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実験計画法入門 Part 1
- 1. © Hajime Mizuyama An Introduction to Design of Experiments (DOE) 青山学院大学 経営システム工学科 水山 元 mizuyama@ise.aoyama.ac.jp
- 2. © Hajime Mizuyama Part 1 古典的な実験計画法の 基本概念と要因計画 Part 2 直交表と 一部実施要因計画 Part 3 応答曲面法と 最適計画 Part 4 直積実験と ロバスト設計
- 4. © Hajime Mizuyama 最適な水準を 見出したいもの 最適水準を決めることに 意味がないもの 母数因子 制御因子 標示因子 誤差因子 変量因子 ブロック因子 因子の分類
- 5. © Hajime Mizuyama • 取り上げた因子が特性の値に影響を及ぼしているかどうか，を 判断したい． • 影響を及ぼしていると判断された因子について，その値をどの 水準に設定すればよいか，を判断したい（主に特性値の最大化 や最小化の問題）． • 因子水準を操作することによる影響の大きさや，操作した後の 特性の値を推定したい． 実験の狙いと実験計画法の役割 これらを，統計的検定や推定の枠組みで実施できるようにする ことが実験計画法の役割である． これらを，統計的検定や推定の枠組みで実施できるようにする ことが実験計画法の役割である．
- 6. © Hajime Mizuyama 因子の水準と処理 A y B C 因子 特性／応答 A1, A2, … B1, B2, … C1, C2, … 処理 A1, A2, … B1, B2, … C1, C2, … 水準 y1, y2, … 対象となる特性に影響を与える要因は無数に存在し得るため， 事前に網羅的に把握することは困難である． また，例え把握できたとしても，実験の場でそれらを完全に 管理できるとは限らない． 対象となる特性に影響を与える要因は無数に存在し得るため， 事前に網羅的に把握することは困難である． また，例え把握できたとしても，実験の場でそれらを完全に 管理できるとは限らない．
- 7. © Hajime Mizuyama 要因効果と誤差 A y B C 因子 特性／応答 A1, A2, … B1, B2, … C1, C2, … 処理 A1, A2, … B1, B2, … C1, C2, … 水準 y1, y2, … その他の要因 特性値への影響 = 取り上げた因子の効果 + その他の要因の効果 特性値への影響 = 取り上げた因子の効果 + その他の要因の効果 系統誤差系統誤差 偶然誤差偶然誤差
- 8. © Hajime Mizuyama 実験計画法とは 構造モデル （因子と特性の間の 因果関係を説明する モデル） iid 仮定 （誤差は独立に同一 の正規分布に従う） 構造モデル （因子と特性の間の 因果関係を説明する モデル） iid 仮定 （誤差は独立に同一 の正規分布に従う） 主効果，交互作用 の検定・推定法 主に，分散分析や 線形回帰分析 実験の計画・実施 上のテクニック 基本は Fisherの3原則
- 9. © Hajime Mizuyama 局所管理（Local control） 実験単位の集合を比較的均質な部分集合（ブロック）に分割し て，ブロック内の偶然誤差を小さくするとともに，ブロック間 の系統誤差を取り除けるようにする． 無作為化（Randomization） 処理の実験単位への割付けをランダム化することで，残された 系統誤差を偶然誤差に転化する． 繰返し（Replication） 同じ処理を複数の実験単位に割り付けることで，偶然誤差のば らつきの大きさを評価できるようにする． Fisherの3原則
- 10. © Hajime Mizuyama F分布F分布 カイ2乗分布カイ2乗分布 t分布t分布 （標準）正規分布（標準）正規分布 理解しておきたい確率分布（確率密度関数） -3 -2 -1 0 1 2 3 0.00.10.20.30.40.5 x dnorm(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 0.00.10.20.30.40.5 x dt(x,4) 0 1 2 3 4 5 0.00.20.40.60.8 x df(x,5,18) 0 2 4 6 8 10 0.000.100.200.30 x dchisq(x,3)
- 11. © Hajime Mizuyama 標準正規分布とt分布 -4 -2 0 0.00.10.20.30.4 2 4 0.5 標準正規分布 サンプル数4の場合 （自由度6の t分布） サンプル数2の場合 （自由度2の t分布）
