2. Supóngase que se arrojan simultáneamente un dado y una moneda , y se quiere calcular la probabilidad de obtener un 5 y un águila. La probabilidad de obtener un 5 es: 1 6 y la probabilidad de obtener águila en un volado es: 1 2
3. Entonces la probabilidad de obtener un 5 y águila al lanzar simultáneamente un dado y una moneda es: El razonamiento aplicado se conoce como el teorema de multiplicación de probabilidades (Regla del Producto). 1 6 1 2 1 12 X =
4. Si la probabilidad de que ocurra un evento A es P( A ) y la probabilidad de que ocurra un evento B es P( B ), entonces la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es: Regla del producto P( A y B ) = P( A ) x P( B ) Siempre y cuando los eventos A y B sean independientes .
5. Que la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Cuando A y B no son independientes: ¿Qué significa la condición de que los eventos A y B sean independientes? P ( A y B ) P ( A ) x P ( B )
6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire, caiga sol y águila? Otro ejemplo sería: Como son eventos independientes: La probabilidad de que caiga sol es :
7. Y la probabilidad de que caiga águila es: Entonces la probabilidad de que salga un sol y águila será: P ( sol y águila ) = 1 x 1 = 1 2 2 4
8. Ahora bien, si los eventos no son independientes, veamos el siguiente problema: En una bolsa se tienen 12 dulces: 4 de fresa , 3 de menta y 5 de chocolate , ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 dulces, el primero sea de fresa y el segundo sea de chocolate ? (el primer dulce no se devuelve a la bolsa) .
9. En la primera extracción, la probabilidad de que sea un dulce de fresa es: La probabilidad de que en la segunda extracción sea de chocolate es: P ( Fresa ) = 4 12 11 P ( Chocolate ) = 5
10. Observa que en la segunda extracción quedan 11 dulces en lugar de 12 pues se supone que ya se extrajo uno y no se devolvió a la bolsa. Entonces la probabilidad de que el primero sea un dulce de fresa y el segundo de chocolate , será: P ( fresa, chocolate ) = 4 12 5 11 x = 5 3 3 = 20 132
11. En otras situaciones más sencillas, podemos efectuar el cálculo de probabilidades utilizando los Diagramas de Árbol. Un Diagrama de Árbol es una serie de líneas que parten de un punto en común llamado Raíz, esas líneas a su vez se ramifican según las opciones que se presenten en cada problema. Estos son dos ejemplos:
