Modulo 4 de Estadistica General de Forma Virtual.

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  • 1. TEORÍA COMBINATORIAY DE PROBABILIDADES MÓDULO CUATRO DEESTADÍSTICA GENERALAPRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 2. EDUCACIÓN VIRTUAL Y APRENDIZAJE
  • 3. TEORÍA COMBINATORIATEORÍA COMBINATORIA.- Es la rama del Álgebra que se encarga del estudio y propiedades delos grupos que se pueden formar con un conjunto de elementos dado, diferenciándose entre sí por elnúmero de elementos que entran en cada grupo, por la clase de esos elementos y por el orden decolocación de esos elementos. ARREGLO DE OBJETOS.- Es la acción de arreglar, componer uordenar objetos determinados en los estudios de probabilidades. Una forma útil de contar todos losposibles arreglos de un conjunto de datos es por medio de un DIAGRAMA DE ÁRBOL, que esuna gráfica en donde se presentan todos los posibles arreglos de uno ó varios eventos en forma deárbol. Los procedimientos de cálculo para hallar el número de arreglos probables de objetos de unconjunto, son indispensables en el estudio de probabilidades. Al enumerar los arreglos, es útil contartodos los posibles arreglos en la forma de un árbol, llamado diagrama de árbol; también se puedeaplicar el método de la REGLA MULTIPLICATIVA o principio multiplicativo del conteo ó tambiénaplicando las técnicas de la teoría combinatoria (variación y combinación). MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 4. TEORÍA COMBINATORIAPRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.- El mismo está basado en el método de razonamiento deldiagrama de árbol; el mismo se define así: " Si una acción puede efectuarse, de a manerasdiferentes, una segunda acción puede efectuarse de b maneras diferentes, una tercera acción puedeefectuarse de c maneras diferentes, y así sucesivamente para n acciones, entonces el número totalde maneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas acciones en el orden mencionado estádado por: axbxc...xn". MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 5. TEORÍA COMBINATORIAPROBLEMAS.- Un Joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: Roja (R), Blanca (B), Negra(N) y Verde (V), también posee dos pantalones, Gris (G) y Azul (A). ¿De cuantas maneras puedencombinarse los pantalones con las camisa o viceversa. Elabore un diagrama de árbol. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 6. TEORÍA COMBINATORIAUn restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes: Aperitivo: Sopa (S), oEnsalada (E). Plato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P). Postre: Torta (T), o Helado (H).Construya un diagrama de árbol, indicando el número posible de comidas completas(aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 7. TEORÍA COMBINATORIAVARIACIÓN.- Dado un conjunto de m objetos o elementos, se llaman variaciones de esoselementos tomados de n en n, al conjunto formado por todas las colecciones de n elementoselegidos entre los elementos dados, considerando como distintas dos colecciones que difieran enalgún elemento o en el orden de colocación de los mismo.N!, Esta es una notación matemática que recibe el nombre FACTORIAL y se define como elproducto de todos los números consecutivos decrecientes que comienzan en 1 hasta n, entoncessi n es entero positivo tenemos:N! = n(n-1) (n-2) (n-3)..................1.8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320. En particular, 1! = 1; por definición, 0! = 1.La Fórmula para calcular las Variaciones es la siguiente: m.! Vm,n  m  n.!COMBINACIONES.- Se llama combinación de m elementos tomados de n en n Vm, n  mm  1m  2m  3............m  n  2m  n  1al conjunto de todas las colecciones de n elementos dados, considerando distintas, doscolecciones cuando difieran en uno o más elementos. La fórmula para calcular las combinacioneses: m.! C m,n  n.!m  n .! MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 8. TEORÍA COMBINATORIAALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES YCOMBINACIONES: Para diferenciar en la resolución de un problema y determinar si es unaVARIACIÓN o una COMBINACIÓN se hace lo siguiente: 1.- Se forma un grupo cualquiera, segúnel enunciado del problema y con los mismos elementos de ese grupo se trata de formar otro grupo, sise consigue formar otro grupo diferente, el problema en cuestión es una variación, si por el contrariono se logra formar otro grupo, el problema es una combinación. Cuando en el grupo entran todos loselementos y los grupos difieran en el orden de colocación, son variaciones, de no ser así soncombinaciones 2.- Cuando una persona forma un grupo y otra persona que no haya visto la formacióndel mismo es capaz de decir en que orden se colocaron los elementos, entonces se afirma que elgrupo formado es una variación, si por el contrario no se puede decir el orden de colocación de loselementos que conforman el grupo, entonces, el mismo es una combinación. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 9. TEORÍA COMBINATORIAALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES YCOMBINACIONES:1.-¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con las cifras 1,2,3,4,5 y 6? que sean diferentes?Razonamiento: Se forma un número cualquiera de 3 cifras, ejemplo 154, con esos mismoselementos se forma otro número 541. Los dos números formados tienen los mismos elementosaunque los números son diferentes, por tal razón es una variación, por influir el orden de colocaciónde sus elementos. 