- 12. © Hajime Mizuyama ある因子の水準間比較の例 A1 A2 y 𝑁(𝜇1, 𝜎𝑒 2) 𝑁(𝜇2, 𝜎𝑒 2) 𝜇1 と 𝜇2 に差はあるの? ⇒ 検定 𝜇1，𝜇2，𝜇2 − 𝜇1 などの大きさはどれくらい? ⇒ 推定 𝜇1 と 𝜇2 に差はあるの? ⇒ 検定 𝜇1，𝜇2，𝜇2 − 𝜇1 などの大きさはどれくらい? ⇒ 推定
- 13. © Hajime Mizuyama サンプル数を 𝑛，水準Ai での標本平均を 𝑦𝑖 とすると， 𝑦𝑖 は 𝑁(𝜇𝑖, 𝜎𝑒 2 𝑛) に，𝑦2 − 𝑦1 は 𝑁(𝜇2 − 𝜇1, 2 𝜎𝑒 2 𝑛) に従うので， 母誤差分散𝝈 𝒆 𝟐 が既知の場合 (𝜇𝑖 − 𝑦𝑖) 𝜎𝑒 2 /𝑛 や (𝑦2 − 𝑦1) 2𝜎𝑒 2 /𝑛 は，標準正規分布に従う． 母誤差分散𝝈 𝒆 𝟐 が未知の場合 (𝜇𝑖 − 𝑦𝑖) 𝑉𝑒/𝑛 や (𝑦2 − 𝑦1) 2𝑉𝑒/𝑛 は，自由度 𝟐𝒏 − 𝟐 の t分布に従う． ただし， 𝑉𝑒 = 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖 2𝑛 𝑗=1 2 𝑖=1 (2𝑛 − 2) は標本誤差分散である． 標本平均等の分布
- 14. © Hajime Mizuyama 帰無仮説 𝜇1 と 𝜇2 に差はない（因子A は効果を持たない） 検定統計量 (𝑦2 − 𝑦1) 2𝜎𝑒 2 /𝑛 帰無仮説が真の場合の検定統計量の分布（標準正規分布） 検定の考え方（母誤差分散𝜎𝑒 2 が既知の場合） -3 -2 -1 0 1 2 3 帰無仮説の下で 生じやすい値 ⇒ 仮説を保持 帰無仮説の下では 生じにくい値 ⇒ 仮説を棄却
- 15. © Hajime Mizuyama 帰無仮説 𝜇1 と 𝜇2 に差はない（因子A は効果を持たない） 検定統計量 (𝑦2 − 𝑦1) 2𝑉𝑒/𝑛 帰無仮説が真の場合の検定統計量の分布（t分布） 検定の考え方（母誤差分散𝜎𝑒 2 が未知の場合） -3 -2 -1 0 1 2 3 帰無仮説の下で 生じやすい値 ⇒ 仮説を保持 帰無仮説の下では 生じにくい値 ⇒ 仮説を棄却
- 16. © Hajime Mizuyama 推定したい母数 𝜇2 − 𝜇1 対応する統計量 Δ𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 母数と統計量の差の分布（正規分布） 推定の考え方（母誤差分散𝜎𝑒 2 が既知の場合） −3 2/𝑛𝜎𝑒 −2 2/𝑛𝜎𝑒 − 2/𝑛𝜎𝑒 + 2/𝑛𝜎𝑒 +2 2/𝑛𝜎𝑒 +3 2/𝑛𝜎𝑒 区間推定（95%） 0
- 17. © Hajime Mizuyama 推定したい母数 𝜇2 − 𝜇1 対応する統計量 Δ𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 母数と統計量の差の分布（横軸の縮尺を変えた t分布） 推定の考え方（母誤差分散𝜎𝑒 2 が未知の場合） −3 2𝑉𝑒/𝑛 −2 2𝑉𝑒/𝑛 − 2𝑉𝑒/𝑛 区間推定（95%） + 2𝑉𝑒/𝑛 +2 2𝑉𝑒/𝑛 +3 2𝑉𝑒/𝑛0
- 18. © Hajime Mizuyama • いくつかの因子を取り上げて，それらの因子の水準のすべての 組合せにおいて，それぞれ1回以上実験を実施する形式の計画を 要因計画と呼ぶ． • 取り上げる因子が一つの場合を一元配置，二つの場合を二元配 置，三つ以上の場合を多元配置などと呼ぶこともある． • 取り上げた因子の水準の組合せの（すべてではなく）一部にお いてのみ実験を行う形式の計画を一部実施要因計画と呼ぶ． • 直交表は，一部実施要因計画を作成するためのツールである． 要因計画と一部実施要因計画
- 19. © Hajime Mizuyama 一元配置実験では， 特性に影響を及ぼし得る要因として，ある一つの因子A のみを 取り上げ，その因子について I 個の水準： A1, A2, ..., AI を選び，それぞれのもとで N 回ずつ，合計 I×N 回の実験を， ランダムな順序で行う． 一元配置実験
- 20. © Hajime Mizuyama 一元配置実験で得られるデータ データ A1 y11 y12 y1N A2 y21 y22 y2N AI yI1 yI2 yIN
