GEOMETRIA E MEDIDA
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NO ENSINO BASICO

Ana Breda
Lurdes Serrazina
Lu´ Menezes
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H´lia Sousa
e
Paulo Oliveira

Maio de 201...
Brochura de apoio ao Programa de Matem´tica do Ensino B´sico (2007) para o
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Direc¸˜o-Gera...
Introdu¸˜o
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Sentido espacial

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Orienta¸˜es gerais para o ensino da Geometria
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Introdu¸˜o . . . . . . . . . ...
Paralelismo

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Postulado das Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Tarefas

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Introdu¸˜o
ca
A geometria e a medida s˜o duas ´reas da Matem´tica fundamentais para o dia-a-dia
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propriedades, ilustrar e discutir diversos tipos de simetria servindo-se para isso de frisos
e ros´ceas. S˜o ainda apresen...
Sentido espacial
O sentido espacial ´ o “agarrar” o mundo onde a crian¸a vive, respira e se movimenta
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combina¸˜o de duas formas para formarem uma nova forma, quando prevˆem o que acontece
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quando se altera o n´mero de la...
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• Percep¸˜o da posi¸˜o no espa¸o. Aptid˜o para distinguir figuras iguais quando coca
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Orienta¸oes gerais para o ensino
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da Geometria
Introdu¸˜o
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Para descrever, analisar e compreender o mundo f´
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Conceitos fundamentais do curr´
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Nos primeiros anos, os alunos come¸am por trabalhar os aspectos relativos ` posi¸˜o
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comunica¸˜o, pelo recurso a vocabul´rio geom´trico mais sofisticado e rigoroso. Nos primeica
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ros anos, os alunos utiliz...
Abordagem did´ctica
a

Introdu¸˜o
ca
Na aprendizagem da Matem´tica e, em particular na geometria, devem ser usados
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diver...
progridem na sua aprendizagem. Os van Hiele e outros investigadores que os seguiram2
estabeleceram um conjunto de n´
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Tipo de geometria

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O papel das tecnologias
A utiliza¸˜o das tecnologias ´ hoje imprescind´
ca
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alunos a trabalhar com as tecnologias, o professor pode perceber melhor a forma como os
alunos s˜o capazes de lidar com os...
Orienta¸˜o espacial
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Posi¸˜o e localiza¸˜o
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rela¸˜es do tipo: “atr´s do c´
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No 1.º ciclo, os alunos podem construir, tra¸ar e descrever caminhos e percursos, dec
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Tarefa 2: Coordenadas
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Tarefas envolvendo percursos
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Figura 10: Outras constru¸˜es com cubos.
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A tarefa Diferentes vistas ´ apropriada para os alunos dos 3.º e 4.º anos de e...
O professor deve dialogar com os alunos sobre a dificuldade em se saber ao certo, nalguns
casos, qual ´ a parte da frente d...
Classifica¸˜o em Geometria
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3. Ainda dentro dos quadril´teros convexos pode optar-se por uma classifica¸˜o em trˆs
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Figura 10 : Rectas paralelas intersectadas
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Tarefa 2: Rela¸˜o entre as medidas de um ˆngulo externo e dos ˆngulos
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Figura 18: Segmentos congruentes sobre uma secante.
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Consideremos o triˆngulo T = [ABC]. Admitamos que a recta r, paralela ao lado [AB]
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070 brochura geometria

  1. 1. GEOMETRIA E MEDIDA ´ NO ENSINO BASICO Ana Breda Lurdes Serrazina Lu´ Menezes ıs H´lia Sousa e Paulo Oliveira Maio de 2011
  2. 2. Brochura de apoio ao Programa de Matem´tica do Ensino B´sico (2007) para o a a ensino da Geometria e Medida Direc¸˜o-Geral de Inova¸˜o e Desenvolvimento Curricular (DGIDC) em: ca ca http://area.dgidc.min-edu.pt/materiais_NPMEB/home.htm
  3. 3. Introdu¸˜o ca 7 Sentido espacial 9 Orienta¸˜es gerais para o ensino da Geometria co 13 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 13 Conceitos fundamentais do curr´ ıculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Abordagem did´ctica a 17 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 17 A aprendizagem da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Utiliza¸˜o de materiais manipul´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a 20 O papel das tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Orienta¸˜o espacial ca 23 Posi¸˜o e localiza¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca ca 23 Tarefas com coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Tarefa 1: Onde est˜o as figuras? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 25 Tarefa 2: Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Tarefas envolvendo percursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Tarefa 3: Qual ´ o caminho? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 27 Tarefa 4: A figura escondida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tarefa 5: Tra¸ar percursos c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Tarefas sobre vistas de uma figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tarefa 6: Diferentes vistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Classifica¸˜o em Geometria ca 35 Alguns exemplos de tarefas para os primeiros anos . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tarefa 1: Comparar figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tarefa 2: Composi¸˜o e decomposi¸˜o de figuras . . . . . . . . . . . . . . . ca ca 38 3
  4. 4. Paralelismo 43 Postulado das Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tarefa 1: Rela¸˜o entre as medidas dos ˆngulos agudos de um triˆngulo ca a a rectˆngulo a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tarefa 2: Rela¸˜o entre as medidas de um ˆngulo externo e dos ˆngulos ca a a internos n˜o adjacentes num triˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 49 Segmentos congruentes sobre secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Teorema Fundamental da Proporcionalidade [TFP] . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Rec´ ıproco do Teorema Fundamental da Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . 52 Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Semelhan¸a de triˆngulos c a 53 Triˆngulos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 53 Alguns crit´rios de semelhan¸a de triˆngulos e c a 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tarefa 1: Decomposi¸˜o do triˆngulo rectˆngulo pela altura correspondente ca a a a ` hipotenusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Medi¸˜es indirectas usando semelhan¸a de triˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . co c a 57 Tarefa 2: T´nel de Samos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 58 Tarefa 3: Ecr˜s de televis˜o e filmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 59 Teorema de Pit´goras a 63 Algumas demonstra¸˜es por decomposi¸˜o e usando semelhan¸as . . . . . . . . . co ca c 63 Tarefa 1: Rela¸˜o entre as medidas da hipotenusa e do lado do triˆngulo ca a rectˆngulo is´sceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 66 Tarefa 2: Rela¸˜o entre catetos do triˆngulo rectˆngulo com ˆngulos de 30º ca a a a e 60º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Rec´ ıproco do Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 67 Transforma¸˜es geom´tricas co e 69 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 69 Transforma¸˜es Geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co e 70 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Reflex˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 77 Composi¸˜o de duas reflex˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca o 83 Rota¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 84 Transla¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 88 Reflex˜o Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 91 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Frisos e Ros´ceas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 99 4
  5. 5. Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Tarefa 1: Simetria em tapetes de arraiolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Tarefa 2: Itiner´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 a Tarefa 3: Figuras com simetria rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Pavimenta¸˜es uniformes do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 co Tarefa 4 : Pavimenta¸˜es Uniformes Regulares do Plano . . . . . . . . . . . 115 co Tarefa 5: Pavimenta¸˜es Uniformes Semi-Regulares do Plano . . . . . . . . 117 co Grandezas e Medida 121 O conceito de grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A opera¸˜o de medi¸˜o ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Unidades e instrumentos de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 ´ Area de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Tarefas sobre ´rea e per´ a ımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ´ Tarefa 1: Areas e per´ ımetros no geoplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Tarefa 2: Figuras no tangram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ´ Tarefa 3: Areas com o tangram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ´ Tarefa 4: Areas e per´ ımetros de rectˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 a Tarefa 5: Investigar ´reas de rectˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 a a Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Tarefas sobre volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Tarefa 6: Volumes com cubinhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Tarefa 7: Pilhas de moedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Tarefa 8: Pirˆmide no cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 a Tarefa 9: Volumes da pirˆmide e do cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 a Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Dinheiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Amplitude de ˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 a Tarefas sobre amplitude de ˆngulos a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Tarefa 10: C´ ırculo de papel e amplitude de ˆngulos . . . . . . . . . . . . . . 152 a ˆ Tarefa 11: Angulos internos de um pol´ ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Bibliografia 154 5
  6. 6. Introdu¸˜o ca A geometria e a medida s˜o duas ´reas da Matem´tica fundamentais para o dia-a-dia a a a dos cidad˜os a que a escola, no entanto, n˜o tem dado a devida aten¸˜o. A geometria a a ca ´ normalmente deixada para os finais dos anos lectivos e tratada a partir das defini¸˜es, e co dando pouco espa¸o ` ac¸˜o dos alunos na compreens˜o dos conceitos geom´tricos. A c a ca a e medida reduz-se, tradicionalmente, ` aplica¸˜o de f´rmulas e realiza¸˜o de c´lculos. a ca o ca a Acompanhando o desenvolvimento dos curr´ ıculos que tem vindo a acontecer internacionalmente, o actual Programa de Matem´tica do Ensino B´sico (PMEB, 2007) a a procurou inverter esta situa¸˜o propondo como ideia central em geometria, ao longo dos ca trˆs ciclos, o desenvolvimento do sentido espacial dos alunos. Um outro aspecto a destacar e prende-se com a introdu¸˜o desde o 1.º ciclo das transforma¸˜es geom´tricas, inicialmente ca co e de modo informal, e depois com uma progressiva formaliza¸˜o at´ ao 3.º ciclo. Tamb´m ca e e a no¸˜o de simetria de uma figura ´ clarificada e trabalhada neste programa, ganhando ca e importˆncia na caracteriza¸˜o dos objectos geom´tricos. Relativamente ` medida, embora a ca e a tenha um peso forte no 1.º ciclo, prop˜e-se que o tema seja tratado ao longo dos trˆs ciclos, o e come¸ando por trabalhar as no¸˜es de grandeza e de medida de uma grandeza. c co A presente brochura desenvolve as orienta¸˜es metodol´gicas respeitantes ao tema geco o ometria (e medida) e discute aspectos fundamentais dos conceitos trabalhados no ensino b´sico, sugerindo tarefas a propor aos alunos e indicando como podem ser concretizadas a na sala de aula. Trata-se de um documento destinado a professores e por isso procurou-se incluir uma fundamenta¸˜o adequada do ponto de vista dos conceitos matem´ticos que ca a aqueles devem trabalhar com os alunos. N˜o ´ objectivo desta brochura abordar todos os t´picos relativos a este tema, tendo a e o sido seleccionados aqueles que, na perspectiva dos autores, necessitam de uma clarifica¸˜o ca ou s˜o assuntos novos no Programa. Para al´m das Orienta¸˜es gerais para o ensino do a e co tema e da sua Abordagem did´ctica, procurou-se clarificar o que se entende por sentido a espacial, incluindo-se um conjunto de tarefas a trabalhar com os alunos. Considerou-se importante discutir o tema das Classifica¸˜es em geometria pela sua implica¸˜o no estudo co ca das Figuras Planas e dos S´lidos Geom´tricos. Tamb´m as Transforma¸˜es Geom´tricas o e e co e merecem uma aten¸˜o especial nesta brochura, come¸ando-se por clarificar conceitos e ca c 7
  7. 7. propriedades, ilustrar e discutir diversos tipos de simetria servindo-se para isso de frisos e ros´ceas. S˜o ainda apresentadas e discutidas tarefas que podem ser adaptadas pelo a a professor para trabalho de sala de aula. O ultimo cap´ ´ ıtulo discute a no¸˜o de Grandeza e inclui uma abordagem de algumas ca das grandezas inclu´ ıdas no PMEB, propondo e discutindo algumas tarefas que podem ser usadas na sala de aula. O PMEB recomenda que o ensino da geometria no 1.º e 2.º ciclos tenha por base a explora¸˜o, manipula¸˜o e experimenta¸˜o de materiais, bem como o estabelecimento de ca ca ca estimativas de medida de grandezas. No 3.º ciclo ´ recomendada a introdu¸˜o de pequenas e ca cadeias dedutivas na explora¸˜o de problemas geom´tricos. Alguns exemplos destes proca e blemas s˜o abordados nos cap´ a ıtulos Paralelismo, Semelhan¸a de triˆngulos, Teorema de c a Pit´goras e Transforma¸˜es Geom´tricas. a co e No final, apresentam-se sugest˜es de recursos que completam e aprofundam esta broo chura. 8
  8. 8. Sentido espacial O sentido espacial ´ o “agarrar” o mundo onde a crian¸a vive, respira e se movimenta e c (Freudhental, 1973). Tal como o sentido de n´mero, o sentido espacial ´ dif´ de definir, u e ıcil tem uma componente intuitiva, que se vai desenvolvendo desde o nascimento. A terminologia utilizada tamb´m nem sempre ´ consensual, havendo quem prefira utilizar termos e e como orienta¸˜o espacial, racioc´ ca ınio espacial ou ainda pensamento espacial. As crian¸as adquirem muitas no¸˜es acerca de espa¸o quando se movimentam no seu c co c ambiente natural e interagem com os objectos. As suas experiˆncias iniciais s˜o sobretudo e a ´ atrav´s da experiˆncia e da experimenta¸˜o em actividades espaciais concretas espaciais. E e e ca que o sentido espacial se vai desenvolvendo. Assim, quando chegam ` escola as crian¸as tˆm a c e j´ muitas no¸˜es intuitivas acerca de espa¸o e um grande conhecimento das formas, que ´ a co c e preciso continuar a desenvolver. Muitas vezes, a escola em vez de ampliar este conhecimento acaba por voltar a repetir aquilo que as crian¸as j´ sabem, como ilustra o exemplo seguinte: c a Professor: (mostrando uma figura) Podes dizer-me que tipo de figura ´ esta? e Aluno: Um quadrado ´ Professor: Muito bem. E um quadrado. O que se est´ a fazer ´ a repetir um conhecimento j´ adquirido, em vez de fazer apelo a e a ao racioc´ ınio espacial, isto ´, formar novas ideias a partir das rela¸˜es espaciais entre os e co objectos. O professor poderia ter optado por apresentar `s crian¸as um conjunto de figuras a c geom´tricas e pedir-lhes para seleccionar as que s˜o quadrados, justificando a selec¸˜o feita, e a ca contribuindo deste modo para o desenvolvimento do seu sentido espacial. O NCTM (1991) sistematiza esta ideia de sentido espacial nestes termos: O sentido espacial ´ um conhecimento intuitivo do meio que nos cerca e dos objectos que e nele existem. Para desenvolver o sentido espacial s˜o necess´rias muitas experiˆncias que a a e incidam: nas rela¸˜es geom´tricas; na direc¸˜o, orienta¸˜o e perspectivas dos objectos; e co e ca ca no modo como uma modifica¸˜o numa forma se relaciona com uma mudan¸a no tamanho” ca c (p. 61). As experiˆncias referidas dependem da capacidade de as crian¸as seguirem directrizes e c que utilizem palavras como acima, abaixo e atr´s. Uma compreens˜o mais profunda das a a formas e das suas propriedades ´ adquirida quando os alunos observam o resultado da e 9
  9. 9. combina¸˜o de duas formas para formarem uma nova forma, quando prevˆem o que acontece ca e quando se altera o n´mero de lados de uma forma, quando desenham uma forma depois de u a rodarem de meia volta ou de um quarto de volta, ou quando alteram as suas dimens˜es. o Diversos autores consideram no sentido espacial trˆs componentes: a visualiza¸˜o espae ca cial, as figuras geom´tricas e a orienta¸˜o espacial: e ca A visualiza¸˜o espacial envolve a capacidade de imaginar o movimento de objectos e ca as formas espaciais, como a constru¸˜o e manipula¸˜o de representa¸˜es mentais de objecca ca co tos bi e tri-dimensionais e a percep¸˜o de um objecto a partir de diferentes perspectivas ca (NCTM, 2000, p. 44). A visualiza¸˜o espacial pode ser desenvolvida, inicialmente, por ca meio da constru¸˜o e manipula¸˜o de representa¸˜es concretas, utilizando materiais manica ca co pul´veis e posteriormente pela representa¸˜o mental de formas, rela¸˜es e transforma¸˜es. a ca co co Da´ a importˆncia do trabalho com figuras geom´tricas, por exemplo, identificando as caı a e racter´ ısticas de determinada figura ou analisando o que acontece quando se altera apenas uma das propriedades e se mantˆm as outras. Os alunos podem recortar figuras em papel e e construir novas figuras a partir dos peda¸os obtidos. Outras tarefas envolvendo dobragens c e recortes podem ser importantes no desenvolvimento da visualiza¸˜o e do sentido espacial. ca Em suma, desde o in´ da escolaridade, os alunos devem desenvolver capacidades de viıcio sualiza¸˜o atrav´s de experiˆncias concretas com uma diversidade de objectos geom´tricos ca e e e e com as tecnologias, rodando, voltando, deslizando, encolhendo e deformando objectos bi e tri-dimensionais. Quando se fazem corresponder formas bi e tri-dimensionais `s suas representa¸˜es est´a co a se a trabalhar um outro aspecto da visualiza¸˜o espacial. Nesta perspectiva, os alunos do ca 1.º ciclo podem construir s´lidos a partir das suas planifica¸˜es e realizar o processo inverso, o co isto ´, partindo de um s´lido fazer a sua planifica¸˜o (por exemplo, utilizando material de e o ca encaixe). Podem ainda prever se determinada planifica¸˜o corresponde a um dado s´lido. ca o A interpreta¸˜o e desenho das vistas de topo ou laterais de objectos constituem o passo ca seguinte. Mais tarde, pode pedir-se aos alunos para construir um s´lido, com o menor o n´mero de blocos, que corresponda a determinadas vistas. u O ensino da geometria na escola deve levar os alunos a aprenderem sobre formas e figuras e ajud´-los a tomarem como referˆncia estruturas familiares como o pr´prio corpo, a e o estruturas geom´tricas como os mosaicos do ch˜o e padr˜es geom´tricos como a configura¸˜o e a o e ca dos pontos nas pe¸as de domin´s. Tarefas geom´tricas deste tipo estimulam os alunos a c o e pensar e a expressar-se sobre as suas percep¸˜es, o que por sua vez ajuda ao desenvolvimento co do sentido espacial e das capacidades de racioc´ ınio. A orienta¸˜o espacial ´ uma outra componente importante do sentido espacial, funca e damental para se compreender a posi¸˜o relativa das formas e dos objectos bem como a ca relatividade dos seus tamanhos. Deste modo, os alunos aprendem a orientar-se a partir de diferentes perspectivas e s˜o capazes de descrever caminhos e de compreender formas, a 10
  10. 10. figuras, propor¸˜es e rela¸˜es entre os objectos. As crian¸as possuem muitas competˆncias co co c e necess´rias ` orienta¸˜o espacial antes de iniciarem a sua escolaridade formal, como o evia a ca denciam investiga¸˜es realizadas com crian¸as de quatro e cinco anos. co c Um aluno com sentido espacial ´ capaz de, entre outros aspectos: e • concluir que justapondo dois cubos, com as mesmas dimens˜es, de modo a que duas o das suas faces coincidam, obt´m um paralelep´ e ıpedo; • concluir que numa pirˆmide as faces laterais s˜o todas triangulares, pois todas as a a arestas laterais concorrem num unico v´rtice; ´ e • construir um s´lido a partir da sua planifica¸˜o e vice-versa; o ca • determinar a soma da amplitude dos ˆngulos internos de um pol´ a ıgono a partir da justaposi¸˜o de triˆngulos nele inscritos; ca a • descrever uma figura ou um s´lido geom´trico a partir da sua observa¸˜o; o e ca • percepcionar que as faces laterais de um prisma s˜o necessariamente paralelogramos a e que se o prisma for recto esses paralelogramos s˜o rectˆngulos. a a Matos e Gordo1 , partindo de v´rios contributos da investiga¸˜o, apresentam a visualiza¸˜o a ca ca espacial como um conjunto de sete capacidades: • Coordena¸˜o visual motora. Isto ´, a capacidade de coordenar a vis˜o com os moca e a vimentos do corpo. Esta capacidade come¸a a ser desenvolvida desde muito cedo, c em particular quando as crian¸as desenvolvem actividades como comer, vestir, jogar, c etc. Tamb´m quando os alunos tˆm de procurar um caminho, pintar um desenho ou e e reproduzir uma figura dada. • Mem´ria visual. A capacidade de recordar objectos que j´ n˜o est˜o ` vista. Esta o a a a a capacidade desenvolve-se quando se pede aos alunos para copiarem figuras complexas em papel ponteado ou no geoplano. • Percep¸˜o figura-fundo. A capacidade de identificar uma componente espec´ ca ıfica numa determinada situa¸˜o, envolvendo a mdan¸a de percep¸˜o de figuras contra fundos ca c ca complexos. Esta capacidade desenvolve-se quando se procuram figures imersas noutras. • Constˆncia perceptual. Capacidade de reconhecer figuras geom´tricas em diferentes a e posi¸˜es, tamanhos e contextos. Uma tarefa que se pode incluir no desenvolvimento co desta capacidade ´ a de procurar todos os quadrados n˜o congruentes num geoplano e a 5x5. 1 Ver Matos e Gordo (1993) 11
  11. 11. • Percep¸˜o da posi¸˜o no espa¸o. Aptid˜o para distinguir figuras iguais quando coca ca c a locadas em posi¸˜es diferentes. Por exemplo, saber distinguir o p do b do d e do co q. • Percep¸˜o das rela¸˜es espaciais. Capacidade de ver ou imaginar dois objectos em ca co rela¸˜o consigo pr´prios ou em rela¸˜o com o observador. Por exemplo, a capacidade ca o ca de relacionar objectos geom´tricos com as suas vistas e as suas planifica¸˜es. e co • Discrimina¸˜o visual. Capacidade de identificar semelhan¸as e diferen¸as entre fica c c guras. Esta capacidade est´ presente quando se prop˜e aos alunos que efectuem a o classifica¸˜es e ordena¸˜es de formas geom´tricas. co co e Este conjunto de capacidades est´ relacionado com a forma como os alunos percepcioa nam o mundo que os rodeia e com a sua capacidade de interpretar, modificar e antecipar transforma¸˜es dos objectos. co 12
  12. 12. Orienta¸oes gerais para o ensino c˜ da Geometria Introdu¸˜o ca Para descrever, analisar e compreender o mundo f´ ısico recorremos muitas vezes ` geomea tria. Ao confrontar os alunos com fen´menos geom´tricos como as reflex˜es, e deixando-os o e o resolver problemas geom´tricos simples, estes aprendem a compreender melhor o mundo ` e a sua volta. De in´ ıcio, h´ necessidade de realizarem experiˆncias concretas de manipula¸˜o a e ca e observa¸˜o, mas, progressivamente, a ˆnfase deve ser colocada no racioc´ ca e ınio espacial e no desenvolvimento da capacidade de visualiza¸˜o espacial. Segundo o NCTM (2000), as ca ideias geom´tricas revelam-se muito uteis na representa¸˜o e na resolu¸˜o de problemas e e ´ ca ca a geometria constitui um contexto natural para o desenvolvimento das capacidades de racioc´ ınio e de argumenta¸˜o dos alunos. As crian¸as est˜o melhor preparadas para todas as ca c a tarefas escolares quando adquirem instrumentos de pensamento e competˆncias geom´tricas e e e espaciais. A geometria propicia um contexto favor´vel para que os alunos se envolvam em activia dade matem´tica e desenvolvam a comunica¸˜o matem´tica. Permite estabelecer conex˜es a ca a o entre diferentes ´reas da Matem´tica, por exemplo, as representa¸˜es geom´tricas poder˜o a a co e a ajudar a dar significado a diferentes conceitos como o de ´rea ou de frac¸˜o e s˜o uteis a ca a ´ na compreens˜o, por exemplo, dos histogramas ou dos gr´ficos de dispers˜o. O sentido a a a espacial ´ importante, por exemplo, na leitura e utiliza¸˜o de mapas, no planeamento de e ca itiner´rios e na constru¸˜o de plantas e tamb´m na cria¸˜o art´ a ca e ca ıstica. Quando as crian¸as chegam ` escola possuem j´ muitos conceitos rudimentares de forma c a a e espa¸o que devem constituir a base para o conhecimento geom´trico e racioc´ c e ınio espacial a desenvolver ao longo da escolaridade. O programa de Matem´tica para o ensino b´sico a a (PMEB) reconhece a importˆncia da geometria e dedica-lhe um lugar central no curr´ a ıculo de Matem´tica. a 13
  13. 13. Conceitos fundamentais do curr´ ıculo Nos primeiros anos, os alunos come¸am por trabalhar os aspectos relativos ` posi¸˜o c a ca relativa de dois ou mais objectos, mas tamb´m a identificar pontos de referˆncia e a construir e e itiner´rios. A partir da realidade que os rodeia, come¸am a descrever e a identificar uma a c variedade de formas e v˜o descobrindo as suas propriedades, come¸ando por fazˆ-lo em a c e figuras tridimensionais passando depois para as bidimensionais. O conhecimento informal e as no¸˜es intuitivas desenvolvidas no 1.º ciclo s˜o objecto de co a an´lise cuidadosa e aprofundada nos outros dois ciclos. Os alunos come¸am por elaborar a c descri¸˜es, defini¸˜es e esquemas de classifica¸˜o tendo em conta m´ltiplas propriedades, co co ca u como o comprimento, a ´rea e o volume ou a amplitude de ˆngulos. A partir destas a a caracter´ ısticas, os alunos elaboram as suas classifica¸˜es, at´ chegar, por exemplo, a uma co e classifica¸˜o de quadril´teros, onde a classe dos quadrados seja considerada uma subclasse ca a da dos rectˆngulos ou da dos losangos. Ao mesmo tempo, desenvolvem a sua capacidade de a comunica¸˜o e a sua compreens˜o de modo a serem capazes de usar que todos os quadrados ca a s˜o rectˆngulos mas nem todos os rectˆngulos s˜o quadrados. Uma tarefa interessante a a a a a realizar no 2.º ou no 3.º ciclo ´ a de identificar quais as propriedades de determinadas e figuras que s˜o necess´rias e suficientes para definir uma dada classe. a a Em geometria, os alunos usam a visualiza¸˜o, o racioc´ ca ınio espacial e o conhecimento geom´trico para resolver problemas. A comunica¸˜o ´ uma capacidade transversal ime ca e portante, permitindo que os alunos sejam capazes de interpretar, explicar e representar o processo em termos matem´ticos. a Sentido espacial, um sentir intuitivo para forma e espa¸o, inclui a capacidade de recoc nhecer, visualizar, representar e transformar formas geom´tricas, mas tamb´m inclui modos e e menos formais de olhar para o espa¸o bi e tri-dimensional como as dobragens, as transc forma¸˜es, as pavimenta¸˜es, etc. A geometria est´ ` volta de n´s na arte, na natureza co co a a o e nas coisas que fazemos. Os alunos em geometria podem aplicar o seu sentido espacial e conhecimento das propriedades das formas ao mundo real. Como o sentido de n´mero, tamb´m o sentido espacial n˜o ´ ensinado num dado mou e a e mento mas deve ser desenvolvido ao longo da escolaridade b´sica proporcionando aos estua dantes o envolvimento em actividades adequadas. Um exemplo de uma rotina simples que pode promover o sentido espacial ´ a seguinte, designada por desenho r´pido: e a No in´ da aula, durante trˆs segundos, o professor mostra um slide com uma figura ıcio e geom´trica. Pede depois aos alunos para desenharem em papel branco a figura que viram. e Depois dos desenhos estarem prontos, a imagem ´ de novo mostrada e discutida. Neste e processo surgem diversos desenhos e diversas interpreta¸˜es da figura, criando-se assim um co ` ambiente onde comunicar matematicamente se torna uma actividade importante. A medida que o trabalho progride, podem apresentar-se desenhos mais complexos, estimulando a 14
  14. 14. comunica¸˜o, pelo recurso a vocabul´rio geom´trico mais sofisticado e rigoroso. Nos primeica a e ros anos, os alunos utilizam o seu pr´prio vocabul´rio para fazerem a descri¸˜o das figuras o a ca e discutirem as suas semelhan¸as e diferen¸as. Gradualmente, os professores introduzem c c a terminologia e nota¸˜o da geometria, estabelecendo assim as bases para a aprendizagem ca com um grau de formaliza¸˜o crescente ` medida que avan¸am na escolaridade. ca a c A geometria contribui com um vocabul´rio geom´trico que se vai adquirindo, mas, a par a e disso, espera-se que os alunos desenvolvam a sua capacidade de compreens˜o dos conceitos a e suas rela¸˜es, da an´lise da informa¸˜o, de resolu¸˜o de problemas, de comunica¸˜o, mas co a ca ca ca tamb´m de abstrac¸˜o e generaliza¸˜o e de compreender e elaborar argumenta¸˜es. e ca ca co A geometria ´, por excelˆncia, o tema matem´tico que permite que os alunos aprendam a e e a ver a estrutura e simetria presentes no mundo ` sua volta, nomeadamente nos monumentos a hist´ricos ou na pr´pria natureza, e tamb´m em outros temas da pr´pria Matem´tica, o o e o a aprendendo dessa forma a valorizar o seu valor est´tico. e O sentido espacial ´ fundamental para elaborar e usar representa¸˜es de modo a registar e co ideias matem´ticas. A capacidade de racioc´ a ınio desenvolvida pelos alunos permite-lhes investigar problemas geom´tricos de crescente complexidade e, ao mesmo tempo, desenvolver e clareza na descri¸˜o das propriedades das figuras geom´tricas a par com o desenvolvimento ca e da comunica¸˜o matem´tica. ca a O estudo das figuras no plano e no espa¸o come¸a no 1.º ciclo, considerando-as inicialc c mente de modo global, identificando propriedades das mesmas; no 2.º ciclo, os alunos s˜o a chamados a relacionar as suas propriedades e no 3.º ciclo surgem situa¸˜es de racioc´ co ınio hipot´tico-dedutivo, proporcionando-lhes um primeiro contacto com este modo de pensae mento. Uma altera¸˜o importante no PMEB, em rela¸˜o ao programa anterior, ´ o estudo, ca ca e logo desde o 1.º ciclo, de diversas transforma¸˜es geom´tricas, primeiro de forma intuitiva co e e depois com crescente formaliza¸˜o. As isometrias, nomeadamente as reflex˜es, rota¸˜es, ca o co transla¸˜es e reflex˜es deslizantes, s˜o introduzidas de modo informal atrav´s da explora¸˜o co o a e ca e constru¸˜o de frisos e ros´ceas. As semelhan¸as aparecem no 3.º ciclo a partir do estudo ca a c de figuras semelhantes. 15
  15. 15. Abordagem did´ctica a Introdu¸˜o ca Na aprendizagem da Matem´tica e, em particular na geometria, devem ser usados a diversos recursos, tais como, r´gua, esquadro, compasso e transferidor e outros materiais e manipul´veis. Como vivemos num mundo de padr˜es, formas e movimentos, isto ´, num a o e mundo geom´trico, antes de chegarem ao 1.º ciclo os alunos j´ viveram muitas experiˆncias e a e onde exploraram rela¸˜es espaciais e geom´tricas, onde tiveram oportunidade de comparar co e objectos, de classific´-los e agrup´-los de acordo com atributos como tamanho e forma, de a a explorar padr˜es geom´tricos e explorar rela¸˜es de tamanho, direc¸˜o e posi¸˜o no espa¸o. o e co ca ca c O sentido espacial envolve capacidades perceptuais que s˜o importantes para o sucesso no a in´ da escolaridade. ıcio Na representa¸˜o de objectos geom´tricos, a utiliza¸˜o do computador e em particular ca e ca dos programas de geometria dinˆmica ´ recomendada. a e A informalidade deve ser um aspecto essencial nas primeiras experiˆncias em geometria. e Desde o nascimento, as crian¸as tiveram muitas experiˆncias geom´tricas e adquiriram c e e ideias geom´tricas que devem ser exploradas e validadas. Para isso, ´ necess´ria uma e e a variedade de experiˆncias de investiga¸˜o e discuss˜o de conceitos geom´tricos em diferentes e ca a e contextos. A aprendizagem da Geometria A teoria de van Hiele e os estudos que tˆm sido realizados a partir da´ proporcioname ı nos perspectivas como analisar e planificar o progresso na aprendizagem da geometria. Trata-se de uma teoria onde foram definidos um conjunto de n´ ıveis de aprendizagem, mas simultaneamente se afirma que a progress˜o atrav´s dos n´ a e ıveis se faz atrav´s do ensino. e Isto ´, ´ atrav´s das experiˆncias de aprendizagem proporcionadas aos alunos que estes e e e e 17
  16. 16. progridem na sua aprendizagem. Os van Hiele e outros investigadores que os seguiram2 estabeleceram um conjunto de n´ ıveis de aprendizagem dos quais se destacam: N´ 0 – Pr´-reconhecimento – os alunos neste n´ d˜o aten¸˜o apenas a parte das ıvel e ıvel a ca caracter´ ısticas visuais de uma figura, s˜o incapazes de identificar muitas figuras comuns. a N´ 1 – Visual – os alunos identificam, descrevem e raciocinam acerca das figuras e ıvel outras configura¸˜es geom´tricas de acordo com a sua aparˆncia como um todo visual. Os co e e seus racioc´ ınios s˜o dominados pela percep¸˜o visual e imag´tica e n˜o por uma an´lise a ca e a a das propriedades geom´tricas. Quando identificam figuras, os alunos usam muitas vezes e prot´tipos visuais, por exemplo, dizendo que uma figura ´ um rectˆngulo porque “se parece o e a com uma porta”. N´ 2 – Descritivo/Anal´ ıvel ıtico – os alunos reconhecem e caracterizam figuras pelas suas propriedades geom´tricas, isto ´, explicitamente focando e descrevendo rela¸˜es entre as e e co partes de uma figura. Na transi¸˜o do N´ 1 para o N´ 2, os alunos descrevem partes e ca ıvel ıvel propriedades das figuras informalmente, de modo impreciso e muitas vezes incompleto; eles n˜o possuem as conceptualiza¸˜es formais que os tornam capazes de precisar propriedades a co espec´ ıficas. Por exemplo, um aluno pode descrever um rectˆngulo como uma figura que a ` medida que os alunos v˜o adquirindo conceptem dois lados compridos e dois curtos. A a tualiza¸˜es formais que podem ser usadas para fazer sentido e descrever rela¸˜es espaciais co co entre as partes de uma figura, eles usam uma combina¸˜o do formal e do informal para a ca descri¸˜o dessa figura. Finalmente, quando raciocinam no N´ 2 usam expl´ ca ıvel ıcita e exclusivamente linguagem e conceitos geom´tricos formais para descrever e conceptualizar figuras e de um modo que corresponda a um conjunto suficiente de propriedades para especificar essas figuras. Por exemplo, podem pensar num rectˆngulo como uma figura que tem lados a opostos iguais e paralelos e quatro ˆngulos rectos, ou seja, uma figura ´ identificada pelas a e suas propriedades. N´ 3 – Ordena¸˜o - Neste n´ os alunos compreendem as rela¸˜es entre as propriıvel ca ıvel co edades. As defini¸˜es s˜o significativas, isto ´, os alunos compreendem que um quadrado co a e ´ um rectˆngulo porque tem todas as propriedades do rectˆngulo. Um aluno neste n´ e a a ıvel pode deduzir propriedades de uma figura e reconhecer classes de figuras, seguir argumentos formais, mas n˜o vˆ como alterar a ordem l´gica duma demonstra¸˜o, nem como construir a e o ca uma demonstra¸˜o partindo de premissas diferentes ou n˜o familiares. ca a Os van Hiele definiram ainda mais dois n´ ıveis: Dedu¸˜o, onde a geometria ´ entendida ca e como um sistema axiom´tico e o de Rigor.3 a Partindo da teoria de van Hiele e conjugando com outras perspectivas4 , Parzysz (2006) definiu um quadro te´rico com quatro paradigmas: o 2 Ver Clements e Battista (1992) Ver Matos (1992) 4 Ver Houdement & Kusniak (2003) e Henry (1999) 3 18
  17. 17. Tipo de geometria Geometrias n˜o axiom´ticas a a Concreta Espa¸o-gr´fica c a (G0) (G1) Objectos Modo de Valida¸˜o ca F´ ısicos Perceptivo-dedutivos Geometrias axiom´ticas a ProtoAxiom´tica a axiom´tica a (G3) (G2) Te´ricos o Hipot´tico-dedutivos e Os elementos em que se baseia este modelo sint´tico s˜o, por um lado, a natureza dos e a objectos em jogo (f´ ısico versus te´rico), e por outro, os modos de valida¸˜o (perceptivo o ca versus hipot´tico-dedutivo). Partindo da “realidade”, ou ainda do “concreto” (G0) que, e para este autor, n˜o ´ ainda geom´trico pois os seus objectos s˜o realiza¸˜es materiais com a e e a co todas as suas caracter´ ısticas (mat´ria, cor, etc), confronta-se de um lado uma geometria e n˜o axiom´tica, que se apoia em situa¸˜es concretas que s˜o idealizadas para constituir a a co a o “espa¸o-gr´fico” (G1), e de outro lado, uma geometria axiom´tica, a axiomatiza¸˜o, c a a ca podendo ser explicitada completamente (G3) ou n˜o (G2), sendo a referˆncia ao “real” faa e cultativa para a primeira (mas n˜o para a segunda); no ultimo caso, falamos de geometria a ´ proto-axiom´tica. Para Parzysz, o grande objectivo na escolaridade obrigat´ria ´ a artia o e cula¸˜o entre G1 e G2. No paradigma G1 (espa¸o-gr´fico) os objectos em jogo s˜o f´ ca c a a ısicos (modelos, diagramas, imagens de computador...) e as provas s˜o de natureza perceptiva a (vis˜o, compara¸˜o, medida, etc.). Em G2 (proto-axiom´tico), os objectos em jogo s˜o cona ca a a ceptuais – linha, recta, ... (a sua existˆncia procede de axiomas e teoremas) e as provas s˜o e a te´ricas (movendo-se de facto do perceptivo para o hipot´tico-dedutivo quando aumenta o o e conhecimento geom´trico dos alunos). Nos dois paradigmas, os diagramas tˆm um papel e e fundamental na resolu¸˜o de problemas, mas o seu estatuto ´ diferente. Em G1, uma consca e tru¸˜o consiste em fazer um diagrama utilizando materiais e uma propriedade ´ verificada ca e por observa¸˜o ou medida. Em G2, uma constru¸˜o consiste em definir novos objectos por ca ca palavras e a unica maneira de verificar uma propriedade ´ atrav´s de uma demonstra¸˜o ´ e e ca (utilizando racioc´ ınio dedutivo), fazendo uso de defini¸˜es e teoremas e com a ajuda de um co diagrama. Para Parzysz, a linguagem utilizada tamb´m varia com o paradigma onde se e encontra o aluno: se este descreve mais as ac¸˜es realizadas do que os objectos geom´tricos co e constru´ ıdos (por exemplo, ‘pus a ponta do compasso no ponto A’), pode ser interpretado como indicador de G1; se define directamente os objectos geom´tricos, apesar dos gestos e realizados para os representar fisicamente (por exemplo, ‘dado o c´ ırculo com centro em A e raio BC’) pode ser interpretado como indicador de G2. Ao longo da escolaridade, os alunos devem ser conduzidos a movimentarem-se gradualmente de G0 para G1 e deste para G2. 19
  18. 18. Utiliza¸˜o de materiais manipul´veis ca a Os materiais manipul´veis (como o geoplano, o tangram, formas poligonais, polydrons a ou cubos encaix´veis) podem ter um papel fundamental como mediadores na aprendizagem a dos diversos temas de geometria, para al´m dos materiais pr´prios deste tema (como r´gua, e o e esquadro, compasso, transferidor). Mas os materiais s´ por si n˜o conduzem a nenhuma aprendizagem, tendo o professor o a um papel fundamental neste processo. Os professores devem disponibilizar os materiais e organizar adequadamente o ambiente de aprendizagem, de modo a encorajar os alunos a explorar as figuras e as suas propriedades. No in´ do 1º ciclo, os alunos podem comparar ıcio blocos e materiais de uso comum, como caixas, identificando as suas semelhan¸as e as suas c diferen¸as. Fazendo dobragens ou utilizando, por exemplo, o geoplano podem explorar c ´ algumas propriedades. E fundamental explorar muitos exemplos (e n˜o exemplos) de figuras a correspondentes ao mesmo conceito geom´trico, por exemplo, triˆngulos posicionados de e a maneiras distintas e com ˆngulos de diferente amplitude e outras figuras que se assemelham a a triˆngulos e n˜o o s˜o. Promovendo a discuss˜o na turma ` volta de exemplos e contraa a a a a exemplos, os conceitos geom´tricos v˜o sendo desenvolvidos e aperfei¸oados. e a c ` A medida que progridem na escolaridade, devem desenvolver modos mais precisos de descrever formas bi e tri-dimensionais, centrando-se na identifica¸˜o e na descri¸˜o das suas ca ca propriedades e nas rela¸˜es entre elas, usando o vocabul´rio adequado. Os alunos devem ser co a encorajados a raciocinar sobre essas propriedades, recorrendo `s rela¸˜es espaciais e usando a co ` medida que os alunos classificam, criam, desenham, modelam, os argumentos adequados. A tra¸am, medem ou constroem, a sua capacidade de visualiza¸˜o das rela¸˜es geom´tricas c ca co e desenvolve-se. Em simultˆneo, est˜o a aprender a raciocinar e a formular, testar e justificar a a conjecturas sobre essas rela¸˜es. co Tamb´m relativamente `s transforma¸˜es geom´tricas, os alunos come¸am por identie a co e c ficar figuras congruentes como aquelas que se podem sobrepor, mas ´ importante que se e v˜o apropriando de vocabul´rio correspondente `s transforma¸˜es geom´tricas e que sea a a co e jam capazes de descrever o “movimento” correspondente As crian¸as usam transforma¸˜es c co informalmente quando fazem puzzles – rodam as pe¸as, e deslocam-nas para o seu lugar. c Deste modo, tamb´m aprendem que mudar a posi¸˜o ou orienta¸˜o de um objecto n˜o e ca ca a altera a sua forma ou o seu tamanho. 20
  19. 19. O papel das tecnologias A utiliza¸˜o das tecnologias ´ hoje imprescind´ ca e ıvel quando nos referimos ao ensino da Matem´tica e, em particular, ao da geometria. A tecnologia n˜o s´ influencia o modo como a a o a geometria ´ ensinada e aprendida, como tamb´m afecta o momento em que isso acontece e e e o que se ensina. As ferramentas tecnol´gicas permitem o acesso a modelos visuais poderosos, o a que os alunos, em especial os mais novos, n˜o teriam acesso t˜o facilmente. Deste modo, a a a tecnologia enriquece a extens˜o e a qualidade das investiga¸˜es em geometria, ao fornecer a co um meio de visualizar no¸˜es geom´tricas sobre diferentes perspectivas. Ao trabalhar com co e programas de geometria dinˆmica, a aprendizagem dos alunos ´ auxiliada pela resposta a e que a tecnologia pode proporcionar. Trabalhando com um programa de geometria dinˆmica, os alunos podem investigar as a propriedades das figuras, desenvolver o conceito de “figura” atendendo `s rela¸˜es subjaa co centes e n˜o `s particularidades de um desenho espec´ a a ıfico, podem ainda explorar rela¸˜es e co formular e testar conjecturas. Tamb´m a compreens˜o e identifica¸˜o de invariantes numa e a ca classe de figuras pode ser facilitado com o trabalho em geometria dinˆmica. a Existem, dispon´ ıveis na Internet, pequenos programas interactivos, designados por applets, que permitem trabalhar problemas interessantes do ponto de vista da geometria. O trabalho com manipul´veis virtuais, por exemplo, o geoplano virtual, a par do trabalho a com o pr´prio material, permite o alargar de experiˆncias, em particular para os alunos o e mais novos. Os alunos poder˜o, com aux´ dos computadores, proceder a abstrac¸˜es e generaa ılio co liza¸˜es das suas experiˆncias. Por exemplo, os alunos poder˜o construir um rectˆngulo co e a a no geoplano, medir os respectivos lados e constru´ depois num programa de computaı-lo dor com as mesmas dimens˜es relativas, explorando as no¸˜es de escala e de semelhan¸a. o co c Tamb´m existem dispon´ e ıveis pequenos programas inform´ticos que permitem que os alunos a percorram labirintos ou mapas. Inicialmente, os alunos tentar˜o utilizar uma estrat´gia de a e tentativa e erro, mas o professor deve encoraj´-los a descrever e justificar os movimentos a que realizam no computador para percorrer determinado caminho ou para fazer um dado percurso. Deste modo, est˜o a ser trabalhados diversos conceitos, nomeadamente os de a orienta¸˜o, direc¸˜o e medi¸˜o. Outros jogos de computador como o Tetris podem ajudar ca ca ca a desenvolver a orienta¸˜o espacial e a coordena¸˜o visual-motora. ca ca Como qualquer outro instrumento de ensino, a forma como a tecnologia ´ utilizada e depende do professor, podendo ser usada de modo adequado ou n˜o. Embora, por vezes, os a alunos pare¸am poder trabalhar de modo independente com a tecnologia, esta n˜o substitui c a o professor. Pelo contr´rio, o seu papel ´ essencial desde logo ao definir quando e como a e deve ser usada a tecnologia, mas tamb´m na selec¸˜o das tarefas que prop˜e e na forma e ca o como promove a sua realiza¸˜o e o envolvimento dos seus alunos. Tamb´m ao observar os ca e 21
  20. 20. alunos a trabalhar com as tecnologias, o professor pode perceber melhor a forma como os alunos s˜o capazes de lidar com os conceitos e temas em jogo, podendo deste modo tomar a decis˜es mais informadas sobre a avalia¸˜o formativa dos seus alunos e consequentemente a o ca planifica¸˜o das suas aulas. A tecnologia pode assim constituir um contexto para discuss˜es ca o entre os alunos e o professor sobre os objectos visualizados no ecr˜ e os efeitos das diversas a transforma¸˜es proporcionadas pelo software, o que para al´m do desenvolvimento dos co e conceitos em presen¸a, contribui para o desenvolvimento da comunica¸˜o matem´tica. c ca a 22
  21. 21. Orienta¸˜o espacial ca Posi¸˜o e localiza¸˜o ca ca O PMEB (2007) destaca o desenvolvimento do sentido espacial e da visualiza¸˜o como ca aspectos essenciais, em geometria, que os alunos devem desenvolver ao longo do ensino b´sico. O t´pico Orienta¸˜o espacial e os subt´picos posi¸˜o e localiza¸˜o, pontos de a o ca o ca ca referˆncia e itiner´rios e mapas, plantas e maquetas, que surgem logo no 1.º ciclo, envolvem e a um conjunto de conceitos e ideias geom´tricas importantes para o desenvolvimento do e sentido espacial dos alunos. A realiza¸˜o de tarefas envolvendo a constru¸˜o, interpreta¸˜o ca ca ca e utiliza¸˜o de itiner´rios, de percursos e de labirintos, a interpreta¸˜o e desenho de plantas, ca a ca a interpreta¸˜o e utiliza¸˜o de mapas e a constru¸˜o de maquetas, recorrendo a pontos de ca ca ca referˆncia diversos, incluindo a no¸˜o de que figuras e s´ e ca ımbolos (numa planta, num mapa) representam objectos s˜o importantes para o desenvolvimento desses conceitos. Est˜o a a tamb´m associados outros conceitos e termos matem´ticos importantes em geometria, como e a por exemplo, paralelismo, perpendicularidade, concorrˆncia, ˆngulo, direc¸˜o, orienta¸˜o, e a ca ca distˆncia e coordenadas. a Sobre os conceitos de posi¸˜o e localiza¸˜o, nos primeiros anos, os alunos devem comca ca preender que a posi¸˜o de algo est´, muitas vezes, relacionada com a posi¸˜o do observador ca a ca e com um dado sistema de referˆncia, podendo este ser definido de acordo com regras que se e estabele¸am num dado contexto ou podendo usar-se um sistema de referˆncia convencional. c e Em qualquer dos casos ´ importante que numa dada situa¸˜o todas as pessoas envolvidas e ca ´ saibam qual ´ o sistema de referˆncia que foi considerado. E habitual, como se define e e no PMEB, considerar-se que na localiza¸˜o de objectos se utilize o sistema de referˆncia ca e esquerda-direita e horizontal-vertical referido ao pr´prio corpo. o Tal como se disse, a descri¸˜o da posi¸˜o de um objecto tem, em muitas situa¸˜es, por ca ca co referˆncia outro (s) objecto (s). Por isso, no¸˜es como em cima, em baixo, ` direita ou e co a a ` esquerda s˜o conceitos relativos. Diz-se, por exemplo: “o rectˆngulo est´ ` direita do a a a a triˆngulo” ou “o arm´rio est´ ` esquerda da mesa”. Estas descri¸˜es de posi¸˜o `s vezes a a aa co ca a envolvem medidas, por exemplo, “o rectˆngulo est´ cinco cent´ a a ımetros atr´s do c´ a ırculo”ou 23
  22. 22. rela¸˜es do tipo: “atr´s do c´ co a ırculo, mas ` frente do quadrado”. Muitas oportunidades a para usar vocabul´rio relacionado com a posi¸˜o e localiza¸˜o ocorrem naturalmente. Por a ca ca exemplo, na vida do dia-a-dia dizem-se frequentemente frases do tipo: vai em frente, volta ` direita e depois vira ` esquerda. Na sala de aula, a realiza¸˜o de jogos, simula¸˜es e a a ca co dramatiza¸˜es que permitam a utiliza¸˜o e apropria¸˜o destas no¸˜es e destes termos pode co ca ca co ajudar ` compreens˜o dos conceitos e ` aquisi¸˜o do respectivo vocabul´rio. A literatura a a a ca a infantil, nos primeiros anos, tamb´m oferece bons contextos para a explora¸˜o destes cone ca ceitos, por exemplo, propondo a sua dramatiza¸˜o e solicitando aos alunos que descrevam ca a localiza¸˜o das personagens. ca Se em algumas situa¸˜es da nossa vida ´ suficiente uma localiza¸˜o relativa, e usamco e ca se termos que s˜o relativos (esquerda e direita) e subjectivos (perto e longe), h´ outras a a situa¸˜es em que ´ necess´rio uma localiza¸˜o mais precisa (absoluta), e nesse caso, ´ neco e a ca e cess´rio recorrer a um sistema de referˆncia que permita assegurar exactid˜o na localiza¸˜o. a e a ca Desde h´ muitos s´culos que o Homem sentiu a necessidade de desenvolver sistemas de a e referˆncia e instrumentos rigorosos que permitissem determinar posi¸˜es, localiza¸˜es e e co co direc¸˜es de pessoas, animais e objectos, como s˜o exemplos, respectivamente, a rosa-dosco a ventos e a b´ssola, utilizando-se termos, como norte, sul, este e oeste, entre outros. Existem u ainda outros sistemas de referˆncia relacionados com Orienta¸˜o que n˜o cabe aqui trae ca a tar, bem como novos instrumentos muito usuais, hoje em dia, como o GPS (Sistema de Posicionamento Global). Em Matem´tica, existe um sistema de referˆncia que permite localizar pontos no plano a e - o referencial cartesiano. Este ´ constitu´ por dois eixos, perpendiculares entre si, que e ıdo se cruzam num ponto a que se chama origem. Cada um desses eixos tem uma orienta¸˜o, ca indicada por uma seta, e uma gradua¸˜o, tal como se vˆ na figura seguinte. ca e Figura 1: Referencial Cartesiano. 24
  23. 23. No 1.º ciclo, os alunos podem construir, tra¸ar e descrever caminhos e percursos, dec terminar distˆncias usando quadr´ a ıculas tomando como unidade de medida, por exemplo, um lado da quadr´ ıcula e utilizar sistemas de coordenadas para localizar pontos atrav´s de e pares de n´meros (letras). u Nos 2.º e 3.º ciclos, estes conceitos devem continuar a ser desenvolvidos e aprofundados. Ideias geom´tricas de localiza¸˜o e distˆncia podem ser relacionadas com o desenvolvimento e ca a de conceitos alg´bricos, em particular no 3.º ciclo com a representa¸˜o de fun¸˜es. e ca co Tarefas com coordenadas Tarefa 1: Onde est˜o as figuras? a Figura 2: Quadr´ ıcula com coordenadas. Neste exemplo, podemos ver que ´ poss´ e ıvel localizar estas duas figuras (a e b) com exactid˜o, considerando, os 4 pontos que representam, respectivamente, os seus v´rtices, a e do seguinte modo: Figura a – (A,2) (C,2) (A,5) (C,5) Figura b – (B,1) (E,1) (B,4) (E,4) Pode-se propor aos alunos a realiza¸˜o de um jogo (a pares) em que um aluno dita os ca pontos das figuras e o outro sem ver representa-os numa outra quadr´ ıcula igual e com as mesmas coordenadas. No fim, comparam para ver se as figuras ficaram representadas na mesma posi¸˜o. Depois podem trocar de papel e jogar com outras figuras. ca 25
  24. 24. Tarefa 2: Coordenadas Em cada uma das grelhas de coordenadas est˜o marcados trˆs pontos. a e 1. Em qual delas se pode marcar o ponto (G, 8) de modo a que os quatro pontos sejam os v´rtices de um quadrado? Justifica a tua resposta. e 2. Quando ´ que ´ poss´ e e ıvel, marcando um novo ponto, desenhar um quadrado em que os trˆs pontos marcados s˜o v´rtices? Justifique e indique as coordenadas daquele e a e ponto, em cada caso. Figura 3: Grelhas de coordenadas. 3. Definir atrav´s das coordenadas os pontos que s˜o extremos de segmentos de recta e a paralelos ou perpendiculares e classificar a partir desses pontos dados os pol´ ıgonos que se obtˆm tendo por lados esses segmentos de recta. e 26
  25. 25. Tarefas envolvendo percursos Os alunos devem descrever percursos que habitualmente fa¸am, como por exemplo, c de casa para a escola, da escola para casa, de casa ao cinema, uma viagem de carro, etc. Nessas descri¸˜es surge, naturalmente, o uso de vocabul´rio relacionado com direc¸˜o, co a ca sentido, distˆncia, etc. O professor pode escrever no quadro alguns voc´bulos ou express˜es a a o que considere mais significativos e promover a discuss˜o na turma sobre o seu significado. a Tarefa 3: Qual ´ o caminho? e Observar o esquema e imaginar que h´ uma pessoa que n˜o sabe como ´ que a a e se pode deslocar da sala para a biblioteca. Que indica¸˜es lhe podemos dar? co Figura 4: Esquema do caminho. O professor vai escrevendo no quadro o que os alunos dizem e discutem-se quais s˜o as a indica¸˜es mais e menos apropriadas. co Exemplo de indica¸˜es: co Sair da porta da sala, virar para Oeste at´ ao fim da rua e virar para Sul. Na esquina e voltar para Oeste e caminhar at´ ` pr´xima esquina, onde dever´ voltar para Norte. Seguir ea o a e voltar para Este. Est´ na Biblioteca. a Este tipo de percursos pode ser simulado na sala de aula. Com uma b´ssola os alunos u podem, por exemplo, determinar o Norte, na sala de aula, colocando um cart˜o com a a palavra NORTE num lugar apropriado. O professor pode colocar quest˜es como: Que o outra direc¸˜o pode ser usada para descrever outra localiza¸˜o da sala? ca ca Ou, Desenhar um esquema com as direc¸˜es (rosa-dos-ventos) para mostrar a rela¸˜o entre co ca os v´rios pontos cardeais e perguntar aos alunos: a Qual ´ a parede da sala que est´ a Norte?; E a Este? e a 27
  26. 26. Colocar nas paredes etiquetas com o nome do respectivo ponto cardeal e realizar e descrever percursos entre dois pontos da sala de aula, utilizando vocabul´rio apropriado. a Tarefa 4: A figura escondida 5 Dizer aos alunos que h´ um triˆngulo escondido na sala que ´ necess´rio encontrar. a a e a Marcar com um x um ponto no in´ ıcio. Mostrar uma lista com indica¸˜es que ajudar˜o co a os alunos a descobrirem o triˆngulo. As instru¸˜es devem incluir as direc¸˜es a seguir e o a co co n´mero de passos em direc¸˜o ao Norte, ao Sul, ao Este e ao Oeste. Os alunos podem tentar u ca dar passos do mesmo tamanho, ou usar uma unidade de medida de tamanho equivalente ao seu passo m´dio, por exemplo, usando umas tiras de papel com essa medida. e Seleccionar um aluno e dar indica¸˜es do tipo das seguintes: co • No ponto de partida x, dar 4 passos para Norte • Voltar para Este • Voltar para Sul e dar dois passos • Voltar para Oeste e dar um passo • Chegou ao local onde est´ o triˆngulo. a a Depois do triˆngulo descoberto, o professor promove uma discuss˜o, colocando quest˜es do a a o tipo: O que ajudou o aluno X a encontrar o triˆngulo? a Ele podia encontrar o triˆngulo sem o uso dos termos Norte, Sul, Este e Oeste? a Existem outras maneiras de poder encontrar o triˆngulo? a As indica¸˜es estavam bem dadas? Como sabem? co Porque foi necess´rio estabelecer as direc¸oes Norte, Sul, Este e Oeste? a c˜ Alguns pares de alunos escrevem um conjunto de indica¸˜es que podem ajudar outros co alunos a encontrar um objecto que tenham escondido. Lembrar os alunos que devem escrever indica¸˜es detalhadas. Considera-se que o jogo foi bem sucedido se a figura for co encontrada. 5 Tarefa inspirada em Navigating through Geometry in Grades 3-5 (NCTM) 28
  27. 27. Tarefa 5: Tra¸ar percursos c O Ra´l vai sair de casa (ponto A) e deslocar-se para a escola (ponto B). u 1. Quantos percursos diferentes pode o Ra´l fazer para se deslocar de casa ` escola? Conu a sidera apenas os percursos mais curtos, tomando como unidade o lado da quadr´ ıcula. Explica como pensaste. Figura 5: Caminho para a escola. 2. Descreve um dos percursos e lˆ-o ao teu colega para ele o representar (no papel e quadriculado). Compara o teu (percurso) com o do teu colega e verifica se est´ de a acordo com as indica¸˜es dadas. co Com esta tarefa pretende-se que os alunos encontrem diferentes itiner´rios para ligar a dois pontos, neste caso, considerando apenas os itiner´rios mais curtos e tomando como a unidade o lado da quadr´ ıcula. Pretende-se, ainda, que os alunos ao explorarem este tipo de situa¸˜es, percebam que, dado existirem diversas possibilidades que solucionam o problema, co ´ necess´rio delinear uma estrat´gia que permita assegurar a sua identifica¸˜o. Neste caso, e a e ca os alunos podem usar a estrat´gia de seguir uma ordem baseada no n´mero de esquinas. e u Por exemplo, em primeiro lugar, tra¸am os itiner´rios que tˆm apenas uma esquina, depois c a e todos os que tˆm duas esquinas, e assim sucessivamente, at´ terem esgotado todas as e e possibilidades para cada uma das esquinas poss´ ıveis. Numa primeira abordagem, o professor deve deixar os alunos seguirem uma estrat´gia e que lhes pare¸a adequada. Por vezes, os alunos come¸am aleatoriamente, por tentativa e c c erro, mas depois podem come¸ar a seguir alguma orienta¸˜o, por exemplo, podem visualizar c ca que h´ itiner´rios sim´tricos, e atrav´s dessa descoberta chegar a mais alguns itiner´rios. a a e e a Posteriormente, no momento da discuss˜o, alguns alunos apresentam os seus itiner´rios e a a explicam como chegaram a essas solu¸˜es. O professor deve colocar a seguinte quest˜o: co a 29
  28. 28. Tˆm a certeza de que est˜o todos os itiner´rios poss´ e a a ıveis tra¸ados? Porque ´ que tˆm a c e e certeza? Nestes momentos, em colectivo, e sempre que a discuss˜o esteja associada ` observa¸˜o a a ca de figuras, como neste caso, ´ aconselh´vel que estas sejam mostradas no retroprojector e a (caso seja poss´ ıvel). O facto dos alunos as poderem visualizar permite que haja um maior envolvimento, pois podem acompanhar o que se est´ a discutir. Finalmente, todos os alunos a devem verificar que existem 20 possibilidades de itiner´rios, tendo em conta as condi¸˜es a co do problema. Na sistematiza¸˜o das principais ideias que se pretendem com esta tarefa, ´ ca e ainda importante que haja alguma reflex˜o sobre as vantagens de se delinear uma estrat´gia a e que leve a uma sistematiza¸˜o das solu¸˜es e da sua representa¸˜o, sempre que ´ necess´rio ca co ca e a ter a certeza de que foram encontradas todas as solu¸˜es poss´ co ıveis para um problema. Este tipo de situa¸˜es s˜o importantes no desenvolvimento do racioc´ co a ınio matem´tico. a A ultima parte da tarefa, incentiva os alunos a fazerem descri¸˜es, que sejam compre´ co endidas por colegas, envolvendo vocabul´rio adequado. Algumas dessas descri¸˜es devem a co ser objecto de discuss˜o, na turma, em que o professor e os alunos v˜o aferindo e limando a a alguns detalhes de linguagem, permitindo que os alunos desenvolvam e aperfei¸oem, cada c vez mais, a sua comunica¸˜o matem´tica. ca a Tarefas sobre vistas de uma figura Tarefa 6: Diferentes vistas 1. Faz uma constru¸˜o igual ` da figura em baixo. ca a Quantos cubos foram usados? Repara que a constru¸˜o que fizeste pode ser vista de frente, de lado e de cima. ca Figura 6: Constru¸˜o com cubos. ca 30
  29. 29. Em baixo est˜o representadas essas 3 vistas da constru¸˜o (pode ser usado o papel a ca quadriculado). Vista de frente Vista de cima Figura 7: Diferentes vistas. Vista de lado 2. A seguir, est˜o representadas trˆs vistas e o desenho da base de uma figura constru´ a e ıda com cubos. Constr´i essa figura. o Vista de frente Vista do lado direito Vista de cima Figura 8: Diferentes vistas e desenho da base. Desenho da base 3. Constr´i figuras com cubos como as que est˜o representadas em baixo. Representa o a no papel ponteado um esbo¸o de uma vista de frente, uma vista do lado direito, uma vista c de cima e o desenho da base para cada uma das figuras: Figura 9: Constru¸˜es com cubos. co 4. As figuras A e B representam cubos em constru¸˜o formados por cubos pequenos. ca Quantos cubos pequenos j´ est˜o em cada uma das figuras? Explica o processo que usaste a a para os contares. 31
  30. 30. Figura 10: Outras constru¸˜es com cubos. co A tarefa Diferentes vistas ´ apropriada para os alunos dos 3.º e 4.º anos de escolaridade. e Esta tarefa permite trabalhar a orienta¸˜o espacial e tem como principais objectivos que ca os alunos aprendam a situar-se no espa¸o em rela¸˜o aos objectos e a relacionar objectos c ca segundo a sua posi¸˜o no espa¸o; a representar objectos; e, a visualizar e descrever as ca c posi¸˜es de objectos. As capacidades transversais est˜o presentes nesta tarefa, particularco a mente, quando os alunos resolvem os problemas que lhes s˜o propostos, expressam ideias e a justificam os seus racioc´ ınios. A comunica¸˜o matem´tica tem nesta tarefa, bem como em ca a outras deste tipo, um papel fundamental. Os materiais utilizados s˜o: cubos e papel quadriculado ou ponteado (ou isom´trico). a e Esta tarefa ´ indicada para ser resolvida a pares, permitindo o di´logo e a partilha de ideias e a entre os alunos, embora seja importante cada aluno ter a sua pr´pria folha de registo para o realizar as representa¸˜es das figuras. co Os alunos come¸am por construir a figura, observ´-la e descrevˆ-la. O professor deve c a e orientar essa observa¸˜o, dando a indica¸˜o de que ´ importante observar a figura de todas ca ca e as perspectivas. No caso de ser a primeira vez que os alunos est˜o a fazer este tipo de traa balho, ´ aconselh´vel mostrar aos alunos algumas representa¸˜es de figuras com diferentes e a co vistas, usando, por exemplo, transparˆncias e o retroprojector. e Exemplo: Figura 11: Constru¸˜o com cubos e respectivas vistas. ca 32
  31. 31. O professor deve dialogar com os alunos sobre a dificuldade em se saber ao certo, nalguns casos, qual ´ a parte da frente de uma figura, bem como as restantes partes correspondentes e a `s diferentes vistas. Por isso, ´ necess´rio tomar como referˆncia um lado que se convenciona e a e no grupo ser uma das vistas da figura e todas as outras vistas s˜o depois consideradas e a analisadas relativamente a essa. Outra hip´tese ´ considerar-se, por exemplo, que para o e todos os casos, a vista de frente ´ aquela que est´ ` frente do observador, mas nesse caso, e aa quando se est´ a partilhar as observa¸˜es feitas sobre uma figura, com os colegas da turma, a co ´ preciso que todos partilhem do mesmo sistema de referˆncia. e e A constru¸˜o de figuras e o di´logo sobre elas, utilizando o vocabul´rio espec´ ca a a ıfico, ´ muito importante desde os primeiros anos, bem como a sua representa¸˜o em papel e ca quadriculado ou ponteado. Tamb´m pode ser usado o papel isom´trico embora seja mais e e dif´ para alunos mais novos ou que n˜o tenham experiˆncia com esse tipo de registo. ıcil a e O professor tamb´m deve mostrar representa¸˜es da base, de v´rias figuras, (mostrando e co a o n´mero de cubos em cada posi¸˜o), para os alunos se familiarizarem com esse tipo de u ca representa¸˜o. ca Na ultima quest˜o, ´ pedido aos alunos que contem os cubos que formam cada uma das ´ a e ´ figuras A e B. Os alunos podem seguir diversas estrat´gias. E importante que arranjem e uma forma organizada de contagem e que sigam uma linha coerente de racioc´ ınio. Por exemplo, podem contar os cubos que visualizam linha a linha, ou coluna ou coluna, contando mesmo com aqueles que est˜o escondidos mas que necessariamente ter˜o de fazer parte da a a constru¸˜o, partindo do princ´ ca ıpio de que n˜o s˜o poss´ a a ıveis buracos. Outra estrat´gia ´ e e imaginar que os cubos j´ est˜o completos e retirar os cubos pequenos que faltam, fila a fila a a ou coluna a coluna. Os alunos poder˜o encontrar ainda outras estrat´gias. a e 33
  32. 32. Classifica¸˜o em Geometria ca De uma forma simples, pode dizer-se que classificar ´ organizar um conjunto de objectos e em classes segundo um crit´rio. Em geometria h´ uma estreita rela¸˜o entre a classifica¸˜o, e a ca ca o estabelecimento de rela¸˜es entre os objectos, a identifica¸˜o de caracter´ co ca ısticas e a constru¸˜o de defini¸˜es. Classificam-se os objectos geom´tricos porque isso ajuda a encar´-los ca co e a organizadamente e a obter e relacionar as suas caracter´ ısticas. Para alguns autores, a classifica¸˜o de diferentes objectos matem´ticos de acordo com ca a determinados crit´rios pode salientar a consciˆncia que se tem dos modos como se relacie e onam entre si. O processo de classificar exige a identifica¸˜o de semelhan¸as e diferen¸as ca c c entre os objectos matem´ticos em diversas aspectos, por isso h´ quem o considere uma a a componente b´sica do racioc´ a ınio matem´tico. a Segundo Alsina, Burguˆs & Fortuny (1989), h´ v´rios aspectos importantes a ter em e a a conta no trabalho sobre a classifica¸˜o em Matem´tica, nomeadamente: ca a • distinguir crit´rios que permitem classificar de crit´rios que n˜o permitem; e e a • ver como crit´rios aparentemente distintos d˜o lugar ` mesma classifica¸˜o; e a a ca • deduzir poss´ ıveis crit´rios que tenham dado origem a uma classifica¸˜o; e ca • sobrepor classifica¸˜es, refinando-as; co • classificar pela via das transforma¸˜es, sendo que estas classifica¸˜es s˜o consideradas co co a as mais genuinamente geom´tricas; e • utilizar representa¸˜es diversas para classifica¸˜es (recorrendo, por exemplo, a diaco co gramas de Venn ou conjuntos, diagramas de Carroll ou tabelas de dupla entrada, diagramas em ´rvore). a Apresenta-se a seguir um exemplo de classifica¸˜o baseado no trabalho de Loureiro (2008): ca O conjunto de objectos a organizar ´ um conjunto de quadril´teros constru´ e a ıdos no geoplano de 5 por 5. Este conjunto ´ obtido com a preocupa¸˜o de incluir todos os tipos de e ca 35
  33. 33. quadril´teros convexos e de ter tamb´m quadril´teros cˆncavos. Numa fase pr´via a orgaa e a o e ` niza¸˜o podem ser constru´ ca ıdos e registados de modo acess´ os objectos que ser˜o depois ıvel a classificados. Prop˜e-se a organiza¸˜o de todos os objectos dados em classes de acordo com um crit´rio o ca e e formular esse crit´rio. e Figura 1: Exemplos de quadril´teros. a Perante este conjunto de figuras, algumas classifica¸˜es poss´ co ıveis podem ser feitas com base em diferentes crit´rios, como por exemplo: e 1. Considerar, por um lado, os quadril´teros cˆncavos e por outro os convexos. a o Define-se pol´ ıgono convexo como um pol´ ıgono constru´ de modo a que considerando dois ıdo dos seus pontos, todo o segmento de recta tendo estes dois pontos como extremos, estar´ a inteiramente contido no pol´ ıgono6 . 2. Apenas para os quadril´teros convexos, pode considerar-se o seguinte crit´rio: sem a e lados paralelos, com pelo menos um par de lados paralelo Neste caso, obt´m-se uma classifica¸˜o em duas classes, com e sem pelo menos um par de e ca lados paralelos. Considerando apenas o conjunto dos quadril´teros que tˆm pelo menos um par de lados a e paralelos (trap´zios), uma forma de representar esta classifica¸˜o pode ser um fluxograma e ca como o que se apresenta. 6 Considerando pol´ ıgono como a reuni˜o da linha poligonal fechada com o seu interior. a 36
  34. 34. 3. Ainda dentro dos quadril´teros convexos pode optar-se por uma classifica¸˜o em trˆs a ca e classes, sem lados paralelos, com um e um s´ par de lados paralelos e com 2 pares de lados o paralelos. Esta classifica¸˜o, que n˜o considera os paralelogramos inclu´ ca a ıdos na classe dos trap´zios encontra-se, por exemplo, em Jacobs (1974, p. 315). Neste caso, um trap´zio ´ e e e definido como um quadril´tero com apenas um par de lados paralelos. a Alguns exemplos de tarefas para os primeiros anos Tarefa 1: Comparar figuras Compara e descreve as figuras seguintes, identificando semelhan¸as e diferen¸as entre c c elas. Figura 2: Figuras para comparar. 37
  35. 35. Os alunos podem come¸ar por referir o n´mero de lados das figuras apresentadas, sendo c u prov´vel que os alunos dos primeiros anos de escolaridade digam que, neste conjunto de a figuras, h´ duas figuras com quatro lados e duas figuras com trˆs lados, explicando que a e basta endireitar dois lados da figura A para que essa figura seja um triˆngulo. No entanto, a essa explica¸˜o j´ n˜o deve surgir ao fim de algum tempo, pois ` medida que os alunos v˜o ca a a a a desenvolvendo os seus conhecimentos geom´tricos devem ter outras explica¸˜es baseadas e co num reconhecimento das propriedades das figuras e, na verdade, a figura A tem quatro lados, enquanto a figura C tem trˆs lados, e porque tˆm um n´mero de lados diferente essas e e u duas figuras pertencem a classes distintas. Mas, para descreverem estas figuras os alunos ainda podem referir outros aspectos como o comprimento dos lados, o n´mero de v´rtices, u e a existˆncia ou n˜o de lados paralelos ou o tipo de ˆngulos. A referˆncia aos dois ultimos e a a e ´ aspectos n˜o surge imediatamente, mas ` medida que os alunos s˜o confrontados com a a a situa¸˜es em que tˆm de analisar figuras, come¸ando deste modo a referir caracter´ co e c ısticas das figuras que se relacionam com a no¸˜o de ˆngulo e de paralelismo. ca a ´ E importante que os alunos observem muitos exemplos de figuras correspondentes ` a mesma classe de figuras, bem como uma variedade de figuras que n˜o sejam exemplo a dessa classe. Por exemplo, as figuras que aparecem em seguida podem, em determinada fase, parecer triˆngulos, mas ao descrever-se as suas propriedades os alunos s˜o levados a a a concluir que trˆs dessas figuras n˜o podem pertencer a essa categoria. e a Figura 3: Exemplos de triˆngulos e n˜o triˆngulos. a a a Tarefa 2: Composi¸˜o e decomposi¸˜o de figuras ca ca Propor aos alunos que cortem um quadrado de papel a partir das suas diagonais, obtendo quatro figuras iguais (triˆngulos rectˆngulos is´sceles). Com estes quatro triˆngulos a a o a os alunos devem compor outras figuras, unindo-as pelos lados congruentes. Que figuras podem surgir? Como se podem agrupar? ´ E poss´ ıvel reconstituir o quadrado ou formar outras figuras, como por exemplo, um triˆngulo rectˆngulo is´sceles maior, um paralelogramo, um rectˆngulo e compor outras a a o a figuras menos conhecidas. Eis alguns exemplos de composi¸˜es: co 38
  36. 36. Figura 4: Composi¸˜es com triˆngulos. co a ´ E importante discutir alguns aspectos com os alunos, a v´rios n´ a ıveis, como por exemplo: considera-se a forma como os quatro triˆngulos est˜o dispostos na figura? Ou considera-se a a apenas o contorno da figura resultante, ou seja, o pol´ ıgono que resulta dessa composi¸˜o? ca As figuras seguintes podem representar a mesma figura se for considerado apenas o seu contorno, mas ter˜o que ser consideradas duas figuras distintas se atendermos ` composi¸˜o, a a ca ou seja, a forma como os triˆngulos est˜o dispostos na composi¸˜o da figura. Este aspecto a a ca ´ importante ser discutido e, em alguns casos est˜o impl´ e a ıcitos os conceitos de reflex˜o e a rota¸˜o que podem ser considerados a prop´sito da explora¸˜o das figuras formadas. ca o ca Figura 5: Figuras com a mesma forma. As figuras seguintes s˜o congruentes e se for considerado apenas o contorno pode a considerar-se a mesma figura que pode ser verificado pela sua sobreposi¸˜o, mas se atenca dermos ` composi¸˜o da figura, verifica-se que uma pode ser vista como a imagem da outra a ca por reflex˜o. a A representa¸˜o tem nesta tarefa um papel importante. Os alunos podem fazer o registo ca das figuras compostas de maneiras diferentes. Podem ter v´rios triˆngulos j´ cortados que a a a v˜o colando numa folha ` medida que descobrem uma figura diferente ou ter ` sua disposi¸˜o a a a ca quadrados de papel e v˜o decompondo o quadrado, compondo as figuras e colando-as numa a 39
  37. 37. Figura 6: Figuras congruentes. folha. Podem, ainda, ter esses quatro triˆngulos em cart˜o e ` medida que v˜o compondo a a a a as figuras, v˜o registando-as por contorno. Uma outra possibilidade de representa¸˜o das a ca figuras passa por utilizar o geoplano e o papel ponteado. Quando os alunos tiverem j´ descoberto v´rias figuras (compostas pelos quatro triˆngulos a a a justapostos pelos lados congruentes), os registos podem ser afixados no quadro para que os alunos as visualizem e discutam se existem ou n˜o figuras congruentes (iguais), justificando a as suas afirma¸˜es. co Ao pedir aos alunos que agrupem as figuras compostas significa que se pretende que os alunos as categorizem e para isso ´ necess´rio que sejam consideradas propriedades das e a figuras. Neste caso, ´ a classifica¸˜o que est´ em causa e que ´ preciso dar aten¸˜o. e ca a e ca A classifica¸˜o de pol´ ca ıgonos considerando o n´mero de lados ´ muito comum. Por exemu e plo, as figuras seguintes tˆm quatro lados e, por isso, pertencem ` classe dos quadril´teros. e a a Figura 7: Exemplos de figuras com 4 lados. J´ as figuras seguintes s˜o hex´gonos pois todas tˆm seis lados. Neste caso, todos eles a a a e s˜o pol´ a ıgonos cˆncavos. o Figura 8: Exemplos de figuras com 6 lados. Mas, se considerarmos outros crit´rios ´ poss´ constituir outras subclasses. Por exeme e ıvel plo, quanto ao paralelismo dos lados? Ser´ que estas figuras tˆm alguns lados paralelos? a e Podem existir figuras que n˜o tenham lados paralelos, que tenham um par de lados paraa 40
  38. 38. ´ o lelos ou que tenham mais do que um par de lados paralelos. E ´bvio que nos primeiros anos, os alunos ainda est˜o a adquirir uma no¸˜o informal e restrita de paralelismo, mas a ca esta no¸˜o mesmo informal ´ importante na classifica¸˜o de figuras. Embora seja um pouco ca e ca dif´ de verificar esta propriedade com rigor matem´tico, h´ algumas formas de contornar ıcil a a a situa¸˜o. Por exemplo, pode ter-se preparado uma folha de acetato com v´rias linhas ca a paralelas representadas que os alunos podem ter sempre ` m˜o para fazerem a verifica¸˜o a a ca ou pedir-se aos alunos que representem as figuras no geoplano o qual permite tirar algumas conclus˜es com algum rigor. o Assim, das figuras de quatro lados apresentadas acima, podemos agrupar as seguintes adoptando o crit´rio “ter dois pares de lados opostos paralelos”. e Figura 9: Figuras com dois pares de lados opostos paralelos. E apenas a figura seguinte pelo crit´rio ”um par de lados paralelos”, a qual se pode e denominar trap´zio. e Figura 10: Figura com um par de lados paralelos. Das quatro figuras que foram agrupadas por terem dois pares de lados paralelos, e que se denominam paralelogramos, pode fazer-se outras organiza¸˜es tendo em conta outros co crit´rios. e Este trabalho n˜o se esgota nos primeiros anos, mas vai preparando caminho para a futuras classifica¸˜es mais elaboradas. co 41
  39. 39. Paralelismo Seja T um triˆngulo. A um ˆngulo que tem por lados a semi-recta que cont´m um dos a a e lados de T e a semi-recta obtida pelo prolongamento do outro lado do triˆngulo chamamos a ˆngulo externo de T a Assim, identificamos em cada triˆngulo seis ˆngulos externos. Estes ˆngulos formam a a a trˆs pares de ˆngulos congruentes pois s˜o verticalmente opostos relativamente a cada um e a a dos v´rtices do triˆngulo. e a ˆ Figura 1: Angulos externos de um triˆngulo. a No triˆngulo T = [ABC], os ˆngulos ∠CAB e ∠ACB s˜o chamados ˆngulos internos a a a a n˜o adjacentes ao ˆngulo externo ∠CBD a a Vejamos que em qualquer triˆngulo, a medida de um ˆngulo externo ´ maior do que a a a e medida dos ˆngulos internos n˜o adjacentes a esse ˆngulo. a a a Figura 2: Rela¸˜o entre ˆngulos. ca a Sem perda de generalidade, consideremos no triˆngulo T = [ABC] o ˆngulo externo a a ∠DBC. Sejam M o ponto m´dio do segmento de recta [BC] e E o ponto da semi-recta e 43
  40. 40. ˙ AM tal que AM = M E Uma vez que AM = M E, BM = CM e ∠AM C ∼ ∠BM E, pelo crit´rio LAL de e = congruˆncia de triˆngulos podemos concluir que os triˆngulos de v´rtices A, C, M e E, B, e a a e ∼ M s˜o congruentes. Consequentemente, ∠ACB = ∠EBC. Como E pertence ao interior a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ do ˆngulo ∠DBC tem-se DBC = DBE + EBC. Donde, DBC > ACB a ˆ ˆ De modo semelhante se pode mostrar que DBC > BAC. ˆ O resultado acabado de estabelecer ´ conhecido por Teorema do Angulo Externo e (TAE). A importˆncia deste teorema pode ser constatada enunciando alguns teoremas que a podem ser obtidos a partir dele, como os a seguir listados: 1. Um triˆngulo rectˆngulo tem necessariamente dois ˆngulos agudos; a a a 2. Se r e s s˜o rectas distintas e perpendiculares a uma outra recta, t, ent˜o r e s s˜o a a a paralelas; 3. Se duas rectas intersectadas por uma secante formam ˆngulos alternos internos cona gruentes ent˜o as rectas s˜o paralelas; a a 4. Se duas rectas intersectadas por uma secante formam ˆngulos correspondentes cona gruentes ent˜o as rectas s˜o paralelas. a a Vejamos que podemos efectivamente obter estes resultados utilizando o TAE. Relativamente ao primeiro teorema listado, basta observar que sendo T = [ABC] um triˆngulo rectˆngulo em B, e sendo D um ponto tal que B est´ entre A e D (ver figura 3), a a a o teorema do ˆngulo externo permite concluir que a medida do ˆngulo ∠DBC ´ maior do a a e que a do ˆngulo ∠BAC e a do ˆngulo ∠ACB. a a Figura 3: Triˆngulo rectˆngulo. a a O segundo teorema pode demonstrar-se por redu¸˜o ao absurdo. Tomemos r e s duas ca rectas distintas perpendiculares a uma recta t (ver figura 4). Se r e s n˜o fossem paralelas a intersectar-se-iam num ponto, digamos, C (ver figura 5). Ent˜o, o triˆngulo T = [ABC] a a teria dois ˆngulos rectos, com v´rtices em A e B, o que ´ absurdo pelo teorema anterior. a e e Portanto, r e s s˜o paralelas. a 44
  41. 41. Figura 4: Rectas distintas perpendiculares a uma terceira recta. Figura 5: Triˆngulo T = [ABC]. a Demonstremos o terceiro teorema tamb´m por redu¸˜o ao absurdo. Sejam r e s rectas e ca intersectadas por uma secante t nos pontos R e S, respectivamente. Sejam, ainda, R um ponto de r e S um ponto de s em lados opostos de t (ver figura 6). Se r e s n˜o fossem a paralelas intersectar-se-iam num ponto, digamos, P (ver figura 7). Figura 6: Rectas intersectadas por uma secante formando ˆngulos alternos internos cona gruentes. Figura 7: Triˆngulo T = [RSP ] . a ˆ ˆ Ora, pelo TAE, sabemos que R’RS > RSP. Mas, isto ´ absurdo porque ∠R RS ∼ ∠RSP e = por hip´tese. Logo, as rectas r e s s˜o paralelas. o a Para a demonstra¸˜o do teorema 4, tomemos r e s rectas intersectadas por uma secante ca t nos pontos R e S (respectivamente) e os ˆngulos alternos internos α e β (ver figura 8). a Estamos a supor que os ˆngulos correspondentes α e γ s˜o congruentes. Se r e s n˜o fossem a a a paralelas intersectar-se-iam num ponto, digamos, P (ver figura 9). Pelo TAE, a medida de β ´ maior que a medida de α. Por outro lado, como as medidas de α e γ s˜o iguais por e a 45
  42. 42. estes serem ˆngulos congruentes, a medida de β seria maior que a medida de γ. Mas isto ´ a e absurdo porque β e γ s˜o ˆngulos verticalmente opostos logo tˆm a mesma medida. Ent˜o, a a e a as rectas r e s s˜o paralelas. a Figura 8: Rectas intersectadas por uma secante formando ˆngulos correspondentes a congruentes. Figura 9: Triˆngulo T = [RSP ]. a Postulado das Paralelas Para demonstrar os rec´ ıprocos dos dois ultimos teoremas ´ necess´rio usar o chamado ´ e a Postulado das Paralelas (PP) que Euclides tomou com um dos pressupostos da sua obra Elementos. Este postulado tem v´rias formula¸˜es equivalentes. Aqui adoptamos a sea co guinte: Por um ponto n˜o pertencente a uma recta passa uma e uma s´ recta paralela a a o essa recta Vejamos, ent˜o, o rec´ a ıproco do teorema 3, designadamente, se duas rectas paralelas s˜o a intersectadas por uma secante ent˜o os ˆngulos alternos internos formados por estas rectas a a s˜o congruentes. a Tomemos duas rectas paralelas r e s intersectadas pela secante t nos pontos R e S, respectivamente (ver figura 10). Suponhamos, com vista a um absurdo, que os ˆngulos a alternos internos α e β n˜o s˜o congruentes. Neste caso, podemos tomar uma recta, digamos a a u, que passa por R de tal modo que os ˆngulos alternos internos α e γ s˜o congruentes (ver a a figura 11). Logo, as rectas u e s s˜o paralelas. Mas, por hip´tese, r tamb´m passa por R a o e e ´ paralela a s, o que ´ absurdo pelo Postulado das Paralelas. Ent˜o, r e s s˜o paralelas. e e a a O rec´ ıproco do teorema 4 garante que se duas rectas paralelas s˜o intersectadas por a uma secante ent˜o os ˆngulos correspondentes formados por estas rectas s˜o congruentes. a a a Esta propriedade pode ser demonstrada por um processo an´logo ao anterior. Para a tal basta tomar duas rectas paralelas, r e s, intersectadas pela secante t nos pontos R e 46
  43. 43. Figura 10 : Rectas paralelas intersectadas por uma secante. ˆ Figura 11 : Angulos alternos internos (α e γ) congruentes. S respectivamente (ver figura 12). Admitamos, com vista a um absurdo, que os ˆngulos a correspondentes α e γ n˜o s˜o congruentes. Neste caso, existe uma recta, digamos u, que a a passa por R de tal modo que os ˆngulos correspondentes α e β s˜o congruentes (ver figura a a 13). Logo, as rectas u e s s˜o paralelas. Mas, por hip´tese, r tamb´m passa por R e ´ a o e e paralela a s, o que ´ absurdo pelo Postulado das Paralelas. Ent˜o, r e s s˜o paralelas. e a a Figura 12: Rectas paralelas intersectadas por uma secante. ˆ Figura 13: Angulos correspondentes (α e β) congruentes. O Postulado das Paralelas tamb´m ´ fundamental na demonstra¸˜o de que a soma das e e ca medidas dos ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º. A demonstra¸˜o cl´ssica consiste em a a e ca a tomar uma recta paralela a um dos lados do triˆngulo que passa pelo v´rtice oposto a esse a e lado e usar duas vezes a propriedade da congruˆncia de ˆngulos alternos internos. e a 47
  44. 44. Figura 14: Recta paralela a um dos lados de um triˆngulo que passa pelo v´rtice oposto a a e esse lado. Mais concretamente, dado o triˆngulo T = [ABC], basta tomar a recta r, paralela ao a lado [AB], que passa por C (ver figura 14). Tomemos em r os pontos D e E de modo que ˆ ˆ ˆ C esteja situado entre D e E. Sendo assim, ACD + ACB + BCE = 180o . Ora, a recta AC ´ secante a r e a AB. Ent˜o, como r ´ paralela a AB os ˆngulos alternos internos ∠ACD e e a e a ∠BAC s˜o congruentes. Analogamente, atendendo a que BC tamb´m ´ secante a r e AB, a e e ˆ ˆ os ˆngulos alternos internos ∠BCE e ∠ABC s˜o congruentes. Conclus˜o: BAC + ACB + a a a ˆ ABC = 180o Tarefa 1: Rela¸˜o entre as medidas dos ˆngulos agudos de um triˆngulo ca a a rectˆngulo a Deduz que os ˆngulos agudos de um triˆngulo rectˆngulo s˜o complementares, admia a a a tindo que a soma das medidas dos ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º. a a e Figura 15: Triˆngulo T = [ABC] rectˆngulo em B. a a Basta considerar um triˆngulo T = [ABC], rectˆngulo em B (ver figura 15). Como a a o e ABC = 90o conclu´ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ımos que BAC + ACB = 90o . Ou seja, BAC + ACB + ABC = 180 ∠BAC e ∠ACB, os ˆngulos agudos do triˆngulo T = [ABC], s˜o complementares. a a a 48
  45. 45. Tarefa 2: Rela¸˜o entre as medidas de um ˆngulo externo e dos ˆngulos ca a a internos n˜o adjacentes num triˆngulo a a Deduz que a medida de um ˆngulo externo num triˆngulo ´ igual ` soma das medidas a a e a dos ˆngulos internos n˜o adjacentes, novamente admitindo que a soma das medidas dos a a a ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º. a e ˆ Figura 16: Angulo externo de um triˆngulo. a Sendo ∠DBC um ˆngulo externo de um triˆngulo T = [ABC] (ver figura 16), tem-se a a ˆ + DBC = 180o . Como BAC + ACB + ABC = 180o , igualando estas express˜es e ˆ ˆ ˆ ˆ ABC o ˆ = BAC + ACB. ˆ ˆ simplificando, conclui-se que DBC Segmentos congruentes sobre secantes Se uma secante t intersecta duas rectas r e s em pontos R e S, diz-se que r e s determinam o segmento [RS]sobre a secante (ver figura 17). Figura 17 : Segmento [RS] sobre a secante t determinado pelas rectas r e s . Quando uma secante t intersecta trˆs rectas r, s e u em trˆs pontos R, S e U , rese e pectivamente, e RS = SU diz-se que as rectas determinam segmentos congruentes sobre a secante (ver figura 18). 49
  46. 46. Figura 18: Segmentos congruentes sobre uma secante. Naturalmente, o facto de trˆs (ou mais) rectas determinarem segmentos congruentes e sobre uma secante, n˜o significa que determinem segmentos congruentes sobre qualquer a outra secante. A figura 19 pretende ilustrar isso. Na verdade, apesar de as rectas r, s e t determinarem os segmentos congruentes [RS] e [SU ] na secante t n˜o determinam a segmentos congruentes [R S ] e [S U ]na secante t . Figura 19 : Segmentos congruentes sobre uma transversal e segmentos n˜o congruentes a sobre outra transversal. No entanto, se trˆs (ou mais) rectas que determinam segmentos congruentes sobre uma e secante forem paralelas, ent˜o determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra a secante. Teorema Fundamental da Proporcionalidade [TFP] Este importante teorema garante que se uma recta paralela a um dos lados de um triˆngulo intersecta os outros dois lados ent˜o divide-os na mesma raz˜o. a a a 50
  47. 47. Consideremos o triˆngulo T = [ABC]. Admitamos que a recta r, paralela ao lado [AB] a do triˆngulo, intersecta os lados [AC] e [BC] nos pontos P e Q, respectivamente (ver figura a 20). Figura 20: Recta paralela a um dos lados de um triˆngulo que intersecta os outros dois a lados. Vejamos que CA CP = CB , CQ considerando o caso em que CA CP ´ um n´mero racional, ou seja, e u quando os segmentos [CA] e [CP ]s˜o comensur´veis. a a Neste caso, existem n, m ∈ N tais que CA CP = n m. Existe um segmento de comprimento k tal que CA = nk e CP = mk. Como CP < CA tem-se m < n. Tomemos na semi˙ recta CA os n + 1 pontos P0 , P1 , P2 , ..., Pm , ..., Pn−1 , Pn de tal modo que Pj Pj+1 = k (j = 0, 1, 2, ..., n − 1), P0 ≡ C, Pm ≡ P e Pn ≡ A (ver figura 21). ˙ Figura 21: Pontos P0 , P1 , ..., Pn na semi-recta CA. Tracemos rectas paralelas a [AB] que passem pelos pontos P1 , P2 , ..., Pm , ..., Pn−1 . Estas rectas intersectam o lado [BC] em n − 1 pontos, digamos Q1 , Q2 , ..., Qn−1 . Ent˜o, a existe um n´mero real positivo p de tal modo que Qj Qj+1 = p u (j = 0, 1, 2, ..., n − 1), em que Q0 ≡ C, Qm ≡ Q e Qn ≡ B. Logo, CB = np e CQ = mp. Donde se conclui que 51 CB CQ = np mp = n m = nk mk = CA . CP
  48. 48. Rec´ ıproco do Teorema Fundamental da Proporcionalidade Assim como o TFP assume o paralelismo para garantir a proporcionalidade, o rec´ ıproco assume a proporcionalidade para garantir o paralelismo. Mais especificamente, este teorema estabelece que se uma recta intersecta dois lados de um triˆngulo dividindo-os na mesma a raz˜o ent˜o a recta ´ paralela ao terceiro lado. a a e Seja T = [ABC] um triˆngulo, P um ponto entre A e C, e Q um ponto entre B e C, a de modo que CA CP = CB CQ (ver figura 22). Figura 22: Recta que intersecta dois lados de um triˆngulo dividindo-os na mesma raz˜o. a a Donde, CQ = CB × CP . Seja PQ’ a recta paralela a [AB] que passa por P e intersecta CA [BC] no ponto Q . Pelo TFP temos que CA CP = CB CQ . Donde, CQ = CB × CP . CA Logo, CQ = CQ pelo que Q ≡ Q o que nos permite concluir que a recta PQ ´ paralela a [AB]. e Teorema de Tales Uma importante consequˆncia do TFP ´ o chamado Teorema de Tales: Se duas rectas e e s˜o secantes a um conjunto de rectas paralelas, ent˜o a raz˜o entre os comprimentos de dois a a a segmentos quaisquer de uma delas ´ igual a raz˜o entre os comprimentos dos segmentos e ` a correspondentes da outra. 52
  49. 49. Semelhan¸a de triˆngulos c a Triˆngulos semelhantes a Pensemos numa correspondˆncia biun´ e ıvoca entre os v´rtices de dois triˆngulos. Se e a os ˆngulos correspondentes s˜o congruentes e os lados correspondentes s˜o proporcionais, a a a ent˜o a correspondˆncia ´ uma semelhan¸a e dizemos que os triˆngulos s˜o semelhantes. a e e c a a Para indicar que os triˆngulos T = [ABC] e T = [A B C ] (ver figura 1) s˜o semelhantes a a ∼ ∆ [A B C ]. Os v´rtices correspondentes nestes triˆngulos s˜o A e escrevemos ∆ [ABC] = e a a A, B e B,e C e C. Figura 1: Triˆngulos semelhantes T = [ABC] e T = [A B C ]. a AB BC AC e Da defini¸˜o de semelhan¸a decorre que A B = B C = A C e tamb´m que ∠ABC ∼ ca c = ∼ ∠B C A e ∠CAB ∼ ∠C A B . Ao quociente comum entre as medi∠A B C , ∠BCA = = das dos lados correspondentes do triˆngulo chamamos raz˜o de semelhan¸a ou raz˜o de a a c a proporcionalidade. No caso em que esta raz˜o ´ igual a 1 os triˆngulos s˜o congruentes. a e a a Alguns crit´rios de semelhan¸a de triˆngulos e c a Provar que dois triˆngulos s˜o semelhantes simplesmente ` custa da defini¸˜o n˜o ´ um a a a ca a e procedimento eficaz j´ que ´ necess´rio garantir a congruˆncia de trˆs pares de ˆngulos a e a e e a 53
  50. 50. (correspondentes dois a dois) e a proporcionalidade de trˆs pares de segmentos de recta e (correspondentes dois a dois). No entanto, podemos estabelecer a semelhan¸a de dois c triˆngulos recorrendo a crit´rios que envolvem menos condi¸˜es em termos de lados e/ou a e co a ˆngulos desses triˆngulos. a Crit´rio de Semelhan¸a AAA. Este crit´rio envolve apenas ˆngulos: dois triˆngulos e c e a a s˜o semelhantes se os ˆngulos correspondentes forem congruentes. Podemos demonstrar a a este crit´rio a partir dos crit´rios ALA e LAL de congruˆncia de triˆngulos bem como do e e e a Teorema Fundamental da Proporcionalidade [TFP]. Consideremos os triˆngulos T = [ABC] e T = [A B C ] com ∠ABC ∼ ∠A B C , a = ∼ ∠B C A e ∠CAB ∼ ∠C A B . ∠BCA = = Figura 2: Triˆngulos congruentes T = [AE F ] e T = [A B C ]. a Tomemos pontos E e F nos lados, respectivamente, [AB] e [AC] de T de tal modo que AE = A B e AF = A C (1). Os triˆngulos T a = [AE F ] e T = [A B C ] s˜o a ∼ ∠A B C congruentes, pelo crit´rio de congruˆncia LAL (ver figura 2). Como ∠ABC = e e ∼ ∠A B C (pela congruˆncia dos triˆngulos T e T ) ent˜o (por hip´tese) e ∠AE F = o e a a ∼ ∠AE F . Por conseguinte, os segmentos de recta [E F ] e [BC] s˜o estritamente ∠ABC = a paralelos ou coincidentes. Se [E F ] e [BC] s˜o estritamente paralelos, temos que a atendendo a (1), obtemos que AC AC BC = BC . BC AC = AC BC AB AB = AB AB = AC AC AB AE = AC AF , pelo TFP. Mas, . Por um processo an´logo poder-se-ia mostrar a Como os ˆngulos correspondentes s˜o congruentes (por hip´tese) e a a o , os triˆngulos T e T s˜o semelhantes. a a Se [E F ] e [BC] s˜o coincidentes, os triˆngulos T e T s˜o congruentes (crit´rio de a a a e congruˆncia ALA) logo semelhantes. e Atendendo ao crit´rio de semelhan¸a AAA e a que a soma das medidas das amplitudes e c dos ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º, basta garantir que dois ˆngulos correspona a e a dentes de dois triˆngulos s˜o congruentes para garantir a semelhan¸a desses triˆngulos. a a c a Obtemos assim o que se designa como Crit´rio de Semelhan¸a AA. e c 54
  51. 51. Tarefa 1: Decomposi¸˜o do triˆngulo rectˆngulo pela altura corresponca a a dente ` hipotenusa a Recorrendo ao crit´rio de semelhan¸a AA demonstra que a altura correspondente ` e c a hipotenusa de um triˆngulo rectˆngulo o decomp˜e em dois triˆngulos semelhantes entre a a o a si e semelhantes ao triˆngulo inicial. a Figura 3: Altura do triˆngulo T = [ABC] relativamente ` hipotenusa. a a Considerando o triˆngulo T = [ABC], rectˆngulo em C, e CP a altura do triˆngulo cora a a respondente ` hipotenusa (ver figura 3), o crit´rio AA de semelhan¸a de triˆngulos garante a e c a que ∆ [ACP ] ∼ ∆ [ABC] (triˆngulos rectˆngulos com um ˆngulo comum) e ∆ [CBP ] ∼ a a a = = ˆ ˆ ∆ [ABC] (mesmo argumento). Por outro lado, por hip´tese, ACP + PCB = 90o . Como o o ˆ ˆ a ˆngulo ∠AP C ´ recto conclu´ e ımos que PAC + ACP = 90o . Da compara¸˜o destas rela¸˜es ca co ∼ ∠P CB. Logo, ∆ [ACP ] ∼ ∆ [CBP ], novamente pelo crit´rio de resulta que ∠P AC = e = semelhan¸a AA. c Resumindo: Com (pelo menos) dois pares de ˆngulos congruentes em dois triˆngulos a a podemos garantir a sua semelhan¸a. Claro que se dois triˆngulos tiverem apenas um par c a de ˆngulos congruentes n˜o s˜o semelhantes. a a a Na figura 4 est˜o representados os triˆngulos T = [ADB] e T = [ACB], n˜o semelhana a a tes, apesar de se verificar a congruˆncia dos ˆngulos ∠DAB e ∠CAB. e a Figura 4: Triˆngulos T = [ADB] e T = [ACB] n˜o semelhantes. a a 55
  52. 52. Se ` congruˆncia de um par de ˆngulos correspondentes em dois triˆngulos acrescena e a a tarmos a proporcionalidade de dois pares de lados correspondentes nesses triˆngulos n˜o a a temos ainda condi¸˜es suficientes para garantir a semelhan¸a dos triˆngulos. A figura 5 co c a ilustra essa situa¸˜o. Foram constru´ ca ıdos os triˆngulos T = [ABC] e T = [ADC] a obedecer a a `s seguintes condi¸˜es: ∠CAB ∼ ∠CAD, AB = 2 × AD e BC = 2 × CD. A constru¸˜o co ca = foi feita utilizando o software Geogebra e as suas funcionalidades. Como [AC] ´ um lado e comum aos dois triˆngulos, os seus lados correspondentes n˜o s˜o proporcionais. Donde, a a a os triˆngulos n˜o s˜o semelhantes. a a a Figura 5: Triˆngulos T = [ABC] e T = [ADC] n˜o semelhantes. a a Crit´rio de Semelhan¸a LAL. Se o par de ˆngulos congruentes nos dois triˆngulos for e c a a formado pelos dois pares de lados correspondentes proporcionais, os triˆngulos s˜o semea a lhantes. Vejamos uma demonstra¸˜o deste crit´rio que assenta no crit´rio LAL de conca e e gruˆncia de triˆngulos, no crit´rio AA de semelhan¸a de triˆngulos e no rec´ e a e c a ıproco do TFP. Sejam dados os triˆngulos T = [ABC] e T = [DEF ] em que ∠CAB ∼ ∠F DE e a = AB DE = AC . DF Tomemos os pontos E e F nos lados [AB] e [AC], respectivamente, de tal modo que AE = DE e AF = DF . Logo, os triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] s˜o a a congruentes, pelo crit´rio de congruˆncia LAL (ver figura 6). e e AC = AF . Pelo rec´ ıproco do TFP, os segmentos ∼ ∠ABC e ∠AF E ∼ ∠ACB porque duas [E F ] e [BC] s˜o paralelos. Donde, ∠AE F = a = Como AB DE = AC DF (por hip´tese) tem-se o AB AE rectas paralelas (E F e BC ) cortadas por uma secante (AB no primeiro caso e AC no segundo) formam pares de ˆngulos correspondentes congruentes. a Ora, a congruˆncia dos triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] permite-nos concluir e a ∼ ∠DEF . Como, por outro lado, ∠AE F ∼ ∠ABC ent˜o ∠ABC ∼ ∠DEF . que ∠AE F = a = = ∼ ∠F DE. Logo, pelo crit´rio AA conclu´ Mas, por hip´tese, ∠CAB = o e ımos que ∆ [ABC] ∼ = ∆ [DEF ]. Crit´rio de Semelhan¸a LLL. Dois triˆngulos s˜o semelhantes se os seus lados correse c a a pondentes forem proporcionais. Vejamos como deduzir este crit´rio a partir do crit´rio LLL e e de congruˆncia de triˆngulos, do crit´rio AA de semelhan¸a de triˆngulos e do rec´ e a e c a ıproco do TFP. Sejam dados os triˆngulos T = [ABC] e T = [DEF ] em que a 56 AB DE = AC DF = BC EF (ver
  53. 53. Figura 6: Triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] congruentes. a figura 7). Tomemos os pontos E e F , respectivamente, nos lados [AB] e [AC], de tal modo que AE = DE e AF = DF . AC = AF . Pelo rec´ ıproco do TFP, os segmentos ∼ ∠ABC e ∠AF E ∼ ∠ACB porque duas [E F ] e [BC] s˜o paralelos. Donde, ∠AE F = a = Como AB DE = AC DF (por hip´tese) tem-se o AB AE rectas paralelas (E F e BC ) cortadas por uma secante (AB no primeiro caso e AC no segundo) formam pares de ˆngulos correspondentes congruentes. a O crit´rio AA garante que os triˆngulos T = [ABC] e T = [AE F ] s˜o semelhantes pelo e a a EF = AE ; donde BC AB AB = BC , pelo que EF DE EF que E F = BC. AE = BC. DE (1). Ainda por hip´tese sabemos que o AB AB = BC. DE (2). Comparando (1) e (2) conclui-se que E F = EF . AB Portanto, os triˆngulos T e T s˜o congruentes (crit´rio de congruˆncia LLL), o que implica a a e e que os triˆngulos T e T s˜o semelhantes (crit´rio de semelhan¸a AA). a a e c Figura 7: Triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] congruentes. a Medi¸˜es indirectas usando semelhan¸a de triˆngulos co c a Os crit´rios de semelhan¸a de triˆngulos mencionados podem ser usados pelos alunos e c a para fazerem medi¸˜es de objectos inacess´ co ıveis (por exemplo, edif´ ıcios, ´rvores, etc.). Vea jamos alguns exemplos de tarefas que podem ser propostas aos alunos com as necess´rias a adapta¸˜es. co 57
  54. 54. Tarefa 2: T´ nel de Samos u Efectua uma pesquisa sobre a constru¸˜o de um t´nel no monte Castro, na ilha de ca u Samos. A pesquisa efectuada pelos alunos pode ser complementada pelo visionamento do filme T´nel de Samos (ver referˆncias). A pesquisa dos alunos e o visionamento do filme constiu e tuem um bom ponto de partida para a an´lise da contribui¸˜o da semelhan¸a de triˆngulos a ca c a para a resolu¸˜o deste problema de engenharia. ca De acordo com o historiador grego Her´doto, no ano 530 a.C. Eupalino, a mando do o tirano Pol´ ıcrates, construiu um t´nel que atravessa o monte Castro. O t´nel foi escavado u u em duas frentes, com cerca de 800 metros de distˆncia, tendo sido cometido um erro inferior a a 1% na escava¸˜o. Vejamos, resumidamente, a estrat´gia que Eupalino utilizou (segundo ca e alguns historiadores da Matem´tica). a Duas equipas de trabalhadores escavam a montanha em dois pontos (E e E no esquema da figura 8). Em torno da montanha ´ tra¸ada uma linha poligonal aberta [EABCDF GE ] e c de modo que segmentos adjacentes formem ˆngulos rectos. a Figura 8: Esquema da constru¸˜o do t´nel de Samos. ca u Tendo em conta os comprimentos de cada um dos segmentos da linha poligonal, obtˆme se os comprimentos dos segmentos [E J] e [EJ], catetos do triˆngulo rectˆngulo [E JE] com a a J a pertencer ` recta determinada por E e G. De facto, a EJ = AB + CD − GF e E J = E G + F D − EA − BC. Por constru¸˜o, o triˆngulo ∆ [EE J] ´ rectˆngulo. Em cada um dos pontos em que a ca a e a montanha foi inicialmente escavada (E e E) constroem-se dois triˆngulos auxiliares (n˜o a a unicos), a saber, ∆ [E HI] e ∆ [M EL] rectˆngulos em I e L (respectivamente) de modo ´ a 58
  55. 55. que HI IE = EL LM = EJ . JE Note-se que a raz˜o a EJ JE ´ conhecida. e Nestas condi¸˜es, os triˆngulos ∆ [E HI], ∆ [EE J] e ∆ [M EL] s˜o semelhantes (crit´rio co a a e LAL) pelo que ∠IHE ∼ ∠JE E ∼ ∠LEM e ∠HE I ∼ ∠E EJ ∼ ∠EM L. Logo, [EM ] = = = = d´ a direc¸˜o correcta para a escava¸˜o na entrada E e [E H]para a entrada E . a ca ca Tarefa 3: Ecr˜s de televis˜o e filmes a a Pretende passar-se um filme na raz˜o 2:1 numa televis˜o com ecr˜ 4:3. Nesta situa¸˜o, a a a ca ou o filme ´ ‘cortado’ ou n˜o ´ utilizado todo o ecr˜. Calcula a propor¸˜o do ecr˜ do televisor e a e a ca a n˜o utilizado neste formato de filme bem como a propor¸˜o de filme cortado relativamente a ca aa ` ´rea total de filme. Os ecr˜s de televis˜o podem ser representados por rectˆngulos em que a raz˜o entre a a a a os lados ´ 4:3 (caso standard ) ou 16:9 (chamado widescreen). No caso dos filmes existe e uma grande variedade de raz˜es entre os lados dos rectˆngulos que os representam. Por o a exemplo: 1,85:1 ou o Cinemascope 2,35:1. Quando os rectˆngulos que representam o ecr˜ a a do televisor e o filme n˜o s˜o semelhantes, isto significa que existe ‘ecr˜ a mais’ ou ‘filme a a a a menos’ ! Na figura 9 est´ ilustrada a situa¸˜o em que h´ ‘ecr˜ a mais’. O filme, rectˆngulo a ca a a a [EF GH], n˜o preenche completamente o ecr˜ do televisor, rectˆngulo [ABCD]. a a a Figura 9: Situa¸˜o em que h´ ‘ecr˜ a mais’. ca a a A situa¸˜o em que o filme ´ ‘cortado’, ´ ilustrada na figura 10. Repare-se que o filme, ca e e rectˆngulo [EF GH], n˜o cabe no televisor, rectˆngulo [ABCD]. a a a Figura 10: Situa¸˜o em que h´ ‘filme a mais’. ca a 59

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