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Universidad fermín toro

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  • 1. Universidad Fermín Toro Vice-rectorado AcadémicoLa Integral DefinidaNotación Sigma:Cuando se habla del Cálculo como rama de las matemáticas, semencionan varios de los problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de elloses el problema del área de una región plana. La notación sigma Σ (debe su nombre a la letragriega con la que se representa) para expresar estos sumatorios, Es aquella que serepresenta con la letra griega ∑ que implica sumatoria en la parte superior, y en la parteinferior están sus índices que especifican el tamaño donde el se encuentra. Siempre el límitesuperior va a ser mayor que el inferior y su utilidad práctica es para calcular áreas limitadaspor curvas planas.Suma Superior e Inferior: La expresión Y = F(x)= X2 + 1 es el area que se calculautilizando una sumatoria en la que al aumentar mas veces “n” nos acercamos mas al areabuscada.Y = F(1)= 12 + 1 =1 ; [a, b]Y = F(2)= 22 + 1 =5 ; [a, b]La Integral definida y sus propiedades:Hasta ahora se ha dividido el intervalo [a,b] en subintervalos de la misma longitud, pero enrealidad ésto no es necesario. Riemann generalizó todo el estudio que se ha hecho hastaahora para subintervalos de distinto tamaño. Además, me he referido hasta ahora afunciones continuas y no negativas (puesto que estábahablando de área bajo una curva). En este aspecto también Riemann generalizó susconclusiones y la única condición que puso es que la función f(x) estuviese definida en
  • 2. [a,b]. Como se vera después, el hecho de que una función sea continua en un intervalo, escondición suficiente para que sea integrable en dicho intervalo.Antes de Riemann ya se utilizaban las integrales definidas, pero este gran matemáticogeneralizó su definición y lo amplió a un mayor nº de funciones.Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entrela gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.La integral definida se representa por .∫ es el signo de integración. a. límite inferior de la integración.B límite superior de la integración.F(x) es el integrando o función a integrar.dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como unasuma de dos integrales extendidas a los intervalos[a, c] y [c, b].4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por laintegral de la función.El teorema de valor medio, también llamado teorema de los incrementos finitos o teoremade Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunosmatemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. Este teorema loformuló Lagrange y por eso tambien el conocido como el teorema de Lagrange, es unageneralización del teorema de Rolle.
  • 3. Sea f(x) una función que satisface lo siguiente:1. f(x) es una función continua en el intevalo [a,b]2. f(x) es una funcion diferenciable en [a,b]entonces hay un número "c" en el intervalo [a,b] tal queTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOSea una función integrable y definamos por para todo x en [a,b]. Entonces: i) F es continua en [a,b]. ii) ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto siendo . En particular, si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a,b] y para todo x en [a,b]. Demostración. i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo xen [a,b]. Entonces, si x < y son puntos de [a,b] tenemos que:Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que . Estas dos desigualdades nosdicen que para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad se sigueinmediatamente la continuidad de F en [a, b]. iii) Pongamos iv) Dado, e>0, la continuidad de f en c nos dice que hay un δ>0 tal que para todo t ε [a,b] tal que se tiene que . Tomemos ahora un punto cualquiera x ε [a,b] tal que . Entonces es claro que para todo t comprendido entre x y c se tendrá que y, por tanto, por lo que. Deducimos que para todo x ε [a,b] tal que , x ¹ c, se verifica que: Se ha probado así que, esto es, F es derivable en c y Sustitución y cambio de variable:El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. Pasos para integrar por cambio de variable
  • 4. 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos3º Se vuelve a la variable inicial