- 21. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦𝑖𝑛 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑒𝑖𝑛 仮定 – 主効果の総和はゼロである（𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝐼 = 0）． – 誤差項は互いに独立かつ等分散である． – 誤差項は期待値ゼロの正規分布に従う． 一元配置の構造モデル 一般平均 因子A の主効果 誤差項 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰)
- 22. © Hajime Mizuyama 因子水準ごとの平均 データ 平均 A1 y11 y12 y1N A2 y21 y22 y2N AI yI1 yI2 yIN 𝑦1 = 𝜇 + 𝑎1 + 1 𝑁 𝑒1𝑛 𝑁 𝑛=1 𝑦2 = 𝜇 + 𝑎2 + 1 𝑁 𝑒2𝑛 𝑁 𝑛=1 𝑦𝐼 = 𝜇 + 𝑎𝐼 + 1 𝑁 𝑒𝐼𝑛 𝑁 𝑛=1 𝑦 = 𝜇 + 1 𝐼𝑁 𝑒𝑖𝑛 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝑦𝑖𝑛 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑒𝑖𝑛
- 23. © Hajime Mizuyama データの総偏差平方和 平方和とその分解 残差平方和 Se A間平方和 SA = 0 𝑆 𝑇 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑦 2 𝑁 𝑛=1 = 𝐼 𝑖=1 𝑦𝑖𝑛 − 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 − 𝑦 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 = 𝑦𝑖𝑛 − 𝑦𝑖 2 𝑁 𝑛=1 + 𝐼 𝑖=1 2 (𝑦𝑖𝑛 − 𝑦𝑖)(𝑦𝑖 − 𝑦) 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 + 𝑁 𝑦𝑖 − 𝑦 2 𝐼 𝑖=1 Se の期待値 𝐸 𝑆 𝑒 = 𝐼 𝑁 − 1 𝜎𝑒 2 SA の期待値 𝐸 𝑆𝐴 = 𝑁 𝑎𝑖 2 𝐼 𝑖=1 + 𝐼 − 1 𝜎𝑒 2
- 24. © Hajime Mizuyama データの平方和の分解（射影としての理解） INy y y 12 11 y yy yy yy IN 12 11 y y y yy yy yy I 1 1 IIN yy yy yy 112 111 データベクトル （IN次元） 平方和は，各ベクトルの ノルムの2乗 平方和は，各ベクトルの ノルムの2乗v方向への射影 （1次元） その直交補空間 への射影 （IN-1次元） その直交補空間 への射影 （I(N-1)次元） v1, v2, …, vIで張られ vと直交な部分空間 への射影 （I-1次元） T INININ 1,,1,1 v T i NN 0,,0,1,,1,0,,0 v i番目のN個
- 25. © Hajime Mizuyama 残差平方和の期待値 2 22 1 1 11 2 1 2 1 1 1 2 )1( 1 1 e ee I i T ii I i T ii T I i T ii TI i T ii T I i T ii I i T ii I i N n iine NI N INtr E E EE yyESE vvI evvIe evvIvvIe evvIyvvI
- 26. © Hajime Mizuyama A間平方和の期待値 2 1 2 2 1 2 2 11 2 111 2 2 11 2 2 11 2 )1( 11 e I i i e I i i e T I i T ii I i i T I i T ii T T I i T ii T I i i T I i T ii I i i T I i T ii I i iA IaN INN INaN traN EaN EaN EyyNESE vvvv evvvvvvvve evvvv yvvvv
- 27. © Hajime Mizuyama データの平方和の分解（射影としての理解） INe e e 12 11 y ee ee ee IN 12 11 e e e ee ee ee I 1 1 IIN ee ee ee 112 111 データベクトル （IN次元） 帰無仮説：因子A は主効果 を持たない，が真ならば? 帰無仮説：因子A は主効果 を持たない，が真ならば?v方向への射影 （1次元） その直交補空間 への射影 （IN-1次元） その直交補空間 への射影 （I(N-1)次元） v1, v2, …, vIで張られ vと直交な部分空間 への射影 （I-1次元） T INININ 1,,1,1 v T i NN 0,,0,1,,1,0,,0 v i番目のN個
