TRANSFORMADA ZETA

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  • 1. TRANSFORMADA ZETA Señales y Sistemas
  • 2. AGENDA
    • DEFINICION
    • PROPIEDADES
    • TRANSFORMADA INVERSA
    • ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y SISTEMAS DISCRETOS
    • FUNCION DE TRANSFERENCIA
    • ANALISIS DE SISTEMAS
  • 3. TRANSFORMADA ZETA
    • La transformada Z es una herramienta básica para el análisis y síntesis de sistemas discretos.
    • Utilizaremos la transformada Z para la caracterización y análisis de sistemas discretos.
  • 4. Definición de la Transformada Z
    • Utilización: análoga a la de la transformada de Laplace en tiempo continuo
  • 5. Definición de la Transformada Z
    • Se define la Transformada Z, X(z) de una secuencia x[n]
    • La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al dominio complejo como
    • Para una secuencia x[n]={6 4 3 2 -3} , la Transformada Z es X(z)=6z2+4z1+3z0+2z-1-3z-2. El valor z-1 es el operador de retraso unidad.
  • 6. Definición de la Transformada Z
    • Ya que X(z) es una series de potencias, podría no converger para todo z .
    • Los valores de z para los cuales X(z) converge definen la región de convergencia (ROC).
    • Toda X(z) lleva asociada una ROC, ya que podría ocurrir que dos secuencias distintas produzcan una X(z) idéntica con diferentes ROCs.
  • 7. La ROC y la relación entre T z y la TF en tiempo discreto
    • Solo depende de r = | z | , al igual que la ROC en el plano de s depende solo de Re(s).
    • Circulo unitario (r=1) en la ROC  existe la TF X(e j  ) en tiempo discreto
  • 8. ROC
    • Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z , excepto para z=0 y/o z=∞ (dependiendo de si X(z) tiene términos z -k y/o z k ).
    • Transformadas Z de algunas secuencias:
      • Impulso Unidad
      • x[n] =  [n]  X(z) = 1 , ROC -∞<z<∞
      • Pulso Rectangular
      • x[n] = u[n]-u[N-n] 
      • Escalón Unitario
      • x[n] = u[n] 
  • 9. Ejemplo 1 Si | az -1 | <1, es decir |z |> |a | Es decir, ROC |z |> |a | fuera del circulo
  • 10. Ejemplo 2 Si | a -1 z| <1, es decir |z |< |a | Es decir, ROC |z |< |a | dentro del circulo
  • 11. Observación
    • En estos dos últimos ejemplos se observa que la Transformada Z es idéntica para las dos secuencias. Sin embargo la ROC es distinta.
    • Para la secuencia causal, la ROC es |z|>| a | , mientras que para la anticausal |z|<| a | .
    • La ROC dependerá de si la señal es causal (definida en el eje positivo), anticausal (eje negativo) o no causal (dos ejes).
  • 12. Propiedades
    • Superposición
    • ax[n]+by[n]  aX[z] + bY[z]
    • Desplazamiento
    • x[n-1]  z -1 X[z]+x(-1)
    • x[n-N]  z -N X[z]+z -(N-1) x(-1)+…. x(-N)
    • x[n+N]  z N X[z]-z N x(-1)-…. zx(N-1)
  • 13. Propiedades
    • Escalado
    • a n x[n]  X[z/a]
    • Multiplicado por
      • n
    • nx[n]  -zdX[z]/dz
      • n 2
  • 14. Propiedades
    • Multiplicado por
      • cos
      • sin
  • 15. Propiedades
    • Convolucion
    • Diferencia
  • 16. Propiedades
    • Teorema del Valor Inicial
    • Teorema del Valor Final
  • 17. Algunas Transformadas Z Secuencia Transformada Z ROC  (n) 1 Todo z  (n-m),m>0 z -m | z |>0  (n+m),m>0 z m | z |<∞  (n) z/(z-1) | z |>1  (-n-1) z/(z-1) | z |<1
  • 18. Secuencia Transformada Z ROC a n  (n) z/(z-a) | z |>a -a n  (-n-1) z/(z-a) | z |<a na n  (n) az/(z-a) 2 | z |>a Cos(  o nT)  (n) | z |>1 Sin(  o nT)  (n) | z |>1 r n Cos(  o nT)  (n) | z |>r r n Sin(  o nT)  (n) | z |>r
  • 19. Transformada Inversa
    • La transformada Z es una secuencia de muestras que esta escrita por definición:
    • X(z)=x(0)+x(T)z -1 +x(2T)z -2 +……
    • Si podemos manipular X(z) en esta forma, los valores de la muestras, x(nT), pueden ser determinados por inspección.
    • Esto se logra por una división donde X(z) es expresada como una relación polinomial en z.
    • Antes de dividir es conveniente arreglar tanto el numerador como el denominador en potencias ascendentes de z -1 .
