EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS

Universidad Nacional de Educación a Distancia.
Facultad de Ciencias.
Departamento de Física.
Memoria del Trabajo Fin de Grado en Física.
EL PROBLEMA DE KEPLER.
APLICACIONES DEL VECTOR DE
LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS
PERTURBADAS.
Gustavo Adolfo Pérez Sánchez.
Tutor: Dr. Álvaro Perea Covarrubias.
Curso 2014/2015
Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial 4.0 Internacional.
Para ver una copia de esta licencia, visita http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/.

Gustavo Adolfo Pérez Sánchez.
EL PROBLEMA DE KEPLER.
APLICACIONES DEL VECTOR DE
LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS
PERTURBADAS.

.
«No nos preguntamos qué propósito útil hay en el canto de los
pájaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para can-
tar. Del mismo modo no debemos preguntarnos por qué la men-
te humana se preocupa por penetrar los secretos de los cie-
los...La diversidad de los fenómenos de la naturaleza es tan
grande y los tesoros que encierran los cielos tan ricos, preci-
samente para que la mente del hombre nunca se encuentre ca-
rente de su alimento básico.»
Johannes Kepler.
i

Agradecimientos
Gracias. Mil gracias a todos aquellos que de alguna manera contribuyeron en
cierto momento y lugar , quizás sin saberlo muchos, a la puesta a punto de
esta memoria, son artífices también de ella.
Gracias en particular:
A Ana María, mi compañera eterna, por su apoyo constante y desinteresado
siempre, y cómo no, por su paciencia infinita más de una vez.
A mis padres claro, siempre a ellos por todo, por educarme en el estudio de la
ciencia, por más y más , dar motivos concretos desvirtuaría al resto de ellos.
Al Dr. Álvaro Perea Covarrubias, mi tutor en este trabajo, por elegir un tema tan
fascinente, por toda su colaboración, por dejarme el camino libre de obstáculos
y facilitarme el trato y la comunicación haciéndola eficiente y limpia a parte de
eficaz. Gracias Álvaro.
A la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) y a la Universidad
de Córdoba (UCO), porque ésto es sin duda producto de su enseñanza.
A mis grandes amigos Antonio, Pablo, Martín, colegas en esta ardua, tortuosa,
y sin embargo maravillosa tarea de arrebatarle las ideas a Dios.
A todos los no nombrados por no extenderme, gracias y mil perdones, sé que
sabrán excusarme.
ii

Resumen
Luego de una vista general del conocido Problema de Kepler
de la mecánica celeste, su tratamiento bajo las ópticas newtoniana,
lagrangiana, y mediante el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz
(LRL) que se conserva. Mostraremos el método de la dinámica del
vector LRL que permite analizar ciertas características de las solu-
ciones del problema bajo pequeñas perturbaciones, perturbaciones
que quiebran la simetría que conduce a la conservación de tal vector
produciendo por tanto una evolución temporal del mismo. Discuti-
remos algunos casos de interés tanto para perturbaciones de tipo
central como no central, presentando la forma de proceder y los los
resultados a los que se llega.
——————–
Abstract
After an overview of known Kepler Problem in celestial mecha-
nics, its treatment under newtonian view , lagrangian, and through
the Laplace - Runge -Lenz (LRL) vector that is preserved. We will
show the method of the dynamics of LRL vector to analyze some
characteristics of the solutions of the problem under tiny perturba-
tions , perturbations that break the symmetry leading to the conser-
vation of the vector thereby producing a temporal evolution of this.
We discuss some cases of interest to both kind, central and not
central perturbations, presenting how to proceed and the obtained
results.
iii

Índice general
1 Introducción. 6
2 El Problema De Kepler. 7
2.1 Breve Reseña Histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Tratamiento Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Tratamiento Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). . . . . . . . . . . . . . 16
3 Aplicaciones del vector LRL en órbitas perturbadas. 19
3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL . . . . . . . . . 19
3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección re-
lativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria. . . . . . 27
3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre atmosféri-
co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Notas finales. 34
A Efecto de una perturbación δf ∼ −1/r3
.
Resolución analítica. 36
Referencias 40
iv

Índice de figuras
2.1 Trayectorias del Problema de Kepler según el valor de la excentricidad. Fuente:
[8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Energía potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energías
potenciales centrífuga y gravitacional (curvas en gris). Las energías E0 a E3
corresponden a distintas trayectorias cónicas, circular, elíptica, parabólica e hi-
perbólica respectivamente. Los valores rm´ıny rm´ax (pericentro y apocentro) co-
rresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial en el caso de órbita
elíptica para la energía mecánica E1. El valor r0 corresponde al radio de órbi-
ta circular para la energía mecánica en el mínimo de la energía potencial total
efectiva E0 = Uefm´ın
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Trayectoria abierta pero limitada, después de un número finito de oscilaciones
entre rm´ıny rm´ax ésta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8] . . . . . . . . 13
2.4 Representación de la degeneración orbital, distintas órbitas con excentricidades
diferentes poseen la misma energía. Fuente: [1]. . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Representación del vector constante LRL A en cuatro puntos de una órbita elíp-
tica. Obsérvese que está dirigido hacia el pericentro. . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Representación del modelo matemático utilizado para determinar la perturbación
δf que ejerce un planeta de masa m′ en órbita circular en torno al Sol sobre la
órbita de un planeta de masa m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Índice de cuadros
2.1 Clasificación de las órbitas según valores de la excentricidad y la energía. . . . 15
3.1 Valores de la precesión del perihelio Ωext de Mercurio debida a la influencia
gravitacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribución
total de éstos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Valores de la precesión del perihelio Ω y Ωan de los planetas del sistema solar
debida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por la
corrección relativista de la fuerza gravitacional respectivamente. . . . . . . . 31
v

1 Introducción.
El contenido de estas páginas corresponde, a la memoria del Trabajo de Fín de
Grado conducente a la obtención del título de Graduado en Física por la Uni-
versidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Se enmarca bajo la linea
de trabajo asignada «Simetría y Conservación. Simetría y Evolución», el tema
en concreto fue elegido por el profesor tutor del trabajo, y en la humilde opinión
del alumno, de quien escribe éstas líneas, no podía haber estado más acerta-
do. «El Problema de Kepler. Aplicaciones del vector de Laplace-Runge-Lenz
en órbitas perturbadas», tal como aparece en la portada es el tema mismo a
tratar, una revisión bibliográfica que el lector, que si no está versado entende-
mos que al menos dispone de conocimientos de física, ya se estará haciendo
una idea de qué se trata y de lo que seguramente enseguida constatará.
Está estructurada la memoria en secciones de las cuales dos de ellas cons-
tituyen la espina dorsal de la misma. En la primera sección, piedra angular
para la siguiente, presentaremos a modo de repaso general y no por ello ca-
rente de cierto nivel, el conocido Problema de Kepler de la mecánica celeste,
construyendo el marco físico-matemático para su resolución y tratándolo des-
de la perspectiva tanto de la mecánica newtoniana como desde la lagrangiana.
Posteriormente definiremos el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz o vector
LRL que surge de forma natural del mismo problema y que se conserva como
consecuencia de la existencia de ciertas simetrías, es por tanto una integral
de movimiento que nos permitirá dar también con la solución, aunque en este
caso y en opinión de un servidor, de un modo más elegante.
En la segunda sección entraremos en materia por decirlo de alguna manera,
presentaremos el método de la dinámica del vector LRL, una técnica de bajo
coste en cuanto a esfuerzo se refiere y que permite analizar características de
las soluciones del Problema de Kepler cuando éste se ve sometido a «peque-
ñas» perturbaciones, que por lo general rompen la simetría que da origen a
la conservación del vector LRL. El lector pudiere pensar llegado el momento,
que la frase «pequeñas» es extenuante, que le resulta redundante y repetitiva
a lo largo del texto, pronto comprenderá con toda seguridad que el mantener
rigor matemático exige ciertos «vicios», sobretodo, cuando de lo que se trata
es de dejar claro algo importante, como en este caso, en el que las perturba-
ciones deben ser pequeñas (en su momento se dejará claro que se entiende
por pequeñas) para dar validez al método de la dinámica del vector LRL.
Por último, solo decir que aunque el propósito principal de este trabajo de fin
de grado resulta evidente, pretender que no lo es sería sinuoso, también es
de justicia hacer constar que el tema expuesto aquí, aunque de carácter intro-
ductorio, ha supuesto tal gozo intelectual al autor, que quiere dejar la puerta
abierta a una futura ampliación del texto.
UNED. 6 Trabajo de Fín de Grado en Física.