- 28. © Hajime Mizuyama 誤差の平方和の分解（射影としての理解） ee ee ee IN 12 11 ee ee ee I 1 1 IIN ee ee ee 112 111 誤差ベクトル （IN次元） 誤差ベクトルのノルムの2乗を𝜎𝑒 2 で割った値はカイ2乗分布に従う． 誤差ベクトルのノルムの2乗を𝜎𝑒 2 で割った値はカイ2乗分布に従う．v方向への射影 （1次元） その直交補空間 への射影 （IN-1次元） その直交補空間 への射影 （I(N-1)次元） v1, v2, …, vIで張られ vと直交な部分空間 への射影 （I-1次元） e e e INe e e 12 11 e T INININ 1,,1,1 v T i NN 0,,0,1,,1,0,,0 v i番目のN個
- 29. © Hajime Mizuyama 分散分析表 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A SA fA = I-1 VA = SA /(I-1) FA = VA /Ve 残差 Se fe = I(N-1) Ve = Se /I(N-1) ― 計 ST IN-1 ― ― 帰無仮説：因子A は主効果を持たない． 0 1 2 3 4 5 帰無仮説が 真の場合の FA の分布 自由度 fA， fe のF分布 帰無仮説の下で 生じやすい値 ⇒ 仮説を保持 帰無仮説の下では 生じにくい値 ⇒ 仮説を棄却
- 30. © Hajime Mizuyama 母平均に関する推定 A1 A2 Ai 因子水準 特性値 母平均 (𝜇 + 𝑎𝑖)の区間推定 二つの母平均の差の区間推定 1y 2y 母平均の点推定 𝑦𝑖 − 𝑦j ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 2𝑉𝑒 𝑁 𝑦𝑖 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 𝑁
- 31. © Hajime Mizuyama 新規データの予測 A1 A2 Ai 因子水準 特性値 新規データ (𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑒) の予測区間 新規データの点予測 1y 2y 𝑦𝑖 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 1 + 1 𝑁 𝑉𝑒
- 32. © Hajime Mizuyama 繰返しのある二元配置実験では， 特性に影響を及ぼし得る要因として，ある二つの因子A と B を 取り上げ，それらの因子について I 個と J 個の水準： A1, A2, ..., AI ／ B1, B2, ..., BJ を選び，すべての水準の組合せのもとで N 回ずつ，合計 I×J×N 回の実験を，ランダムな順序で行う． 繰返しのある二元配置実験
- 33. © Hajime Mizuyama 繰返しのある二元配置実験で得られるデータ B1 B2 BJ A1 y111, …, y11N y121, …, y12N y1J1, …, y1JN A2 y211, …, y21N y221, …, y22N y2J1, …, y2JN AI yI11, …, yI1N yI21, …, yI2N yIJ1, …, yIJN
- 34. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦𝑖𝑗𝑛 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑎𝑏 𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗𝑛 仮定 – 主効果，交互作用はそれぞれ総和がゼロになる： – 誤差項は独立，等分散で期待値ゼロの正規分布に従う： 繰返しのある二元配置の構造モデル 一般平均 因子A 因子B A×B 誤差項 主効果 主効果 交互作用 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰) 𝑎𝑖 𝐼 𝑖=1 = 𝑏𝑗 𝐽 𝑗=1 = (𝑎𝑏)𝑖𝑗 𝐼 𝑖=1 = (𝑎𝑏)𝑖𝑗 𝐽 𝑗=1 = 0
- 35. © Hajime Mizuyama 構造モデルの図的理解 A1 A2 特性値 因子A の主効果 A1 A2 因子B の主効果 B2 B1
- 36. © Hajime Mizuyama 構造モデルの図的理解 特性値 A1 A2 B2 因子A と因子B の 主効果のみ B1 A1 A2 B2 因子A とB の主効果 と交互作用A×B B1
- 37. © Hajime Mizuyama データの平均と誤差項の分散 B1 Bj BJ A1 y111, …, y11N y1j1, …, y1jN y1J1, …, y1JN Ai yi11, …, yi1N yij1, …, yijN yiJ1, …, yiJN AI yI11, …, yI1N yIj1, …, yIjN yIJ1, …, yIJN （誤差項の分散は 𝜎𝑒 2 /𝑁）𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑎𝑏 𝑖𝑗 + 1 𝑁 𝑒𝑖𝑗𝑛 𝑁 𝑛=1
- 38. © Hajime Mizuyama データの平均と誤差項の分散 B1 Bj BJ A1 y111, …, y11N y1j1, …, y1jN y1J1, …, y1JN Ai yi11, …, yi1N yij1, …, yijN yiJ1, …, yiJN AI yI11, …, yI1N yIj1, …, yIjN yIJ1, …, yIJN （誤差項の分散は 𝜎𝑒 2 /𝐽𝑁）𝑦𝑖∙ = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 1 𝐽𝑁 𝑒𝑖𝑗𝑛 𝑁 𝑛=1 𝐽 𝑗=1
- 39. © Hajime Mizuyama データの平均と誤差項の分散 B1 Bj BJ A1 y111, …, y11N y1j1, …, y1jN y1J1, …, y1JN Ai yi11, …, yi1N yij1, …, yijN yiJ1, …, yiJN AI yI11, …, yI1N yIj1, …, yIjN yIJ1, …, yIJN （誤差項の分散は 𝜎𝑒 2 /𝐼𝑁）𝑦∙𝑗 = 𝜇 + 𝑏𝑗 + 1 𝐼𝑁 𝑒𝑖𝑗𝑛 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1
- 40. © Hajime Mizuyama データの平均と誤差項の分散 B1 Bj BJ A1 y111, …, y11N y1j1, …, y1jN y1J1, …, y1JN Ai yi11, …, yi1N yij1, …, yijN yiJ1, …, yiJN AI yI11, …, yI1N yIj1, …, yIjN yIJ1, …, yIJN （誤差項の分散は 𝜎𝑒 2 /𝐼𝐽𝑁）𝑦 = 𝜇 + 1 𝐼𝐽𝑁 𝑒𝑖𝑗𝑛 𝑁 𝑛=1 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1
- 41. © Hajime Mizuyama データの総偏差平方和 平方和の分解 残差平方和：Se AB間平方和：SAB 𝑆 𝑇 = 𝑦𝑖𝑗𝑛 − 𝑦𝑖𝑗 2 𝑁 𝑛=1 𝐽 𝑗=1 + 𝐼 𝑖=1 𝑁 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 2 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 A間平方和：SA B間平方和：SB A×B間平方和：SA×B 𝑆𝐴𝐵 = 𝐽𝑁 𝑦𝑖∙ − 𝑦 2 𝐼 𝑖=1 + 𝐼𝑁 𝑦∙𝑗 − 𝑦 2 + 𝑁 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖∙ − 𝑦∙𝑗 + 𝑦 2 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 𝐽 𝑗=1 𝐸 𝑆𝐴 = 𝐽𝑁 𝑎𝑖 2 𝐼 𝑖=1 + 𝐼 − 1 𝜎𝑒 2 𝐸 𝑆 𝐵 = 𝐼𝑁 𝑏𝑗 2 𝐽 𝑗=1 + 𝐽 − 1 𝜎𝑒 2 𝐸 𝑆𝐴×𝐵 = 𝑁 𝑎𝑏 𝑖𝑗 2 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 + (𝐼 − 1) 𝐽 − 1 𝜎𝑒 2
- 42. © Hajime Mizuyama 分散分析による要因効果の検定 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A SA fA = I-1 VA = SA /fA FA = VA /Ve B SB fB = J-1 VB = SB /fB FB = VB /Ve A×B SA×B fA×B = (I-1)(J-1) VA×B = SA×B /fA×B FA×B = VA×B /Ve 残差 Se fe = IJ(N-1) Ve = Se /fe ― 計 ST IJN-1 ― ―
- 43. © Hajime Mizuyama どちらか一方の因子（仮に A）の主効果のみ有意の場合 どちらの因子の主効果も有意だが交互作用は有意でない場合 交互作用が有意な場合 母平均の区間推定 𝑦𝑖∙ ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 𝐽𝑁 𝑦𝑖𝑗 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 𝑁 𝑦𝑖∙ + 𝑦∙𝑗 − 𝑦 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 (𝐼 + 𝐽 − 1)𝑉𝑒 𝐼𝐽𝑁
- 44. © Hajime Mizuyama 双方の主効果のみ有意な場合 B1 Bj BJ A1 y111, …, y11N y1j1, …, y1jN y1J1, …, y1JN Ai yi11, …, yi1N yij1, …, yijN yiJ1, …, yiJN AI yI11, …, yI1N yIj1, …, yIjN yIJ1, …, yIJN + -
- 45. © Hajime Mizuyama 双方の主効果のみ有意な場合 B1 Bj BJ A1 -1 / IJN (J-1) / IJN -1 / IJN Ai (I-1) / IJN (I+J-1) / IJN (I-1) / IJN AI -1 / IJN (J-1) / IJN -1 / IJN 1/𝑛𝑒 = 𝐼𝐽𝑁 − 𝐼𝑁 − 𝐽𝑁 + 𝑁 −1 𝐼𝐽𝑁 2 + 𝐼𝑁 − 𝑁 𝐽 − 1 𝐼𝐽𝑁 2 + 𝐽𝑁 − 𝑁 𝐼 − 1 𝐼𝐽𝑁 2 + 𝑁 𝐼 + 𝐽 − 1 𝐼𝐽𝑁 2 = 𝐼 + 𝐽 − 1 𝐼𝐽𝑁 + - の誤差分散を 𝜎𝑒 2 /𝑛 𝑒 とおくと
- 46. © Hajime Mizuyama 有効反復数 – 母平均の区間推定の際に用いる 𝑛 𝑒 の値 有効反復数の算出ルール – 田口のルール： – 伊奈のルール： 母平均の区間推定における有効反復数 1 𝑛 𝑒 = 1 + (推定に用いた要因の自由度の和) 全データ数 = 1 + (𝐼 − 1) + (𝐽 − 1) 𝐼𝐽𝑁 1 𝑛 𝑒 = 点推定に用いられている平均の係数の和 = 1 𝐽𝑁 + 1 𝐼𝑁 − 1 𝐼𝐽𝑁
- 47. © Hajime Mizuyama 繰返しのない二元配置実験では， 特性に影響を及ぼし得る要因として，ある二つの因子A と B を 取り上げ，それらの因子について I 個と J 個の水準： A1, A2, ..., AI ／ B1, B2, ..., BJ を選び，すべての水準の組合せのもとで1回ずつ，合計 I×J 回 の実験を，ランダムな順序で行う． 繰返しのない二元配置実験
- 48. © Hajime Mizuyama 繰返しのない二元配置実験のデータ B1 B2 BJ A1 y11 y12 y1J A2 y21 y22 y2J AI yI1 yI2 yIJ
- 49. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 仮定 – 主効果は次の条件を満たす： – A×B の2因子交互作用は考慮しない（できない）． – 誤差項は独立，等分散で期待値ゼロの正規分布に従う： 繰返しのない二元配置の構造モデル 一般平均 因子A 因子B 誤差項 主効果 主効果 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰) 𝑎𝑖 𝐼 𝑖=1 = 𝑏𝑗 𝐽 𝑗=1 = 0
- 50. © Hajime Mizuyama データの総偏差平方和 平方和の分解 A間平方和：SA B間平方和：SB 残差平方和：Se 𝑆 𝑇 = 𝑆𝐴𝐵 = 𝐽 𝑦𝑖∙ − 𝑦 2 𝐼 𝑖=1 + 𝐼 𝑦∙𝑗 − 𝑦 2 + 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖∙ − 𝑦∙𝑗 + 𝑦 2 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 𝐽 𝑗=1 𝐸 𝑆𝐴 = 𝐽 𝑎𝑖 2 𝐼 𝑖=1 + 𝐼 − 1 𝜎𝑒 2 𝐸 𝑆 𝐵 = 𝐼 𝑏𝑗 2 𝐽 𝑗=1 + 𝐽 − 1 𝜎𝑒 2 𝐸 𝑆 𝑒 = (𝐼 − 1) 𝐽 − 1 𝜎𝑒 2
- 51. © Hajime Mizuyama 繰返しのない二元配置の分散分析 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A SA fA = I-1 VA = SA /fA FA = VA /Ve B SB fB = J-1 VB = SB /fB FB = VB /Ve 残差 Se fe = (I-1)(J-1) Ve = Se /fe ― 計 ST IJ-1 ― ― 交互作用A×B が存在しないことが技術的に分かっている 場合に用いることがある．
