Los lineamientos de una clase de variable aleatoria y distribuciones

1. La clase:
Variable Aleatoria y Distribuciones de
Probabilidad
Competencias:
Alfabetización estadística
Razonamiento estadístico
Bertha Gumzeli Botero Ortiz
Diplomado de pedagogía 2014

2. • Ofrecido para: Programas de ingeniería
• Los propósitos:
El estudiante debe estar en capacidad de reconocer
las principales características de la distribución que
presentan los datos.
Dado un problema de una variable aleatoria
discreta, el estudiantes debe estar en capacidad de
identificar si se trata de una variable con distribución
Binomial, Hipergeométrica o Poisson.

3. • Los propósitos:
Dado un problema de una variable aleatoria
continua, el estudiante debe estar en capacidad de
identificar si se trata de una variable con distribución
exponencial, Gamma o normal. Y realizar cálculos de
probabilidad utilizando estas distribuciones.

4. • Contenido:
Variable
aleatoria
Variables
Discretas
Conceptos y
definiciones
Distribuciones
Especiales
Variables
Continuas
Conceptos y
definiciones
Distribuciones
Especiales
•Distribuciones Exponencial
•Distribución Gamma
•Distribución Normal
•Distribuciones Poisson
•Distribución Hipergeometrica
•Distribución Binomial

5. • Técnicas, medios y recursos
A través de este método se realizará la presentación de las
definiciones y conceptos de cada uno de los temas que se
abordan en el contenido de una manera lógicamente
estructurado que permita al estudiante su comprensión,
acompañado de ejemplo que den cuenta de los concepto y
definiciones.

6. Se plantearan simulaciones de experimentos, a través
de los cuales los estudiantes recojan la información y
pueda identificar la distribución que se esta generando
con sus parámetros asociados.
• Técnicas, medios y recursos

7. Mi querido estudiante con este método se planteará
una propuesta de estudio independiente, que tu
orientador estará supervisando y retroalimentando
durante un tiempo determinado.
• Técnicas, medios y recursos

8. La clase:
Variable Aleatoria y Distribuciones de
Probabilidad
Competencias:
Alfabetización estadística
Razonamiento estadístico

9. Variable aleatoria y Distribuciones
de probabilidad

10. Variable aleatoria

11. Variable aleatoria
Habíamos definido como
variable como la
característica que se
desea estudiar de una
muestra o población.
Ahora definimos una
variable aleatoria como
una función que asocia un
número real a cada
elemento del espacio
muestral.

12. Variable aleatoria
Recordemos. Una función
es una regla de
correspondencia que se
establece entre los
elementos de un conjunto
sobre los elementos de
otro conjunto llamado
conjunto imagen o
recorrido de la función.
S RX
s X(s)
Dominio Conjunto de
Imagen

13. Variable aleatoria
Sea S el espacio muestral
asociado a un
experimento si cada punto
muestral s  S le hacemos
correponder un número
real X(s), tal que la regla
de correspondencia define
una función, llamada
variable aleatoria.
S RX
s X(s)
Dominio Conjunto de
Imagen

14. Variable aleatoria
Las variables aleatorias
pueden ser discretas o
continuas (como el primer
tema del curso).
Vamos a usar conceptos
de temas vistos, junto con
su nueva designación.
S RX
s X(s)
Dominio Conjunto de
Imagen

15. Función de distribución
variables discretas

16. Variable aleatoria discreta
La variable aleatoria X
es discreta si su
conjunto imagen X(S)
se le puede asignar un
valor de acuerdo a la
aparición de los
eventos, es decir
existe un número de
valores finitos dentro
de un intervalo.
S RX
s X(s)
Dominio Conjunto de
Imagen

17. Función de distribución de variables
discretas
Tenemos un conjunto
imagen finito X(s)=(X1,
X2,X3,…,Xn), si
definimos una función
f de X(s) tal que f(Xi) =
P(X=xi), tal función
recibe el nombre de
función de
distribución de la
variable discreta X.
X X1 X2 X3 … Xn
f(X) f(X1) f(X2) f(X3) … f(Xn)
0
1
2
3
4
5
X1 X2 X3 X
……….
f(X1)
f(X2)
.
.
.
f(Xi)
Forma tabular
Gráfico de barras

18. Función de distribución de variables
discretas
Podemos definir una DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA, como el conjunto de
pares ordenados {(x, f(x) }, de la variable discreta X, si para cada uno de los resultados
posibles x, se cumple que:
1.
2.
3.

19. Función de distribución de variables
discretas
Ejemplo:
Una Caja contiene 500 sobres con dinero así: 75 sobres contienen US$100, 150 contienen
US$25 y 275 sobres contienen US$10. Usted paga $US25 y puede seleccionar al azar un
sobre de la caja.
Valores que
toma la
variable
aleatoria Eventos
asociados
Número de
eventos
Función de
probabilidad o
masa
Función de
distribución
X f(Xi) F(Xi)
10 {US$10} 275 0.55 0.55
25 {US$25} 150 0.33 0.85
100 {US$100} 75 0.15 1.00
500 1

20. Función de distribución de variables
discretas
Ejemplo:
Una Caja contiene 500 s0bres con dinero así: 75 sobres contienen US$100, 150 contienen
US$25 y 275 sobres contienen US$10. Usted paga $US25 y puede seleccionar al azar un
sobre de la caja.
0.55
0.3
0.15
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
10 25 100
Probabilidad
Valores que toma la variable aleatoria
Función de probabilidad o masa

21. Función de distribución de variables
discretasEjemplo:
Una Caja contiene 500 s0bres con dinero así: 75 sobres contienen US$100, 150 contienen
US$25 y 275 sobres contienen US$10. Usted paga $US25 y puede seleccionar al azar un
sobre de la caja.

22. Función de distribución de variables
discretas
Valores que
toma la variable
aleatoria
Eventos asociados
Número de
eventos
Función de
probabilidad o
masa
Función de
distribución
X f(Xi) F(Xi)
2 {1,1} 1 0,05 0,05
3 {1,2} 1 0,05 0,10
4 {1,3};{2,2} 2 0,10 0,19
5 {1,4};{2,3} 2 0,10 0,29
6 {1,5};{2,4};{3,3} 3 0,14 0,43
7 {1,6};{2,5};{3,4} 3 0,14 0,57
8 {2,6},{3;5};{4,4} 3 0,14 0,71
9 {3,6};{4,5} 2 0,10 0,81
10 {4,6};{5,5} 2 0,10 0,90
11 {5,6} 1 0,05 0,95
12 {6,6} 1 0,05 1,00
21 1,00
Ejemplo: X :Variable aleatoria: La suma del resultado de lanzar dos dados iguales

23. Función de distribución de variables
discretasX : La suma del resultado de lanzar dos dados iguales
0.05 0.05
0.10 0.10
0.14 0.14 0.14
0.10 0.10
0.05 0.05
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidad
Valores de la variable aleatoria
Función de probabilidad o masa

24. Función de distribución de variables
discretas
X : La suma del resultado de lanzar dos dados iguales

25. Valor esperado de para variables
discretas
El valor esperado representa lo mismo que conocemos como media o valor promedio.
Se representa por la letra E[X] ó x
Valores que toma la
variable aleatoria
Función de
probabilidad o masa

26. Valor esperado de para variables
discretas
Propiedades del valor esperado:
E[X+c] = E[X] + c
E[X+Y] = E[X] + E[Y]
E[aX] = a E[X]
Combinando estas propiedades, podemos ver
E[aX+b] = aE[X] + b
E[aX+bY] = aE[X] + bE[Y]
Donde X y Y son variables aleatorias, y a,b y c son tres
constantes cualquiera.

27. Varianza de una variables discretas
La raíz de la varianza representa lo mismo que conocemos como desviación típica,
que se denotara por x
Se representa por la letra V[X] ó 2
x
Que es igual a: Más fácil de
calcular

28. Valor esperado de una variable
discreta
Ejemplo:
Una Caja contiene 500 s0bres con dinero así: 75 sobres contienen US$100, 150 contienen
US$25 y 275 sobres contienen US$10. Usted paga $US25 y puede seleccionar al azar un
sobre de la caja.
Valores que
toma la
variable
aleatoria Eventos
asociados
Número de
eventos
Función de
probabilidad o
masa Valor Esperado
X f(Xi) E(X)=Xif(Xi)
10 {US$10} 275 0.55 5.5
25 {US$25} 150 0.33 7.5
100 {US$100} 75 0.15 15.0
500 1 28.00
Si cada uno de ustedes juegan muchas veces en promedio se ganan US$3

29. Valores que
toma la variable
aleatoria
Eventos asociados
Número de
eventos
Función de
probabilidad o
masa
Valor
Esperado
X f(Xi) E(X)=Xif(Xi)
2 {1,1} 1 0,05 0,1
3 {1,2} 1 0,05 0,1
4 {1,3};{2,2} 2 0,10 0,4
5 {1,4};{2,3} 2 0,10 0,5
6 {1,5};{2,4};{3,3} 3 0,14 0,9
7 {1,6};{2,5};{3,4} 3 0,14 1,0
8 {2,6},{3;5};{4,4} 3 0,14 1,1
9 {3,6};{4,5} 2 0,10 0,9
10 {4,6};{5,5} 2 0,10 1,0
11 {5,6} 1 0,05 0,5
12 {6,6} 1 0,05 0,6
21 1,00 7.0
Ejemplo: X :Variable aleatoria: La suma del resultado de lanzar dos dados iguales
Valor esperado de una variable discreta
Si cada uno de ustedes juegan muchas veces en promedio el resultado de la suma de sus
lanzamientos será de 7.

30. Varianza de una variable discreta
Ejemplo:
Una Caja contiene 500 s0bres con dinero así: 75 sobres contienen US$100, 150 contienen
US$25 y 275 sobres contienen US$10. Usted paga $US25 y puede seleccionar al azar un
sobre de la caja.
Valores que
toma la
variable
aleatoria Eventos
asociados
Número de
eventos
Función de
probabilidad
o masa
Función de
distribución
Valor
Esperado
E[X2]X f(Xi) F(Xi) E[X]=ΣXif(Xi)
10 {US$10} 275 0,55 0,55 5,50 55,00
25 {US$25} 150 0,3 0,85 7,50 187,50
100 {US$100} 75 0,15 1 15,00 1500,00
Suma 500 1 28,00 1742,50
V[X]=Xi
2f(Xi)-µ2= 958,50
Desviación estándar = 30,96
El juego tiene una variabilidad de: 110,57%

31. Ejemplo: X :Variable aleatoria: La suma del resultado de lanzar dos dados iguales
Varianza de una variable discreta
Valores que
toma la
variable
aleatoria Eventos
asociados
Número de
eventos
Función de
probabilidad
o masa
Función de
distribución
Valor
Esperado
E[X2]X f(Xi) F(Xi) E[X]=ΣXif(Xi)
2 {1,1} 1 0,05 0,05 0,1 0,2
3 {1,2} 1 0,05 0,10 0,1 0,4
4 {1,3};{2,2} 2 0,10 0,19 0,4 1,5
5 {1,4};{2,3} 2 0,10 0,29 0,5 2,4
6 {1,5};{2,4};{3,3} 3 0,14 0,43 0,9 5,1
7 {1,6};{2,5};{3,4} 3 0,14 0,57 1,0 7,0
8 {2,6},{3;5};{4,4} 3 0,14 0,71 1,1 9,1
9 {3,6};{4,5} 2 0,10 0,81 0,9 7,7
10 {4,6};{5,5} 2 0,10 0,90 1,0 9,5
11 {5,6} 1 0,05 0,95 0,5 5,8
12 {6,6} 1 0,05 1,00 0,6 6,9
21 1,00 7,0 55,7
V[X]=Xi
2f(Xi)-µ2=
Desviación estandar =

32. Función de distribución variables
continuas
Función de distribución continuas

33. Variable aleatoria continua
La variable aleatoria
X es continua si su
conjunto imagen
X(S) es también
continuo, es decir
puede tomar todos
lo infinitos valores
interiores a un
intervalo.
S RX
s X(s)
Dominio Conjunto de
Imagen

34. Función de densidad de variables
continuasLa función f(x), es una función de densidad para la variable aleatoria continua X, si se cumple:

35. Función de densidad de variables
continuasLa función f(x), es una función de densidad para la variable aleatoria continua X, si se cumple:

36. Función de densidad de variables
continuas
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo
El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de
horas) es una variable X con función de densidad:
Corroborar:
; encontrar la probabilidad que la vida útil de transistor este
entre 400 y 500 horas.

37. Función de densidad de variables
continuas
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo
El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de
horas) es una variable X con función de densidad:
Encontrar
;encontrar la probabilidad que la vida útil de transistor
este por debajo de 500 horas.
y encontrar la probabilidad que la vida útil de
transistor este por encima de 500 horas.

38. Función de densidad de variables
continuas
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo
El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de
horas) es una variable X con función de densidad:
Encontrar: La vida útil del transistor sea exactamente igual a las 5000 horas.
Esta probabilidad siempre es cero por ser X una Variable Aleatoria Continua y la
probabilidad es el área bajo la función de densidad.
Recordar. El área bajo un punto es cero.

39. Función de distribución de variables
continuas
¿Para qué sirve la función de distribución?
Para calcular la probabilidad de los menores o iguales a un valor
específico, de un intervalo, o de los mayores de un valor específico.
•P(Xa) = F(a)
•P(a<X<b)= F(b) – F(a)
•P(X>a)=1-P(Xa) = 1 – F(a)

40. Función de distribución de variables
continuas
¿Para qué sirve la función de distribución?
Para relacionarlo con la idea de percentil, cuartil, etc.
Ejemplo: P(XP75)=F(P75)=75%

41. Función de distribución de variables
continuas
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo
El tiempo de funcionamiento de un transistor hasta su primera falla (en cientos de
horas) es una variable X con función de densidad:
Encontrar la función de Distribución para la Variable X:

42. Función de distribución de variables
continuas
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo
Función de Distribución para la Variable X:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil del transistor este por debajo de las
500 horas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil del transistor este entre 400 y 500
horas?
c. Si la vida útil de los transistor es mayor de 500 horas, ¿Cuál es la probabilidad de
que la vida útil del transistor dure menos de 700 horas?

43. Valor esperado y varianza de una
variable aleatoria continua
X: Variable Aleatoria Continua, Ejemplo
Valor esperado:
Varianza:

44. Valor esperado y varianza de una
variable aleatoria continua
Trabajo en clase: El tiempo en minutos que un bus del MIO se retrasa es una variable
aleatoria X con función de densidad:
a. Compruebe que f(x) es un función de densidad.
b. Encuentre la función de distribución.
c. Calcule la probabilidad que el bus no se demore.
d. Calcule la probabilidad que el bus se demore más de 3 minutos.
e. Calcule la media y la varianza del tiempo en minutos que el bus se retrasa.
f. Calcule la media y la varianza del tiempo en segundos que el bus se retrasa.