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  • 1. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio CONTINUUM MECHANICS
  • 2. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio INTRODUCTION  Continuum mechanics:  Continuum assumption: matter is distributed continuously in space  No voids between molecules  Density function of the continuum is continuous:
  • 3. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EXAMPLES OF CONTINUA Crankshaft Solids heart Bridge Water Continua Fluids Oil Blood Air Gas CO2 Steam
  • 4. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio WHY CONTINUUM MECHANICS?  Continuum mechanics is used to determine:  Stresses & Strains  Kinematics and deformation  Failure F il  Fluid flow  Gas flow  Etc…
  • 5. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio MATHEMATICAL PRELIMINARIES: VECTORS  A vector quantity is represented by Force Vector an arrow. Length represents Line f force Li of f magnitude. (or pull). Tail represents point of force Arrow head represents application. application direction.
  • 6. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SCALARS  Scalars are quantities which are fully described by a magnitude alone. i d l  Examples are time, energy, speed, distance
  • 7. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTORS  Vectors are quantities which are fully described by both a magnitude and a direction.  Examples include force, momentum, velocity and displacement.
  • 8. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio WHICH ARE VECTOR AND WHICH ARE SCALARS? Quantity Example Type Length 5m Scalar Velocity 30 m/sec, East Vector Speed 30 m/sec Scalar Temperature 20ºC Scalar Energy 5 Joules Scalar Displacement 2 m to the right Vector
  • 9. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: ZERO AND UNIT VECTORS  Unit Vector: is a vector with a unit length e such that e  1 ˆ ˆ  We can always extract a unit vector from any non zero vector as: u eu  ˆ where u  u eu ˆ u  Zero Vector: is a vector with a unit length 0 such that 0  0
  • 10. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: VECTOR ADDITION u v = v+u commutativity t ti it u   v + w  = u  v  + w associativity u0  0u  u null element u   u   0 opposite element it l t
  • 11. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: MULTIPLICATION BY A SCALAR
  • 12. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: SCALAR PRODUCT    Let u, v, and w be vectors in the plane or in space and l t c b a scalar. d let be l     1. The commutative property holds : u  v  v  u.        2. The distributive property holds : u  (v  w)  u  v  u  w       3. c(u  v)  cu  v  u  cv   4. 0  v  0   2 5. v  v  v If  is the angle between two nonzero vectors     uv u and v then cos    . u v
  • 13. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: VECTOR PRODUCT
  • 14. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A VECTOR  In a 3-dimensional vector space we can assign an p g ortho-normal vector basis: such that ORTHO NORMAL
  • 15. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF A VECTOR  Any vector can be expressed as a linear combination y p of the basis vectors :  All the expressions we saw previously and be expressed in component form.  Vector sum:  Multiplication by scalar:  Scalar Product:  Vector Product:
  • 16. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMATION CONVENTION: FREE AND DUMMY INDICES  Component f p form: Can be written as:  By convention we write this as:  Examples of expressions using summation convention:   In this expression ‘i’ is a free index and j is a dummy index   In this expression ‘k’ is a free index and ‘i’ and ‘j’ are dummy indices.
  • 17. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMATION CONVENTION: KRONECKER DELTA SYMBOL  The Kronecker delta symbol is defined as y f  It is often in index notation expressions and equations i ft i i d t ti i d ti  It is also known as the ‘substitution operator’ because it has the effect of substituting one index by another.  Orthonormal basis vector are related by:  The scalar product is expressed as:
  • 18. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMATION CONVENTION: PERMUTATION SYMBOL  The permutation symbol is defined as: p y f  Orthonormal basis vector are related by:  The cross product is expressed as:
  • 19. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EPSILON-DELTA RELATIONSHIP
  • 20. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR TRANSFORMATION LAW  Given two vector bases: B   e1 , e2 , e3  and B   e1 , e2 , e3  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  The directions of cosines are defined as:  ij  ei  e j  cos  ij  ˆ ˆ  A vector expressed in the two bases as: u  u1e1  u2e 2  u3e3  u1 e1  u2e2  u3e3 or u  ui ei  u j ej ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u j ej  ui ei  u j ej  ek  ui ei  ek  u j jk  ui  ik  uk  ui  ik ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  Therefore the components of the vector transform from base B to base B’ as:  u1   11 12 13   u1       uk  ui  ik or u2    21  22  23  u2   u     33  u3   3   31  32  
  • 21. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio MATRICES  A matrix is an ordered array of scalars: y  a11 a12 a13 a14  A  a21 a22  a23 a24   a ij  i  1, 2,3 and j  1, 2,3, 4      a31 a32 a33  a34   a matrix with m rows and n columns is said to be an m×n matrix.  an n×n matrix is a square matrix.