- 52. © Hajime Mizuyama どちらか一方の因子（仮に A）の主効果のみ有意の場合 どちらの因子の主効果も有意だが交互作用は有意でない場合 母平均の区間推定 𝑦𝑖∙ ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 𝐽 𝑦𝑖∙ + 𝑦∙𝑗 − 𝑦 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 (𝐼 + 𝐽 − 1)𝑉𝑒 𝐼𝐽
- 53. © Hajime Mizuyama 三元配置実験では， 特性に影響を及ぼし得る要因として，ある三つの因子A，B，C を取り上げ，それらの因子について I，J，K 個の水準： A1, A2, ..., AI ／ B1, B2, ..., BJ ／ C1, C2, ..., CK を選び，すべての水準の組合せのもとで N 回ずつ，合計 I×J×K×N 回の実験を，ランダムな順序で行う（繰返しなしの 場合は N=1） ． 多元配置実験（三元配置の例）
- 54. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑛 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐 𝑘 + 𝑎𝑏 𝑖𝑗 + 𝑏𝑐 𝑗𝑘 + 𝑐𝑎 𝑘𝑖 + 𝑒𝑖𝑗𝑘𝑛 仮定 – 3因子以上の交互作用は考慮しない（誤差に含める）ことが 多い． – 主効果，交互作用はそれぞれ総和がゼロになる． – 誤差項は独立，等分散で期待値ゼロの正規分布に従う． 多元配置の構造モデル（三元配置の例） 一般平均 主効果 交互作用 誤差項
- 55. © Hajime Mizuyama 乱塊法とは 局所管理のために実験単位の集合を，ブロックと呼ばれるいく つかの部分集合に分割して行う実験方法 ブロック因子 ブロックの区別を示す因子で，変量因子として扱う．ブロック 因子と他の因子の間の交互作用は考えない（誤差に含める）． 1因子の場合の例（日がブロック因子） 乱塊法 1日目 2日目 3日目 完全無作為化 A2, A3, A3 A1, A1, A2 A1, A3, A2 乱 塊 法 A3, A1, A2 A1, A3, A2 A1, A2, A3
- 56. © Hajime Mizuyama 1因子乱塊法で得られるデータ R1 R2 RN A1 y11 y12 y1N A2 y21 y22 y2N AI yI1 yI2 yIN
- 57. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦𝑖𝑛 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑟𝑛 + 𝑒𝑖𝑛 仮定 – 主効果は次の条件を満たす： ， – ブロック因子と他の因子の間の交互作用は考慮しない． – 誤差項は独立，等分散で期待値ゼロの正規分布に従う： 1因子乱塊法の構造モデル 一般平均 因子A ブロック因子R 誤差項 主効果 主効果 𝒆~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒 2 ∙ 𝑰) 𝒓~𝑁(𝟎, 𝜎 𝑅 2 ∙ 𝑰)𝑎𝑖 𝐼 𝑖=1 = 0
- 58. © Hajime Mizuyama データの総偏差平方和 平方和の分解 A間平方和：SA R間平方和：SR 残差平方和：Se 𝑆 𝑇 = 𝑆𝐴𝑅 = 𝑁 𝑦𝑖∙ − 𝑦 2 𝐼 𝑖=1 + 𝐼 𝑦∙𝑛 − 𝑦 2 + 𝑦𝑖𝑛 − 𝑦𝑖∙ − 𝑦∙𝑛 + 𝑦 2 𝑁 𝑛=1 𝐼 𝑖=1 𝑁 𝑛=1 𝐸 𝑆𝐴 = 𝑁 𝑎𝑖 2 𝐼 𝑖=1 + 𝐼 − 1 𝜎𝑒 2 𝐸 𝑆 𝑅 = 𝐼 𝑁 − 1 𝜎 𝑅 2 + 𝑁 − 1 𝜎𝑒 2 𝐸 𝑆 𝑒 = (𝐼 − 1) 𝐽 − 1 𝜎𝑒 2
- 59. © Hajime Mizuyama 1因子乱塊法の分散分析 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A SA fA = I-1 VA = SA /fA FA = VA /Ve R SR fR = N-1 VR = SR /fR FR = VR /Ve 残差 Se fe = (I-1)(N-1) Ve = Se /fe ― 計 ST IN-1 ― ― 1因子乱塊法の分散分析表の構造は，繰返しのない二元配置と 同じになる．
