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O que é logaritmo matematica
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O que é logaritmo matematica

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Definiçao de logaritimo

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  1. O que é Logaritmo: Logaritmo é um estudo da matemática que dependemaciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, poispara encontrar o valor numérico de um logaritmo, é preciso desenvolver umapotência transformá-la em um logaritmo.a x = b ↔ x = log a bOnde: a é a baseb é logaritmandox é o valor do logaritmo.Propriedades gerais de logaritmo:Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrarvárias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), paranúmeros reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenhamsentido as expressões matemáticas:Propriedades básicas dos logaritmos naturais 1. Ln(1)=0 2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y) 3. Ln(xk)=k.Ln(x) 4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)Uma simples explicação:Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto evou fazer uma pergunta:- Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?Você deve estar pensando:-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. Vamoscomeçar de baixo.O logaritmo serve para isso!Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:
  2. Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2)para obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2:Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:No exemplo anterior, , temos então que a base é 5, o logaritmandoé 25 e o logaritmo de 25 na base 5 é 2.Note que, anteriormente, dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figuraacima está escrito que "x" é o "logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO ÉUM EXPOENTE.Agora, com esta breve introdução, podemos escrever uma primeira definção delogaritmo (hei, ainda não é a oficial, mas é o que temos até agora): Logaritmo de um número N, na base b, é o número x ao qual devemos elevar a base b para obtermos N.Esta é a apenas uma definição, você deve ter entendido bem o que está escritoacima dela para ir ao próximo capítulo de estudo.Veremos quais as condições que a base, o logaritmando e o logaritmo devemsatisfazer para termos um logaritmo.
  3. Mudança de Base:Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de basesdiferentes para uma mesma base, então encolhe-se um deles e transforma nooutro. Assim, temos: logb x = (logm x) / (logm b).Propriedades operatórias dos logaritmos são: 1 – O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos: logb (x.y) = logb x + logb y 2 – O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos: logb (x / y) = logb x – logb y 3 – O logaritmo da potencia é igual ao expoente vezes o logaritmo: logb xm = m . logb xLogaritmo decimal:No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que nesteambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nossosistema de numeração, mas devemos observar que em contextos maisavançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log apartir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal eescrevemos: y = Log(x)para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temosalgumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10 1. Log(1)=0 2. Log(0) não tem sentido 3. Log(10)=Log(101)=1 4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1 5. Log(100)=Log(10²)=2 6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2 7. Log(1000)=Log(10³)=3 8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3 9. Log(10n)=n 10. Log(10-n)=-n
  4. A partir da propriedade Log 10n=ntemos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensarque para todo x real positivo vale a relação: Log(10x) = x1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos aexpressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemossomente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x ,devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagema John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos),cuja base é o número irracionale = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema delogaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos danatureza.Exemplos:a) log100 = 2 porque 102 = 100.b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...f) ln 7 = loge72 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais ondea parte inteira é denominada característica e a parte decimal édenominada mantissa .Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 amantissa.As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) ,podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmosdecimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do séculoXVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir peladefinição de logaritmo que101,6532 = 45.3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os númerosreais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9), log20, etc.

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