk dapat membuat grafik. 30
    • Tabel berikut memperlihatkan bagaimana koordinat didapat untukmasing-masing persamaan constraint. Jika hanya terdapat satu titik potong,maka garis tersebut akan sejajar sumbu yang tidak ada titik potongnya. No. Persamaan Sumbu X Sumbu Y Keterangan 1. X + 2Y (14, 0) (0, 7) Dua titik ≥ 14 potong 2. X + Y ≥ 10 (10, 0) (0, 10) Dua titik potong 3. X + 0,5 Y≥ 6 (6, 0) (0, 12) Dua titik potong 4. X≥0 (0, 0) - Satu titik potong 5. Y≥0 - (0, 0) Satu titik potong Tabel 5. Koordinat Persamaan ConstraintFeasible Region Tiap persamaan yang sudah didapat koordinatnya akan dibuat gambarnya Ypada gambar 8. Setiapgaris linier yang 7 dibuat 1 31 0 14 X
    • harus menjelaskan area yang dicakup oleh garis tersebut berdasarkan persamaannya. Daerah layak atau feasible region untuk tiap persamaan diperlihatkan pada gambar 8 sampai dengan gambar 10, dimana untuk gambar 11 merupakan irisan dari tiap gambar. Gambar 8. Daerah Layak dari persamaan 1. Y 10 2 0 10 XGambar 9. Daerah Layak dari persamaan 2. 32
    • Y 12 3 0 6 XGambar 10. Daerah Layak dari persamaan 3. Output Y 0 Output X Gambar11. Daerah Layak dari persamaan 4 dan persamaan 5. Y Gambar 8 G sampai 12 10 dengan F gambar 10 7 1 E 33 D 0 6 10 14 X
    • memperlihatkan daerah layak untuk tiap persamaan. Gambar 11 memperlihatkan daerah layak bagi semua persamaan yang ada pada area yang diarsir. Setiap titik kombinasi konsumsi X dan konsumsi Y yang ada di dalam area daerah layak akan memberikan kita alasan untuk dapat mengkonsumsinya. Oleh karena itu, kita harus mencari koordinat dari tiap titik yang merupakan kombinasi konsumsi untuk X dan konsumsi Y, baru kita cari mana yang paling minimum dari persamaan objektifnya.Gambar 11. Daerah Layak dari persamaan 1 sampai dengan persamaan 5. Titik E : Merupakan titik potong dari persamaan 1 dan persamaan 2. X + 2Y ≥ 14 Persamaan 1 X + Y ≥ 10 Persamaan 2 Pertama kita eliminasikan X untuk menghasilkan Y X + 2Y = 14 34
    • X+Y = 10 − Y =4Substitusikan Y yang didapat ke salah satu persamaan. Misal ke Persamaan 2.X + Y = 10X+ 4 = 10 X = 10 - 4 X =6 Maka didapat koordinat untuk kombinasi E adalah (6, 4) yang berartimengkonsumsi 6 Kg daging sapi (X) dan mengkonsumsi 4 kg ikan (Y).Untuk titik G bisa dicari dengan cara yang sama yaitu:Titik F : Merupakan titik potong dari persamaan 3 dan persamaan 2.X + 0,5Y≥ 6 Persamaan 3X + Y ≥ 10 Persamaan 2Pertama kita eliminasikan X untuk menghasilkan YX + 0,5Y =6 X+Y = 10 − 35
    • - 0,5 Y =-4 Y =8Substitusikan Y yang didapat ke Persamaan 2.X + Y = 10X + 8 = 10 X = 10 – 8 X =2 Maka didapat koordinat untuk kombinasi F adalah (2, 8) yang berartimengkonsumsi dua Kg daging sapi dan mengkonsumsi delapan daging ikan. Langkah terakhir untuk menentukan titik mana yang merupakankombinasi optimal dalam meminimumkan biaya makanan adalah denganmemasukkan tiap kombinasi ke persamaan tujuan (objective function) danmencari yang menghasilkan biaya terendah.Objective Function: Biaya = 20.000 X + 30.000 YTabel 6. Biaya Makanan dari Tiap KombinasiNo. Kombinasi Koordinat Pendapatan 36
    • 1. D (14, 0) 20.000 (14) + 30.000 (0) = 280.000 2. E (6, 4) 20.000 (6) + 30.000 (4) = 240.000 3. F (2, 8) 20.000 (2) + 30.000 (8) = 280.000 4. G (0, 12) 20.000 (0) + 30.000 (12) = 360.000 Berdasarkan tabel 6 di atas, bisa kita simpulkan bahwa konsumsi yang memberikan biaya paling rendah untuk kebutuhan nutrisi yang mencukupi adalah pada konsumsi 6 kg daging sapi dan 4 kg daging ikan.3.4 Masalah Khusus Metode Grafik Program Linier 1. Multiple Optimum Solution Dalam LP sangat dimungkinkan terjadi multiple optimum solution atau sering disebut dengan solusi optimum lebih dari satu. Contoh : Z (Mak) = 20X1 + 40X2 Kendala 3X1 + 6X2 ≤ 30 X1 ≤ 8 X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0 2. No Feasible Solution 37
    • Tidak adanya feasible solution dapat terjadi karena kesalahan dalammembuat formulasi LP atau kesalahan dalam menggambar garis kendala,sehingga kita tidak dapat menemukan feasible solution space.Contoh :Z (Mak) = 20X1 + 50X2Kendala X1 + X2 ≤ 5 2X1 + 3X2 ≥ 24 X1, X2 ≥ 0 38
    • BAB IV SOLUSI PROGRAM LINEAR DENGAN METODE PRIMAL 4.1 Metode PrimalMaksimumkan : Z = 40X1 + 30X2 + 50X3Batasan : 1. 6X1 + 4X2 + X3 ≤ 32000 2. 6X1 + 7X2 + 3X3 ≤ 16000 3. 4X1 + 5X2 + 12X3 ≤ 24000 4. X1, X2, X3 ≥ 0Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks primal: 1. Merubah model matematika menjadi bentuk baku simpleks dengan cara menambahkan batasan dengan variable slack pada pertidaksamaan lebih kecil sama dengan atau mengurangi dengan variable surplus pada pertidaksamaan lebih besar sama dengan. + variable slack pada batasan ≤ - Variable surplus pada batasan ≥ Bentuk baku simpleks: Maksimumkan : Z - 40X1 - 30X2 - 50X3 – 0S1 - 0S2 – 0S3 = 0 Batasan : 1. 6X1 + 4X2 + X3 + S1 = 32000 2. 6X1 + 7X2 + 3X3 + S2 = 16000 3. 4X1 + 5X2 + 12X3 + S3 = 24000 2. Buat tebel awal simpleks: 39
    • 3. Tentukan kolom masuk. Pada kasus maksimalisasi, kolom masuk merupakan nilai negatif terbesar pada persamaan Z atau baris Z pada table simpleks, sehingga X3 merupakan kolom masuk.4. Tentukan kolom keluar atau persamaan pivot. Merupakan nilai positif terkecil dari rasio antara pemecahan dengan elemen pada kolom masuk, sehingga: Variable nondasar X3 akan menggantikan variable dasar S3 pada table simpleks iterasi pertama.5. Tentukan elemen pivot. Merupakan angka pada perpotongan kolom masuk dan kolom keluar, sehingga elemen pivot = 12.6. Mencari persamaan pivot baru. Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama / elemen pivot 40
    • Persamaan pivot baru =7. Mencari persamaan variable dasar baru.Pada kasus diatas yang merupakan variable dasar adalah Z, S1, dan S2.Variable dasar baru = variable dasar lama – (elemen kolom masuk x persamaanpivot baru.a. Persamaan Z baru:b. Persamaan S1 baru:c. Persamaan S2 baru: 41
    • 8. Table simpleks iterasi pertama:9. Kondisi optimum pada kasus maksimalisasi diperoleh ketika persamaan Z atau baris Z tidak memilik angka yang bernilai negative. Apabila kondisi optimum belum diperoleh maka kembali ke langkah 3.10. Elemen pivot = 511. Persamaan pivot baru 42
    • 12. Persamaan variable dasar baru. a. Persamaan Z baru b. Persamaan S1 baru c. Persamaan X3 baru13. Table simpleks iterasi kedua – optimum 43
    • 14. Table simplek iterasi kedua diatas sudah optimum karena variable nondasar pada persamaan Z sudah bernilai positif, sehingga: X1 = 2000 X3 = 4000/3 Z = 440000/315. Pada table optimum S2 dan S3 = 0. Artinya persediaan sumber daya kedua dan ketiga habis digunakan, tetapi masih memiliki sumber daya pertama (S1) sebesar 56000/3 karena tidak digunakan. 44
    • BAB V SOLUSI SIMPLEX PROGRAM LINIER MINIMASI Dalam masalah maksimasi, biasanya memiliki kendala pertidaksamaanjenis ≤. Sekarang akan dijelaskan proses simplex untuk suatu masalahminimasi yang biasanya memiliki kendala pertidaksamaan jenis ≥. Masalahminimasi menggunakan langkah langkah yang sama seperti pada masalahmaksimasi, namun ada beberapa penyesuaian yang harus dibuat. Bagi kendalapertidaksamaan jenis ≤ maka variable slack ditambahkan untuk menghabiskansumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkanpada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=).Contoh :Minimumkan Z = -3X1 + X2 + X3Dengan syarat : X1 – 2X2 + X3 ≤ 11 4X1 + X2 + 2X3 ≥ 3 2X1 - X3 = -1 X1, X2, X3 ≥ 0Persamaan pada kendala ke tiga harus dirubah agar memiliki nilai kananpositif denga cara dikalikan (-1), sehingga menjadi :- 2X1 + X3 = 1Persamaannya berubah menjadi :Minimumkan Z = - 3X1 + X2 + X3 45
    • dengan syarat : X1 - 2X2 + X3 ≤ 11 - 4X1 + X2 + 2X3 ≥ 3 - 2X1 + X3 = 1 X1 , X2 , X3 ≥ 0 Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack padakendala pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua.Sehingga diperoleh : Z + 3X1 - X2 - X3 - 0S1 - 0S2 = 0 → Persamaan tujuan X1 - 2X2 + X3 + S1 = 11 - 4X1 + X2 + 2X3 - S2 = 3 persamaan kendala - 2X1 + X3 = 1 Istilah variabel slack dan variabel surplus adalah berbeda dimanaslack ditambahkan dan mencerminkan sumber daya yang tak terpakai,sementara surplus dikurangkan dan menunjukkan suatu kelebihan ataskeperluannya, tetapi keduanya diberikan notasi serupa, yaitu S. Kebutuhan utama metode simplex adalah solusi awal layak (initialbasic solution). Tanpa ini maka tabel simplex tidak dapat dibuat. Dari masalahdiatas, terdapat tiga (3) persamaan dan lima (5) variabel tak diketahui, yangberarti bahwa 2 variabel harus menjadi non basis (nilainya = 0) pada setiapsolusi. Tak seperti kasus dimana terdapat variabel slack pada setiappersamaan, disini kita dapat menjamin bahwa dengan menetapkan suatuvariabel sama dengan nol, variabel basis yang dihasilkan akan non negatif(berarti diperoleh solusi layak). 46
    • BAB VI PRIMAL DAN DUAL Metode primal dan dual di dalam program linier sangat penting sekali untuk dipaham, karena pada dasarnya setiap bentuk primal di dalam program linier akan mempunyai bentuk dualnya, sehingga antara primal dan dual sangat berkaitan erat dalam pengambilan suatu keputusan.6.1 Formulasi Umum Primal Permasalahan Pemrograman Linier Fungsi tujuan : Maksimumkan : (1) Z = bjxj Pembatas : (2) Aijxj ≤ ci …… (7.1) (3) xj ≥ 0 Untuk semua : i = 1, 2, 3,…,m J = 1, 2, 3,…,n6.2 Formulasi Umum Dual Permasalahan Pemrograman Linier Fungsi tujuan : Minimumkan : (1) Z = ciyi Pembatas : (2) Aijyi ≥ bj ……(7.2) (3) yi ≥0 Untuk semua : i = 1, 2, 3,…,m J = 1, 2, 3,…,n 47
    • 6.3 Ketentuan-Ketentuan Metode Primal – Dual 1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta pada dual 2. Konstanta pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan pada dual 3. Fungsi tujuan maksimal pada primal menjadi fungsi tujuanminimal pada dual 4. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pada dual 5. Setiap baris pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual 6. Tanda ketidaksamaan bergantung pada fungsi tujuan6.4 Contoh Kasus Permasalahan Program Linier Contoh kasus pada permasalahan program linier dibedakan menjadi 2 kategori dalam penggunaaan notasi : 1. Untuk kasus maksimisasi, notasi pada variabel keputusan menggunakan huruf x (sesuai dengan formulasi umum primal) 2. Untuk kasus minimisasi, notasi pada variabel keputusan menggunakan huruf y (sesuai dengan formulasi umum dual) Contoh 7.1 Kasus Primal Pemrograman Linier Fungsi tujuan : Maksimumkan (1) Z = 2x1 + 4x2 – 3x3 Pembatas : (2) x1 + 3x2 – 2x3 ≤ 30 (3) x1 + x2 + x3 ≤ 24 (4) 3x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 60 (5) x1 ≥ 0 (6) x2 ≥ 0 (7) x3 ≥ 0 Contoh 7.2 Kasus Dual Pemrograman Linier 48
    • Fungsi Tujuan : Minimumkan (1) Z = 30y1 + 24y2 + 60y3 Pembatas : (2) y1 + y2 + 3y3 ≥ 2 (3) 3y1 + y2 + 5y3 ≥ 4 (4) -2y1 + y2 + 3y3 ≥ -3 → 2y1 – y2 – 3y3 ≤ 3 (5) y1 ≥ 0 (6) y2 ≥ 0 (7) y3 ≥ 0 Implementasi langkah-langkah tabel metode simplex untukmenyelesaikan permasalahan pemrograman linier yang telah dibawa ke dalambentuk dual (contoh 7.2), dijelaskan sebagai berikut :Langkah 1 Berdasarkan formulasi umum maka contoh 7.2 dapat disusun dalambentuk standar, sebagai berikut :Fungsi tujuan : Minimumkan (1) Z + (4M-30)y1 + (2M-24)y2 + (8M-60)y3 – MS1 – MS2 – 0S3 = 6M Pembatas : (2) y1 + y2 + 3y3 – S1 + R1 = 2 (3) 3y1 + y2 + 5y3 – S2 + R2 = 4 (4) 2y1 – y2 – 3y3 + S3 = 3 (5) y1 ≥ 0 (6) y2 ≥ 0 (7) y3 ≥ 0Langkah 2. 49
    • Langkah 3. Tabel dibawah ini menunjukan perubahan-perubahan yang dimulaidari keadaan tabel awal, tabel hasil perubahan pertama, tabel hasil perubahankedua dan tabel hasil perubahan ketiga, yang menghasilkan nilai fungsi tujuanyang optimal, sebagai berikut :Diperoleh solusi optimal sebagai berikut : [ y1,y2,y3, Z ] = [ ½, 0, ½, 45 ] 50
    • 6.5 Analisis Sensitivitas dan Post Optimal 1. Perubahan pada Koefisien Fungsi Tujuan Menunjukan analisis sensitivitas pada koefisien fungsi tujuan dapat menggunakan kasus pembuatan meja dan kursi. Maksimumkan Z = 160x1 + 200x2 Batasan 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam kerja 18x1 + 18x2 ≤ 216 pon kayu 24x1 + 12x2 ≤ 240 m2 tempat penyimpanan x1, x2 ≥ 0 Andaikan persamaan fungsi tujuan dirubah menjadi Z=250x1+200x2 maka solusi optimal akan berubah karena kemiringan dari garis fungsi tujuan berubah. Oleh karena itu dalam kasus ini akan dicari besarnya perubahan pada koefisien fungsi tujuan yang tidak menyebabkan perubahan solusi optimal.  Tabel simpleks Optimal dengan untuk kasus memproduksi meja dan kursi.  Andaikan perubahan pada c1 adalah Δ maka tabel simpleks optimal nya. 51
    •  Solusi akan tetap optimal selama nilai cj-Zj adalah negatif, jika cj-Zj bernilai positif maka solusi akan berubah, dan bila cj-Zj bernilai nol maka ada solusi alternative Supaya solusi tetap optimal -20+Δ/2 <0 dan -20/3-Δ/9<0 sehingga: -20+Δ/2 < 0, Δ/2 < 20, Δ < 40 … 1) -20/3-Δ/9<0, - Δ/9<0+20/3, Δ > -60 … 2) Koefisien fungsi tujuan c1 = 160 + Δ, sehingga Δ = c1 – 160 Masukan persamaan 1) ke Δ = c1 – 160, c1 – 160 < 40, c1<200. Masukan persamaan 2) ke Δ = c1 – 160, c1 – 160 > -60, c1>100. Diperoleh 100 < c1 < 200. Selanjutnya tentukan perubahan c2 yang tidak dapat merubah solusi. Tabel simpleks optimal untuk c2 = 200 + Δ Persamaan -20-Δ/2<0 dan -20/3+Δ/18<0, sehingga 52
    • -20-Δ/2<0, -Δ/2<20, Δ>-40 … 1) -20/3+Δ/18<0, Δ/18<20/3, Δ<120 … 2) Koefisien fungsi c2 = 200 + Δ sehingga Δ = c2 -200 Persamaan 1 ) menjadi c2-200 >-40, c2>160 Persamaan 2) menjadi c2-200<120, c2<320. oleh karena itu diperoleh 160<c2<320 Range-range c1 atau c2 memungkinkan untuk satu perubahan saja yaitu c1 atau c2 saja tidak berlaku jika keduanya berubah secara bersamaan.2. Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan Mempelajari pengaruh perubahan nilai kuantitas pada batasan dapat menggunakan contoh pembuatan meja dan kursi dengan model program linear sebagai berikut: Maksimumkan Z = 160x1 + 200x2 Batasan 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam kerja 18x1 + 18x2 ≤ 216 pon kayu 24x1 + 12x2 ≤ 240 m2 tempat penyimpanan x1, x2 ≥ 0 Misalkan kuantitas diatas disebut q1 = 40, q2 = 216, dan q3 = 240,. Andaikan q2 diubah dari 216 menjadi 234 maka daerah solusinya akan berubah dari ABCD menjadi AEFD,lihat Gambar. 53
    •  Perubahan kuantitas dapat merubah daerah solusi, oleh karena itu salah satu tujuan analisis sensitifitas adalah untuk mempelajari sejauh mana qi dapat berubah sehingga solusi tetap feasible. Misalkan terdapat kenaikan jam tenaga kerja sebesar Δ maka batasan pertama menjadi 2x1+4x2≤40+Δ. Tabel simpleks awalnya menjadi : Tabel akhirnya adalah 54
    •  Salahsatu persyaratan metode simpleks adalah kuantitasnya bersifat positif oleh karena itu terdapat pertidaksamaan sbb: 8 + Δ/2 ≥ 0 … 1) 4 - Δ/2 ≥ 0 … 2) 48+6Δ ≥ 0 … 3) Dari pers 1) 8 + Δ/2 ≥ 0, Δ/2 ≥ -8, Δ ≥ -16 Dari pers 2) 4 - Δ/2 ≥ 0, -Δ/2 ≥ -4, Δ ≤ 8 Dari pers 3) 48 + 6Δ ≥ 0, 6Δ ≥ -48, Δ ≥ -8 q1 = 40 + Δ, Δ = q1 -40 Dari pers 1) q1-40 ≥ -16, q1 ≥ 24 Dari pers 2) q1-40 ≤ 8, q1≤ 48 Dari pers 3) q1-40 ≥ -8, q1≥32 Sehingga 32 ≤q1≤48 Selama q1 pada range ini solusi akan tetap positif dan feasible tetapi nilainya bisa berubah. Analisis sensitifitas untuk nilai kuantitas batasan dapat digunakan dalam hubungannya dengan solusi dual. Dalam contoh ini diperoleh y1 (nilai marginal tenaga kerja) = $20, y2 (nilai marginal kayu) = $6.67, dan y3 ( nilai marginal tempat penyimpanan ) = $0. Nilai marginal yang paling besar adalah tenaga kerja. Berdasarkan range 32 ≤ q1 ≤ 48 maka q1 dapat 55
    • ditambah sebanyak 8. jika q1 ditambah sebanyak 8 maka nilai solusi x2 = 8 + Δ/2 = 8 + 8/2 = 12, x1 = 4 - Δ/2 = 4 – 8/2 =0, dan s3 = 48 + 6 (8) = 96. Laba total akan meningkat sebesar $20 untuk setiap ekstra jam tenaga kerja.  Z = 2.240 + 20Δ = 2.240 + 20 (8) = $2.4003. Perubahan Parameter Model Lainnya Analisis sensitifitas tidak hanya merubah cj dan qi saja tapi juga koefisien peubah keputusan dari batasan. Misal batasan pertama dari 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam menjadi x1 + 4x2 ≤40 jam.  Gambar grafik perubahan dari 2x1 + 4x2 ≤ 40 jam menjadi x1 + 4x2 ≤ 40 jam.  Daerah feasible awal adalah ABCD setelah diubah maka berubah menjadi AECD. 56
    • BAB VII MODEL TRANSPORTASI7.1 Pengertian Model Transportasi Model transportasi merupakan bagian dari program linear. Tujuan darimodel transportasi ini adalah untuk mengoptimalkan jumlah pengiriman ketujuan dalam sekali pengiriman, sehingga dapat menekan biaya serendahmungkin atau mencapai jumlah laba yang maksimal. Program linear adalah suatu model umum yang jamak dipakai untukmenyelesaikan masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas secaraoptimal, mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan yang akan dilakukandengan menggunakan anggapan-anggapan hubungan linear, untuk mencapaihasil yang maksimal. Model transportasi merupakan kasus khusus dari masalah programlinear dengan tujuan untuk mengangkut barang tunggal (1 jenis) dari berbagaiasal (origin) ke berbagai tujuan (destination), dengan biaya angkut serendahmungkin. Telah dijelaskan bahwa model transportasi merupakan suatu kasuskhusus dalam masalah program linear, namun dapat susut menjadi masalahtransportasi jika : 1. Koefisien dari variabel struktural, yaitu amn terbatas pada nilai-nilai 0 atau 1. 2. Terdapat adanya kehomogenan antara unit-unit dalam persyaratan. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapatperbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan yangberbeda-beda, dan dari beberapa sumber ke suatu tempat tujuan juga berbeda-beda. 57
    • Model transportasi merupakan salah satu kasus khusus dari masalahprogram linear yang bertujuan untuk mencari biaya angkut serendah mungkin.Model transportasi memiliki ciri-ciri khas seperti yang dimiliki oleh programlinear, yaitu : 1. Fungsi obyektif yang linear 2. Struktur persyaratan yang linear Setiap masalah program linear memiliki sekumpulan persyaratan linear. Dengan aij merupakan koefisien struktural yang mencerminkan spesifikasi teknik dari masalah yang dibahas, dan ia tampil sebagai koefisien dari variabel struktural dalam persyaratan-persyaratan struktural. Sedangkan bi adalah konstanta yang menggambarkan kapasitas maksimum atau minimum dari fasilitas-fasilitas yang ada maupun sumber-sumber yang tersedia. Bentuk persyaratan struktural yang linear dituliskan secara lengkap sebagai berikut : 58
    • 3. Persyaratan tidak negatif Variabel struktural, variabel slack, variabel slack buatan dari masalah program linear terbatas pada nilai-nilai tidak negatif, ditulis : Xj > 0 j = 1, 2, ..., n Si > 0 i = 1, 2, ..., m Ai > 0Tabel Model Transportasi 59
    • Jika m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom dalam suatumasalah transportasi, kita dapat menyatakan masalah secara lengkap denganm+n-1 persamaan. Ini berarti bahwa suatu penyelesaian dasar yang memenuhipersyaratan dari suatu masalah transportasi hanya memiliki m+n-1 komponen-komponen positif.7.2 Pendekatan Model Transportasi Model transportasi terdiri atas 3 langkah dasar : Langkah 1 : melibatkan penentuan pengiriman awal, sedimikian rupa sehingga diperoleh solusi dasar yang memenuhi syarat. Ini berarti bahwa m+n-1 sel atau rute dari matriks transformasi digunakan untuk tujuan pengangkutan. Sel yang digunakan untuk pengangkutan disebut 60
    • sel yang ditempati, sedang sel lainnya dari matriks transportasi akan disebut sel kosong. Langkah 2 : bertujuan menentukan biaya kesempatan (Oportunity Cost) yang berkaitan dengan sel kosong. Biaya kesempatan dari sel kosong dapat dihitung untuk setiap sel kosong tersendiri, atau dapat dihitung untuk semua sel kosong secara keseluruhan. Jika biaya kesempatan dari semua sel kosong tidak positif, maka telah diperoleh solusi optimal. Di pihak lain, jika terdapat hanya satu sel saja memiliki biaya kesempatan bernilai positif, solusi pasti belum optimal dan kita harus melangkah ketiga. Langkah 3 : meliatkan penentuan solusi dasar yang memenuhi syarat, baru dan lebih baik. Sekali solusi dasar yang baru dan memenuhi syarat telah dicapai, kita ulangi langkah 2 dan langkah 3 sampai suatu solusi optimal telah ditentukan. Sebelum masuk ke dalam penyelesaian model transportasi, sesuailangkah pertama harus ditentukan dahulu solusi awalnya. Ada beberapa caramenentukan solusi awal, yaitu metode pojok barat-laut dan metode inspeksi.A. Metode Pojok Barat-Laut Metode ini ditemukan oleh Charnes dan Cooper, dan kemudiandikembangkan oleh Danzig. Sesuai nama aturan ini, maka penempatanpertama dilakukan di sel paling kiri dan paling atas dari matriks, yaitu sel 61