- 60. © Hajime Mizuyama ブロック因子の効果が無視できる場合 ブロックを単なる繰返しとみて，一元配置として扱えばよい． ブロック因子の効果が無視できない場合 ブロック因子は変量因子であるため，その影響を，誤差変動に 加えて考える． 誤差項の影響： ブロック因子の影響： 1因子乱塊法の分散分析後の手続き 𝜎𝑒 2 ← 𝜎𝑒 2 = 𝑉𝑒 𝜎 𝑅 2 ← 𝜎 𝑅 2 = 𝑉𝑅 − 𝑉𝑒 𝐼
- 61. © Hajime Mizuyama ブロック因子の影響を考慮した母平均に関する推定 A1 A2 Ai 因子水準 特性値 1y 2y 二つの母平均の差の区間推定 母平均の点推定 母平均 (𝜇 + 𝑎𝑖)の区間推定 𝑦𝑖 − 𝑦j ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 2𝑉𝑒 𝑁 𝑦𝑖 ± 𝑡 𝑓∗ , 1 − 𝛼 2 𝜎 𝑅 2 + 𝜎𝑒 2 𝑁 = 𝑦𝑖 ±𝑡 𝑓∗, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑅 + 𝐼 − 1 𝑉𝑒 𝐼𝑁
- 62. © Hajime Mizuyama ブロック因子の影響を考慮した新規データの予測 A1 A2 Ai 因子水準 特性値 1y 2y 新規データ (𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑒) の予測区間 新規データの点予測 𝑦𝑖 ± 𝑡 𝑓∗ , 1 − 𝛼 2 1 + 1 𝑁 𝜎 𝑅 2 + 𝜎𝑒 2 = 𝑦𝑖 ±𝑡 𝑓∗, 1 − 𝛼 2 (𝑁 + 1) 𝑉𝑅 + 𝐼 − 1 𝑉𝑒 𝐼𝑁
- 63. © Hajime Mizuyama Satterthwaiteの方法 – 互いに独立な標本分散： V1, V2, … – それらの自由度： f1, f2, … – 定数： c1, c2, … とするとき，V * = c1V1 + c2V2 + … の等価自由度 f *を次式で 定める方法： 自由度の決め方 2 2 22 1 2 11 2 2211* f Vc f Vc VcVc f
- 64. © Hajime Mizuyama 因子の階層構造（2次までの場合） • 1次因子：水準変更が困難な因子，水準設定を先に行う因子 • 2次因子：水準変更が容易な因子，水準設定を後に行う因子 分割法とは 因子間に階層構造があり，低次の因子に関する処理を施した各 実験単位が，高次の因子を割り付ける際に複数の実験単位とし て利用できる場合の実験方法 1次因子に関する処理で生じる1次誤差と，2次因子に関する処 理で生じる2次誤差を区別するのがポイントとなる． 分割法
- 65. © Hajime Mizuyama 単純な2因子分割法で得られるデータ B1 B2 BJ A1 y111 … y11N y121 … y12N y1J1 … y1JN A2 y211 … y21N y221 … y22N y2J1 … y2JN AI yI11 … yI1N yI21 … yI2N yIJ1 … yIJN データの形式は，繰り返しのある二元配置に似ている．
- 66. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦𝑖𝑗𝑛 = 𝜇 + 𝑎𝑖 + 𝑒 1 𝑖𝑛 + 𝑏𝑗 + 𝑎𝑏 𝑖𝑗 + 𝑒(2)𝑖𝑗𝑛 仮定 – 主効果，交互作用はそれぞれ総和がゼロになるとする． – 誤差項は独立，等分散で期待値ゼロの正規分布に従う： 単純な2因子分割法の構造モデル 一般平均 因子A 1次 因子B A×B 2次 主効果 誤差 主効果 交互作用 誤差 𝒆(1)~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒1 2 ∙ 𝑰) 𝒆(2)~𝑁(𝟎, 𝜎𝑒2 2 ∙ 𝑰)
- 67. © Hajime Mizuyama 分散分析による要因効果の検定 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A SA fA = I-1 VA = SA /fA FA = VA /Ve1 1次誤差 Se1 = SAR-SA fe1 = I(N-1) Ve1 = Se1 /fe1 Fe1 = Ve1 /Ve2 B SB fB = J-1 VB = SB /fB FB = VB /Ve2 A×B SA×B fA×B = (I-1)(J-1) VA×B = SA×B /fA×B FA×B = VA×B /Ve2 2次残差 Se2 = Se-Se1 fe2 = IJ(N-1)-fe1 Ve2 = Se1 /fe1 ― 計 ST IJN-1 ― ―