2.- Con los números 1,2,3,4,5 y 6, ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandoscada una pueden hacerse?. Razonamiento: Formamos una suma cualquiera con tres de las cifrasdadas.....1 + 2 + 3 = 6, con los mismos números formamos otra suma ... ...3 +2 +1 = 6, como las dossumas son iguales , entonces el problema es una combinación , por no influir el orden decolocación de sus elementos.En una mezcla de tres pinturas de diferentes colores, que dio un color determinado, es imposibledecir en qué orden se echaron las tres pinturas, por lo tanto es una combinación. En una banderade tres colores se puede decir en qué orden están colocados los colores, por lo tanto es unavariación. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 10. TEORÍA COMBINATORIA3.- Se tienen 4 pinturas de colores diferentes. ¿ Cuantos colores pueden obtenersemezclando los 4 colores en la misma proporción?.Razonamiento; se forma una mezcla con los 4 colores A + B + C+ D = Color. Se formaotra mezcla con los 4 colores A +D + B + C = Color, se observa como las dos mezclas danel mismo color puesto que no influye el orden de colocación de los elementos, entonces esuna combinación.Solución:Elementos de que disponemos.........................m = 4 . 4! 4!Elementos que entran en el grupo......................n = 4 . Luego, C 4, 4    1......color 4!4  4! 4!0!4.- Con las cifras 1,2,3,4,5 y 6.¿ Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse, que seandiferentes?. Razonamiento: Se forma un número de 3 cifras 123 Con los mismos elementos se forma otro número 321 Como los dos números formados son diferentes el problema es una Variación, por influir elorden de colocación de los elementos. Solución: Elementos de que se disponen m = 6.Elementos que entran en la formación de cada número n = 3. Entonces:V6 ,3 = 6.5.4 = 120 Números diferentes. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 11. TEORÍA COMBINATORIA5.- Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada unapueden hacerse? Es una Combinación por no influir el orden de colocación de loselementos. Solución: Elementos de que se disponen m = 6. Elementos que entran en la formaciónde cada suma n = 3. Solución:Elementos de que se disponen m = 6.Elementos que entran en la formación de cada suma n = 3 6.! 6 x5 x 4 x3.! 6 x5 x 4Lueg ,......C6,3     5 x 4  20.....Sumas. 3.!6  3.! 3.!.3.! 3x 2 PROBLEMAS DE FORMACIÓN DE NÚMEROS.- Cuando en un problema de combinatoria se dice que uno o más elementos estarán fijos en un problema, entonces al componente m y n de las variaciones o combinaciones se les restará el número de elementos que se tomen como fijos. Ejemplo: 6.- Con los números 1,2,9,7 y 5, calcular cuántos números de 3 cifras empiezan con 5. Razonamiento como el problema es de formación de números es importa el orden, por lo tanto es una variación. Se dice que el número 5 tiene que iniciar los números de 3 cifras entonces tendrá la forma 5XX y como hay un número fijo entonces m = 5-1 = 4 y n = 3-1 = 2 luego la variación es: V4,2 = 4x3 = 12, este es el número de cifras que se inician con 5. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 12. TEORÍA COMBINATORIA7.- Con las cifras del número 876321, calcular cuántos números de 4 cifras puedenformarse con la condición de que empiecen en 8 y terminen en 1.RAZONAMIENTO: este es un problema de formación de números por lo tanto esimportante el orden, en consecuencia es una variación. Los números de 4 cifras tendránlas siguientes formas generales: 8XX1 esto indica que habrán 2 números fijos por lotanto m =6-2 = 4 y n = 4-2 = 2 y la solución se expresa así V4,2 = 4x3 = 12, sepueden formar 12 números de 4 cifras que empiecen en 8 y terminen en 1.8.- Con las cifras del número 98753. Calcular en cuántos números de 3 cifras intervieneel número 8.RAZONAMIENTO: este es un problema de formación de números por lo tanto esimporta el orden, en consecuencia es una variación. La forma general de un número de3 cifras es XXX y las diferentes posiciones que puede ocupar el 8 son: 8XX, X8X y XX8como se observa el número 8 estará fijo y por lo tanto m = 5-1 = 4 y n =3-1 = 2 luegola variación es: V4,2 = 4x3 = 12, pero como el número 8 aparece en tres posiciones,entonces el resultado es: 3V4,2 =3x12 = 36 que es el número de veces donde aparece elnúmero 8. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 13. TEORÍA COMBINATORIA9.- Con las cifras del número 80342. Calcule cuántos números pares de 3 cifras sepueden formar.RAZONAMIENTO: es una variación por ser una formación de número en dondeimporta el orden de colocación de los elementos. La forma general de los números paresde 3 cifras en este caso es: XX0, XX2, XX4 y XX8, como se puede notar hay unelemento fijo, luego m = 5-1 = 4 y n = 3-1 = 2 entonces la variación es: V4,2 = 4x3 =12 pero como hay 4 formas de las cifras terminar en número par habrá que multiplicarel resultado por 4, así: 4V4,2 = 4x12 = 48 pero los números que se inician con cero de laforma siguiente: 0X2,0X4 y 0X8 no forman números de 3 cifras ya que el cero a laizquierda no tiene ningún valor, por lo tanto estos números son de 2 cifras y se tendráque calcular cuántos son y posteriormente restársele al total de 48 para ellodeterminaremos el valor de m = 5-2 = 3 y n = 3-2 = 1 y la variación será : 3V3,1 = 3x3= 9 este es el número de cifras que se tendrá que restársele al total de 48 de la formasiguiente: 4V4,2-3V3,1 = 48-9 = 39 es la cantidad de números pares de 3 cifras que se puedenformar. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 14. TEORÍA COMBINATORIA 10.- En una reunión hay 8 mujeres y 6 hombres. Calcule cuántos grupos puedenformarse, en los que estén presente 4 mujeres y 3 hombres.RAZONAMIENTO: como en este problema no influye el orden de colocación decada una de sus integrantes, es por lo tanto una combinación. El grupo tendrá la formageneral siguiente: MMMMHHH, para su solución primero se dejan los hombres fijosy se calcula el grupo que se puede formar con las mujeres de la forma siguiente: 8.! 8 x7 x6 x5 x4.! 8 x7 x6 x5 C8,.4     70...grupos..de..mujeres 4.!8  4.! 4.!.4.!. 4 x3x2Si se dejan las mujeres fijas se puede calcular el grupo que se forma con los hombresde la siguiente manera: 6.! 6 x5 x4 x3.! 6 x5 x4 C6,.3     20..grupos..de.. hom bres. 3.!6  3.! 3.!.3.! 3x 2Luego el resultado final de este problema será la multiplicación del grupo de mujerespor la del grupo de hombres así:C8,4xC6,3 = 70x20 = 1400 ,son los grupos que se pueden formar en los que esténpresentes 4 mujeres y 3 hombres. MÓOOOOOOODULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 15. TEORÍA DE PROBABILIDADESLA TEORÍA DE PROBABILIDADES es muy extensa y sus aplicaciones han adquirido muchaimportancia en la administración pública y empresarial. Las probabilidades son de gran importancia en laestadística. Para iniciar el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de términos básicospara su mejor comprensión. EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO.- Es aquel experimento en el que es posible predecir elresultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos combinan oxigeno máshidrógeno el resultado es agua; este experimento no es necesario realizarlo para conocer el resultado.EXPERIMENTO ALEATORIO.- Es aquel que puede dar lugar a más de un resultado, por lo que, nose puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Los experimentos relacionados con juegode envite y azar, no se pueden predecir los resultados de los ganadores del 5 y 6 en un domingocualquiera ó el resultado del Kino puesto que en estos casos pueden haber múltiples resultados.ESPACIO MAESTRAL.- Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio;generalmente se le designa con la letra S o E. Ej. El espacio muestral al lanzar un dado es:S = {1, 2 3 ,4 ,5 ,6} esto es así puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1 al 6 y cualquiera de estaspuede salir. El espacio muestral de lanzar una moneda es: S = {c, s}, esto es así puesto que al lanzar unamoneda puede salir una cara ó un sello.SUCESOS Ó EVENTOS.- Es todo aquel resultado o grupo de resultados que pueden dar origen unexperimento aleatorio. También se puede decir que es un subconjunto del espacio muestral. Ej. El espaciomuestral de lanzar un dado esta formado por varios eventos: { 1 },{ 2 }, { 3 }, { 4 },{ 5 } y {6}. Los eventospueden ser simples ó compuestos. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 16. TEORÍA DE PROBABILIDADESEVENTOS SIMPLES.- Son aquellos eventos cuyas características son las de estar constituidos por unsolo elemento; por lo tanto no se pueden descomponer en otros elementos. Ej. Al lanzar un dado se puedenobtener 6 eventos simples que serian el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Los eventos simples sonmutuamente excluyentes.EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Son aquellos eventos que no pueden ocurrirsimultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamenteexcluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decir AB = Ø. Ej. El resultado obtenido allanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento.EVENTOS COMPUESTOS.- Son aquellos eventos que se pueden descomponer en una combinación deeventos. Ej. Obtener un número par al lanzar un dado, el espacio muestral de este evento es: E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero este evento se puede descomponer en3 eventos simples a saber {2}, {4}: y 6.EVENTOS IMPOSIBLES.- Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un 7 al lanzar undado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tiene solamente 6 caras por lo tanto este resultadoes el conjunto vacío, {Ø}.EVENTOS SEGUROS.- Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventos simples del espaciomuestral. Ej. Al lanzar un dado sacar cualquiera de sus caras.EVENTOS EXHAUSTIVOS.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si su unión es latotalidad del espacio muestral, es decir, AB = E. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 17. TEORÍA DE PROBABILIDADESEVENTOS DEPENDIENTES.- Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de laverificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice que dos o máseventos son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos afecta la probabilidad de laocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej. Consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas debasto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera carta laprobabilidad de obtener basto es de 10/40 y al no sustituirla quedaran en el paquete 39 cartas delas cuales 9 son de basto, en la segunda extracción la probabilidad de obtener basto es de 9/39, eneste caso la segunda extracción depende de la primera que tenía como probabilidad 10/40 y lasegunda extracción tendrá ahora 9/39 como se puede observar la probabilidad de la segundaextracción es afectada por la primera.EVENTOS INDEPENDIENTES.- Se dice que dos ó más eventos son independientes si laocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia de ninguno de losotros sucesos. Ej. el evento de obtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar unamoneda, esta compuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en el dadono afecta la probabilidad de la aparición de sello en la moneda y viceversa.EVENTOS COMPLEMENTARIOS.- Dos eventos A y Ā son complementarios si y solo si, secumple que: P(A) + P(Ā) = P(S), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es elespacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S), pero P(S) = 1, entonces, P(A)+ P(Ā) = 1 P(A) = 1- P(Ā), donde P(Ā), se lee probabilidad de A complemento.EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Son aquellos eventos que puedenverificarse simultáneamente. A estos eventos también se les llaman Sucesos Compatibles. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 18. TEORÍA DE PROBABILIDADESCORRIENTES QUE DEFINEN LA PROBABILIDAD: Diariamente seescuchan afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidad como porejemplo los pronósticos del tiempo que indican las probabilidades de lluvia; losgalenos indican la probabilidad que tiene un enfermo de curarse si realiza al pie dela letra sus tratamientos farmacológicos, las compañías encuestadoras predicenlas oportunidades que tienen los políticos de ganar una elección determinada, etc.La Teoría de la Probabilidad es una rama de las matemáticas que se encarga de loseventos que se realizan al azar o fenómenos aleatorios, como a menudo se lesdenominan. Se define la probabilidad como un número comprendido entre 0 y 1,que se le asigna a un evento para señalar su posibilidad de ocurrencia. Por logeneral las probabilidades se expresan en porcentajes, también se puedenexpresar con números decimales. La probabilidad de cualquier evento serepresenta con la letra p. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 19. TEORÍA DE PROBABILIDADES Escuela Clásica.- Esta plantea que si un suceso puede ocurrir en a formas y fallar en b formas posibles, entonces el número total de formas posibles en que puede ocurrir o no ocurrir es a + b. Sí a + b formas son igualmente probables, la probabilidad p de que el suceso ocurra se define como el cocientep  a a  b , y la probabilidad q de que el suceso no ocurra se define como el cociente q  b a  b , en otras palabras, la probabilidad de que ocurra o no un suceso, se define como el cociente del número de casos favorables entre el número de casos posibles, siendo todos estos casos igualmente probables. Escuela de la Frecuencia Relativa.- El empeño de esta teoría es destacar que cuando el número de experimentos aumenta, la frecuencia relativa del evento se estabiliza y se acerca bastante a un valor determinado que podría ser prácticamente igual a la probabilidad del evento con un elevado grado de certeza. Escuela de la Probabilidad Subjetiva.- El enfoque subjetivo denominado también probabilidad personal, asigna a los eventos probabilidades, aun cuando los datos experimentales sean escasos o imposibles de obtener. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERALAXIOMAS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES.- Los axiomas de las probabilidades sonlos fundamentos básicos de las reglas del cálculo de las probabilidades de eventos; estas reglastambién se conocen como propiedades de las probabilidades y son: 1) La probabilidad de todoevento o suceso es un número no negativo, es decir: p (xi)0. 2) La suma de las probabilidades detodos los sucesos posibles, mutuamente excluyentes de un experimento aleatorio es la unidad, esdecir: p (X1) + p (X2) + p (X3)+.............+ p (Xn) = 1. 3) La probabilidad de cualquier suceso varía entre0 y 1, es decir 0  p (XI)  1. 4). La suma de las probabilidades de que un suceso ocurra o noocurra es igual a la unidad. Si se designa con p la probabilidad de que un evento ocurra y con q laprobabilidad de que el evento no ocurre, se tiene entonces que: p + q = 1, luego la probabilidad deque un suceso ocurra es: p = 1  q , y la probabilidad de que el evento no ocurra es: q = 1  p. Lasprobabilidades se deben expresar por lo menos con 4 decimales y luego a estos expresarlos enporcentaje. APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 20. TEORÍA DE PROBABILIDADES1.-TEOREMA DE LA SUMA O DE LA “O “Para su mejor estudio el Teorema de la Suma se divide en dos casos: A.- Para sucesosIncompatibles (aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente o al mismo tiempo) oExcluyentes. B.- COMPATIBLES, Cuando los eventos son Compatibles (aquellos quepueden verificarse simultáneamente, es decir cuando hay eventos que son comunes o que hayintersección entre los sucesos) o no Mutuamente Excluyentes. El Teorema se enuncia así: “Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de obtener almenos uno de ellos, esto es p (A o B) es igual a la probabilidad de p (A), más la probabilidadde p (B)“, simbólicamente así: p (A o B) = p (A) + p (B). Este teorema se puede generalizarpara A, B, C,.................N, que se excluyan mutuamente y tienen p1, p2, p3 , pn,probabilidades de ocurrir, así : P (A o B o C o N) = p (A) + p ( B ) + p (C) +....+ p (N). EJEMPLO 1.- Se saca al azar una carta de una baraja de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un As o un Rey? Solución : la probabilidad de sacar un as es 4/ 40 y la probabilidad de sacar un rey es 4 /40, luego la probabilidad buscada se encontrará así: si se llama p (A) = 4 / 40 obtener un as y probabilidad de obtener un rey se le denominara B, entonces p (B) = 4 / 40, entonces: p (A o B) = p (A) + p (B), luego p (A o B) = 4 /40 + 4 / 40 = 8 / 40 = 1 / 5 = 0.200 = 20.0 %. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 21. TEORÍA DE PROBABILIDADES B.- SI LOS EVENTOS SON COMPATIBLES O NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES (aquellos que pueden verificarse simultáneamente, es decir cuando hay eventos que son comunes o que hay intersección entre los sucesos). El Teorema se enuncia así : “Sean A y B dos eventos compatibles, es decir eventos que tienen por lo menos un suceso simple en común; la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es p (A o B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, p (A), más la probabilidad de B, o sea p (B) menos la probabilidad de la intersección de ambos eventos, es decir p (AB)”. Simbólicamente se puede expresar así: p (A o B) = p (A) + p (B)  p (AB). Ej. SOLUCIÓN : Si llamamos A, el evento de obtener una cara en la moneda y B, al suceso de obtener un 2 en el dado; el espacio muestral de una moneda es 2, (cara y sello) mientras que el espacio muestra de un dado es seis, (1,2,3,4,5,6). El espacio muestral de ambos eventos será la multiplicación de sus espacios muéstrales, es decir, 2x6 = 12. El gráfico nos indica el espacio muestral de ambos eventos: S 1S 2S 3S 4S 5S 6S C 1C 2C 3C 4C 5C 6C 1 2 3 4 5 6Eventos de A = 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, p (A) = 6 / 12; el evento B = C, 2S , luego ;p (B) = 2 / 12, los eventos que son comunes a ambos, es decir, que se interceptan son: AB = 2C,luego, p (AB) = 1 / 12, ahora se aplica el teorema de la suma para datos compatibles. Tenemos:p (A o B) = p (A) + p (B)  p (AB), p (A o B) = 6 / 12 + 2 / 12 1 / 12 = 7 / 12 = 0.5883 = 58.33 %,por lo tanto, esa es la probabilidad buscada. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 22. TEORÍA DE PROBABILIDADESPROBABILIDAD CONDICIONADA.- La probabilidad de que ocurra un evento B cuandose sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina Probabilidad Condicionada y sedesigna como p (B/A). Él símbolo p (B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra Bsabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A. Las probabilidadescondicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos ensubpoblaciones o espacios muéstrales reducidos. Se dice que la probabilidad de ocurrencia de unevento dado es condicionada, si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente.Definición.- Sean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio. La probabilidadque ocurra el evento B, dado que ocurrió el suceso A se llama Probabilidad Condicionada del p A  B suceso B, esta se simboliza por p (B/A) y se calcula mediante la fórmula:   pB  A p  ASi p (A) = 0, entonces p (B/A), no está definida. El conjunto p (AB), se le denominaprobabilidad conjunta de los eventos A y B. El conjunto AB se define como la intersección deA y B, es decir, los eventos comunes entre A y B. p A  B    pB  A p  A ,Entonces, p (AB) = p (A) p (B/A). Si p (B/A)  p (B), se dice que el evento B es dependientedel evento A. Sí p (B/A) = p (B), se dice que el suceso B es independiente del suceso A, luego:p (AB) = p (A) P (B), esta fórmula recibe el nombre de la Probabilidad Compuesta. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 23. TEORÍA DE PROBABILIDADES3.- Un curso de postgrado en Estadística está formado por 10 administradores, 30ingenieros y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 administradores, 10 ingenieros y 5economistas aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó un al azar un participantedel mismo y se detectó que la calificación obtenida en el curso había sido de 20 puntos.¿Cuál es la probabilidad de que ese participante sea un ingeniero?SOLUCIÓN: si llamamos A al evento en que un participante obtuvo una calificaciónde 20 puntos; si denominamos como B el evento de seleccionar un ingeniero y sillamamos AB, los eventos comunes entre A y B, tenemos los siguientes sucesos: Eltotal de participantes en este caso será el espacio muestral, que en el problemaplanteado es de 50, por lo tanto los diferentes eventos serán: A = 3 administrador, 10 ingeniero, 5 economista  ,Luego p (A) = 18 / 50. B = 10 ingenieros con 20 puntos, 20 ingenieros, con menos de 20 puntos. .AB = 10 ingenieros con 20 puntos , luego p (AB) = 10 / 50. P A  B    10 10 5 PB   50   , A P  A 18 18 9 50Por lo tanto 5/9=0.5556 = 55.56 %, es la probabilidad de extraer un ingeniero con 20puntos. Este problema se puede resolver también aplicando una tabla o matriz de dobleentrada donde se observan todos los eventos, la cual se presenta seguidamente: MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 24. TEORÍA DE PROBABILIDADES ADMINIST INGENIERO ECONOMISTA TOTAL . Aprobaron Con 3 10 5 18 20 puntos. No Aprobaron 7 20 5 32 Con 20 puntos TOTAL 10 30 10 50MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERALEn la tabla se observa que el espacio muestral de 50 se redujo a 18, que vienen a serlos casos posibles de acuerdo con el planteamiento del problema; por otro lado losingenieros que aprobaron con 20 en este caso son 10, que vendrían a ser los casosfavorables, por lo tanto la probabilidad buscada será el cociente que resulta de dividirlos casos favorables (CF) entre los casos posibles (CP), así: CF 10 5 P    0.5556  55.56.%. CP 18 9 APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 25. TEORÍA DE PROBABILIDADESPROBABILIDAD PRODUCTO.- Se conoce como probabilidad producto de 2 eventos Ay B en el espacio muestral E, la probabilidad de que los 2 sucesos se den simultáneamente. Laprobabilidad de ocurrencia simultanea de 2 o más eventos reciben el nombre de probabilidad conjunta.En la probabilidad producto es muy importante el uso de la letra “Y”, esta letra es característica en la granmayoría de los problemas relacionados con la probabilidad producto, ya que esta se utiliza muy a menudoen el enunciado del problema. . La probabilidad conjunta se designa así: p(AB) = p(AB)= p(A y B), cualquierade estos términos significa lo mismo. La fórmula de la probabilidad conjunta se obtiene de la fórmula de laprobabilidad condicional, si esta, se multiplica por p(A), así: p A  B     B   p A  p A . p A  p A  B   p A. p A B Esta la fórmula para calcular la probabilidad producto o lo que es lo mismo, la probabilidad conjunta. Lafórmula de la probabilidad conjunta para eventos independientes será: p(AB) = p(A) p(B). La fórmulapara calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes será: p(AB) = p(A) p(B/A).Si en un experimento aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C, .....,N independientemente,entonces: p(ABC.....N) = p(A) p(B) p(C).....p(N). De la misma forma si en un experimentoaleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C,...., N dependientes, entonces:p(ABC.......N) = p(A) p(B/A) p(C/AB)......p(N/ABC.....N  1).Es de suma importancia en los problemas de probabilidad conjunta diferenciar los eventosaleatorios con reposición o sustitución de los eventos aleatorios sin reposición o sinsustitución; los primeros se refieren a los experimentos que se realizan y se vuelven a colocar en elmismo lugar donde se realiza el experimento aleatorio. Los eventos aleatorios con reposición soncaracterísticos de los eventos independientes. Los eventos sin reposición son característicos de lossucesos dependientes. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 26. TEORÍA DE PROBABILIDADES5.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 2 lanzamientos al aire de una moneda normalde 5 bolívares?SOLUCIÓN: Los eventos son independientes y la probabilidad de sacar una cara en una monedaes 1/2. Si llamamos A, el evento de sacar cara en el primer lanzamiento y se llama B el eventode sacar cara en el segundo lanzamiento, entonces:p(A) = p(B) = 1/2. Luego la probabilidad conjunta para eventos independientes se calcula con lafórmula: p(AB) = p(A) p(B). = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0.25 = 25.0 %, esta es la probabilidadbuscada.6.- Si la probabilidad de un evento A es igual 0.65, la probabilidad de un evento B es de 0.40 yla probabilidad conjunta de A y B es igual a 0.20. Determine entonces si los eventos A y Bson independientes.SOLUCIÓN: Para que los eventos A y B sean independientes tiene que cumplirse que suprobabilidad conjunta sea igual a 0.20, para ello aplicamos la fórmula de la probabilidad conjuntade eventos independientes de esta forma:p(AB) = p(A) p(B) = 0.65 x 0.40 = 0.26, por lo tanto los eventos A y B no son independientespuesto que la probabilidad conjunta entre A y B es igual a 0.20 de acuerdo con los datos dadosy esta es diferente de la probabilidad conjunta obtenida, que es 0.26. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 27. TEORÍA DE PROBABILIDADESSUCESOS DE PRUEBAS REPETIDAS.- Los sucesos de pruebas repetidas son degran importancia en el cálculo de probabilidades y sus aplicaciones. Se dice que un sucesosimple interviene en una prueba si necesariamente ocurre o deja de ocurrir una sola vez. Se diceque un suceso simple interviene en pruebas repetidas si necesariamente bajo exactamente lasmismas condiciones, ocurre o deja de ocurrir, cada vez, una vez. Si un evento ocurre en unaprueba, se acostumbra a decir que se acierta, y que la probabilidad de que el suceso ocurra es laprobabilidad de acertar. De la misma forma, si un evento no ocurre en una prueba, seacostumbra a decir que el suceso falla, y que la probabilidad de que el suceso no ocurra es laprobabilidad de fallar.TEOREMA 1 (Ley del binomio).- Sea p la probabilidad de acertar y q = 1  pla probabilidad de fallar en un suceso de una prueba. Entonces la P1 de exactamente raciertos en n pruebas repetidas está dada por La formula: nr P1  C( n,r ) p q r , si....r  n.En esta fórmula n es el número total de suceso, r es el número total de aciertos, n1 es elnúmero total de fallar, C es la combinación de los eventos n y r, p es la probabilidad deacertar un evento determinado, q es la probabilidad de fallar y P1 es la probabilidad buscada.Recuerde que en los problemas donde se aplica este teorema la palabra EXACTAMENTE esla clave. MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 28. TEORÍA DE PROBABILIDADES7.- Calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 cuatros en 5 lanzamientos de undado normal.SOLUCIÓN: Cada tiro del dado es una prueba, llamaremos acertar el acto de obtener un cuatro.La probabilidad de obtener un 4 en el dado o acertar es de 1/6, entonces p = 1/6, laprobabilidad de no obtener un 4, es decir, la probabilidad de fallar es la siguiente: q  1  1 6  5 6  q;... p  1 6;...n  5;..r  3;...n  r  2;... C(5,3)  10 Datos: Ahora se aplica la fórmula así: 3 2 n r 1 5 10 * 25 250 P  C( n , r ) p q 1 r  10       0.0322  3.22%.  6 6 65 7776 Entonces, P1 = 3,22 % Que es la probabilidad buscada. . MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 29. TEORÍA DE PROBABILIDADESTEOREMA 2.- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1 p la probabilidad de fallar de unsuceso en una prueba. Entonces la probabilidad P2 de obtener por lo menos r aciertos en npruebas está dada por la relación: r r P2   C ( n , r ) p n q n  r ,..........r  n. r nEsta fórmula es similar a la del Teorema 1, pero para determinar la probabilidad en este caso secalculan todo los valores de n y finalmente se suman todas las probabilidades y el resultado de lasumatoria es la probabilidad buscada. En la aplicación de esta fórmula hay una frase clave que es:por lo menos, lo cual significa que se deben tomar las probabilidades desde r hasta n y luegosumarlas todas y esa será la probabilidad buscada. Ejemplo:8.- Una moneda de 5 bolívares se lanza al aire 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que por lomenos aparezcan 6 caras?SOLUCIÓN: Este es un problema que se resuelve aplicando el Teorema 2 por cuanto presenta lapalabra clave por lo menos, que indica la aplicación de la fórmula del Teorema mencionado. En ellanzamiento de una moneda la probabilidad de acertar es 1/2 y la de fallar es 1/2. DATOS : p  q  1 2 ,...n  8;...r  6;...n  r  2;...C (8,6)  28;..C (8,7 )  8;...C (8,8)  1.Aplicando la formula tenemos:P2   C ( n ,r ) p r q n  r   C (8,8) 1 2   C (8, 7 ) 1 2  1 2   C (8, 6 ) 1 2  1 2  8 7 6 2 18 8 * 18 28 * 18 1  8  28 37 P2   8  8     0.1445  14.45%. 2 2 28 28 25614.45 % es la probabilidad buscada. APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 30. BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍAAnderson D.R. / Sweeney, D.J. / Williams, T.A. (1999): Estadística para la administración y economía. International ThomsonEditores. México.Babbie, E. (2000): Fundamentos de la Investigación Social. International Thomson Editores. México.Begoña Gros, Salvat (2006) FORMACIÓN DEL PROFESORADO COMO DOCENTE EN LOS ESPACIOS VIRTUALES DE APRENDIZAJE.Universidad de Barcelona – España. [Documento en Línea] disponible en: http://www.redkipus.org/aad/images/recursos/31-959Gros.pdf. [Consulta: 2008, mayo 30]Berenso, Mark.(1.992): Estadística Básica en Administración. Editorial. Harla. Cuarta Edición. México.Bruner, J. S. (1965/1960). El proceso de la educación. Cambridge, MA: Harvard University Press.Cadoche, L. S.; G. Stegmayer, J. P. Burioni y M. De Bernardez (1998). Material del Seminario de Encuestas en Educación, impartidovía internet por parte de la Universidad Nacional del Litoral, en Santa Fe, y de la Universidad Tecnológica Nacional, Regional SantaFe, en la República de Argentina.De Oteyza de O., E; Emma Lam O., Carlos Hernández G. y Ángel M. Carrillo H. (1998). Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall.MéxicoEnciclopedia Microsoft Encarta 2008 (2008): Censo- Cuestionario- Encuesta. Estadística. Editorial Microsoft corporation. USA.Gros, B. (2002). Constructivismo y diseños de entornos virtuales de aprendizaje, Revista de Educación, 328, 225-247.Ferrán Aranaz, Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows: Análisis Estadístico. Editorial McGraw-Hill. Madrid.Ferrán Aranaz, Magdalena (2001) SPSS para Windows: Análisis Estadístico. Editorial McGraw-Hill. Madrid.Filgueira, Ester (2001). Análisis de datos con SPSS Win. Alianza Editorial. Madrid.Hamdan González, Nijad (2005) Métodos Estadísticos en Educación. EDICIONES DE LA BIBLIOTECA. Caracas.Hernández Sampieri, R./ Fernández Collado, C./ Baptista Lucio, P. (2003): Metodología de la Investigación. Editorial McGraw-Hill.México.Holmberg, B. (1989) La teoría y la práctica de la educación a distancia, Londres / Nueva York: Routledge.Ivicl, Ivan (1999) LEV SEMIONOVICH VYGOTSKY. Revista trimestral de educación comparada (París, UNESCO: Oficina Internacional deEducación), vol. XXIV, nos 3-4, págs. 773-799. UNESO: Oficina Internacional de Educación, 1999. Paris – Francia.Jonassen, D. H., Peck, K.L. & Wilson, B.G. (1999). Learning with technology: A Constructivist Perspective. Upper Saddle, NJ: Merrill,Prentice Hall.LARSON HAROLD, J. (1985): Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferencia Estadística. Editorial Limusa. México.LEITHOLD, LOUIS (1992): El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial HARLA México. MÓDULO DOS DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 31. BIBLIOGRAFÍALINCON L., CHAO (1996): Estadística para Ciencias Administrativas. Cuarta edición. Editorial McGaw-Hill. Usa.LOPEZ CASUSO, R. (1984): Introducción al Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estadística. Editorial Instituto de InvestigacionesEconómicas, UCAB. Caracas- Venezuela.López, R. (1996), Constructivismo radical de Protágoras a Watzlawick”,www.rehue.csociales.uchile.cl/rehuehome/facultad/publicaciones/Excerpta/exc erpta7/construc.htmMason, Robert (1.992): Estadística para la Administración y Economía. Ediciones Alfaomega S.A.N. México.Murria, R.(1993): Estadística. Edición Interamericana.2da Edición. México.Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2002). SPSS 11. Guía para Análisis de Datos. Editorial McGraw-Hill. Madrid.Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2005). Análisis de datos con SPSS 13 Base. Editorial McGraw-Hill. Madrid. Parica Ramos, A. T.; Bruno Liendo, F. J. y Abancin Ospina, R. A. (2005) Teoria del Constructivismo Social. Teoria del ConstructivismoSocial de Lev Vygotsky en comparación con la Teoria Jean Piaget. Universidad Central de Venezuela. Facultad de Humanidades yEducación. Escuela de Educación. Departamento de Psicología Educativa. Cátedra de Psicología Educativa. Caracas – Venezuela.PARZEN, E. (1986): Teoría Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa: MéxicoPeña, Daniel y Romo, Juan (1999). Introducción a la estadística para las Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill. Madrid.Pérez López, César. 2002. Estadística aplicada a través de Excel. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.Pérez López, C. (2005): Técnicas Estadísticas con SPSS 12. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.Pérez López, C. (2004): Técnicas de Análisis Multivariante de Datos: Aplicaciones con SPSS . Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.Pérez López, C. (2001). Técnicas estadísticas con SPSS. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.Pérez López, C. (2005): Métodos Estadísticos Avanzados con SPSS. Internacional Thomson Editores Spain. Madrid.Piaget, J. (1952). Autobiografía. Historia de la psicología en la autobiografía. Vol. 4. Worcester, MA: Clark University Press.Ausubel,D. P., Novak, J. y Hanesian, H. Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo, 2ª ed., Trillas, México, 2000.Ritchey, F.J. (2002): Estadística para las Ciencias Sociales. Ed. McGraw – Hill. México.Rivas González, Ernesto (2003) Estadística General. Ediciones de la Biblioteca UCV. Caracas – Venezuela.Salama, David (2002) Estadística. Metodología y Aplicaciones. Editorial Torino. Caracas.Salmon, G. (2000). E-moderador: La clave para la enseñanza y el aprendizaje en línea, Londres: Kogan Page.Sánchez Carrión, Juan Javier (2004). Manual de análisis estadístico de los datos. Alianza Editorial. Madrid.Spiegel, M.R. y Stephens Larry j. (2002): Estadística. Mc Graw Hill Interamericana de España. S.A. Madrid. MÓDULO DOS DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
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  • 33. BIBLIOGRAFÍA BIBLIOWEBhttp://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/ventajasdelavirtualidadenlaeducacion.htmhttp://www.el-mundo.es/su-dinero/noticias/act-111-14.htmlhttp://www.uoc.edu/inaugural04/esp/carnoy1004.pdfhttp://www.nextlearning.clhttp://www.educar.org/articulos/educacionvirtual.asphttp://www.pignc-ispi.com/articles/distance/kearsley-virtualprofessor.htm#espano BIBLIOWEBhttp://hamletyestadisticaspss.jimdo.com/http://es.geocities.com/hamletmatamat/estadistica. htmlhttp://es.geocities.com/hamletmatamat/http://es.geocities.com/hamletmatamata48/educacion.htmlhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/http://www.hrc.es/bioest/Mdocente.html#tema1http://www.mailxmail.com/curso/informatica/spssespanol/capitulo1.htmhttp://www.aulafacil.com/investigacionspss/Lecc-6.htmhttp://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre504S.htmhttp://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htmhttp://www.bioestadistica.freeservers.com/farpro.htmlhttp://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/36/estapro.htmhttp://www.hrc.es/bioest/Reglin_8.htmlhttp://www.monografias.com/trabajos20/estadistica/estadistica.shtmllhttp://www.terra.es/personal2/jpb00000/tvariablealeatoria.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_6_1.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_6_2.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_7_1.htmlhttp://www.eio.uva.es/~mcruz/ingenieria/Probabilidad.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad MÓDULO DOS DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA
  • 34. BIBLIOGRAFÍA BIBLIOWEBhttp://www.terra.es/personal2/jpb00000/tinferencia.htm#muestreoaleatoriosimplehttp://www.seh-lelha.org/noparame.htmhttp://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_signos/nopa_signos.htmhttp://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t18_variable_aleatoria_discreta.htmhttp://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t20_variable_aleatoria_continua.htmhttp://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htmhttp://sapiens.ya.com/matagus/unidad6.htmhttp://zip.rincondelvago.com/?00044092http://www.seh-lelha.org/regresion1.htmhttp://www.eumed.net/cursecon/medir/introd.htmhttp://ftp.medprev.uma.es/libro/node40.htmhttp://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.htmlhttp://ftp.medprev.uma.es/libro/node61.htmhttp://www.seh-lelha.org/concor2.htmhttp://www.seh-lelha.org/noparame.htmhttp://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_simple/regr_simple.htmhttp://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_multilin/regr_multilin.htmhttp://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa.htmhttp://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_wilcoxon/nopa_wilcoxon.htmhttp://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/d/di/distribucion_de_probabilidad.htmlhttp://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/p/pr/probabilidad.htmlhttp://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.htmlhttp://www.uib.es/depart/gte/edutec-e/revelec15/albert_sangra.htmhttp://www.mailxmail.com/curso/excelencia/paradigmaeducacionsuperior/capitulo9.htmhttp://ocw.mit.edu/index.htmlhttp://www.tuobra.unam.mx/publicadas/010909003010.html#fn1http://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/educavir.htmlhttp://www.universia.com.ar/portada/actualidad/noticia_actualidad.jsp?noticia=10895 MÓDULO DOS DE ESTADÍSTICA GENERAL APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA