Algebra lineal (vectores r2 y r3)
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Algebra lineal (vectores r2 y r3)

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ALGEBRA LINEAL R2 Y R3

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  • 1. MODULO ÁLGEBRA LINEAL CAMILO ZÍÑIGAA mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD –ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C., 2008 -1-
  • 2. COMITÉ DIRECTIVOJaime Alberto Leal AfanadorRectorGloria HerreraVicerrectora AcadémicaRoberto Salazar RamosVicerrector de Medios y Mediaciones PedagógicasMaribel Córdoba GuerreroSecretaria GeneralMÓDULOCURSO ÁLGEBRA LINEALPRIMERA EDICIÓN© CopyrightUniversidad Nacional Abierta y a DistanciaISBN2008Bogotá, Colombia -2-
  • 3. -3-
  • 4. AL ESTUDIANTEEl propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementosteóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes paracontextualizarlos en su campo de formación disciplinar.El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido unsignificativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad endiversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativodel profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en lasmás diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportessignificativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, entanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, elanálisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primeracontempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de EcuacionesLineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales.A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificacióncognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante laarticulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en losdiferentes campos de formación disciplinar.Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso delos recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos deaprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a sudesarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de informaciónen la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones deacompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a informacióndisponible en la plataforma virtual de la universidad.La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso setomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espírituinvestigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opcionesdocumentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales sonobviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: materialimpreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc. -4-
  • 5. TABLA DE CONTENIDOUNIDAD I 1. VECTORES EN R 2 …………………………………………………………………….9 1.1 NOCION DE DISTANCIA………………………………………………………………………….11 1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS………………………………………………………14 1.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR………………………………….20 1.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES……………………………..23 1.4.1 Multiplicación de un vector por un escalar…………………….23 1.4.2 Suma de Vectores………………………………………………………35 1.4.3 Diferencia de vectores………………………………………………..39 1.4.4 Producto escalar…………………………………………………………43 1.5 PROYECCIONES…………………………………………………………………..52 2. VECTORES EN R 3 …………………………………………………………………..58 2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS……………………………………………62 2.2 VECTORES BASE…………………………………………………………………..66 2.3 PRODUCTO VECTORIAL………………………………………………………..72 PROBLEMAS…………………………………………………………………………………. 77 AUTOEVALUACION……………………………………………………………………….. 79 3. MATRICES……………………………………………………………………………..81 3.1 OPERACIONES CON MATRICES………………………………………………83 3.1.1 Suma de matrices……………………………………………………84 3.1.2 Multiplicación por escalar…………………………………………87 3.1.3 Multiplicación de matrices………………………………………..88 3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES…………………………………………...92 3.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida……95 3.2.2 Inversa de una matriz………………………………………..99 3.2.3 Matrices Elementales…………………………………………105 3.2.4 La Factorización LU…………………………………………..119 4. DETERMINANTES…………………………………………………………………131 4.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES…………………138 4.2 INVERSAS…………………………………………………………………………….140 INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ….…………………147 PROBLEMAS……………………………………………………………………………………155 AUTOEVALUACION………………………………………………………………………….159UNIDAD II 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………………………………………163 5.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES ELIMINACION GAUSSIANA………..……………………………………………186 5.2 SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES METODO DE GAUSS – JORDAN……………………………………………….189 -5-
  • 6. 5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES REGLA DE CRAMER………………………………………………………………..195 5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……………………………………….198 5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA…………………………………………..203 SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS…….………………………………….2066. RECTAS EN R 3 ………………………………………………………..……………2087. PLANOS………………………………………………………..……………………2208. ESPACIOS VECTORIALES………………………………..……………………..228PROBLEMAS………………………………………………………………………………………..235AUTOEVALUACION…………………………………………………………………….…………239 -6-
  • 7. UNIDAD 1VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES -7-
  • 8. OBJETIVO GENERALQue el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con losfundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores,matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales ysituaciones particulares en diferentes campos del saber. OBJETIVOS ESPECIFICOS  Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo pertinente de las operaciones con los mismos.  Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver a futuro sistemas lineales. -8-
  • 9. -9-
  • 10. 1.1 NOCION DE DISTANCIAAhora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entreellos.Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, quenos establece que: - 10 -
  • 11. a 2  6 2  82a 2  100a   100Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,a  10 unidades. - 11 -
  • 12. - 12 -
  • 13. - 13 -
  • 14. - 14 -
  • 15. - 15 -
  • 16. - 16 -
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  • 66. Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEALAutor: Stanley Grossman. Quinta Edición.Pag. 251 - 66 -
  • 67. Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEALAutor: Stanley Grossman. Quinta Edición.Pag. 263 - 67 -
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  • 108. 1 0 0 1 0 0 1 1 0 , por lo tanto E 1   1E1   1 0 1 0 0 1  0 0 1        1 0 0   1 0 0  1 1E2   0 0  , por lo tanto E 2  0 6 0   6 0 0 1      0 0 1       1 2 0  1 2 0 E3   0 1  , por lo tanto E 1  0 1 0 0  3 0 0 1  0 0 1         1 0 0 1 0 0E4   0 1  , por lo tanto E 1  0 1 0 0 4 0 6 1 0 6 1         1 0 0   1 0 0  1E5   0 1 0  , por lo tanto E5  0 1 0   0 0 3    1   0 0     3 5  5 1 0  1 0   3  3 E6   0 1 0  , por lo tanto E 61   0 1 0          0 0 1  0 0 1         1 0 0 1 0 0     1  1E7   0 1  , por lo tanto E 7 1   0 1    6 6    0 0 1  0 0 1        Ahora realicemos el siguiente productoE11  E 2 1  E 61  E 7 1   - 108 -
  • 109. 1 0 0  1 0 0 1 2 0  1 0 0 1 0 0 1 1 0    0 6 0    0 1 0   0 1 0   0 1 0  0 0 1   0 0 1   0 0 1  0 6 1  0 0 3                     5  1 0 1 0 0  3    1 0 1 0  0 1   6    0 0 1  0 0 1       Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:  5  1 0 1 0 0  1 0 0  1 2 0 1 0 0 1 0 0  3   1  1 6 0   0 1 0   0 1 0   0 1 0    0 1 0  0 1    6 0 0 1  0 0 1  0 6 1  0 0 3              0 0 1  0 0 1               Seguimos  5  1 0 1 0 0  1 2 0  1 0 0 1 0 0  3   1  1 4 0    0 1 0   0 1 0    0 1 0  0 1    6 0 0 1   0 6 1  0 0 3            0 0 1  0 0 1             Seguimos  5  1 0 1 0 0  1 2 0  1 0 0   3   1  1 4 0    0 1 0   0 1 0  0 1    6 0 6 1  0 0 3         0 0 1  0 0 1          Seguimos  5  1 0 1 0 0  1 2 0  3   1  1 4 0  0 1 0  0 1    6 0 6 3       0 0 1  0 0 1          - 109 -
  • 110. Seguimos  5  1 2 1 0 0  3   5    1 1 4  0 1 3   6  0 6 3  0 0 1       Finalmente1 2  21 4 1 0 6 2  En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como suinversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, lasinversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales. - 110 -
  • 111. - 111 -
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  • 154. UNIDAD 2SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES - 154 -
  • 155. OBJETIVO GENERALQue el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción delos sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través delcomplejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentesbibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas delconocimiento. OBJETIVOS ESPECIFICOS  Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.  Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en el caso en que sea posible) - 155 -
  • 156. - 156 -
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  • 194. 5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALESEMPLEANDO LA MATRIZ INVERSAEl objetivo es resolver un sistema de la forma AX  b (con A de n  n ), donde A esinvertible.Partiendo del sistema AX  b , podemos multiplicar a izquierda por A 1 (Que existe,dado que A es invertible), con lo que nos queda: A 1 AX  A 1b Agrupando obtenemos 1 1 A AX  A b Simplificando  I  X  A 1 b Finalmente 1 X A bLa ultima afirmación, nos indica que se A es de n  n e invertible, entonces la solucióndel sistema lineal AX  b , la encontramos de la forma X  A 1b .EjemploDado el sistema lineal2 x1  3 x 2  10 x3  214 x1  x 2  x3  11 7 x1  5 x 2  4 x3  17Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre suinversa y úsela para resolver el sistema.SoluciónPara determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular sudeterminante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá únicasolución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)Encontremos el determinante: - 194 -
  • 195. 2  3 10DetA  4 1 1  225 7 5 4Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa: 1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán 1 2. Empleando determinantes ( A 1  * AdjA ) det AVoy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante lainvitación a realizarlo también por el otro método. 1 f1 f 2  4 f1 2 f 3  7 f1 1 f2 7 3 f1  f2 2 11  14f3  f2 f3 2 225 - 195 -
  • 196. 13f1  f3 19 14 f2  f3 7 Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa de A. Es decir,   1 38 13   25 225 225  1 62  38  A 1    25 225 225   3 11  14   25 225 225    Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación X  A 1b . Donde, 21 b  11 17      Por tanto, 1 38 13   25 225 225  21 1 62  38     11  25 225 225    X  3 11  14  17     25  225 225  2 X  1  2     Es decir, la solución es x1  2; x 2  1; x3  2 - 196 -
  • 197. - 197 -
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