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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
 

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    TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Presentation Transcript

    • TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Señales y Sistemas
    • Transformada Discreta de Fourier
      • Sea x(t) una señal continua en el tiempo, tomaremos una aproximación de una sumatoria de impulsos discretos.
      • Puesto que x(t) es efectivamente limitada tanto en tiempo como en ancho de banda, esta aproximación es buena.
      •  t = T/N, y N es el número total de muestras tomadas en el tiempo [0,T]. Si mantenemos la naturaleza de banda limitada de x(t), se sigue que  t ≤1/2W para evitar el efecto de Aliasing.
      • Aplicando la transformada de Fourier
      • Esta sumatoria es la transformada de Fourier de una señal discreta representado por los valores {x(n  t)} y es a veces expresada como una función de la variable  = 2  f  t=2  r, donde r es la frecuencia normalizada de f/f s .
      • Nuestro interés radica en el calcula digital de X(f), restringiremos f a un conjunto de valores discretos de {0,1/T,2/T,… N-1/T}. Si definimos f=k/T=kf s , donde k toma valores enteros de 0 a N-1. Reescribiendo X(f)
      • La dependencia explícita de x(n  t) en  t , ha sido descartada, y ambas X(f) y x(t) son ahora remplazadas por secuencias { X k } y { x n }.
      • Esta es la definición de la Transformada Discreta de Fourier de una secuencia {x o =x(0), x 1 =x(  t), x 2 =x(  t), …. x N-1 =x((n-1)  t)}.
      • Debido a que esto fue derivado usando un enfoque de muestreo, es la claro que la secuencia {X k } es periódica.
      • La secuencia original en el dominio del tiempo {X n } es obtenida de una secuencia de muestras en el dominio de la frecuencia por la relación inversa:
    • DFT Comparado con Series de Fourier Exponenciales
      • Para enfatizar la diferencia entre la Transformada de Fourier y la DFT, recordemos que la transformada de Fourier es usada para representar una señal de energía continua en el tiempo.
      • Y la DFT en cambio representa un número finito de valores de muestra en el intervalo de observación finito 0<nT/N <T, y resulta en un espectro de línea limitado de 0<k/T<N/T.
      • También recordemos que los N puntos tiene periodicidad debido a la propiedad de e ± j2  kn/N .
      • Ahora veremos un ejemplo del muestreo en un intervalo de observación finito examinando una aproximación de la Transformada de Fourier por una DFT.
      • Transformada de una forma muestreada ideal
      • Transformada de un pulso rectangular
      • El teorema de convolución de la Transformada de Fourier.
      • El teorema de multiplicación de Fourier
    • Ejemplo Puesto que ahora consideraremos señales discretas, multiplicamos x(t) por la forma de muestreo ideal, y s (t) para producir una señal exponencial muestreada. Por el teorema de la multiplicación, la transformada de Fourier de x s (t ) es la convolución de las transformadas de Fourier de y s (t) y x(t).
    • Calculando la DFT solo en una sección de T segundos es en efecto, multiplicar x s (t) por una función de ventana  (t/T). En el dominio de la frecuencia, esto corresponde a la convolución de X s (f) con la transformada de Fourier de la función de la ventana, la cual es TSincTf . La transformada de Fourier de la señal muestreada y ventaneada es Finalmente, el resultado de la operación de DFT efectivamente muestrea el espectro X SW (f) en un conjunto discreto de frecuencias separados por el recíproco del tiempo de observación (duración de la ventana), 1/T. Esto corresponde a la convolución en el dominio del tiempo con una secuencia de funciones deltas ya que Esto produce una secuencia muestreada periódica en el dominio del tiempo, x sp (t).
    • Fuentes de Error
      • Errores excesivos debido al Aliasing:
        • Incrementar la tasa de muestreo
        • Prefiltrar la señal para minimizar el contenido espectral de alta frecuencia .
      • Distorsión del Espectro debido al Escape (Leakage)
        • Incrementar el ancho de la ventana, incrementando el número de puntos DFT.
        • Utilizar funciones de Ventana que tienen transformada de Fourier con pocas lóbulos laterales.
        • Si las componentes grandes periódicas están presente en la señal, eliminar mediante filtrado antes de realizar el proceso de ventaneo.
      • Efecto Cerca de Piquete (Picket-Fence) resulta en componentes espectrales importantes siendo eliminadas.
        • Incrementar el número de puntos DFT manteniendo la tasa de muestreo.
    • Calculo de la DFT
      • Antes de ver algoritmos eficientes para el cálculo de la suma de DFT. Consideraremos varios ejemplos en los cuales expresiones matemáticas para DFT fueron desarrolladas.
      • Usualmente esto no es posible, y la DFT de una secuencia debe ser evaluada numéricamente.
      • Para grandes sumas, esto puede tomar mucho tiempo de máquina.
      • Por esta razón los algoritmos de Transformada Rápida de Fourier fueron creados por J. W. Tukey.
    • Calculo de la DFT
      • Ahora escribiremos la suma de la DFT como:
      • donde
      • Para una secuencia discreta en el tiempo {x(n)} de longitud N, la suma da como resultado una secuencia discreta en el dominio de la frecuencia {X(k)} de longitud N.
    • Ejemplo
      • Encontrar la DFT de la señal con N=8.
      • Primero escribiremos x(n) con Euler
      • Y notemos ahora que la suma para X(k) puede ser escrita como la suma de 3 términos.
    • Ejemplo Si evaluamos estas sumas considerando De las series geométricas, sabemos que esta sumatoria tiende a: Ya que la exponencial es igual a 1, para cualquier par de (k,l)
    • Ejemplo
      • Sin embargo, k=l, el numerador y el denominador de S N (l,k).
      • Pero es un caso particular de la serie geométrica si se evalúa para k=l, entonces la serie geométrica queda como:
      • Así, podemos escribir de manera compacta
      • donde  kl =1 para k=l y 0 en otro lado, esta es la función delta de Kronecker.
    • Ejemplo X(0) =32 X(1)=0 X(2)=-j12 X(3)=0 X(4) =0 X(5)=0 X(6)=j12 X(7)=0
    • Ejemplo de DFT de 2 puntos
      • En este algoritmo de DFT de dos puntos, el cual toma solo dos muestras en el dominio del tiempo, x(0) y x(1), y dos muestras en el dominio de la frecuencia X(0) y X(1) son derivadas.
      • Realizando la sumatoria
      • X(0)=x(0) + x(1)
      • X(1)=x(0) – x(1)
    • Ejemplo de DFT de 2 puntos 2-Puntos DFT x(0) x(1) X(0) X(1) x(0) x(1) X(0) X(1) -1
      • Antes de seguir con el siguiente ejemplo debemos examinar W N K para tres valores específicos de k. Para k= N/2 se tiene
      • Los otros dos caso especiales de interés son cuando k= N/4 y 3N/4.
    • Derivación Matemática de FFT
      • Algoritmo en el dominio del Tiempo: Consideraremos la suma de la DFT separadamente los términos pares e impares en la suma, siendo n= 2r para pares y 2r+1 para impares.
    • DFT N/2 Puntos DFT N/2 Puntos x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) G(0) G(1) G(2) G(3) H(0) H(2) H(3) H(1) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
    • Derivación Matemática de FFT
      • Algoritmo en el dominio de la Frecuencia: Para derivar otro algoritmo para encontrar la DFT consideremos la sumatoria como la suma sobre la primera mitad y otra sobre la ultima mitad de las muestras de entrada.
    • Derivación Matemática de FFT
      • Ahora consideremos k par e impar separadamente.
    • DFT N/2 Puntos DFT N/2 Puntos x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) -1 -1 -1 -1 W 0 N W 1 N W 2 N W 3 N X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
    • Propiedades de la DFT
      • Secuencias Discretas en tiempo son denotadas como x(n) y y(n)
      • Su DFT se denotan como X(k) y Y(k)
      • N es la longitud de la secuencia o tamaño de la DFT
      • A y B son constantes arbitrarias
      • El subíndice e significa que es par alrededor del punto (N-1)/2 para N par y N/2 para N impar.
      • El subíndice o denota la secuencia impar.
      • El subíndice r denota la parte real de la secuencia
      • El subíndice i denota la parte imaginaria de la secuencia
    • Propiedades de la DFT
      • Cualquier secuencia real puede ser expresada en términos de sus partes pares e impares.
      • Las secuencias se asumen periódicamente repetidas.
    • Propiedades de la DFT
      • Linealidad
      • Ax(n)+By(n) ↔ AX(k) +BY(k)
      • Retardo en el Tiempo
      • x(n-m) ↔ X(k)e (-j2  km/N) =X(k)W N km
    • Propiedades de la DFT
      • Retardo en Frecuencia
      • x(n)e (j2  nm/N) ↔ X(k-m)
      • Dualidad
      • N -1 X(n) ↔ x(-k)
    • Propiedades de la DFT
      • Convolución Circular
      • Multiplicación
    • Propiedades de la DFT
      • Teorema de Parseval
    • Propiedades de la DFT
      • Transformada de funciones reales pares
      • x er (n)↔X er (k)
      • Transformada de funciones impares reales
      • x or (n)↔jX oi (k)
    • Propiedades de la DFT
      • Asuma que x(n) y y(n) son las partes real e imaginaria de una secuencia compleja x(n), es decir:
      • z(n)=x(n)+jy(n)
      • Entonces
      • z(n) ↔ Z(k)=X(k)+jY(k)
    • Aplicaciones de la FFT
      • Filtrado
      • Analizadores de Espectro
      • Convolución
      • Densidad Espectral de Energía
      • Funciones de Autocorrelación
      • Identificación del Sistema
      • Recuperación de la Señal
      • Deconvolución
    • Selección de Parámetros para el Procesamiento de la Señal con DFT
      • En el procesamiento de una señal por medio de DFT o FFT, el teorema de muestreo requiere que la tasa de muestreo sea de f s ≥2W muestras por segundo, donde W es el ancho de banda de la señal. Asuma una ventana de T segundos con una DFT de N puntos, la tasa de muestreo es f s = N/T.
      • Lo cual debe satisfacer
      • Es espaciamiento entre muestras de frecuencia es:
      • Lo que se conoce como resolución en frecuencia.
      • Combinando estas ecuaciones se tiene:
      • Dado un ancho de banda de una señal, la resolución deseada o espaciamiento en frecuencia determina el tamaño de la FFT requerido. Para hacer T/T s igual a N=2 n , ceros deben ser añadidos al final de los datos.
      7
    • Ventanas y sus Propiedades
      • Hemos visto que el muestreo del espectro de una señal de en el dominio del tiempo y ventaneada implica una extensión periódica de la señal.
      • A menos que la señal sea periódica y un número entero de períodos estén dentro de la ventana o que se aproxime a cero en los extremos del intervalo, la discontinuidades resultante generan adicional componentes espectrales. Lo cual se conoce como goteo espectral.
      • Para minimizar este efecto, las muestras de datos pueden ser multiplicadas por una ventana no rectangular que aproxime a cero suavemente el inicio y fin de la señal.
      • Varias funciones son mostradas en la siguiente tabla.
    • Ventana Nivel de Lóbulo Principal (dB) Ancho de Banda 3-dB (bins) Ganancia Coherente [∑w(n)] 2 / ∑w 2 (n) Rectangular w(n)=1, n=0,1, ..N-1 -13 0.89 1.0 Triangular w(n)=2n/N, n=0,1…N/2 w(N-n-1)=w(n) -27 1.28 0.75 Hanning w(n)=1/2[1-Cos(2  n/N)] n=0,1….N-1 -32 1.44 0.67
    • Ventana Nivel de Lóbulo Principal (dB) Ancho de Banda 3-dB (bins) Ganancia Coherente [∑w(n)] 2 / ∑w 2 (n) Hamming w(n)=0.54-0.46*Cos(2  n/N)] n=0,1….N-1 -43 1.30 0.74 Kaisser-Bessel w(n)=I o (  )/I o (  ) donde I o (x) = Función de Bessel modificada  =2; -46  =2.5;-57  =3; -69  =3,5;-82 1.43 1.57 1.71 1.83 0.67 0.61 0.56 0.52
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