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Chapitre III: Calcul Diﬀ´rentiel
e

Prof. Said Hadd

21 novembre 2012

Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diﬀ´rentiel
e 21 novembre 2012 1 / 20

I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
e

D´finition
e
Soient I un intervalle de R et x0 ∈ I.
1 Une fonction f : I → R est dite d´rivable en x0 si la limite suivante
e
f (t) − f (x0 )
L = lim
t→x0 t − x0
t=x0

existe. On note L = f (x0 ) la d´rivé de f au point x0 .
e e
2 On dit que f est d´rivable sur I si f est d´rivable en chaque point
e e
x0 ∈ I. Dans ce cas, on a d´finit une fonction
e

f : I → R, x → f (x).

e 21 novembre 2012 2 / 20

e ee

e

D´finition
e
Soit f : I → R une fonction d´rivable.
e
1 Si f est elle mˆme d´rivable, sa d´rivé (f ) s’appelle la d´rivé
e e e e e e
seconde et se note f ou f (2) .

2 On d´finie de mˆme la d´rivé n-i`me (si elle existe, on la note f (2)
e e e e e
n
ou d f ).
dx n

3 On note

f (0) (x) = f (x), f (1) (x) = f (x), f (n+1) (x) = f (n) (x).

e 21 novembre 2012 3 / 20

e ee

e

Remarque
On aurait pu d´finir la d´rivé d’une fonctions On d´finit la d´rivé d’une
e e e e e e
fonction f au point x0 par:

f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) = lim .
h→0 h
h=0

Il suffit donc de faire le changement de variable

h = t − x0 .

donc t tend vers x0 ´quivalent ` dire que h tend vers 0.
e a

e 21 novembre 2012 4 / 20

e ee

e

Remarque
1 On d´finit la d´rivé ` gauche d’une fonction f au point x0 par:
e e e a

f (t) − f (x0 )
fg (x0 ) = lim .
−
t→x0 t − x0

2 On d´finit la d´rivé ` droit d’une fonction f au point x0 par:
e e e a

f (t) − f (x0 )
fd (x0 ) = lim+ .
t→x0 t − x0

Thór`me
e e
Une fonction f est d´rivable en x0 si et seulement si elle est d´rivable `
e e a
gauche et ` droite de x0 et fg (x0 ) = fd (x0 ).
a

e 21 novembre 2012 5 / 20

e ee

e
Proposition
Si f est d´rivable en x0 alors f est continue en x0
e
L’inverse de se r´sultat est faux en g´n´rale. En eﬀet la fonction f (t) = |t|
e e e
est continue en 0, mais n’est pas d´rivable en 0.
e
Proposition
Si f est d´rivable en x0 alors on a
e

f (x0 + h) = f (x0 ) + f (x0 )h + ε(h)h avec lim ε(h) = 0.
h→0

Exemple
la fonction sinus est d´rivable en 0, sin(0) = 0 et sin (0) = cos(0) = 1,
e
donc sin(h) = h + ε(h)h. D’o` u

sin(h)
= 1 + ε(h) → 1, quand h → 0.
h
e 21 novembre 2012 6 / 20

e ee

e

Th´or`me
e e
Soient f et g deux fonctions d´rivables. Alors
e
1 f + g et fg sont d´rivables et on a
e

(f + g ) = f + g , (fg ) = f g + fg .
f
2
g et g ◦ f sont d´rivables l` o` elle sont d´ﬁnies et
e a u e

f f g − fg
= , (g ◦ f ) = f g ◦ f .
g g2
3 Si f −1 existe et si f (x0 ) = 0 alors f −1 est d´rivable en f (x0 ) et on a
e

1
(f −1 ) (f (x0 )) = .
f (x0 )

e 21 novembre 2012 7 / 20

e ee

e

Exemple 1
Par d´finition, la fonction logarithme est une fonction f :]0, +∞[→ R,
e
1
d´rivable telle que f (y ) = y , y ∈]0, +∞[. On note f (y ) = ln(y ). D’autre
e
part, ln(y ) est continue, strictement croissante, donc c’est une bijection.
Sa bijection rćiproque est appellé fonction exponentielle et sera noté
e e e
exp : R →]0, +∞[. On a aussi

y = exp(x) ⇐⇒ x = ln(y ).
1
On a ln (y ) = y = 0 pour tout y > 0. Donc exp est d´rivable sur R et si
e
x = ln(y ) ∈ R