  • 20. Ejemplo
  • 21. Propiedades de la ROC
    • La ROC de X ( z ) consiste en un anillo en el plano z centrado aproximadamente en el origen (equivalente a una tira vertical en el plano s )
    • La ROC no contiene ningún polo
  • 22. Propiedades de la ROC
    • Si x [ n ] tiene duración finita, la ROC constituye todo el plano z , excepto posiblemente en z = 0 y/o z = ∞.
    • Si x [ n ] es una secuencia del lado derecho, y si | z | = r o se encuentra en la ROC, todos los valores finitos de z para los cuales | z | > r o se encuentran (converge más rápido que) también en la ROC.
  • 23. Propiedades de la ROC
    • Si x [ n ] es una secuencia del lado izquierdo, y si | z | = r o se encuentra en la ROC, todos los valores finitos de z para los que 0 < | z | < r o se encuentran también en la ROC.
    • Si x [ n ] es bilateral, y si | z | = r o se encuentra en la ROC, la ROC consiste en un anillo en el plano z que incluye el círculo | z | = r o .
    • A que tipo de señales corresponden las siguientes ROC?
  • 24. Ejemplo
  • 25. Sistemas Discretos en Tiempo
    • Con la transformadas Z, tenemos la herramienta necesaria para explorar los sistemas discretos en el tiempo.
    • Propiedades de los Sistemas:
      • Sistemas Invariante en el Tiempo
      • Sistemas Causales y no Causales: Un sistema discreto en tiempo es causal si y solo si:
      • implica
  • 26. Sistemas Discretos en Tiempo
    • En otras palabras, si la diferencia entre dos entradas a un sistema es cero para n<n o , la diferencia entre las salidas respectivas debe ser cero.
      • Sistemas Lineales: Un sistema discreto es lineal si y solo si:
      • Donde
      • Sistemas Estables: Un sistema lineal discreto es estable BIBO si:
  • 27. Sistemas Discretos
    • Pero se sabe que la entrada es limitada, es decir:
    • De esto, se puede observar que
    • Entonces la estabilidad del sistema se reduce a comprobar que
  • 28. ECUACIONES DE DIFERENCIAS
    • La ecuación diferencial modela un sistema de tiempo continuo, la ecuación de diferencia modela un sistema de tiempo discreto.
    • Veamos el siguiente ejemplo de ecuación diferencial
    • La salida del sistema puede ser expresada de la forma:
    • Lo que nos dice que el valor presente de la salida del sistema, y(t) depende de valores previos de la entrada del sistema y es también una función de valores pasados de la salida del sistema
  • 29.
    • Un sistema discreto opera de la misma manera, ya que la salida presente del sistema depende de la entrada presente x(nT), entradas pasadas x(nT-kT) y salidas pasadas del sistema y(nT-kT) .
    • La estructura de tal procesador sigue la ecuación de diferencias general
    ECUACIONES DE DIFERENCIAS
  • 30. x(nT) x(nT-T) x(nT-2T) x(nT-rT) L 0 L 1 L 2 L r Z y(nT) y(nT-T) y(nT-2T) y(nT-mT) -K 1 -K 2 -k m PROCESADOR LINEAL DE DIGITAL
  • 31. FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA
    • Aplicando la transformada Z a ambos lados de la ecuación de diferencia usando la propiedad de retardo.
    • La relación entre Y(z) y X(z) definen la función de transferencia del sistema H(z).
    • Por definición, se sabe que si la entrada al sistema discreto es la función pulso unitario, la salida del sistema es H(z). Con la transformada inversa de zeta obtendremos que
    • y(nT) = h(nT)
  • 32. FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA
    • Podemos expresar la función de transferencia factorizada
    • Se denominan polos del sistema a los valores p 1 ,p 2 ,...,p m . Determinan la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema). Los ceros del sistema ( z 1 ,z 2 ,...,z r ) determinan las frecuencias bloqueadas por el sistema.
  • 33. El plano z y Estabilidad del Sistema
    • La estabilidad de un sistema LTI discreto requiere que la respuesta al impulso h[n] sea absolutamente sumable (integrable en continuo).
    • Esto quiere decir que h[n]=0 en n=∞ . Para ello es necesario que los polos de la función de transferencia H(z) estén todos dentro del círculo unidad en el plano z ( |p i |<1 ). Esto evita que la respuesta tenga exponenciales crecientes.
    • La estabilidad de una función de Transferencia puede determinarse simplemente inspeccionando los coeficientes del denominador de la función de Transferencia. Para ello, debe estar en forma de términos de 2º Orden,
  • 34.
    • Para cada uno de los términos de 2º Orden podemos calcular las raíces (  1i y  2i ) del denominador de la siguiente forma:
    • Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple
    • La raíces deben estar dentro del círculo unidad, por lo que |  1i | <1 y |  2i | <1. Esto implica que el coeficiente |  2i |<1 .
  • 35. RAICES DEL POLINOMIO  1i  2i 1 -1 1 2 -1 -2
  • 36. Transformada Inversa por Inversión de la Integral
  • 37. Ejemplo de un Sistema Discreto
  • 38. Ejemplo de un Procesador Digital k x(nT)  z -1  y(nT) + +