SERIES DE FOURIER
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  • 1. SINUSOIDALES Y SERIES DE FOURIER Señales y Sistemas
  • 2. Agenda
    • Importancia de Funciones Senoidales
    • Señales Sinusoidales
    • Exponenciales complejos y fasores
    • Suma de Fasores
    • Suma parcial de senoides
    • Series de Fourier
  • 3. Importancia
    • Muchos fenómenos físicos generan señales de tipo sinusoidal.
    • Muchas señales pueden ser expresadas u aproximadas como combinaciones de señales sinusoidales
  • 4. Ejemplo
    • El sonido de un diapasón
  • 5. EJEMPLO
    • La voz humana no es una señal senoidal
      • Se puede aproximar por segmentos a la suma de sinusoidales
  • 6. Señales Sinusoidales
    • A Cos(  t+  )
    A Sin (  t+  ) Amplitud Velocidad Angular Fase  =2  f Frecuencia Hz.
  • 7. Gráfica de A Cos (2  ft)
  • 8. Señales Sinusoidales
    • x(t) = A cos(  0 t+  ) = A cos (2  f 0 t+  )
    • El ángulo es una función del tiempo
    • Notar que  0 = 2  f 0
    • f 0 : Frecuencia expresada en Hz (1/s).
    • Recordar que
      • x(t) = A sin(  0 t+  ) = A cos(  0 t+  -  /2)
    • Si f 0 = 0 , entonces x(t)=A  valor DC
  • 9. Periodo de la Señal
    • Condición de periodicidad:
      • x(t + T 0 ) = x(t)
    • Para nuestro caso:
      • A cos(2  0 (t+T 0 )+  ) = A cos(2  0 t+  )
    • Simplificando obtenemos:
    • El período se expresa en seg.
  • 10. x(t) = 20 cos(2  (40)t – 0.4  )
    • A= 20,  0 = 2  40 rad/seg., f 0 = 40 Hz.,  = -0.4  rad.
  • 11. Fase de la Señal Senoidal
    • La fase (  ), tiene que ver con el desplazamiento de la señal
    • El desplazamiento t 1 se expresa como: x(t – t 1 )
      • Si t 1 es positivo , se desplaza a la derecha: ATRASO
      • Si t 1 es negativo , se desplaza a la izquierda: ADELANTO
    •  = - 2  f 0 t 1
  • 12. Funciones Seno y Coseno
    • sin  = y/r
    • cos  = x/r
    • Esto implica:
    • y = r sin 
    • x = r cos 
    • Los cuadrantes influyen en el signo
     r x y
  • 13. Comparación de coseno vs. seno sin  = cos (  –  /2) 
  • 14. Propiedades de las señales senoidales Periodicidad cos (  + 2  k) = cos  , k es un entero Paridad de coseno cos(-  ) = cos  Imparidad de seno sin (-  ) = -sin  Ceros del seno sin (  k) = 0 , k es un entero Unos del coseno cos (2  k) =1 , k es un entero Menos unos del coseno cos[2  (k+1/2)] = -1 , k es un entero
  • 15. Identidades Trigonométricas sin 2  + cos 2  =1 cos 2  = cos 2  – sin 2  sin 2  = 2 sin  cos  sin(  ±  ) = sin  cos  ± cos  sin  cos(  ±  ) = cos  cos  -/+ sin  sin 
  • 16. Exponenciales Complejas y Fasores
    • A veces ayudan en la manipulación de señales sinusoidales
    • A continuación repasaremos los números complejos y sus representaciones:
      • Representación Cartesiana
      • Representación Polar
  • 17. Representación Cartesiana
    • z = (x, y)
    • x = Re{z} (parte real)
    • y = Im{z} (parte imaginaria)
    • z = x + jy
    • Estas son “Formas Cartesianas”
    Forma Cartesiana z = (x,y) = x + jy x Re{z} y Im{z}
  • 18. Representación Polar
    • r: Magnitud de z
    •  : Argumento de z
    • r = |z|= √(x 2 +y 2 )
    •  = arg z = arctan (y/x)
    • Recordar que:
      • e j  = cos  + jsin 
    • Por lo tanto:
      • z = r e j 
      • x=rcos  y=rcos 
    z = re j  Forma Polar  r x Re{z} y Im{z}
  • 19. Exponenciales Complejas
    • |x(t)| = A
    • arg x(t) = w 0 t+ 
    • x(t) = A cos(w 0 t+  ) + jAsin(w 0 t+  )
    • Re{x(t)} = A cos(w 0 t+  )
    • Im{x(t)} = Asin(w 0 t+ 
  • 20. Fasores
    • x(t) =
    • Entonces x(t) = Ae j  (t)
    • Donde  (t) = w 0 t+ 
    • Es decir: |x(t)|= A ; arg x(t) =  (t)
    • Así, x(t) es un número complejo que rota en el tiempo.
    • w 0: la velocidad de rotación
  • 21. Fasores
    • Donde C es un número complejo: AMPLITUD COMPLEJA
    • |C|= A ; arg C = 
    • C es FASOR
    • Como C está multiplicado por e jw 0 t entonces C es un Fasor Rotacional
  • 22. Sumando Fasores
    • Es útil cuando queremos sumar sinusoidales.
    • Por ahora sumaremos sinusoidales con:
      • Diferentes Amplitudes
      • Diferentes Fases
      • Frecuencias Idénticas
  • 23.
    • x(t) = 2cos (2  (10)t + 50  /180) + 3cos(2  (10)t+100  /180 )
    Ejemplo
  • 24. Expresar Seno y Coseno con Fasores
  • 25. Espectro de una Señal
    • En la realidad:
      • No todos los componentes de una señal tienen la misma frecuencia
    • Espectro: representación gráfica de los componentes de frecuencia de una señal.
  • 26. Espectro de Línea de Señales Sinusoidales Espectro de Ambos Lados f 1 A/2 A/2 -f 1 f 1 Espectro un solo Lado f f A |C| |C|
  • 27. Espectro de Línea de Señales Sinusoidales Espectro de Ambos Lados f 1  -  -f 1 f 1 Espectro un solo Lado f f  Fase Fase
  • 28. Suma de Senoides
    • La suma de 2 senoides es periódica cuando la relación de sus frecuencias es un número racional. En otras palabras, la suma de 2 senoides es periódica y esta provista de frecuencias enteros múltiples de una frecuencia fundamental.
    • Para examinar la representación de señales periódicas por la suma de senoides cuyas frecuencias son harmónicas, o entero múltiple, de una frecuencia fundamental, consideraremos 2 series y dibujaremos sus sumas parciales
  • 29. Función Ejemplo Sumas Parciales
  • 30. Ejemplo 1 y 2 Términos
  • 31. Ejemplo con 4 y 45 términos
  • 32. Código para generar la función
    • n_max=input(‘Ingrese el número la más alta harmónica deseada(impar)’);
    • N=length(n_max);
    • t=0:0.002:1;
    • omega_0=2*pi;
    • for k=1:N
    • n=[ ];
    • n=[1:2:n_max(k)];
    • b_n = 4./(pi*n);
    • x=b_n*sin(omega_0*n'*t);
    • subplot(N,1,k), plot(t,x),xlabel('t'),ylabel('suma parcial'), axis([0 1 -1.5 1.5]), text(0.05,-5,['max.har.=',num2str(nmax(k))])
    • end
  • 33. Series de Fourier
    • Vemos en las gráficas que esta sumatoria tiende a parecerse a una onda cuadrada con una frecuencia fundamental igual a la frecuencia del primera suma parcial que corresponde al seno.
    • Cuando una nueva harmónica es añadida, el efecto de rizo se aproxima a una cresta plana de una onda cuadrada y posee una frecuencia igual a la más alta harmónica indicada en la serie.
    • La convergencia de las series en cualquier punto particular puede ser examinada por la sustitución apropiada del valor de  o t.
    • Ejemplo  o t =  /2.
  • 34. Series de Fourier
    • Se puede normalizar la serie para tener la amplitud igual a la unidad cuando  o t =  /2, por la multiplicación de 4/  .
  • 35. Función Ejemplo 2 Sumas Parciales
  • 36. Ejemplo con 1 y 2 harmónicas
  • 37. Ejemplo con 20 harmónicas
  • 38.
    • ¿ Dada una forma de onda periódica, podemos encontrar su representación en series trigonométricas?
    Si, mediante Series de Fourier trigonométricas. PREGUNTA
  • 39. Series de Fourier Trigonométricas Lo cual puede ser escrito de una forma mas compacta, en donde  o es 2  f o , siendo f o la frecuencia fundamental de la señal x(t):
  • 40. Coeficientes de Fourier a n y b n
    • Para encontrar los coeficientes a n ’s y b n ’s de cualquier señal periódica empezaremos con a o .
    • Siendo T o , el periodo de la señal x(t), es decir, el inverso de la frecuencia fundamental f o .
  • 41.
    • Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión valida para cualquier a n ’s. La derivación procede para cualquier a n excepto para a 0 .
    Coeficientes de Fourier a m
  • 42. Coeficientes de Fourier a m
  • 43.
    • Para obtener los valores de b n se hace un procedimiento similar solo que esta vez se multiplica la señal original por Sen y se integra en un periodo, dando como resultado.
    Coeficientes de Fourier b m
  • 44. Condiciones Requeridas para asegurar la convergencia
    • Si x(t) tiene un período igual a T o y tiene una primera y segunda derivada continuas para todo t, excepto en un número finito de puntos donde puede tener saltos discontinuos, la Serie de Fourier converge a x(t) para cada punto de t excepto en los puntos de discontinuidad.
  • 45.
    • Se debe notar que las fórmulas de los coeficientes usan solo los valores de x(t) en un intervalo de T 0 seg.
    • Asi, si x(t) esta dada solo para algún intervalo de T 0 , las Series de Fourier puede ser formada y converge uniformemente a x(t) dentro del intervalo en todos los puntos de continuidad.
    • Fuera del intervalo, la serie de Fourier converge a la extensión periódica de la señal x(t).
    Condiciones Requeridas para asegurar la convergencia T o Extensión Periódica x(t)
  • 46. Series Exponenciales Complejas de Fourier
    • Si partimos de la sumatoria de funciones trigonom é tricas de Fourier y remplazando el seno y el coseno por la suma de fasores complejos conjugados, se tiene:
  • 47. Series Exponenciales Complejas de Fourier Si hacemos el cambio de variable k=-n. C n C -k =C n *
  • 48. Series Exponenciales Complejas de Fourier
    • Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión valida para cualquier C n ’s. La derivación procede para cualquier C n , al multiplicar x(t) por una exp(-jm  o t) e integrar en un periodo.
  • 49. Propiedades de Simetría de los Coeficientes de la Series de Fourier
    • La expresión de los coeficientes de la serie exponencial compleja de Fourier, a través del uso del teorema de Euler puede ser escrita como:
    • Si x(t) es real, el primer término de C n es la parte real y el segundo término es la parte imaginaria de C n . Comparando contra las ecuaciones anteriores de la Serie Trigonométrica de Fourier
  • 50. Propiedades de Simetría de los Coeficientes
    • Si remplazamos n por –n, se puede observar que
    • C n = C* -n
      • para señales x(t) reales.
    • Si escribimos C n en notación fasorial
    • donde
  • 51. Propiedades de Simetría
    • Si consideramos una señal real par, sabemos que
    • x(t)= x(-t)
    • Esto hace que la parte imaginaria sea cero, ya que x(t) sen  o t es una función impar y su integral nos da cero sobre el intervalo alrededor de t =0. Por lo tanto los coeficientes C n son reales y par con respecto a n.
  • 52. Propiedades de Simetría
    • Si consideramos una señal real impar, sabemos que
    • x(t)= -x(-t)
    • Esto hace que la parte real sea cero, ya que x(t) cos  o t es una función impar y su integral nos da cero sobre el intervalo alrededor de t =0. Por lo tanto los coeficientes C n son imaginarios.
  • 53. Propiedades de Simetría
    • Otro tipo de simetría es la mitad de onda impar definida como
    • Donde To es el período de la señal x(t). Para estas señales los
    • C n = 0, n= 0, ± 2, ± 4, ±6
  • 54. TEOREMA DE PARSEVAL
    • La potencia promedio para una señal periódica es
    • Se puede expresar x*(t) como su Serie Exponencial de Fourier
  • 55. Espectro de Línea de 2 lados
    • La serie compleja de Fourier de una señal consiste de una sumatoria de fasores rotantes.
    • Vimos anteriormente como la suma de fasores rotantes pueden ser caracterizados en el dominio de la frecuencia mediante 2 gráficos:
      • Amplitud
      • Fase
    • De igual manera se puede obtener 2 gráficos para una señal periódica:
      • Espectro de Amplitud
      • Espectro de Fase
    • Cuando el espectro es analizado para frecuencias positivas y negativas se llama ESPECTRO DE DOS LADOS.
  • 56. Espectro de línea de 2 Lados f f 0 2f 0 3f 0 -f 0 -2f 0 -3f 0 Fase de los Coeficientes f f 0 2f 0 3f 0 -f 0 -2f 0 -3f 0 |C 0 | | C 1 | | C 2 | | C 3 | | C -1 | | C -2 | | C -3 | Amplitud de los Coeficientes
  • 57. Espectro de Línea de un lado
    • Tomando la serie de Fourier y representadola en su forma polar a los coeficientes C n .
  • 58. Espectro de línea de un Lado f f 0 2f 0 3f 0 |C 0 | 2| C 1 | 2| C 2 | 2| C 3 | Amplitud de los Coeficientes f f 0 2f 0 3f 0 Fase de los Coeficientes
  • 59. Convergencia del Espectro de Fourier
    • Consideremos una señal periódica x(t) que tiene su k-ésima derivada, la cual es continua en partes. Su derivada k+1-ésima contiene impulso donde la derivada k-ésima es discontinua.
    • Ahora si diferenciamos las Series Exponenciales de Fourier k+1 veces, obtenemos que:
    • Por lo tanto los coeficientes de Fourier de la derivada (k+1)-ésima son los coeficientes de Fourier multiplicados por (jn  o ) k+1
  • 60. Convergencia del Espectro de Fourier
    • Consideremos ahora el calculo de los coeficientes de la señal k+1-esima derivada.
    • Cuando la derivada de esta expresión es un impulso se puede evaluar directamente por la propiedad de desplazamiento de la función impulso unitario.
    • Estos términos dan constantes para los coeficientes, lo que significa que tendremos términos proporcionales a (jn  o ) -(k+1) , puesto que dividimos la expresión para los coeficientes de Fourier para la (k+1)-ésima derivada de x(t), los cuales tienen componentes constantes, por (jn  o ) (k+1) para obtener C n .
    • Así concluimos que, la señal periódica x(t) con derivada k-ésima, la cual es continua en partes, tiene coeficientes de Fourier que decrementa con la frecuencia como (n  o ) -(k+1)