1 1
exp (x) = exp (ln(y )) = = 1 = y = exp(x).
ln (y ) y

On note aussi exp(x) = e x . Donc (e x ) = e x , ∀ x ∈ R.
e 21 novembre 2012 8 / 20

e ee

e

Exemple 2
La fonction sin : [− π , π ] → [−1, 1] est continue, strictement croissante.
2 2
Donc sin est bijective et on note sin−1 = arcsin : [−1, 1] → [− π , π ]. La
2 2
fonction arcsin est continue, croissante et on a
π π
y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y ), ∀ − ≤y ≤ .
2 2
On sait que sin est d´rivable et que sin (y ) = cos(y ). Donc sin (x) = 0
e
π π
pour tout y ∈] − 2 , 2 [. Donc arcsin est d´rivable sur ] − 1, 1[ et si
e
x = sin(y ) ∈] − 1, 1[

1 1 1
arcsin (x) = arcsin (sin(y )) = = =
sin (y ) cos(y ) 1 − sin2 (y )
1
=√ .
1 − x2
e 21 novembre 2012 9 / 20

e ee

e

D´ﬁnition
e
1 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 0 si f est continue.

2 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 1 si f est d´rivable et
e
que f est continue.

3 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C n si f est n fois
d´rivable et que f (n) est continue.
e

4 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C ∞ si f poss´de des
e
d´riv´es continues ` tout ordre.
e e a

e 21 novembre 2012 10 / 20

e ee

e

Exemples
1 Les fonctions polynˆmes, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus
o
sont de classe C ∞ .
2 Soit f : R → R la fonction d´finie par
e
1
t 2 sin t , t = 0,
f (t) =
0, t = 0.

• f est continue sur R, donc de classe C 0 . En effet f est continue sur
R{0} car c’est le compos´ et le produit de fonctions continues. Il
e
reste ` verifier la continuit´ au point O. Pour t = 0 on a
a e
−t 2 ≤ f (t) ≤ t 2 donc le principe des gendarme implique
lim f (t) = 0 = f (0), donc continue en 0. Ainsi f est continue sur R
t→0

e 21 novembre 2012 11 / 20

e ee

e
Exemples
Soit f : R → R la fonction d´ﬁnie par
e
1
t 2 sin t , t = 0,
f (t) =
0, t = 0.

• Montrons que f est d´rivable sur R. D´j` f est d´rivable sur R{0} car
e ea e
c’est le compos´ et le produit de fonctions d´rivables et pour tout
e e
t ∈ R{0} on a

1 1
f (t) = 2t sin − cos .
t t
Reste ` v´riﬁer la d´rivabilit´ de f en 0.
a e e e
f (t) − f (0) 1
lim = lim t sin = 0 = f (0).
t→0 t −0 t→0 t
t=0 t=0
e 21 novembre 2012 12 / 20

e ee

e

Exemples
Donc f est d´rivable si R et la fonction d´riv´e f : R → R est donn´e par
e e e e
1 1
2t sin t − cos t , t = 0,
f (t) =
0, t = 0.

• Est ce que f est de classe C 1 sur R. On remarque que f est de classe C 1
sur R{0} car f (t) = 2t sin 1 − cos 1 est continue. Mais f n’est de
t t
classe C 1 sur R car f n’est pas continue en 0 puisque

1
lim cos
t→0 t
t=0

n’existe pas.

e 21 novembre 2012 13 / 20

I.2. Extremums

e

D´ﬁnition
e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .
1 On dit que f admet un maximun (resp. minimum) en x0 si pour
tout x ∈ Df :

f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 ))

2 On dit que f admet un maximun strict (resp. minimum strict) en
x0 si pour tout x ∈ Df , x = x0 :

f (x) < f (x0 ) (resp. f (x) > f (x0 ))

Exemple
1
La fonction f :]0, 1] → R, f (x) = x admet un minimum en x0 = 1. En
1
eﬀet, on a f (1) = 1 et pour tout x ∈]0, 1] on a f (x) = x ≥ 1 = f (1).

e 21 novembre 2012 14 / 20

I.2. Extremums

e

D´finition
e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .
On dit que f admet un maximun local (resp. minimum local) en x0 si il
existe δ > 0 tel que pour tout x ∈ Df

x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≤ f (x0 )
(resp. x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≥ f (x0 ))

D´finition
e
Un extremum signifiera maximum ou minimum.

e 21 novembre 2012 15 / 20

I.2. Extremums

e

D´ﬁnition
e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . On dit que x0 est un point
critique pour f si f est d´rivable en x0 et que f (x0 ) = 0.
e

Exemple
1 La f : R → R, f (x) = sin(x) est d´rivable sur R et que
e
f (x) = cos(x) pour tout x ∈ R. L’equation f (x0 ) = 0 ´quivalente `
e a
cos(x0 ) = 0 ´quivalente ` x0 = (2k + 1) π avec k ∈ Z. Donc
e a 2
l’ensemble des points critiques de f est {(2k + 1) π : k ∈ Z}.
2
3
2 La fonction f : R → R, f (x) = x3 − x est d´rivable sur R et que
e
f (x) = x 2 − 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est {−1, 1}.
3
3 La fonction f : R → R, f (x) = x3 + x est d´rivable sur R et que
e
f (x) = x 2 + 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est

l’ensemble vide.

e 21 novembre 2012 16 / 20

I.2. Extremums

e

Proposition
Soient f :]a, b[→ R et x0 ∈]a, b[. Si f admet un extremum local en x0
alors x0 est un point critique de f .

D´monstration: Supposons que f admet un maximun local en x0 .
e
• Si x < x0 alors on a
f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
≥0 donc fg (x0 ) = lim ≥ 0.
x − x0 x→x0 x − x0
x<x0

• Si x > x0 alors on a
f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
≤0 donc fd (x0 ) = lim ≤ 0.
x − x0 x→x0 x − x0
x<x0

Donc en peut conclure que f (x0 ) = 0.
e 21 novembre 2012 17 / 20

II. 1 Thór`me des accroissements finis
e e

II. Thór`me des accroissements finis et formules de Taylor
e e

Thór`me de Rolle
e e
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[ telle que
e
f (a) = f (b) = 0. Alors il existe un c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.

Exemple
2
Soit f : [0, 1] → R, f (x) = e x − e x . On a f est continue sur [0, 1] et
d´rivable sur ]0, 1[. De plus f (0) = f (1) = 0. Donc d’apr`s le Thór`me de
e e e e
Rolle, il existe c ∈]0, 1[ tel que f (c) = 0. D’autre part, on a
2
f (x) = 2xe x − e x . Donc on a
2
2ce c − e c = 0.

e 21 novembre 2012 18 / 20

e e

e e
Thór`me des accroissements finis
e e
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors il existe
e
un c ∈]a, b[ tel que

f (b) − f (a) = f (c)(b − a).

Proposition
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors
e
1 f est constante si et seulement si f = 0.

2 f est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si
f ≥ 0 (resp. f > 0).

3 f est dćroissante (resp. strictement dćroissante) si et seulement si
e e
f ≤ 0 (resp. f < 0).
e 21 novembre 2012 19 / 20

e e

e e

Exemple
1 Montrer que e x ≥ x + 1 pour tout x ≥ 0. En effet, on pose
f : [0, +∞[→ R, f (x) = e x − (x + 1). On a f (0) = 0. De plus f est
d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = e x − 1 ≥ 0 pour tout x ≥ 0. Donc f
e
est croissante. Ainsi x ≥ 0 impique f (x) ≥ f (0) = 0, d’o`
u
e x − (x + 1) ≥ 0 et donc e x ≥ x + 1.

2 Montrons que sin(x) ≤ x pour tout x ∈ [0, +∞[. En effet, on pose
f : [0, +∞[→ R, f (x) = sin(x) − x. On a f (0) = 0. De plus f est
d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = cos(x) − 1 ≤ 0. Donc f est
e
dćroissante. D’o` x ≥ 0 implique f (x) ≥ f (0) = 0, et ainsi
e u
sin(x) − x ≤ 0.

e 21 novembre 2012 20 / 20

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