    • O1D1. Bandingkan persediaan di O1 dengan kebutuhan di D1, yaitu masing-masing d1 dan b1. Buat x11 = Min (b1, d1).  Bila b1 > d1, maka x11 = d1. Teruskan ke sel O1D2, yaitu gerakan horizontal dimana x12 = min. (b1- d1, d2).  Bila b1 < d1, maka x11 = b1. Teruskan ke sel O2D1, yaitu gerakan vertikal dimana x21 = min. (d1-b1, b2).  Bila b1 = d1, maka buatlah x11 = d1 dan teruskan ke sel O2D2 (gerakan miring). Teruskan langkah ini menjauhi pojok barat-laut menuju pojoktenggara dari tabel, sehingga akhirnya semua permintaan terpenuhi. Setelah program awal ini selesai ditentukan, maka perlu diujipersyaratan bahwa m+n-1 sel harus terisi. Bila m+n-1 sama dengan jumlah selyang terisi, maka solusi tidak merosot. Metode pojok barat-laut ini memperlihatkan bahwa tiap langkah yangdilakukan akan memenuhi satu kendala. hiangga akhirnya berhenti di langkahke m+n-1, karena pada langkah ini sudah terpenuhi m+n-1 kendala. Metode pojok barat-laut ini belum bisa dibilang optimal, dikarenakanmetode inimengabaikan biaya yang relevan dari tiap-tiap rute.B. Metode Inspeksi 62
    • Dalam menyesuaikan masalah transportasi, diperlukan adanya inspeksidan pertimbangan. Untuk masalah transportasi berdimensi kecil, hal ini akanmemberi pengurangan terhadap waktu. Alokasi pertama dibuat terhadap sel yang berkaitan dengan biayapengangkutan terendah. Sel dengan ongkos terendah ini diisi sebanyakmungkindengan mengingat persyaratan kapasitasorigin maupun persyaratanpermintaan tempat tujuan. Lalu beralih mengalokasikan ke sel termurahberikutnya dengan memperhatikan kapasitas yang tersisa dan permintaan barisdan kolomnya. Ada kemungkinan terdapat adanya ikatan antara sel-sel termurah.Ikatan tersebut dapat dipatahkan atau denganmemilih sembarang sel untukdiisi. Banyaknya sel yang terisi harus sedemikian hingga diperoleh m+n-1 selyang terisi. Secara singkat, pendekatan metode transportasi didasarkan atas tigalangkah, yaitu : 1. Menentukan program awal untuk mencapaisolusi dasar yang memenuhi syarat. 2. Menentukan biaya kesempatan dari setiap sel kosong. Memperbaiki program yang sedang berjalan untuk memperoleh program yang lebih baik, hingga akhirnya mencapai solusi optimal. 63
    • BAB VIII MODEL PENUGASAN8.1 Maksimalisasi Penugasan Dalam model ini tujuannya adalah memaksimalkan keuntungan. Dalam penempatan karyawan yang paling cocok adalah satu pekerjaan ditangani satu orang karyawan. Contoh : Suatu Penugasan memiliki 4 orang karyawan yang akan ditugaskan untuk menyelesaikan 4 macam tugas. Satu karyawan harus mengerjakan satu macam pekerjaan. Dan biaya penyelesaikan pekerjaan itu oleh tiap karyawan seperti terlihat pada table berikut : 64
    • Untuk melakukan alokasi penugasan karyawan yang optimal dengan yangmenguntungkan perusahaan maka langkah-langkah penugasan sebagai berikut:1. Membuat Tabel Opportunity Loss Matrik dengan mencari elementerbesar dibaris itu dan mengurangkan dengan nilai elemen tiap baris..Sehingga Menghasilkan Tabel berikut :2. Membuat Total Opportunity Loss Matrik Dari Tabel Opportunity Loss Matrik disetiap kolom harus memilikipaling sedikit 1 elemen benilai nol (Langkah sama dengan algoritmameminimumkan) 65
    •  Ternyata pada kolom ketiga belum ada elemen bernilai nol, makaharus kita dibuat agar memiliki nilai nol dengan cara : Mengurangi elemenpada kolom tersebut dengan nilai paling kecil di kolom tersebut. Setelahsemua memiliki nilai nol disetiap kolom, maka diperoleh table TotalOpportunity Loss Matrix sebagai berikut :3. Menarik Garis untuk meliput angka nol Setelah semua baris dari kolom memiliki angka nol, maka tariklahgaris seminimum mungkin, baik vertical maupun horizontal yang bisamenghubungkan angka nol. 66
    • Penugasan belum optimal, karena jumlah garis=3 yang dibuat itumasih lebih kecil dibanding dengan jumlah baris=4 atau kolom=4 yang belumterliput garis. Untuk merubah table diatas dilakukan langkah sebagai berikut :• Pilih angka terkecil diantara semua angka yang belum terliput dengangaris dan kurangkan semua angka yang belum terliput garis dengan angkaterkecil tersebut.• Angka yang terliput dengan garis vertical dan horizontal, tambahkandengan angka terkecil yang belum terliput dengan garis, sehinggamenghasilkan tabel Perubahan Total Opportunity Cost Matrix sebagaiberikut : 67
    • Tabel diatas sudah optimal, karena garis yang dibuat sudah 4 garis,sama dengan jumlah baris atau jumlah kolom. Setelah itu letakkan karyawanpada salah satu pekerjaan yang nilainya pada Total Opportunity Cost = 0(Cari Biaya Terendah) tiap kolom atau baris, dan satu pekerjaan bisa diisi olehsatu orang saja dan tambahkan semua biaya agar diperoleh biaya keseluruhansebagai berikut : Karyawan A ditempatkan pada tugas III, karena 1 karyawan hanyaboleh menempati 1 pekerjaan. Jumlah biaya Rp. 100 merupakan biayatermurah dibanding dengan semua alternative lain.8.2 Minimisasi Penugasan Tujuan kita adalah meminimumkan biaya untuk menyelesaikan suatupekerjaan oleh seorang karyawan. Dalam penempatan karyawan yang palingcocok adalah satu pekerjaan ditangani satu orang karyawan.Contoh :Suatu Penugasan memiliki 4 orang karyawan yang akan ditugaskan untukmenyelesaikan 4 macam tugas. Satu karyawan harus mengerjakan satu macam 68
    • pekerjaan. Dan biaya penyelesaikan pekerjaan itu oleh tiap karyawan sepertiterlihat pada table berikut :Untuk melakukan alokasi penugasan karyawan yang optimal dengan langkah-langkah sebagai berikut :4. Membuat Tabel Opportunity Cost dengan mengurangi elemen tiapbaris dengan elemen terkecil dari baris itu. Sehingga Menghasilkan Tabelberikut :5. Membuat Total Opportunity Cost Matrik- Dari Tabel Opportunity Cost disetiap kolom harus memiliki palingsedikit 1 elemen benilai nol. 69
    • - Ternyata pada kolom II dan IV belum ada elemen bernilai nol, makaharus dibuat agar memiliki nilai nol dengan cara : Mengurangi elemen padakolom tersebut dengan nilai paling kecil di kolom tersebut. Setelah semuamemiliki nilai nol disetiap kolom, maka diperoleh table Total OpportunityCost Matrix sebagai berikut :6. Menarik Garis untuk meliput angka nol Setelah semua baris dari kolom memiliki angka nol, maka tariklahgaris seminimum mungkin, baik vertical maupun horizontal yang bisamenghubungkan angka nol. 70
    • Penugasan belum optimal, karena jumlah garis yang dibuat itu masihlebih kecil dibanding dengan jumlah baris atau kolom yang belum terliputgaris.Untuk merubah tabel diatas dilakukan langkah sebagai berikut :• Pilih angka terkecil diantara semua angka yang belum terliput dengangaris dan kurangkan semua angka yang belum terliput garis dengan angkaterkecil tersebut.• Angka yang terliput dengan garis vertical dan horizontal, tambahkandengan angka terkecil yang belum terliput dengan garis, sehinggamenghasilkan table Perubahan Total Opportunity Cost Matrix sebagaiberikut : 71
    • Tabel diatas sudah optimal, karena garis yang dibuat sudah 4 garis,sama dengan jumlah baris atau jumlah kolom. Setelah itu letakkan karyawanpada salah satu pekerjaan yang nilainya pada Total Opportunity Cost = 0(Cari Biaya Terendah) tiap kolom atau baris, dan satu pekerjaan bisa diisi olehsatu orang saja dan tambahkan semua biaya agar diperoleh 72
    • Jumlah biaya Rp. 51 merupakan biaya termurah dibanding dengansemuaalternative lain. BAB IX PERENCANAAN JARINGAN KERJA 73
    • 9.1 Pengertian Jaringan Kerja Manajemen proyek secara lambat laun telah menjadi suatu bidang barudengan berkembangnya dua teknik analisis yang digunakan untukperencanaan, penjadwalan, pengawasan dan pengambilan keputusan terhadapproyek yang sedang berjalan atau yang akan berjalan. Teknik pertama disebutcritical path method (CPM) dan teknik kedua disebut project evaluation andreview technique (PERT). Pada dasarnya kedu teknik analisis ini sudah lama. Perbedaannyaterletak pada perkiraan waktu, dimana CPM menaksir waktu dengan cara pasti(deterministic) sementara PERT dengan cara kemungkinan (probabilistic).Kedua teknik analisis inilah yang dikenal dengan network analisys atau teorijaringan kerja. Suatu proyek pada hakikatnya adalah sejumlah kegiatan yangdirangkaikan satu dengan yang lain maupun tidak. Dalam hal ini teori jaringankerja dapat mengatur rangkaian satu dengan yang lain maupun tidak. Dalamhal ini teori jaringan kerja dapat mengatur rangkaian dari kegiatan-kegiatantersebut sehingga benar-benar dapat dilaksanakan secara efisien dan efektif.Dalam mengatur rangkaian dari kegiatan-kegiatan, teori jaringan kerja harusdapat : 1. Menggambarkan interelasi kegiatan dengan urutan yang logis. 2. Mengidentifikasi unsur-unsur kritis secara mudah. 3. Mendeteksi masalah-masalah yang gawat. 74
    • 9.2 Perencanaan ProyekPerencanaan proyek terdiri atas tiga tahap, yaitu :1. Membuat uraian kegiatan-kegiatan, menyusun logika urutan kejadian- kejadian, menentukan syarat-syarat pendahuluan, menguraikan interelasi dan interdependensi antara kegiatan-kegiatan.2. Penaksiran waktu yang diperlukan untuk melaksanakan tiap kegiatan menegaskan kapan suatu kegiatan dimulai dan kapan berakhir. Secara keseluruhan kapan proyek selesai.3. Bila perlu, menetapkan alokasi biaya dan peralatan guna pelaksanaan tiap kegiatan, meskipun pada hakikatnya hal ini tidak begitu penting.9.3 Diagram Jaringan Kerja Diagram jaringan mempunyai dua peranan, yaotu sebagai alatperencanaan proyek dan sebagai ilustrasi secara grafik dari kegiatan-kegiatansuatu proyek. Oleh karena itu dia harus mampu memberi gambaran tentang :1. Hubungan antara komponen-komponen kegiatan secara keseluruhan.2. Arus operasi yang dijalankan sejak awal sampai berakhirnya suatu proyek. Lambang-lambang yang dipakai untuk memberikan keterangan yangjelas mengenai proyek itu :1. 75
    • Anak panah (Arrow) menyatakan kegiatan. Panjang dan arah anak panah tidak mempunyai arti khusus. Pangkal dan ujung menerangkan kegiatan mulai dan berakhir. Pada umumnya kegiatan diberi kode huruf kapital A, B, …..2. Lingkaran kecil atau node, menyatakan suatu kejadian atau peristiwa. Kejadian diartikan sebagai awal atau akhir dari satu atau beberapa kegiatan. Umumnya diberi kode angka 1, 2, …. Dan seterusnya yang disebut nomor kejadian.3. Anak panah terputus-putus, menyatakan kegiatan semu atau dummy sebagai pemberitahuan bahwa terjadi perpindahan dari suatu kejadian ke kejadian lain pada saat yang sama. Oleh karena itu dummy tidak memerlukan waktu dan tidak menghabiskan sumber. Panjang dan arah dummy tidak mempunyai arti khusus. Untuk menyatakan saling ketergantungan logikal dari kegiatan-kegiatan, berikut dijelaskan beberapa ketentuan sebagai berikut : 1. Kegiatan B hanya dapat dimulai bila kegiatan A selesai. Perlu diketahui bahwa kejadian merupakan awal dan akhir suatu kegiatan. 76
    • 2. Kegiatan C dapat dimulai bila kegiatan A dan B selesai.3. Kegiatan C dan D dapat dimulai setelah kegiatan A dan B berakhir, dan selesai pada kejadian yang berbeda4. Terdapat kejadian yang saling tergantung tanpa dihubungkan dengan kegiatan tetapi du=ihubungkan dengan dummy5. Bila ada dua kegiatan berbeda yang mulai pada kejadian yang sama dan berakhir pada kejadian yang sama pula, maka kagiatan tersebut tidak boleh dibuat berimpit 77
    • 6. Dalam suatu jaringan kerja tidak boleh terjadi suatu loop atau arus putar. BAB X ANALISIS KEPUTUSAN 78
    • 10.1 Analisis Keputusan Analisis keputusan layak dipelajari selepas mempelajari ataumengetahui tentang pemodelan sistem. Analisis Keputusan adalah sebuahmetode yang memberikan dukungan kuantitatif untuk para pembuat keputusandi semua bidang termasuk insinyur, analis dalam perencanaan kantor danlembaga-lembaga publik, konsultan manajemen proyek, proses manufakturperencana, analis keuangan dan ekonomi, ahli penunjang medis / diagnosisteknologi, dll. Seorang pengambil keputusan haruslah memperhatikan hal-halseperti : logika, realita, rasional, dan pragmatis. Untuk mencapai beberapa sasaran antara seperti yang telah diuraikansebelumnya diperlukan adanya suatu keputusan tidakan yang akan dilakukandari beberapa alternatif. Untuk itu, dilakukan analisis keputusan denganmengikuti langkah-langkah sebagai berikut :> Merumuskan Pernyataan Keputusan Tujuan merumuskan pernyataan keputusan adalah untuk memusatkanperhatian pada tindakan yang terpilih dalam tahap pengidentifikasianalternatif tindakan sebagai dasar untuk melaksanakan keputusan yang akanditempuh dalam usaha mengembangkan perusahaan.> Menetapkan Kriteria Keputusan Kriteria keputusan adalah kemampuan memberikan gambaranmengenai suatu keadaan yang lebih terperinci tentang hasil keputusan yangdiambil. Tujuan penetapan kriteria adalah untuk menyaring sejumlah alternatiflain yang pada akhirnya akan muncul satu alternatif terbaik.> Menetapkan Alternatif Keputusan 79
    • Alternatif keputusan adalah kemungkinan-kemungkinan pilihan bagipencapaian tujuan dari pernyataan keputusan. Dari berbagai alternatif, akandipilih yang terbaik berdasarkan kriteria-kriteria yang ada. Pertimbanganpokoknya adalah mana yang paling memenuhi kriteria dan paling kecilresikonya bila alternatif itu dijalankan.> Menentukan Bobot Masing-Masing Kriteria Penentuan bobot berdasarkan besar-kecilnya pengaruh kriteriaterhadap alternatif keputusan. Semakin besar pengaruhnya maka bobotnyalebih besar dan sebaliknya. Jumlah bobot untuk seluruh kriteria adalah satu(1)> Membuat Matriks Penilaian Matriks penilaian bertujuan untuk mengevaluasi alternatif-alternatifyang paling baik yang dapat memenuhi sasaran. Dalam matriks ini digunakansistem pembobotan, dimana kriteria dan alternatif keputusan diberi bobotkemudian diperkalikan.> Menentukan Tindakan Terpilih Hasil perkalian antara kriteria dan alternatif keputusan yang memilikibobot tertinggi merupakan alternatif prioritas. Alternatif yang menjadiprioritas merupakan tindakan terpilih untuk mencapai sasaran utama. 80
    • Beberapa teknik dalam mengambil keputusan dapat diilustrasikandalam tabel berikut ini:Certainty : Jika semua informasi yg diperlukan untuk membuat keputusandiketahui secara sempurna & tdk berubahRisk : Jika informasi sempurna tidak tersedia, tetapi seluruh peristiwa yg akanterjadi besarta probabilitasnya diketahuiUncertainty : Jika seluruh informasi yg mungkin terjadi diketahui, tetapi tanpamengetahui probabilitasnya masing-masingConflict : Jika kepentingan dua atau lebih pengambil keputusan berada dalampertarungan aktif diantara kedua belah pihak.10.2 Pohon Keputusan Pohon yang dalam analisis pemecahan masalah pengambilankeputusan adalah pemetaan mengenai alternatif-alternatif pemecahan masalah 81
    • yang dapat diambil dari masalah tersebut. Pohon tersebut jugamemperlihatkan faktor-faktor kemungkinan/probablitas yang akanmempengaruhi alternatif-alternatif keputusan tersebut, disertai denganestimasi hasil akhir yang akan didapat bila kita mengambil alternatifkeputusan tersebut. 10.2.1 Manfaat Pohon Keputusan Pohon keputusan adalah salah satu metode klasifikasi yang palingpopuler karena mudah untuk diinterpretasi oleh manusia. Pohon kepetusanadalah model prediksi menggunakan struktur pohon atau struktur berhirarki.Konsep dari pohon keputusan adalah mengubah data menjadi pohonkeputusan dan aturan-aturan keputusan. Manfaat utama dari penggunaanpohon keputusan adalah kemempuannya untuk mem-break down prosespengambilan keputusan yang kompleks menjadi lebih simple sehinggapengambil keputusan akan lebih menginterpretasikan solusi daripermasalahan. Pohon keputusan juga berguna untuk mengeksplorasi data,menemukan hubungan tersembunyi antara sejumlah calon variabel inputdengan sebuah variabel target. Pohon keputusan memadukan antara eksplorasidata dan pemodelan, sehingga sangat bagus sebagai langkah awal dalamproses pemodelan bahkan ketika dijadikan sebagai model akhir dari beberapateknik lain. Sering terjadi tawar menawar antara keakuratan model dengantransparansi model. Dalam beberapa aplikasi, akurasi dari sebuah klasifikasiatau prediksi adalah satu-satunya hal yang ditonjolkan, misalnya sebuahperusahaan direct mail membuat sebuah model yang akurat untukmemprediksi anggota mana yang berpotensi untuk merespon permintaan,tanpa memperlihatkan bagaimana atau mengapa model tersebut bekerja. 82
    • 10.2.2 Kelebihan Pohon KeputusanKelebihan dari metode pohon keputusan adalah: Daerah pengambilan keputusan yang sebelumnya kompleksdan sangat global, dapat diubah menjadi lebih simpel dan spesifik. Eliminasi perhitungan-perhitungan yang tidak diperlukan,karena ketika menggunakan metode pohon keputusan maka samplediuji hanya berdasarkan kriteria atau kelas tertentu. Fleksibel untuk memilih fitur dari internal node yang berbeda,fitur yang terpilih akan membedakan suatu kriteria dibandingkankriteria yang lain dalam node yang sama. Kefleksibelan metode pohonkeputusan ini meningkatkan kualitas keputusan yang dihasilkan jikadibandingkan ketika menggunakan metode penghitungan satu tahapyang lebih konvensional Dalam analisis multivariat, dengan kriteria dan kelas yangjumlahnya sangat banyak, seorang penguji biasanya perlu untukmengestimasikan baik itu distribusi dimensi tinggi ataupun parametertertentu dari distribusi kelas tersebut. Metode pohon keputusan dapatmenghindari munculnya permasalahan ini dengan menggunakancriteria yang jumlahnya lebih sedikit pada setiap node internal tanpabanyak mengurangi kualitas keputusan yang dihasilkan.10.2.3 Kekurangan Pohon Keputusan Terjadi overlap terutama ketika kelas-kelas dan criteria yangdigunakan jumlahnya sangat banyak. Hal tersebut juga dapatmenyebabkan meningkatnya waktu pengambilan keputusan dan jumlahmemori yang diperlukan. Pengakumulasian jumlah eror dari setiap tingkat dalam sebuahpohon keputusan yang besar. 83
    •  Kesulitan dalam mendesain pohon keputusan yang optimal. Hasil kualitas keputusan yang didapatkan dari metode pohonkeputusan sangat tergantung pada bagaimana pohon tersebut didesain.10.2.4 Model Pohon Keputusan Pohon keputusan adalah model prediksi menggunakan strukturpohon atau struktur berhirarki. Contoh dari pohon keputusan dapatdilihat di Gambar berikut ini. Disini setiap percabangan menyatakan kondisi yang harusdipenuhi dan tiap ujung pohon menyatakan kelas data. Contoh diGambar 1 adalah identifikasi pembeli komputer,dari pohon keputusantersebut diketahui bahwa salah satu kelompok yang potensialmembeli komputer adalah orang yang berusia di bawah 30 tahun danjuga pelajar. Setelah sebuah pohon keputusan dibangun maka dapatdigunakan untuk mengklasifikasikan record yang belum adakelasnya. Dimulai dari node root, menggunakan tes terhadap atributdari record yang belum ada kelasnya tersebut lalu mengikuti cabangyang sesuai dengan hasil dari tes tersebut, yang akan membawakepada internal node (node yang memiliki satu cabang masuk dandua atau lebih cabang yang keluar), dengan cara harus melakukan teslagi terhadap atribut atau node daun. Record yang kelasnya tidak 84
    • diketahui kemudian diberikan kelas yang sesuai dengan kelas yang ada pada node daun. Pada pohon keputusan setiap simpul daun menandai label kelas. Proses dalam pohon keputusan yaitu mengubah bentuk data (tabel) menjadi model pohon (tree) kemudian mengubah model pohon tersebut menjadi aturan (rule).10.2.5 Terminologi Pohon BerakarBeberapa terminologi dalam pohon berakar:1. Anak/Child atau Orangtua/Parent : b,c, dan d adalah anakdari a dan a adalah orangtua dari b,c, dan d.2. Lintasan/Path : lintasan dari a ke j adalah a,b,e,j. Panjanglintasan dari a ke j adalah jumlah sisi yang dilalui, yaitu 3.3. Saudara kandung/Sibling : b,c,dan d adalah saudarakandung sebab mempunyai orangtua yang sama yaitu a.4. Derajat : derajat adalah jumlah anak yang ada pada simpultersebut. A berderajat 3, dan b berderajat 2. Derajat suatu pohon 85
    • adalah derajat maksimum dari semua simpul yang ada. Pohonpada gambar 3 berderajat 3.5. Daun : daun adalah simpul yang tidak mempunyai anak.c, f, g, h, i, dan j adalah daun6. Simpul dalam/Internal nodes : simpul yang mempunyaianak. Simpul a,b, dan d adalah simpul dalam.7. Tingkat/Level : adalah 1 + panjang lintasan dari simpulteratas ke simpul tersebut. Simpul teratas mempunyai tingkat = 1.8. Pohon n-ary : pohon yang tiap simpul cabangnyamempunyai banyaknya n buat anak disebut pohon n-ary. Jikan=2, pohonnya disebut pohon biner. 86
    • DAFTAR PUSTAKAHasan, Iqbal. 2004. Pokok-pokok Materi Teori Pengambilan Keputusan. Bogor: Ghalia IndonesiaSri Mulyono, Riset Operasi, Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi UI, 2002Supranto, J. 2005. Teknik Pengambilan Keputusan. Edisi Revisi. Jakarta: Rineka CiptaTaha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996http://fairuzelsaid.wordpress.com/2009/11/24/data-mining-konsep-pohon-keputusan/http://duljimbonpdq.blogspot.com/2010/09/formulasi-model-pemrograman-linier.htmlhendri.staff.gunadarma.ac.id 87