2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
2 El Problema De Kepler.
2.1 Breve Reseña Histórica.
Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratis-
bona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), publicó las tres leyes que descri-
ben el movimiento de los planetas en órbitas cerradas alrededor del Sol, las
dos primeras en su obra Astronomia Nova, cuando aún no se conocía la ley
de gravitación de Newton, Isaac Newton nacería el 25 de diciembre del año
1642, doce años después de la muerte de Kepler. Así pués el descubrimien-
to de Kepler fue experimental, basándose en los datos sobre el movimiento
planetario que se conocían hasta el momento, en particular las observaciones
y datos acumulados por el astrónomo Tycho Brahe (1546-1601), a los cuales
pudo acceder después de su muerte a partir de 1602. Kepler fue ayudante de
Brahe, quien acumuló datos sobretodo del movimiento de Marte, a partir de
éstos Kepler concluyó que ninguno de los modelos hasta entonces encajaba
con los datos analizados si se recurría a órbitas circulares, afortunadamente,
la órbita de Marte es lo suficientemente excéntrica, de otro modo quizás Kepler
no se hubiera percatado de este hecho. Kepler sabía que no podía deberse a
errores de Brahe, ya que conocía de la precisión de éste, concluyó entonces
que las órbitas no eran circulares sino elípticas con el Sol situado en uno de
los focos, rompió así con el dogma de movimientos circulares de la época en
1609 con su primera ley. La segunda ley afirma que la linea que une el Sol con
el planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales. Finalmente en 1619, en su
obra Harmonices mundi (La armonía del mundo) Kepler publica la tercera ley
que establece la proporcionalidad entre el cuadrado del período orbital de los
planetas en torno al Sol y el cubo del semieje mayor de la elipse que describen.
Con aparición la ley de atracción de las masas como fuerza central de potencial
inverso de la distancia, las tres leyes pudieron ser deducidas matemáticamen-
te. Esta deducción teórica solamente pudo hacerse, evidentemente, a partir de
la obra de Newton como veremos a continuación.
2.2 Tratamiento Newtoniano.
Imaginemos dos masas puntuales o esféricas, m1y m2, aisladas y sometidas
mutuamente a la interacción gravitatoria. Partamos pues de la Ley de Gravi-
tación Universal y de la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial que
gobierna a este sistema se escribe:
·
p = µ
··
r = −
Gm1m2
r3
r, (2.1)
donde µ = m1m2
m1+m2
es la masa reducida del sistema, G es la constante de gravi-
tación universal, r es la distancia que separa a ambas masas y, r = r2 − r1 es
un vector de las coordenadas espaciales rectangulares (x, y, z) dirigido hacia
masa m2 sobre el segmento que une ambas masas, con r2 y r1 radiovectores

2.2 Tratamiento Newtoniano.
de posición de dichas masas relativos al centro de masas del sistema1
. De
esta manera el problema de los dos cuerpos, queda formalmente reducido al
de un solo cuerpo de masa µ sometido a un campo de fuerzas central de tipo
gravitacional .
De la centralidad de la interacción, lo que la hace invariante frente a rotaciones (
la isotropía espacial), se desprende de inmediato la conservación del momento
angular, en efecto, puesto que
.
r y p son paralelos y teniendo en cuenta (2.1):
·
L =
d
dt
[r × p] =
.
r × p+r ×
.
p = 0 + 0 = 0. (2.2)
De manera que L es un vector constante en el tiempo, el movimiento de las
dos masas por tanto está restringido a un plano definido por los vectores r y p
perpendiculares a L. En este sentido se puede escoger un sistema coordenado
polar (r, θ) sobre el plano del movimiento, e introduciendo α ≡ Gm1m2 , la
ecuación (2.1) se reescribe como :
{
µ
(..
r − r ˙θ2
)
= −
α
r2
µ
(
2 ˙r ˙θ + r¨θ
)
= 0
, (2.3)
en donde cada ecuación se corresponde con la componente según los unitarios
r y ˆθ del sistema coordenado polar respectivamente. La segunda ecuación del
sistema anterior es la derivada respecto del tiempo de la magnitud del momento
angular como puede comprobarse, expresa por tanto su conservación cuya
magnitud es L = µr2 ˙θ = cte. Sustituyendo entonces
.
θ en función de L en la
primera ecuación, resulta:
µ
[
..
r −
(
L
µ
)2
1
r3
]
= −
α
r2
. (2.4)
Para encontrar la ecuación de las trayectorias vamos obtener una relación en-
tre r y θ eliminando el tiempo de la ecuación anterior. Escribiendo:
˙r =
dr
dθ
˙θ =
L
µr2
dr
dθ
= −
L
µ
d
dθ
(
1
r
)
,
..
r =
d
dθ
[
−
L
µ
d
dθ
(
1
r
)]
˙θ = −
(
L
µ
)2
1
r2
d2
dθ2
(
1
r
)
,
(2.5)
y sustituyendo en (2.4) resulta:
1
r2
[
d2
dθ2
(
1
r
)
+
(
1
r
)]
= −
µ
L2
fg, (2.6)
1En todo momento en este texto se pasará por alto el movimiento del centro de masas del
sistema. Nótese que éste se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme puesto que
·
pCM = 0
(se encuentra libre de fuerzas) , por lo que no resulta relevante para el estudio del problema.

donde hemos hecho fg = − α
r2 .
La ecuación anterior se conoce como Fórmula de Binet para el campo gravi-
tacional, multiplicándola por r2
resulta una ecuación diferencial lineal, no ho-
mogénea y de coeficientes constantes para la variable dependiente 1
r , cuya
solución inmediata pude comprobarse que es:
r =
κ
1 + ε cos(θ − θ0)
, (2.7)
en donde hemos llamado,
κ ≡
L2
µα
,
ε ≡ C
L2
µα
,
(2.8)
con θ0 un ángulo inicial que puede escogerse convenientemente igual a cero
sin perder generalidad, y donde C, es una constante de integración que se
obtiene de las condiciones iniciales del problema.
-Primera Ley de Kepler:
La expresión (2.7) representa la ecuación de una cónica en coordenadas
polares centrada en uno de sus focos, esto es, representa una parábola, una
hipérbola o una elipse según sea el valor de la excentricidad ε que surge de
las condiciones iniciales del problema, el valor de κ se conoce como
«semilatus rectum» de la cónica, geométricamente es la altura perpendicular
sobre el eje de simetría mayor alzada desde cualquiera de los focos hasta la
cónica. Es pues este resultado, para el caso de una trayectoria elíptica, una
demostración de la Primera Ley de Kepler.
En la figura 2.1 se muestran las distintas trayectorias del problema según el va-
lor de la excentricidad, en el caso elíptico, obsérvese, los dos cuerpos giran en
torno a un foco de la elipse (al centro en el caso circular), centro de masas del
sistema, así, supuesto que m1 ≫ m2 póngase el caso del sistema Sol-Tierra, el
centro de masas estará desplazado hacia el Sol casi por entero, describiendo
la tierra pues, una trayectoria elíptica con el Sol situado en uno de sus focos.

2.3 Tratamiento Lagrangiano.
Figura 2.1: Trayectorias del Problema de Kepler según el valor de la excentricidad. Fuente: [8].
-Segunda Ley de Kepler:
Escribamos la expresión del área barrida por el vector r por unidad de tiempo:
dA =
1
2
(r × dr) ⇒
dA
dt
=
1
2µ
(r × p) =
L
2µ
= cte. (2.9)
Lo que se muestra es que ésta, conocida como velocidad areolar, es constante
como consecuencia de la conservación del momento angular L. Se obtiene así,
de un modo simple y natural, la Segunda Ley de Kepler. La Tierra entonces,
y todos los demás planetas, barren en su trayectoria en torno al Sol, áreas
iguales en tiempos iguales.
Dejaremos la Tercera Ley de Kepler para el apartado siguiente donde tratare-
mos el problema desde el punto de vista de la Mecánica Lagrangiana y estu-
diaremos energéticamente el sistema, lo dejaremos no por necesidad sino más
bien por pura elección ya que ambas perspectivas, Lagrangiana y Newtoniana,
conducen como no podía ser de otro modo a los mismos resultados.
El Lagrangiano de nuestro sistema de un «cuerpo equivalente» bajo un campo
central de tipo gravitacional, en coordenadas polares sobre el plano del movi-

miento, resulta de inmediato ser:
L =T − U =
1
2
µ
(
.
r
2
+ r2
·
θ2
)
+
α
r
. (2.10)
Visto que la coordenadas θ es cíclica en el lagrangiano, el momento conjugado
correspondiente pθ = dL
d
·
θ
= µr2 ˙θ o momento angular, se conserva como ya
sabíamos. Por lo que introduciendo (2.10) en la ecuación de Euler-Lagrange
para la coordenada r , resulta después de expresar
.
θ en términos de L:
d
dt
(
∂L
∂ ˙r
)
−
∂L
∂r
= µ
[
..
r −
(
L
µ
)2
1
r3
]
+
α
r2
= 0, (2.11)
que es la misma ecuación (2.4) obtenida en el apartado anterior. Al igual que
allí hicimos, repitiendo los mismos pasos para llegar a la Fórmula de Binet (
2.5), se obtiene sin más la ecuación de las trayectorias del problema. Cónicas
como ya vimos entonces.
Veamos ahora el Hamiltoniano del sistema, sabemos que se corresponde con
la energía mecánica del sistema2
:
E = H =
1
2
µ
(.
r
2
+ r2
.
θ2
)
−
α
r
=
1
2
µ
.
r
2
+
1
2
L2
µr2
−
α
r
, (2.12)
es fácil ver que en efecto es otra constante de movimiento pues de las Ecua-
ciones Canónicas de Hamilton se tiene sin más que:
dH
dt
= −
∂L
∂t
= 0, (2.13)
debido pues a que el Lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo.
Se conserva entonces la energía en este sistema como consecuencia de la
hogeneidad del tiempo.
Fijémonos ahora en los dos últimos términos de la energía, éstos pueden re-
cogerse en una única energía potencial, es nombrada energía potencial total
efectiva Uef , de modo que así, el problema quede reducido a uno unidimen-
sional de la variable r. Puede entonces expresarse la energía como:
E =
1
2
µ
.
r
2
+ Uef ⇒ Uef =
1
2
L2
µr2
−
α
r
. (2.14)
Donde el último sumando de la energía potencial total efectiva corresponde al
potencial gravitacional, y el primero, es tradicionalmente conocido como ener-
gía potencial centrífuga, dado que, teniendo éste dimensiones de energía, si
se asocia a una energía potencial, su gradiente resulta:
2Esto es cierto siempre que la energía potencial sea independiente de la velocidad y, las trans-
formaciones de coordenadas a las generalizadas no contengan explícitamente al tiempo. Refiérase
por ejemplo a [8],[4] para mayor información.