  • 22. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio MATRIX ADDITION AND MULTIPLICATION BY A SCALAR
  • 23. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio TRANSPOSE & INVERSE OF A MATRIX  The transpose of a matrix A is denoted as AT p B  AT  bij    a ji       AT   A and  A  B   A T  BT T T  AB  T  BT A T  The inverse of matrix A is denoted as A-1 1 AA 1  A 1A  I A  1 1  A and   1   AB  B1 A 1  The determinant of a matrix A  Aij as: is given det  A    ijk A1i A2 j A3k
  • 24. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EXERCISES
  • 25. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR CALCULUS  The del operator is the ‘vector’   1 e1  2 e2  3 e3  i ei p x ˆ x ˆ x ˆ x ˆ  The gradient of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is a vector: f f  x1 ˆ1  xf2 e 2  xf3 e3  e ˆ ˆ f xi ˆ ei  i ˆ The divergence of a vector Aei field is given as: div  A     A  A1 A Ai x1  A22  x33  x xi  Ae ˆ The curl of a vector Aˆi is given as: e1 ˆ e2 ˆ e3 i curl  A     A   Ai ijk x j ek  ˆ  x1  x2  x3 A1 A2 A3  The Laplacian of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is:  f   f  2   x j ˆ   e  ej  ˆ f xi i 2 f xi xi
  • 26. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio SUMMARY OF VECTOR FORMULAS
  • 27. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio TENSOR (EXAMPLE)  A vector is defined as an quantity requiring a direction and a magnitude. d it d  A tensor (2nd order) is a quantity that requires TWO directions and a magnitude.  Example E l  If a plane cuts through a continuum subject to external forces (F1, F2,…) an internal stress vector T will appear.  Th magnitude & di i The i d direction of T will d f ill depend on th d the orientation of the plane defined by its normal n  Therefore, in order to completely define the stress state at a point P on the plane two vectors are needed T and n
  • 28. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio 2ND ORDER TENSORS: DYADS  A quantity that requires TWO directions to be q y q specified is called a dyad or 2nd Order tensors.  a dyad D is defined as the ‘product’ of two vectors u & v and is written as: di itt D  uv  The product uv is known as the dyadic product it is just the vectors written next to each other (it is also known as the ( indeterminate vector product)  For vectors a and b the following dyadic product properties h ld ti hold:
  • 29. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio 2ND ORDER TENSORS: VARIOUS PRODUCTS  A dyadic is defined as: D  a1b1  a 2b 2    a N b N  The dot product of a dyad D with a vector v is a vector and is defined as (this product is NOT commutative): v D   v a1  b1   v a 2  b 2     v a N  b N = u prefactor D v   v b1  a1   v b 2  a 2     v b N  a N = w postfactor  The vector product of a dyad D with a vector v is a dyad: v  D   v  a1  b1   v  a 2  b 2     v  a N  b N = E D  v  a1  v  b1   a 2  v  b 2     a N  v  b N  = F  The dot product of two dyads D and E is a dyad (this product is NOT ) commutative): DE   ab  cd    bc  ad   F  The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this product IS commutative): D  E   ab  cd    ac  bd   ai ci b j d j  The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this p p y y ( product IS commutative): DE   ab  cd    bc  ad   bi ci a j d j
  • 30. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio 2ND ORDER TENSORS: TRANSFORM, PRINCIPAL VALUES, INVARIANTS  A dyadic D can be written in component form with respect to an orthonomal basis as: D  ab  a b e e  D e e ˆˆ ˆˆ i j i j ij i j  The identity dyad I is such that: DI  I D I  ei ei  e1e1  e 2e 2  e3e3 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  2ne order tensors (dyads) transform between basis according to: D  ab  ai b j ei e j  ai b j   ik ek   jmem    ik  jm ai b j ek em ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  The principal values of 2nd order tensor T are defined as the roots of : T  u   u  0  Tik uk   ui  0  Tik   ik  uk  0  det Tik   ik   0 f  The determinant results in the Cubic equation known as the characteristic equation: T  u   u   3  I1 2  I 2   I 3  0  I1 , I2 and I3 are the first, second and third invariants of tensor T T  u   u   3  I1 2  I 2   I 3  0 (trace); I 2  TiiT jj - TijTij ; I 3   ijk T1iT2 jT3 j =det Tij  I1  Tii (t ) d t
  • 31. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio VECTOR CALCULUS: EXERCISES  1. calculate the gradient vector of the following scalar fields: g g  2.  3.
  • 32. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio TENSOR CALCULUS: EXERCISES  1.  2.  3.
  • 33. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: DEFINITIONS  Point: designates a fixed location in space.  Particle: is a small infinitesimal volumetric element of a continuum it is also called a material point  At any time t a continuum with a volume V and bounding surface S will occupy a region R of Space Space.  Configuration: The region occupied by the continuum at a given time t is known as the configuration of the continuum at time t  Deformation: the change in shape of a continuum between an initial (undeformed) configuration and a final deformed configuration. X: material coordinates vector x: spatial coordinates vector u: displacement vector.
  • 34. current and initial configuration of a deformed solid Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciella version de démonstration de PDF Editor Modifié avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Mo
  • 35. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel la version de démonstrationModifié avec logiciellogiciella version de démonstration deun loModifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Editor,version de démonstration de PDF Editor, PDF Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un Modifié CAD-KAS (http://www.cadkas.com). Modifié avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com). de PDF la un avec CAD-KAS (http://www.cadkas.com current and initial configuration of a deformed solid
  • 36. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: LAGRANGIAN, EULERIAN  When a continuum deforms its particles move through space this motion is defined d fi d as:  This relation provides the current position of a particle that used to occupy the position at the initial time t=0  This relation is a mapping with one-to-one correspondence, continuous and with pp g p , continuous first partial derivatives.  The description of the motion of the particles in this way is known as the Lagrangian formulation  The f Th formulation i said to be E l i if the movement of the particles of the l ti is id t b Eulerian th t f th ti l f th continuum is given as:  the mappings and are unique inverses of one another such that: X  x (x, t ) . This can be true only if the Jacobian of the mappings is not 1 zero:  x  xi J ij  det  i  0  X  X  j  j
  • 37. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION GRADIENT  The gradient of the position coordinate vector xi with respect to material coordinates Xi results in 2nd order tensor know as the material deformation di l i 2 d d k h i ld f i gradient given by:     x  x F  x X   xi e ˆi   ˆ j    i ei   i ei e j e ˆ ˆˆ  X   X  X  j   j  j  The gradient of the displacement vector ui = xi – Xi produces the material displacement gradient given as: ui   xi  X i  x J  u X  ei e j  ˆˆ ei e j  i ei e j   ij ei e j  F  I ˆˆ ˆˆ ˆˆ X j X j X j  Example: calculate the Jacobian, material deformation gradient and the displacement deformation gradient of the following:  1  e  1 t 0  xi   t  F    e  1 1 0 ;  X j       0 0 1   J  det  F   1   et  1 e  t  1  1  e  1 t 0 1 0 0  0      e  1 t 0  xi   t  J  FI     ij    e  1 1 0   0 1 0    e t  1 0 0 ;  X j           0 0 1  0 0 1   0  0 0    
  • 38. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION TENSORS I  î  î Cauchy Ca ch deformation tensor Green deformation tensor
  • 39. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION TENSORS II  The difference is used to measure deformation of a continuum between two configurations:  Where Lagrangian finite strain tensor  Lagrangian finite strain tensor can be written in terms of displacements as:    If small deformation theory is assumed  ui  1 the linear lagrangian finite  X  strain tensor  j   Interpretation of the linear lagrange strain tensor:  ï ï  Example: find the linear lagrangian strain tensor for a line segment lying originally on the X2 axis.
  • 40. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION TENSORS: OVERVIEW  xi deformation gradient F F  X j ui xi displacement gradient J J  ij  F  I X j X j Cauchy deformation tensor deformation Tensors Green deformation tensor in terms of material coordinates Non-linear Lagrangian finite in terms of strain tensor p displacements Linear
  • 41. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: EXERCISES  1.  2.  3.  4.  5.  6. 6
  • 42. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio DEFORMATION: EXERCISES II  1.  2.
  • 43. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio STRESS: THE STRESS VECTOR  Consider a body subject to body forces and surface forces:  Use an imaginary plane to cut through the body.  New forces will appear at the newly created surfaces.  The stress vector a point P is defined as  The stress vector depends on the applied forces as well as the magnitude and orientation of the area Da.
  • 44. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio STRESS: THE STRESS TENSOR  According to Cauchy’s principle we can associate a stress vector to each cutting plane of normal n: l f l  If we consider the stress vectors associated with normals along the Cartesian basis vectors we have:  The vectors  The components of normal vector n are: dAi dA   n.ei  ˆ  The stress vector is written as T n    n  e1  Te1    n  e 2  Te2    n  e3  Te3    n  ei  T ei  ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ˆ  The stress vector is written in tensor form as: Tn   n  e1Te1   n  e 2 Te2   n  e3Te3   n  ei Tei  ˆ ˆ   The components of the stress tensor are:  sij is the stress tensor, it describes the distribution of the internal forces in the , continuum due to externally applied forces such as surface tractions and body forces.
  • 45. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio STRESS: THE STRESS TENSOR  sijj is jth component of the stress vector acting on the plane with normal ei  The stress tensor describes the distribution of the internal force in the continuum due to externally applied forces (such as traction forces).  The stress tensor is a second order tensor that transforms from one basis to another according to  ij  aim a jn mn or σ  AσA where aij are the T directions of the cosines.
  • 46. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio STRESS: PROPERTIES OF THE STRESS TENSOR  The stress tensor is Symmetric: σ  σ T or     ji   ijj   j  the principal directions are the directions such that:  The principal values of the stress tensor are obtained from the characteristic equation: q  ï  3  I I  2  I II   I III  0  The first, second and third stress invariants of the stress tensor are given by: I I  tr  σ    ii ; I II  1 2     tr  σ   tr  σ σ   2 1 2 ii jj   ij ij  ; I III  det  σ   The roots of the characteristic equation are known as the principal stress values their associated direction are the principal directions they denoted by:  The maximum shear stress value of a stress state represented by the tensor s is given by:
  • 47. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio HYDROSTATIC & DEVIATOR STRESS TENSORS tr  σ   kk  The hydrostatic stress tensor is defined as: σH  I  ijj 3 3 The deviator stress tensor is defined as: tr  σ    sσ I  sij   ij  kk  ij 3 3  The stress tensor can be split into hydrostatic and deviator stress tensors as follows: tr  σ   σ  s  σH  s  I  sij  kk  ij 3 3
  • 48. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio PLANE STRESS STATE  If one of the principal values of the stress tensor is zero then this state of stress is called plane stress. ll d l  This stress state occurs usually in very thin continuum where the external loads are applied in one plane.  Its corresponding stress and strain tensors are:
  • 49. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EQUILIBRIUM EQUATIONS OF CONTINUUM  The equilibrium equations for a continuum medium can be derived as:  b is the body forces vector (e.g. gravity, magnetic force, electric force, etc..)  sij is the stress tensor at a point.  r is the density of the material at point P  The equilibrium equation in index form can be written as:  ij   bi  0 or σ  b  0 x j
  • 50. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio STRESS: EXERCISES I  1.  2.  3.
  • 51. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio STRESS: EXERCISES II  4.  5.  6. show that the transformation tensor of the directions of cosines of problem 5 transforms the stress tensor into a diagonal form form.
  • 52. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EXERCISES III  7.  8.  9.
  • 53. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio EXERCISES IV  10.  11.
  • 54. Modifié avec la version de démonstration de PDF Editor, un logiciel CAD-KA Modifié avec la version de démonstration de PDF Modifié avec la verModifié avec la version de démonstration avecPDFEditor,Modifié version de avec(http://www.cadkas.com). Editor,version de la un (http://www.cadkas.coModifié avec la version de démonstrationde PDFversionaveclogiciel CAD-KAS PDF démonstration de PDF Editor, unCAD-KAS logiciel CAD-KAS (httModifié avec la version de démonstration de PDF Editor,de démonstration démonstration de PDF Editor, un de PDF avec démonstration de PDF Ed Modifié de laModifié un logiciel lala version (http://www.cadkas.com). Editor, un logiciel CAD-KASde démonstrationModifié avec logiciellogiciel CAD-KAS (http://www.cad Modifié avec CAD-KAS(http://www.cadkas.com). un la avec version deversion de démonstration Modifié logiciel CAD-KAS (http://www.ca Modifié de la Editor, un logiciel CAD-KAS Modifié avecversion de (http://www.c de PDF la un Editor, la version de démonstra (http://www.cadkas.com). démonstratio  12