− ∇r
(
1
2
L2
µr2
)
= −
d
dr
(
1
2
µr2
.
θ2
)
= µr
.
θ
2
= Fc, (2.15)
es decir, se obtiene la expresión que históricamente es conocida como fuerza
centrífuga Fc.3
Figura 2.2: Energía potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energías poten-
ciales centrífuga y gravitacional (curvas en gris). Las energías E0 a E3 corresponden a distintas
trayectorias cónicas, circular, elíptica, parabólica e hiperbólica respectivamente. Los valores rm´ıny
rm´ax (pericentro y apocentro) corresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial en
el caso de órbita elíptica para la energía mecánica E1. El valor r0 corresponde al radio de órbita
circular para la energía mecánica en el mínimo de la energía potencial total efectiva E0 = Uefm´ın
.
Pasemos ya a obtener por medio de la energía o Hamiltoniano del sistema la
ecuación de las trayectorias. Despejando
.
r de (2.12) tenemos:
.
r = +
√
2
µ
(E − U) −
L2
µ2r2
, (2.16)
donde por conveniencia se ha puesto la energía potencial gravitacional como
un potencial central U = U (r) de un modo más general. Escribiendo además:
dθ =
dθ
dt
dt
dr
dr =
.
θ
.
r
dr, (2.17)
3Debe recordar el lector que la fuerza centrífuga no es una fuerza de origen real, es una fuer-
za de las llamadas ficticias, por lo que debe entenderse ésta y su energía potencial asociada,
meramente como un artefacto matemático.

e introduciendo (2.16) en (2.17), y poniendo
.
θ en función de L, después de
operar se obtiene:
θ − θ0 =
ˆ L
r2
√
2µ
(
E − U − L2
2µr2
)dr. (2.18)
La integral anterior nos da la variación angular en función de r . Es interesante
notar de (2.16) que la velocidad radial
.
r se anula en general para dos valores
de r, lo que implica que r oscila entre un rmÍn y un rmáx, valores conocidos
como pericentro y apocentro respectivamente, vease la figura 2.2. Asi pues,
la trayectoria está confinada entre estos dos valores, sin embargo, sólo se-
rá cerrada si la variación angular en la integral anterior, evaluada entre dos
máximos o dos mínimos consecutivos es una fracción racional p/q de 2π , en
efecto, puesto que así después de un número entero q de períodos, la posición
de r = r (θ) volverá a ser la inicial. Para ciertas combinaciones de E, U, y L,
(2.16) presentará una raíz doble, en tal caso, el valor de r se mantendrá cons-
tante en el tiempo y el sistema presentará una situación de equilibrio estable
con energía mínima E0 = Uefm´ın
, es el caso éste el de órbita circular de radio
r0.
La figura 2.3 siguiente muestra el caso de una trayectoria abierta, observe que
en tal caso, después de un numero finito de oscilaciones entre los valores rm´ıny
rmáx, la órbita no se cierra. Un resultado importante, el Teorema de Bertrand,
muestra que para potenciales centrales U ∝ rn+1
, sólo se producirán órbitas
cerradas para los casos n = 1 y n = −2 4
. El primer caso es el potencial elásti-
co, el segundo corresponde justamente al caso del potencial gravitacional. Una
demostración del teorema puede encontrarla en [4], Apéndice A.
Figura 2.3: Trayectoria abierta pero limitada, después de un número finito de oscilaciones entre
rm´ıny rmáx ésta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8]
Volviendo a la integral (2.18), escrita para el potencial gravitacional,
4Ciertos valores fraccionarios de n conducen también a órbitas cerradas, sin embrago, estos
casos no son de gran interés físico.

θ − θ0 =
ˆ L
r2
√
2µ
(
E + α
r − L2
2µr2
)dr, (2.19)
resulta de fácil solución mediante el cambio u ≡ 1
r , lo que conduce a la expre-
sión:
θ − θ0 = arccos


L2
µαr − 1
√
1 + 2EL2
µα2

 , (2.20)
y que después de definir:
κ ≡
L2
µα
,
ε ≡
√
1 +
2EL2
µα2
,
(2.21)
nos permite escribirla en la forma:
κ
r
= 1 + ε cos(θ − θ0), (2.22)
que se corresponde pues con la ecuación de las trayectorias cónicas ya obte-
nidas anteriormente mediante la segunda ley de Newton ( en la página 7). En
este caso además, hemos podido escribir la excentricidad ε de tales cónicas
en términos de la energía E del sistema y de la magnitud del momento angular
L del mismo.
Teniendo ahora en cuenta que para una órbita elíptica, de (2.22) haciendo θ −
θ0 = 0 e igual a π respectivamente, resulta el semieje mayor a,
rm´ın + rm´ax =
κ
1 + ε
+
κ
1 − ε
⇒
⇒ a =
κ
1 − ε2
(2.23)
y que junto con las dos expresiones de (2.21) se tiene que:
E =
α
2κ
(
ε2
− 1
)
= −
α
2a
, (2.24)
resulta finalmente que la energía puede determinarse mediante el parámetro
orbital a, esto es, mediante el semieje mayor de la elipse.
Lo anterior expresa la llamada degeneración orbital, es decir, dado que la ener-
gía depende sólo del semieje mayor a, distintas órbitas, con distintas excen-
tricidades, pueden corresponder al mismo valor de la energía. Obsérvese la
figura a continuación.

Figura 2.4: Representación de la degeneración orbital, distintas órbitas con excentricidades
diferentes poseen la misma energía. Fuente: [1].
El cuadro siguiente muestra la clasificación de las órbitas, la cónica resultante
según el valor de la excentricidad y de la energía.
Excentricidad (ε): Energía (E): Trayectoria:
ε > 1 E > 0 Hipérbola
ε = 1 E = 0 Parábola
0 < ε < 1 Uefm´ın
< E < 0 Elipse
ε = 0 E = Uefm´ın
Círculo
Cuadro 2.1: Clasificación de las órbitas según valores de la excentricidad y la energía.
-Tercera Ley de Kepler:
De la Segunda Ley de Kepler (2.9), podemos escribir:
ˆ T
0
dt =
2µ
L
ˆ A
0
dA ⇒ T =
2µ
L
A, (2.25)
siendo T el período orbital. Teniendo en cuenta la expresión para el área de
una elipse, resulta:
T =
2µ
L
πab, (2.26)
con a y b los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente.
Finalmente, elevando al cuadrado la relación anterior, poniendo L2
= µαa
(
1 − ε2
)
de la primera de (2.21) y de (2.23), y sabiendo que para una elipse es b2
=
a2
(
1 − ε2
)
, queda:
T2
=
4π2
µ
α
a3
. (2.27)

2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).
La relación anterior expresa la Tercera Ley de Kepler, el cuadrado del período
orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la trayectoria elíptica; sin
embargo, téngase en cuenta que aquí aparece la masa reducida, por lo que la
expresión se refiere al problema equivalente de un cuerpo. Si en cambio hace-
mos m1 ≫ m2 , como hicimos ya en la sección anterior, recordemos el sistema
Sol-Tierra, entonces será µ ≃ m2 y puesto que es α ≡ Gm1m2, tenemos:
T2
=
4π2
Gm1
a3
, (2.28)
que sí es la relación enunciada por Kepler en 1619.
En el Problema de Kepler, aparece, además de las cantidades conservadas ya
vistas antes, a saber, la energía y el momento angular E y L respectivamente,
una nueva cantidad conservada que surge en conexión con la clausura o cie-
rre de las órbitas keplerianas y con la degeneración orbital, consecuencia en
buena parte de las particularidades y simetrías del potencial gravitacional, más
concrétamente las llamadas simetrías ocultas, transformaciones de las coor-
denadas y los momentos que conducen a un grupo de rotaciones SO4 de un
espacio euclidiano cuadridimensional5
. Esta constante es un vector. Veámoslo,
en efecto recordando que:
.
p = −α
r
r3
y L = r × µ
·
r, (2.29)
hagamos el producto vectorial de
.
p con L,
.
p × L = −
µα
r3
[
r ×
(
r ×
.
r
)]
, (2.30)
desarrollando el triple producto vectorial entre corchetes, puede ponerse como:
.
p × L = −
µα
r3
[
r
(
r ·
.
r
)
− r2 .
r
]
(2.31)
Ahora bien, dado que r ·
.
r = r
.
r la expresión anterior, después de operar, queda:
.
p × L = µα
( .
r
r
−
.
rr
r2
)
= µα
d
dt
( r
r
)
, (2.32)
y finalmente, teniendo en cuenta que
.
L = 0 (el momento angular se conserva),
resulta que:
5Esta insólita aparición de un espacio cuadridimensional es algo llamativa y debe ser asumida
más como un artefacto matemático que como una propiedad físicamente tangible.

d
dt
(
p × L − µαr
)
= 0 ⇒ A ≡ p × L − µαr = cte (2.33)
Tal vector A es como hemos dicho una nueva constante de movimiento. Los
físicos han llamado a este vector, vector de Runge-Lenz, o más correctamente,
vector de Laplace-Runge-Lenz o simplemente por siglas vector LRL.
Es inmediato comprobar que A · L = 0, lo que demuestra que el vector LRL se
encuentra situado sobre el plano orbital. Para conocer su dirección, hagamos
ahora el producto escalar de A con r:
A · r = Ar cos θ = (p × L) · r − µαr · r = (r × p) · L − µαr = L2
− µαr, (2.34)
esto es,
r =
L2
µα
1 + A
µα cos θ
. (2.35)
Comparando la ecuación anterior con la ecuación (2.7), y teniendo en cuenta
que allí puede hacerse θ0 = 0 convenientemente sin perder generalidad, tene-
mos pues la ecuación de las trayectorias del Problema de Kepler sin más. Es
así éste otro modo de obtener los resultados anteriores, vemos que el vector
fijo LRL forma el mismo ángulo θ con r que éste último con el eje polar, está
entonces en dirección apsidal, y además, comparando nuevamente (2.35) con
(2.7), se ve claramente que:
A = µαε ; A = µαεx, (2.36)
donde x es el vector unitario en la dirección del eje polar (dirección apsidal)
hacia el pericentro. El módulo de A por tanto es proporcional a la excentricidad
de la órbita.
Figura 2.5: Representación del vector constan-
te LRL A en cuatro puntos de una órbita elíptica.
Obsérvese que está dirigido hacia el pericentro.
Constituyen así, las componentes de
A y L , más la energía E, siete cons-
tantes de movimiento inmersas en el
Problema de Kepler, debidas claro,
como se ha advertido, a simetrías
presentes en el problema. Sin em-
bargo, no son todas ellas indepen-
dientes, para verlo, basta comparar
(2.36) con la segunda expresión de
(2.21) y después reordenar términos
para llegar sin dificultad a la relación:
A2
µ2α2
= 1 +
2EL2
µα2
, (2.37)

que junto con A · L = 0 forma un sistema de dos ecuaciones con siete incógni-
tas, lo que nos dice que el vector LRL no es independiente, depende de otras
dos constantes, E y L, siendo por tanto al final cinco las constantes de movi-
miento verdaderamente independientes.
La existencia de esta constante de movimiento adicional fue demostrada por
Laplace en su curso de Mécanique Céleste publicado en 1799. Posteriormen-
te y de forma totalmente independiente, por Hamilton en 1845. Sin embargo,
a pesar de estos descubrimientos y redescubrimientos, la existencia de este
vector permaneció bastante ignorada hasta que Carl Runge lo popularizó en
un curso de Análisis Vectorial publicado en 1919. Finalmente Wilhelm Lenz lo
utilizó en 1924 en el estudio cuántico del átomo de hidrógeno.

3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
3 Aplicaciones del vector LRL en órbitas pertur-
badas.
3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL
Nuestro propósito ahora se centrará en estudiar los efectos que sobre las tra-
yectorias orbitales del Problema de Kepler produce una perturbación añadida.
Por perturbación, o más exactamente por pequeña perturbación, entendere-
mos una fuerza δf que sumada a la fuerza gravitacional, modifique ligeramente
la trayectoria original del problema no perturbado, esto último es debido, co-
mo es de suponer, a que de un modo general las soluciones analíticas a las
ecuaciones del problema perturbado sólo son posibles en algunos casos, y
conducen en general a trayectorias que en poco o nada tienen que ver con las
cónicas de Kepler estudiadas, así pues, la perturbación ha de ser lo suficiente-
mente pequeña en comparación con la fuerza gravitacional (en el mínimo de la
energía potencial total efectiva), una pequeña perturbación pues, de modo que
mediante los métodos perturbativos podamos asegurar que las soluciones van
a ser cercanas a las del problema sin perturbar, para ésto basta con imponer a
la fuerza perturbatriz la condición δf ≪ α/r2
0, donde r0 es como sabemos el ra-
dio de órbita circular estable correspondiente al mínimo de la energía potencial
total efectiva del problema sin perturbar.
Acabamos de comentar que en general, las soluciones analíticas al Proble-
ma de Kepler perturbado no siempre son posibles, teniéndose que recurrir por
tanto a los métodos perturbativos, sin embargo, y por poner un ejemplo, en el
caso de una perturbación central de la forma δf = −λ/r3
, con λ una constante
positiva (véase el Apéndice A), se obtiene una ecuación diferencial lineal no ho-
mogénea de coeficientes constantes al introducirla en la Fórmula de Binet (2.6),
las soluciones analíticas de dicha ecuación resultan ser trayectorias espirales,
pero cuando el valor de λ es suficientemente pequeño resultan cónicas cuyo
pericentro se desplaza con el tiempo. Dicho desplazamiento del pericentro es
conocido usualmente como precesión del perihelio (pericentro con referencia
al Sol) o avance del perihelio, y en el caso de una trayectoria elíptica por ejem-
plo, es como si el perihelio girase poco a poco como se aprecia en la figura
2.3, tal efecto sobre las órbitas es la modificación que introduce la pequeña
perturbación en la solución del problema no perturbado.
Mediante el método de aproximaciones sucesivas de Picard por ejemplo, pue-
de abordarse la resolución de la Fórmula de Binet bajo una pequeña perturba-
ción cuando no es posible su resolución analítica, en ese caso se procede a
suponer como solución, en primer orden de aproximación, la del problema no
perturbado, que posteriormente se va corrigiendo en órdenes de aproximación
superior mediante iteraciones sucesivas, así hasta obtener la exactitud desea-
da. Por tanto, se van añadiendo a la solución sin perturbar, correcciones en las
que aparecen términos seculares responsables de efectos sobre las cónicas
como el comentado en el párrafo anterior, por supuesto, sobra decir que las
modificaciones en las trayectorias no siempre resultarán en una pecesión del
perihelio, esto dependerá en general de la forma matemática de la perturba-
ción, pudiendo no manifestarse precesión alguna y sí presentarse o no otras
alteraciones.

En este epígrafe y en los siguientes mostraremos un método que resulta bas-
tante económico a la hora de evaluar los efectos que sobre las órbitas aparecen
al introducir una pequeña perturbación al Problema de Kepler. Dado que co-
mo hemos visto, el vector LRL en el problema no perturbado está en dirección
apsidal, y su módulo es proporcional a la excentricidad de las orbitas, analizar
entonces las variaciones en la trayectoria, como la precesión del perihelio o
alteraciones en la excentricidad, se traduce esencialmente en obtener la tasa
de variación temporal del vector LRL bajo la perturbación, pues si gira el pe-
rihelio con el tiempo , gira con el tiempo el vector LRL, y si varía en el tiempo
la excentricidad, lo hará igualmente el módulo del LRL.
Por simplicidad, en adelante supondremos que tratamos con un centro de fuer-
zas de masa M en torno al cual gira en órbita elíptica un cuerpo de masa m
de manera que sea M ≫ m , así α ≡ GMm y la aproximación µ ≃ m queda
justificada; en ningún modo el no hacer esto supone mayor dificultad, pero las
aplicaciones que aquí van a se expuestas sugieren hacer esta simplificación
por comodidad.
Empecemos ya escribiendo la Segunda Ley de Newton para el cuerpo de masa
m del Problema de Kepler con una perturbación general añadida y la derivada
temporal del momento angular del sistema bajo dicha perturbación, tenemos
pues:
.
p = −
α
r2
ˆr + δf ;
·
L = r ×
·
p = r × δf. (3.1)
Recordando los pasos del epígrafe anterior al definir el vector LRL, expresiones
(2.29) a (2.35), haciendo uso ahora de las dos expresiones anteriores, resulta
que es:
.
p × L = mα
d
dt
( r
r
)
+ δf × L y p ×
·
L = p × (r × δf), (3.2)
donde en la primera expresión se ha hecho uso de (2.32) con µ ≃ m. Sumando
las dos relaciones anteriores tenemos:
.
p × L + p ×
·
L = mα
d
dt
(r
r
)
+ δf × L+p × (r × δf), (3.3)
y finalmente queda:
.
p × L + p ×
·
L − mα
d
dt
(r
r
)
=
d
dt
(
p × L − mαr
)
=
·
A = δf × L+p × (r × δf).
(3.4)
La expresión anterior no es más que la derivada temporal del vector A, la evo-
lución temporal del vector LRL bajo una perturbación general.

Es importante interpretar correctamente (3.4), el vector A que ahí varía con
el tiempo se corresponde con el vector LRL del Problema de Kepler, esto es,
el vector de Laplace-Runge-Lenz del problema en ausencia de perturbación
alguna tal y como fue definido en la sección 2.4. Allí demostramos que tal vector
constituye una constante de movimiento más, que se mantiene en dirección
apsidal de la órbita elíptica y que su magnitud es proporcional a la excentricidad
de la misma, pero en general, las órbitas del problema perturbado no presenta
un vector similar, y por tanto (3.4) tal cual, no da información de interés a cerca
de las características de las órbitas del problema con perturbación.
Para aclarar las ideas, que desde luego pueden ser confusas, supongamos
una perturbación central sobre el Problema de Kepler de la forma δf = − β
r2 r,
en la que β es una constante positiva tal que se verifica el criterio de pequeña
perturbación δf ≪ α/r2
0. La fuerza neta ejercida sobre la masa m es entonces:
F = −
α
r2
r −
β
r2
r = −
α
′
r2
r (3.5)
Nótese que por la particularidad de la perturbación; ésta no ha hecho más que
cambiar la constante α del Problema de Kepler no perturbado por la nueva
constante α
′
= α + β, las soluciones analíticas del problema resultan ser las
misma; cónicas, se conserva entonces la energía y, de (2.10) se desprende de
inmediato que el momento angular queda conservado también, dirigido según
el unitario z perpendicular al plano del movimiento y tal que L = mr2
·
θz como
allí mostramos. Ahora bien, la sustitución de la fuerza perturbatriz δf en (3.4)
conduce a:
·
A = −
β
r2
r × mr2
·
θz = β
L
r2
θ = β
L
r2
(
−sen θ x + cos θ y
)
̸= 0, (3.6)
es decir, el vector LRL A del problema en cuestión no es una constante de
movimiento, indica la existencia de una variación temporal de los ápsides en la
órbita, lo cual resulta contradictorio a la vista de la equivalencia de las solucio-
nes del problema con las del problema sin perturbar. Lo que está sucediendo
aquí es que el vector LRL al que se refiere (3.6) es el vector A ≡ p × L − mαr
del problema no perturbado definido en (2.4), y es evidente que en este caso
es el vector redefinido A
′
≡ p × L − mα
′
r quien cumple las propiedades de
A del problema en ausencia de perturbación y no la cantidad A de la expre-
sión anterior , por supuesto, esta redefinición es sólo posible siempre que la
perturbación no quiebre las simetrías del Problema de Kepler como en este ca-
so. Dicho ésto, la expresión (3.6) no es incorrecta en si misma, pero tampoco
informa de nada en especial.
Volvamos a la cantidad A ≡ p × L − mαr, por definición, independientemente
de la constante α y de los vectores p y L = r × p con que se construye, es
un vector siempre situado sobre el plano definido por los vectores r y p , por
tanto se encuentra también siempre sobre el plano de las órbitas del proble-
ma perturbado anterior. Recordando ahora que para una función del tiempo
f (r (t) , θ (t))) su promedio en un intervalo temporal △t es:

⟨f (r (t) , θ (t))⟩ =
1
△t
ˆ t+△t
t
f (r (τ) , θ (τ)) dτ, (3.7)
que si además f es periódica en el tiempo con período T , es entonces:
⟨f (r (t) , θ (t))⟩ =
1
T
ˆ t+T
t
f (r (τ) , θ (τ)) dτ =
1
T
ˆ T
0
f (r (t) , θ (t)) dt, (3.8)
luego, cambiando el período temporal T a período angular de 2π rads. sabiendo
que es L = mr2
·
θconstante en el Problema de Kepler no perturbado, nos es
conveniente reescribir la integral anterior en la forma:
⟨f (r (t) , θ (t))⟩ =
1
T
ˆ T
0
f (r (t) , θ (t)) dt =
1
T
ˆ 2π
0
f (r (θ) , θ)
[
dθ
dt
]−1
dθ
=
m
TL
ˆ 2π
0
r2
f (r (θ) , θ) dθ.
(3.9)
Con esto, finalmente tomemos (3.6) en promedio en un período ángular, y vea-
mos que
⟨ ·
A
⟩
=
mβ
T
ˆ 2π
0
(
−sen θ x + cos θ y
)
dθ = 0. (3.10)
Resultado que indica que aunque el vector LRL del Problema de Kepler va-
ría con el tiempo bajo la perturbación δf = − β
r2 r, en un período sus efectos en
promedio se anulan, y por tanto las soluciones no presentan diferencias en
promedio respecto de las soluciones en ausencia de perturbación, no hay va-
riaciones apsidales netas, en coherencia con lo que cabía esperar y que ya
sabiamos de las soluciones analíticas.
Por tanto, en las aplicaciones tomaremos (3.4) en promedio y tendremos:
⟨ ·
A
⟩
= ⟨δf × L⟩ + ⟨p × (r × δf)⟩ , (3.11)
que es la evolución temporal media del vector LRL.
El uso de la dinámica del vector LRL en media temporal, en las aplicaciones a
problemas perturbados, es de suma importancia para obtener información de
utilidad sobre las características de las soluciones y requiere de una correcta
interpretación de (3.4). En [10] por ejemplo, queda de manifiesto un uso inco-
rrecto del vector LRL al omitir el uso de medias temporales, tal como exponen
los autores allí, esto conduce a la pérdida de términos que, en el mejor de los
casos debido a las peculiaridades de cada perturbación , puede llegarse a solu-
ciones correctas quedando inadvertida la situación, pero que de forma general
acarreará resultados equivocados respecto de la información que se pretende
obtener.

3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La correc-
ción relativista.
Al igual que el resto de los planetas de nuestro sistemas solar en mayor o me-
nor medida, Mercurio, el primero y más pequeño de ellos, exhibe en su órbita
una precesión del perihelio que es debida en buena parte a la influencia gravi-
tacional del resto de los planetas que orbitan el Sol , influencia que añade una
perturbación cuyo efecto, como veremos en el próximo epígrafe, es precisa-
mente el de la precesión.
Fué el astrónomo y matemático francés Le Verrier (1811-1877), codescubridor
de Neptuno en 1846, el primero en anunciar en 1859 una anomalía en el avan-
ce del perihelio de Mercurio, calculó un desfase de 38′′
por siglo respecto del
avance debido a la influencia gravitacional del resto de planetas. Le Verrier,
como explicación del hallazgo, propuso la existencia de un cinturón o anillo de
materia entre el Sol y Mercurio parecido al cinturón de asteroides entre Marte
y Júpiter, Ese mismo año un astrónomo amateur llamado Leecarbault, afirmó
que llevaba tiempo observando un planeta pequeño en transitó por el Sol al
que llamó Vulcano, la Real Sociedad Astronómica de Londres anunció a bom-
bo y platillo entonces, que Vulcano era la explicación correcta de la presesión
anómala del perihelio de Mercurio. Todos estos argumentos fueron descarta-
dos uno a uno, incluso se pensó en el achatamiento de los polos solares como
posible respuesta.
En en 1894 el astrónomo Asaph Hall (1829-1907) propuso alterar la Ley de la
Gravitación Universal de Newton, la ley del inverso del cuadrado de la distan-
cia, añadiendo un término inverso del cubo de la distancia multiplicado por una
constante que ajustó para que diera cuenta de la anomalía observada en Mer-
curio. En 1895 Newcomb (1805-1909) publicó un trabajo sobre el movimiento
de los planetas rocosos del sistema solar en el que observó anomalías simila-
res a las del perihelio de Mercurio en todos los planetas rocosos, incluso en la
Luna aunque mucho más pequeñas. La nueva ley de Hall no daba cuenta de
estas otras anomalías. Newcomb demostró que la nueva ley de gravitación de
Hall no era la respuesta correcta, pero puso en el candelero la posibilidad de
que una nueva ley de gravitación pudiera ser la clave.
La idea de modificar la Ley de Gravitacion Universal se enmarca en el con-
texto de las nuevas teorías de la gravedad que se volvieron muy populares a
finales del siglo XIX, Muchos fueron los esfuerzos y muchos los impulsores de
estas teorías que no terminaban por dar una explicación correcta de la anoma-
lía, cuantitatívamente algunas de ellas daban cuenta de tan sólo una fracción
del desfase observado y otras, no explicaban de modo general la anomalía
observada en el resto de planetas.
La solución fue obtenida por primera vez gracias a la teoría de la gravedad de
un físico alemán casi desconocido, el maestro de escuela Paul Gerber (1854-
1909), publicada en 1898, la derivación era bastante poco clara y años más
tarde se encontró que contenía errores (susceptibles de ser corregidos), aún
así, obtuvo la fórmula correcta. Su idea consistía en aplicar una teoría de po-
tenciales retardados similar a la utilizada en electrodinámica bajo la hipótesis
de que la gravedad se propaga a una velocidad finita, que Gerber calculó que

3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista.
coincidía con la velocidad de la luz c en el vacío, puede leerse en [3] una articu-
lo que desarrolla esta idea. Gerber propuso entonces un potencial gravitacional
modificado en la forma:
V
(
r,
.
r
)
= −
GM
r
1
(
1 −
.
r
c
)2 , (3.12)
que como se aprecia depende no sólo de r sino también de la velocidad radial
.
r , por lo que la fuerza derivada de tal potencial es, aplicando la ecuación de
Euler-Lagrange :
d
dt
[
∂
∂
.
r
(
1
2
m
.
r
2
)]
= m
[
d
dt
(
∂V
∂
.
r
)
−
∂V
∂r
]
⇒
⇒ f = −
GMm
r2
(
1 −
.
r
c
)−4
[
6r
..
r
c2
−
2
.
r
c
(
1 −
.
r
c
)
+
(
1 −
.
r
c
)2
]
.
(3.13)
que deesarrollada en serie de potencias de
.
r/c, puede escribirse como:
f = −
GMm
r2
(
1 −
3
.
r
2
c2
+
6r
..
r
c2
−
8
.
r
3
c3
+
24r
.
r
..
r
c3
− . . .
)
;
.
r
c
< 1. (3.14)
La expresión anterior para la fuerza gravitacional, predice los valores correctos
(o significativamente próximos) observados para la velocidad de precesión de
la anomalía en el perihelio de Mercurio y en el resto de los planetas, en el
caso de Mercurio, observaciones actuales precisas dan unos 43′′
por siglo, sin
embargo, como ya se señaló, tal solución carecía de una justificación y de una
argumentación clara y satisfactoria.
Quien puso punto y final al asunto, fue Albert Einstein en 1915 con sus teo-
rías de la Relatividad Especial y General. De ellas se desprende un término
perturbativo de corrección a la fuerza gravitacional de la forma:
δf = −
3β
r4
r, (3.15)
con β ≡ GML2
mc2 , una constante. La mitad de la expresión anterior puede ser
explicada desde el punto de vista de la teoría Especial de la Relatividad, (1/3)
debida a la dilatación del tiempo y (1/6) consecuencia de la variación de la masa
con la velocidad. El resto se explica en el marco de la teoría general y tiene
su origen en la velocidad finita de propagación de la interacción gravitacional
(acción a distancia).
La corrección de Gerber conduce en primer orden de aproximación al resul-
tado de Einstein para la velocidad de precesión anómala del perihelio, y tras
la reimpresión del artículo de Gerber en 1917, varios detractores de Einstein
le acusaron de plagio. Einstein siempre manifestó que desconocía el oscuro

trabajo de Gerber, pero que incluso habiéndolo conocido, éllo no habría influi-
do a la hora de desarrollar su teoría y de afirmar que sus resultados sobre la
anomalía del perihelio, confirmaban su teoría de la relatividad.
La perturbación δf (3.15) satisface el criterio exigido por los métodos perturba-
tivos δf ≪ α/r2
0, en efecto, pues para los valores tanto de Mercurio como del
resto de planetas del sistema solar, es,
3βr2
0
αr4
=
3L6
(αm2c)
2
r4
≪ 1 (3.16)
en donde se ha tenido en cuenta que r0, el radio de órbita circular de mínima
energía potencial efectiva del Problema de Kepler, de (2.22) y de la primera de
(2.21), es,
r0 = κ ≡
L2
µα
≃
L2
mα
. (3.17)
y r = r (θ), la ecuación de las trayectorias orbitales del Problema de Kepler sin
perturbación alguna. Por tanto, siguiendo la manera de operar en los métodos
perturbativos, empleando ésta ecuación como solución en primera aproxima-
ción al problema perturbado, esto es, empleando
r =
κ
1 + ε cos θ
, (3.18)
podemos aplicar la evolución temporal media del vector LRL (3.11) a la pertur-
bación teniendo en cuenta además que, por ser ésta de tipo central, tenemos
en este caso que ⟨p × (r × δf)⟩ = 0 , luego es:
⟨ ·
A
⟩
= ⟨δf × L⟩ = 3βL ×
⟨
r
r4
⟩
= 3β
⟨
cos θ
r4
⟩
L × x, (3.19)
donde se ha tenido en cuenta la constancia de L en la órbita no perturbada y
que, debido a la simetría de la misma,
⟨
r
r4
⟩
=
⟨
cos θ x + sen θ y
r4
⟩
=
⟨
cosθ x
r4
⟩
, (3.20)
siendo los vectores x e y , los unitarios en la dirección positiva del eje polar y
perpendicular a éste en sentido positivo respectivamente.
Calculando el promedio en (3.20) mediante (3.9), resulta entonces,
⟨ ·
A
⟩
= 3β
⟨
cos θ
r4
⟩
L × x =
3βm
TL
[ˆ 2π
0
cos θ
r2
dθ
]
L × x. (3.21)
Resolviendo la última integral, sustituyendo antes la solución en primer orden
de aproximación (3.18),

3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista.
ˆ 2π
0
cos θ
r2
dθ =
1
κ2
ˆ 2π
0
cos θ (1 + ε cos θ)
2
dθ =
1
κ2
ˆ 2π
0
2ε cos2
θdθ
=
2πε
κ2
,
(3.22)
resultado que llevado a (3.21) y, recordando que según (2.23) es el semilatus
rectum κ = a
(
1 − ε2
)
, queda:
⟨ ·
A
⟩
=
6πβmε
Ta2 (1 − ε2)
2
L
L
× x. (3.23)
Convenientemente la expresión anterior puede reescribirse sustituyendo β ≡
GML2
mc2 , junto con el hecho de que de la primera relación de (2.21) y de la expre-
sión de κ anterior se deduce que es L2
= mαa(1−ε2
) , y finalmente teniendo en
cuenta que el vector LRL de la órbita no perturbada es según (2.37) A = mαεx,
⟨ ·
A
⟩
=
6πGM
c2Ta (1 − ε2)
L × A. (3.24)
Escrita de este modo, y comparándola con
⟨ ·
A
⟩
= Ωan × A, (3.25)
resulta que por asimilación , en promedio, el vector LRL gira con velocidad an-
gular Ωan , dicho de otro modo, la corrección relativista produce una precesión
Ωan del perihelio, que viene dada por:
Ωan =
6πGM
c2Ta (1 − ϵ2)
. (3.26)
Relación que con M la masa del Sol y m la de Mercurio, y después de introducir
el resto de parámetros orbitales del planeta, arroja el valor Ωan ≃ 43′′
por siglo,
valor en destacable concordancia con el observado, que dependiendo de la
fuente consultada está alrededor de los 43, 11′
’ por siglo.
Se puede ver en (3.24) que el sentido de giro del perihelio es el mismo que el
del planeta en su órbita (Ωan tiene igual dirección y sentido que L). El ángulo
de ocurrencia entre un perihelio y el siguiente es mayor que 2π rads, por tanto,
se dice que hay un atraso temporal del mismo (llega más tarde respecto de el
de la órbita no perturbada), o visto de otra manera, hay un avance espacial del
perihelio (está más adelante respecto de el de la órbita no perturbada).
Nótese también que el efecto será tanto más pronunciado cuanto mayor sea el
semieje mayor a y mayor sea la excentricidad ε de la órbita. Por consiguiente,
Mercurio, el planeta más cercano al Sol y con la órbita más excéntrica, es el que
presenta precesión del perihelio más notoria. De otra forma, podemos decir que
el desplazamiento relativista del perihelio es máximo en el caso de Mercurio,
debido al hecho de que su velocidad orbital es muy alta, por lo que el parámetro
relativista v/c es elevado y los efectos relativistas se ven acusados.

3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria.
Como se mencionó al principio del epígrafe anterior, aparte de la precesión
anómala debida a los efectos relativistas, la órbita de los planetas del sistema
solar manifiestan una precesión del perihelio bastante más pronunciada, que
es consecuencia de la perturbación que añade la influencia gravitacional del
resto de planetas orbitando en torno al Sol.
Aquí entraremos más de lleno en el problema, y como se hizo antes, usaremos
la dinámica del vector LRL en media temporal para determinar la velocidad de
precesión en este caso.
Para empezar supongamos un planeta de masa m que orbita al Sol cuya masa
es M, y otro de masa m′
que lo hace en una órbita exterior a la del primero.
El segundo planeta ejerce como es obvio una influencia gravitacional sobre el
primero que perturba su órbita, para determinar la fuerza perturbatriz δf supon-
dremos por simplicidad que todas las órbitas se sitúan sobre un mismo plano y
además, todas menos la del planeta perturbado consideradas circulares; des-
preciaremos también el movimiento del Sol.
Estas hipótesis si bien no son ciertas, tan solo restarán en un tanto acepta-
ble exactitud a los resultados y en cambio, añadirán claridad y simplicidad al
modelo matemático que siempre puede ser ampliado teniendo en cuenta las
características reales de problema.
Figura 3.1: Representación del modelo matemático utilizado para determinar la perturbación δf
que ejerce un planeta de masa m′ en órbita circular en torno al Sol sobre la órbita de un planeta
de masa m.
Como se desprende de la figura anterior, el modelo matemático consiste en
representar al planeta de masa m′
en órbita exterior a la del planeta de masa
m, como una distribución de masa continua de densidad lineal λm′ sobre un
anillo de radio R igual al radio de su órbita circular. Con lo dicho y de la figura,
es inmediato ver que el potencial gravitacional debido al anillo, en la posición r
en la que se encuentra la masa m es:

V (r) = −G
˛
anillo
λm′ dl
|R − r|
= −
Gm′
2πR
ˆ 2π
0
Rdφ
√
R2 + r2 − 2Rr cos φ
; (3.27)
0 < r < R , r ̸= R,
en donde φ representa el ángulo que forman los radiovectores R y r. La integral
anterior puede ser escrita de un modo más conveniente haciendo η ≡ r
R ,
V (η) = −
Gm′
πR
ˆ π
0
dφ
√
1 + η2 − 2η cos φ
; 0 ≤ η < 1, (3.28)
en la que el intervalo de integración se ha reducido a π rads dada la simetría
angular del integrando.
La fuerza perturbatriz es pues:
δf = −m∇rV (r) = −m
∂V (η)
∂η
∂η
∂r
r
=
Gmm′
πR2
ˆ π
0
cos φ − η
(1 + η2 − 2η cos φ)
3/2
dφ r ; 0 ≤ η < 1.
(3.29)
Hay que matizar que matemáticamente las integrales de parámetro η que resul-
tan tanto para el potencial como para la fuerza, convergen siempre que η ̸= ±1
, pero los valores negativos de η carecen de sentido físico alguno y para la
perturbación de un planeta exterior es siempre η < 1. Tales integrales están
estrechamente ligadas con las llamadas funciones elípticas de primera y se-
gunda especie, de hecho pueden escribirse en términos de estas funciones,
sea como fuere, por este motivo no pueden ser resueltas en términos de las
funciones elementales siendo necesario acudir a los métodos numéricos de
resolución.
La perturbación obtenida satisface el criterio de los métodos perturbativos siem-
pre que,
1
π
m′
M
η2
I(η) ≪ 1, (3.30)
donde hemos llamado I(η) a la integral de parámetro η de (3.29) . Su valor
es positivo y se acerca a cero conforme η también lo hace, esto es, cuando
R → ∞ , puesto que es R > r en nuestro caso siendo además m′
≪ M , la
relación anterior se satisface.
Al igual que hicimos en el epígrafe anterior, puesto que en este caso también
la perturbación es central, usando (3.11) tal como allí, con la ecuación de las
trayectorias orbitales r (θ) (3.18) del Problema de Kepler no perturbado como
primer orden de aproximación, resulta:

⟨ ·
A
⟩
= ⟨δf × L⟩ =
Gmm′
πR2
⟨
I(η)r × L
⟩
=
Gmm′
πR2
⟨
I(η)r
⟩
× L
= −
Gmm′
L
πR2
⟨I(η)cos θ⟩ L × x = −
Gm2
m′
πTR2
ˆ 2π
0
r2
I(η)cos θ dθ L × x
= −
Gm2
m′
πTR2
ˆ 2π
0
I(η)
κ2
cos θ
(1 + ε cos θ)
2 dθ L × x
= −
m′
κ2
πTR2Mε
ˆ 2π
0
I(η)
cos θ
(1 + ε cos θ)
2 dθ L × mαεx
= −
2m′
a2
(
1 − ε2
)2
πTR2Mε
ˆ π
0
I(η)
cos θ
(1 + ε cos θ)
2 dθ L × A,
(3.31)
con η ≡ r(θ)
R .
Se tiene entonces que para la velocidad de precesión del perihelio Ωext, del
planeta de masa m debida a la influencia gravitacional del planeta exterior de
masa m′
que:
Ωext =
2m′
a2
(
1 − ε2
)2
πTR2Mε
ˆ π
0
I(η)
cos θ
(1 + ε cos θ)
2 dθ . (3.32)
Puede probarse que los valores de la última integral «doble» de (3.31) son
negativos para 0 < η < 1 y 0 < ε < 1 , por lo tanto, es inmediato que el
sentido de giro del perihelio es el mismo que el del planeta que orbita (Ωext
tiene igual dirección y sentido que L) siendo además la velocidad de precesión
independiente de la masa m del propio planeta.
El cuadro siguiente contiene los valores de la precesión del perihelio Ωext de
Mercurio debida a la influencia gravitacional de cada uno de los planetas del
sistema solar y la contribución total de éstos. Han sido obtenidos mediante
cálculo numérico con la expresión anterior.

Planeta: Ωext(′′
por siglo):
Venus 292,65
Tierra + Luna 95,83
Marte 2,38
Júpiter 156,84
Saturno 7,57
Urano 0,14
Neptuno 0,04
TOTAL 555,45
Cuadro 3.1: Valores de la precesión del perihelio Ωext de Mercurio debida a la influencia gravi-
tacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribución total de éstos.
Para el caso de la perturbación generada por la influencia de un planeta interior
de masa m′
en la órbita del planeta de masa m , basta tan sólo con hacer en
la figura (3.1) R < r y, siendo ahora η ≡ R
r(θ) se obtiene:
δf = −
Gmm′
πR3
ˆ π
0
η3 cos φ − η
(1 + η2 − 2η cos φ)
3/2
dφ r ; 0 ≤ η < 1, (3.33)
que con la condición,
1
π
m′
MR
ηI(η) ≪ 1, (3.34)
entonces resulta,
⟨ ·
A
⟩
=
2m′
πTMaε (1 − ε2)
ˆ π
0
I(η) (1 + ε cos θ) cos θ dθ L × A, (3.35)
y finalmente,
Ωint =
2m′
πTMaε (1 − ε2)
ˆ π
0
I(η) (1 + ε cos θ) cos θ dθ. (3.36)
Los valores de la integral en este caso, son positivos para 0 < η < 1 y 0 < ε < 1,
por lo que como antes, el sentido de giro del perihelio es el mismo que el del
planeta que orbita (Ωint tiene igual dirección y sentido que L), manteniéndose
la independencia respecto de m en la velocidad de precesión.
El cuadro siguiente muestra los valores de la precesión general del perihelio Ω
neta de los planetas del sistema solar debida a la influencia gravitacional del
resto de planetas, también se muestra la precesión anómala del perihelio Ωan
causada por la corrección relativista de la fuerza gravitacional. Han sido obte-
nidos con las expresiones anteriores (3.32), (3.36) y (3.26), mediante cálculo
numérico.

Planeta:
Ω(′′
por siglo).
Ωan(′′
por siglo):
Contribución neta de todos los planetas:
Mercurio 555,45 43
Venus 1207,59 8,5
Tierra + Luna 1280,00 3,8
Marte 3358,00 1,4
Júpiter 752,25 0,06
Saturno 1887,43 0,01
Urano 277,11 0,002
Neptuno 71,99 0,0008
Cuadro 3.2: Valores de la precesión del perihelio Ω y Ωan de los planetas del sistema solar
debida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por la corrección relativista
de la fuerza gravitacional respectivamente.
En el caso de Mercurio por ejemplo, un cálculo más afinado teniendo en cuenta
la inclinación de las órbitas de los de planetas, y el hecho de que éstas no son
circulares si no elípticas, conduce un valor en torno a 532′′
por siglo para la
precesión general . Hay que decir además, que este valor y el de la precesión
anómala, se suman a la precesión general de los equinoccios respecto de las
estrellas «fijas» que asciende a 5025, 6′′
por siglo [8] para la Tierra.
3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre at-
mosférico.
Vamos por último a aplicar la dinámica del vector LRL al caso de una perturba-
ción dependiente de la velocidad de un cuerpo en órbita Kepleriana.
Supongamos un satélite artificial en órbita baja en torno a la Tierra. Los gases
atmosféricos ejercen sobre éste una fricción, y por tanto, una resistencia al
movimiento o fuerza de arrastre que es proporcional a alguna potencia de la
velocidad del satélite, dependiendo de las propiedades de tales gases, como
la densidad, temperatura, viscosidad, etc, y de la propia velocidad del satélite
en órbita, la dependencia puede ser lineal o cuadrática, en cualquier caso la
perturbación ejercida sobre la órbita puede escribirse como:
δf = −βvn−1
v, (3.37)
donde β es una constante positiva y n un entero positivo.
Supuesto que se satisface el criterio δf ≪ α/r2
0 (es así para los valores usua-
les) para poder aplicar (3.11) a la perturbación, en este caso puesto que la
perturbación no es central, se tiene,

3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre atmosférico.
⟨ ·
A
⟩
= ⟨δf × L⟩ + ⟨p × (r × δf)⟩
=
⟨
−βvn−1
v × L
⟩
+
⟨
mv ×
(
r × −βvn−1
v
)⟩
=
⟨
−2βvn−1
v × L
⟩
.
(3.38)
Sustituyendo de (2.33) v × L = A/m + αr en la última expresión , y teniendo en
cuenta que el vector A permanece constante en la órbita no perturbada, queda,
⟨ ·
A
⟩
=
−2β
m
⟨
vn−1
⟩
A − 2βα
⟨
vn−1
r
⟩
. (3.39)
De la simetría que exhibe el vector velocidad v en la órbita no perturbada, se
deduce que:
⟨
vn−1
r
⟩
=
⟨
vn−1
cos θ
⟩
x, (3.40)
que junto con el hecho de que es A = mαεx, (3.39) puede escribirse finalmente
como:
⟨ ·
A
⟩
= −Γ (ε, α, β) A, (3.41)
donde hemos definido la constante positiva:
Γ (ε, α, β) =
2β
mε
⟨
vn−1
(ε + cos θ)
⟩
. (3.42)
Como según (3.31), la evolución temporal promedio del vector LRL es propor-
cional al mismo vector LRL, concluimos que no aparece precesión ninguna del
perihelio en este caso, sin embargo, la misma expresión muestra que el módulo
del vector A decrece con el tiempo, o lo que es lo mismo, el vector LRL dismi-
nuye su longitud con el tiempo, y por tanto, disminuye también con el tiempo la
excentricidad ε de la órbita. La órbita elíptica va tendiendo poco a poco hacia
la circularidad mientras el satélite va cayendo poco a poco hacia la Tierra, va
acercándose al foco de la elipse (centro de fuerzas) como consecuencia de la
disipación energética ocasionada por la fricción atmosférica.
Si (3.42) no dependiera de la excentricidad, entonces (3.41) sería fácilmente
integrable y en promedio A decrecería exponencialmente con el tiempo, este
no es el caso, Γ (εα, β) dependerá de ε y por tanto de A en general , luego la
solución de (3.41) no será siempre una exponencial.
Resulta interesante el caso en que n = 1, es decir, el caso en que la fuerza de
arrastre atmosférica depende linealmente de la velocidad del satélite en órbita.

En este caso, puesto que como puede probarse es
⟨
r
⟩
= ⟨cos θ⟩ x = −εx 6
,
(3.39) se queda en,
⟨ ·
A
⟩
=
−2β
m
A − 2βα
⟨
r
⟩
=
−2β
m
(
A − mαεx
)
= 0 (3.43)
por lo que en el caso δf = −βv, no hay variación temporal media ninguna
del vector LRL, nuestro satélite va cayendo hacia la Tierra por disipación de
energía, pero no hay precesión del perihelio y la excentricidad se mantiene
constante en todo momento .
6En efecto, por consideraciones de simetría, resulta en este caso más fácil tomar el promedio de
los ápsides de la órbita 1
2
[
rm´ın
a
+
(−rm´ax)
a
]
= −ε, que acudir directamente a la expresión(3.9).

4 Notas finales.
En la primera sección, hemos dado una repaso general al Problema de Kepler
tratándolo tanto desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana como des-
de la Lagrangiana. Luego hemos definido el vector de Laplace-Runge-Lenz o
vector LRL que se conserva, y que junto al momento angular y a la energía for-
ma un conjunto de siete cantidades conservadas de las cuales sólo cinco son
independientes. Como ya se mencionó, la aparición de esta nueva constante
es consecuencia de la existencia de simetrías ocultas, de las características
particulares del potencial gravitacional responsables de la degeneración de las
órbitas y del hecho de que éstas sean cerradas. Hemos finalmente tratado el
problema mediante el vector LRL obteniendo la ecuación de las trayectorias
orbitales del problema en cuestión.
En la segunda sección se ha presentado un método basado en la dinámica del
vector LRL, concretamente en la evolución temporal promedio del vector, para
analizar los efectos que aparecen sobre las órbitas sometidas a una pequeña
perturbación, dado que en general la perturbación quiebra la simetría, el vector
LRL deja de ser constante y dependiendo de la perturbación misma, los efectos
pueden o no resultar en una precesión del perihelio o en una variación tempo-
ral de la excentricidad. Un método bastante económico a la hora de estudiar el
comportamiento apsidal de las órbitas del Problema de Kepler ante pequeñas
pertubaciones, y que puede ser aplicado a órbitas de cualquier excentricidad
(salvo cero como es evidente) y para perturbaciones no necesariamente cen-
trales como vimos en la sección 3.4.
Las aplicaciones del método no se quedan sólo en las discutidas en estas pági-
nas de ningún modo. Por poner ejemplos, el achatamiento de los polos terres-
tres introduce una perturbación en la órbita de un satélite artificial modelada
como,
δf = −
(1−3 cos2
γ)3ηαR2
5r4 r,
con R el radio terrestre, η = (D−d)/D una constante en la que D y d son los
diámetros ecuatorial y polar terrestres respectivamente, y γ el ángulo que forma
el plano orbital del satélite con el eje de rotación de la Tierra; esta perturbación
tiene la misma forma (salvo factor constante) que la perturbación tratada en
la sección 3.2, allí vimos que el efecto producido es el de la precesión del
perihelio, por lo que en este caso también lo es.
La presión de radiación solar ejerce sobre los planteas en sus órbitas una pe-
queña fuerza central cuya magnitud es proporcional 1/r2
, aplicando el método
( en este caso puede ser resuelta analíticamente la Fórmula de Binet (2.6)) se
llega a que una perturbación de este tipo no produce efecto alguno sobre la
forma de las órbitas.

4 NOTAS FINALES.
En [2], los autores presentan una explicación alternativa al problema de la curva
de rotación de las galaxias7
sin necesidad de introducir el concepto de materia
oscura, y ésto, mediante la aplicación de la dinámica del vector LRL a una
corrección cuántica del potencial gravitacional..
El vector también aparece relacionado al campo eléctrico como cabe esperar
(el potencial eléctrico tiene esencialmente la misma forma que el gravitacional),
y es utilizado en el estudio de partículas cargadas en presencia de campos
magnéticos.
No sólo en el marco de la mecánica clásica tiene utilidad el método, en mecá-
nica cuántica, mediante una definición adecuada del vector LRL en términos
de operadores, se obtiene de un modo elegante mediante éste, el espectro de
energías del átomo de hidrógeno, y puede usarse la dinámica del vector para
analizar los efectos de perturbaciones añadidas al potencial eléctrico en dicho
átomo. Del mismo modo que en el Problema de Kepler, la aparición del vec-
tor LRL en mecánica cuántica es debida a la existencia de simetrías ocultas
propias de las características del potencial eléctrico, responsables de la inde-
pendencia de los niveles de energía del átomo de hidrógeno con el momento
angular (la energía de éstos sólo depende del número cuántico principal n y no
de los números cuánticos de momento angular l y m ), esto es , de la existen-
cia de degeneración en los orbitales de un modo similar a lo que ocurre en las
órbitas del Problema de Kepler.
Podríamos escribir líneas y líneas acerca del tema, el estudio minucioso del
vector de Laplace-Runge-Lenz , las simetrías implicadas y sus entresijos lle-
gan hasta las entrañas mismas de la mecánica teórica con un extenso y fasci-
nante bagaje matemático; ante esto, el autor siente cierta sensación de trabajo
inacabado, sensación que por fortuna, la intención introductoria de estas notas,
mitiga.
Antes del punto y final, sólo dar las gracias al lector por mostrar interés en el
tema y por dejar parte de su valioso tiempo en la lectura y comprensión de
éstas hoy por hoy preliminares y humildes anotaciones.
7Las galaxias rotan en torno a su centro galáctico con velocidad creciente conforme la materia
se aleja del mismo, debido como es lógico a que mayor masa ejerce gravedad sobre los puntos mas
distanciados. Lo que se ha observado sin embargo, es que esta velocidad se hace prácticamente
constante a partir de cierta distancia; la presencia de materia oscura en el halo galáctico podría
explicar esta paradoja pues una contraposición de fuerzas gravitacionales podría compensarse y
anular las aceleraciones de los puntos distantes de la galaxia.

A Efecto de una perturbación δf ∼ −1/r3
.
Resolución analítica.
Supongamos un cuerpo de masa m sometido a la interacción gravitatoria de
otro de masa M con M ≫ m , de modo que sea la masa reducida del sistema
de los dos cuerpos µ ≃ m. Supongamos que una fuerza pertubatriz δf afecta
a la masa m tal que,
δf = −
λ
r3
r, (A.1)
con λ una constante positiva.
En estas condiciones, la fuerza resultante sobre m es:
f = −
α
r2
r −
λ
r3
r, (A.2)
con α ≡ GMm.
Llevando la resultante anterior a la Fórmula de Binet (2.6), resulta que :
1
r2
[
d2
dθ2
(
1
r
)
+
(
1
r
)]
= −
m
L2
[
−
α
r2
−
λ
r3
]
=
d2
dθ2
(
1
r
)
+
(
1
r
)
=
mα
L2
+
m
L2
λ
r
⇒
d2
dθ2
(
1
r
)
+
[
1 −
m
L2
λ
] (
1
r
)
=
mα
L2
.
(A.3)
La ecuación diferencial anterior en este caso es lineal en la variable
(1
r
)
y de
coeficientes constantes. Es por tanto integrable y sus soluciones son distintas
según sean los casos m
L2 λ < 1 , m
L2 λ > 1 ó m
L2 λ = 1. Veásmoslo.
- En el caso m
L2 λ = 1 , trivialmente es,
d2
dθ2
(
1
r
)
=
mα
L2
⇒
1
r
=
1
2
θ2
+ C1θ + C2. (A.4)
Solución que corresponde a una trayectoria en espiral descendente con C1 y
C2 constantes de integración que se obtienen de las condiciones iniciales del
problema.
- En el caso m
L2 λ > 1, tenemos,
d2
dθ2
(
1
r
)
− 1 −
m
L2
λ
(
1
r
)
=
mα
L2
⇒
1
r
= C1e
θ
√
|1− m
L2 λ| + C2e
−θ
√
|1− m
L2 λ|.
(A.5)

A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3
.
RESOLUCIÓN ANALÍTICA.
Solución que también en este caso corresponde a una trayectoria en espiral
descendente.
-Y por último, en el caso m
L2 λ < 1 , resulta,
d2
dθ2
(
1
r
)
+
[
1 −
m
L2
λ
] (
1
r
)
= α
m
L2
⇒
1
r
=
α m
L2
1 − m
L2 λ
+C cos
(
θ
√
1 −
m
L2
λ − θ0
)
.
(A.6)
Esta solución resulta más interesante que las anteriores para lo que nos ocupa
, corresponde a una trayectoria cónica que describe el cuerpo de masa m con
la masa M en la posición de uno de los focos (al igual que en el Problema de
Kepler sin perturbar), pero en este caso particular, el argumento del coseno nos
indica que el pericentro de la cónica precesa, concretamente avanza espacial-
mente. El ángulo θ entre dos pasos consecutivos por el pericentro, haciendo
θ0 = 0 lo que no restringe la generalidad, es:
θ
√
1 −
m
L2
λ = 2π ⇒ θ =
2π
√
1 − m
L2 λ
, (A.7)
y el avance espacial del pericentro ∆θ por revolución ,
∆θ = 2π
(
1
√
1 − m
L2 λ
− 1
)
. (A.8)
Aplicando ahora el método de la dinámica del vector LRL a la perturbación δf,
supuesto que como siempre para ello ha de cumplirse:
δf ≪
α
r2
0
⇒
λL4
r3m2α3
≪ 1, (A.9)
donde como ya se sabe, r0 = κ ≡ L2
µα ≃ L2
mα , es el el radio de órbita circular en
el mínimo de energía potencial efectiva del Problema de Kepler sin perturbar,
y r = r (θ) la ecuación de las trayectorias del Problema de Kepler también sin
perturbar. Así pues,
⟨ ·
A
⟩
= ⟨δf × L⟩ = λL ×
⟨
r
r3
⟩
= λ
⟨
cos θ
r3
⟩
L × x
=
λm
TLκ
[ˆ 2π
0
(1 + ε cos θ) cos θdθ
]
L × x =
πλmε
TLκ
L × x
=
πλ
Tκα
L × A =
πmλ
TL2
L × A,
(A.10)
es decir, se obtiene para el avance espacial del pericentro por revolución:

∆θ =
πm
L2
λ. (A.11)
Esta expresión difiere claramente de la (A.8); sin embargo, dado que se satisfa-
ce (A.9) para todo r de la trayectoria orbital, más aún lo hace para el apocentro
rmáx de la misma, que según (2.23) con κ ≡ L2
µα ≃ L2
mα , es:
rmáx =
L2
mα
1 − ε
, (A.12)
de manera que resulta,
λL4
r3
máxm2α3
=
m
L2
λ (1 − ε) <
λL4
r3m2α3
≪ 1. (A.13)
Si suponemos además que (A.9) es lo suficientemente menor que uno como
para asegurar que:
m
L2
λ ≪ 1, (A.14)
entonces desarrollando (A.8) en serie de potencias de m
L2 λ ,
∆θ = 2π
{[
1 +
1
2
( m
L2
λ
)
−
3
8
( m
L2
λ
)2
+ . . .
]
− 1
}
, (A.15)
serie que converge siempre que m
L2 λ < 1 y como además se cumple (A.14),
resulta que despreciando los términos de orden dos y mayores en la suma
anterior, es,
∆θ ≃
πm
L2
λ, (A.16)
que es exactamente el resultado (A.11) para el avance espacial del pericentro
por revolución al que se llega mediante la dinámica del vector LRL.

A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3
.
RESOLUCIÓN ANALÍTICA.

Referencias
Referencias
[1] Farina. O vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler. Caderno da
Física da UEFS, 04:115–159, 2006.
[2] Farina, Kort-Kamp,Mauro, Shapiro. Dynamics of the Laplace-Runge-Lenz
vector in the quantum-corrected Newton gravity. Universidad Federal de
Juiz de Fora, CEP: 36036-330, MG, Brazil, 2011.
[3] Giné. On the origin of the anomalous precession of mercury’s perihelion.
Chaos, Solitons & Fractals, 38:1004–1010, November 2008.
[4] Goldstein. Mecánica Clásica. Editorial Reverté, S.A., Barcelona,1987.
[5] Hand, Finch. Analitical Mechanics. Cambridge University Press, New
York, 1998.
[6] Leach, Flessas. Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz Vector. Jour-
nal of Nonlinear Mathematical Physics, 10(3):340–423, 2003.
[7] Lemos. Mecánica analítica. Editoria Libraria da Física, São Paulo, 2007.
[8] Marion. Dinámica Clásica de las Partículas y Sistemas. Editorial Reverté,
S.A., Barcelona,1995.
[9] Martínez,Miralles,Marco,Galadí-Enríquiez. Astronomía Fundamental.
PUV, Valencia,2005.
[10] McDonald,Farina,Tort. Right and Wrong Use of the Lenz Vector for Non-
Newtonian Potentials. Am. J. Phys, 58:540, 1990.
[11] Rañada. Dinámica Clásica. Fondo de Cultura Económica, ed., México
DF., 2005.
[12] Vucetich. Introducción a la mecánica analítica. Universidad de Buenos
Aiers, Buenos Aires, 2009.

EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS

EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS

Similar to EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS