Pijanci

1,027 views
919 views

Published on

Published in: Entertainment & Humor, Travel
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,027
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
8
Actions
Shares
0
Downloads
6
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Pijanci

  1. 1. Pouzdanost elektroenergetskog sustava, AV9 Aproksimacije binomne razdiobe
  2. 2. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>Vjerojatnost je kvara komponente, podvrgnute testu, 0,01. </li></ul><ul><li>Testiramo li 2000 takvih komponenata, kolika je vjerojatnost da će se njih 138 pokvariti? </li></ul><ul><li>Kolika je vjerojatnost da će broj pokvarenih komponenata, na kraju testa, biti između 120 i 180 uključivo? </li></ul><ul><li>Kolika je vjerojatnost da su na kraju testiranja najviše tri komponente pokvarene ako je vjerojatnost kvara komponente, za vrijeme testa, 0,0005? </li></ul><ul><li>Testiranje promatramo ovako. </li></ul>
  3. 3. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>Testiramo 2000 komponenata; dakle je </li></ul><ul><li>n = 2000 . S p ćemo označiti vjerojatnost kvara, a s q vjerojatnost ispravnog rada komponenata: p je jednako 0,01 , a q 0,99 . Jer je p = konst. , i jer vrijedi p + q = 1 , odgovori su na prva dva pitanja (s k označujemo /konkretan/ broj pokvarenih komponenata): </li></ul>
  4. 4. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>i, jer je tražena vjerojatnost jednaka sumi, </li></ul><ul><li>a na treće ćemo pitanje odgovoriti kasnije. </li></ul><ul><li>Sa stajališta matematike relacije su ( A ) i ( B ) </li></ul><ul><li>odgovori na postavljena pitanja. Za inženjera, </li></ul>
  5. 5. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>međutim, takvi odgovori nisu dostatni; inženjer želi raspolagati s točnim brojevima kao odgovorima, odnosno, nije li to moguće, barem s „približno zadovoljavajućim“ brojevima. </li></ul><ul><li>Dakako, raspolažete li s elektroničkim računalom, nije problem dobiti numeričke rezultate izraza ( A ) i ( B ), no, što ako to nije slučaj? Postoje li približne ili asimptotske formule za gornje vjerojatnosti? Da, i one su vrlo točne za velike n . Prva takva formula, formula za izraz ( A ), glasi (sada smo s x označili broj kvarova /pokvarenih komponenata/): </li></ul>
  6. 6. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>gdje je </li></ul><ul><li>a φ je funkcija definirana s </li></ul>
  7. 7. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>Prema tome, za velike (veće) n , vjerojatnosti poput ( A ) računamo pomoću (približne) formule ( C ) korištenjem tablice vrijednosti funkcije φ ; tablice u kojoj su pohranjene izračunate vrijednosti funkcije φ za različite vrijednosti t . Valja primijetiti da je promatrana funkcija parna [ φ(t) = φ(-t) ], pa treba tabelirati samo vrijednosti za t ≥ 0 , kao i </li></ul>
  8. 8. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>činjenicu da funkcija φ ima maksimum u točki </li></ul><ul><li>t = 0. </li></ul><ul><li>Približna pak formula za relaciju ( B ) glasi: </li></ul><ul><li>gdje je Φ funkcija definirana s </li></ul>
  9. 9. Aproksimacije binomne razdiobe <ul><li>I primjena je formule ( D ) lagana jer su i vrijednosti funkcije Φ isto tako tabelirane. </li></ul><ul><li>Kako smo odredili relacije ( C ) i ( D )? Pokažimo to promatrajući ovakav pokus. </li></ul>
  10. 10. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>U kutiji se nalaze 3 ispravne i 2 pokvarene komponente. 400 puta nasumce izvlačimo komponentu tako da izvučenu komponentu uvijek opet vratimo u kutiju. Koliko će puta biti izvučena ispravna komponenta? </li></ul><ul><li>Jasno je da ne možemo unaprijed reći nikakav točan rezultat. </li></ul><ul><li>Teoretski je moguć svaki broj od 0 do 400. </li></ul><ul><li>Pitamo se stoga koji bi broj bio najvjerojatniji. </li></ul><ul><li>Općenito, promatramo ovako. </li></ul>
  11. 11. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Neka je p vjerojatnost ( p = konst. ) da će neki događaj nastupiti. </li></ul><ul><li>Protivna je vjerojatnost, q = 1 – p , vjerojatnost da događaj ne će nastupiti. </li></ul><ul><li>Ponovimo pokus n puta i upitajmo se kolika je vjerojatnost da će događaj nastupiti točno x puta, tj. da n –x puta ne će nastupiti? Ako nas zanima samo broj nastupa promatranog događaja, a ne i njihov redoslijed, ta je vjerojatnost jednaka: </li></ul>
  12. 12. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Zanima nas za koju vrijednost od x ima taj izraz svoj maksimum: P = P max ? </li></ul><ul><li>Na to ćemo pitanje odgovoriti razmatrajući ovako. </li></ul><ul><li>(Ne „klasičnim“ načinom – tražeći maksimum funkcije.) </li></ul><ul><li>Uzmimo da smo našli x za koje je P maksimum. </li></ul><ul><li>Vrijedi tada: </li></ul>
  13. 13. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Iz (2) dobivamo: x ≤ np + p , </li></ul><ul><li>a iz (3) x ≥ np - q . </li></ul>
  14. 14. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Dakle je </li></ul><ul><li>np – q ≤ x ≤ np + p </li></ul><ul><li>x za koji P max leži unutar posve određenih </li></ul><ul><li>granica, slika. </li></ul>
  15. 15. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Vrijedi pritom: </li></ul><ul><li>ako je np cijeli broj, onda je x točno jednak np ; </li></ul><ul><li>ako np nije cijeli broj, onda je x najbliži cijeli broj do np ili prema gore ili prema dolje. </li></ul><ul><li>Posve općenito, </li></ul><ul><li>pri čemu je k ili nula ili pravi razlomak . </li></ul>
  16. 16. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Ako je np veliki broj, onda je k veoma maleno spram np , tako da za veliko np možemo reći da je </li></ul><ul><li>Kako u teoriji vjerojatnosti (pouzdanosti), odnosno statistici, figurira veliki n , to posve općenito vrijedi da je, ako načinimo n pokusa za jedan događaj koji ima vjerojatnost p = konst. , vjerojatnost da će takav događaj nastupiti x puta najveća onda ako je </li></ul><ul><li>x = np . </li></ul>
  17. 17. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>U našem slučaju, jer vrijedi np – q ≤ x ≤ np + p , i jer je n = 400 , p = 3/5 , q = 2/5 , imamo </li></ul>
  18. 18. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>x je dakle veći od 240 umanjen za pravi razlomak, odnosno manji od 240 uvećan za pravi razlomak. </li></ul><ul><li>Budući da x po prirodi stvari mora biti cijeli broj, jasno je da je </li></ul><ul><li>x = 240 , </li></ul><ul><li>što odgovara rezultatu da je </li></ul><ul><li>x = np . </li></ul><ul><li>Uzmimo sada da smo 623 puta izvlačili komponentu. </li></ul><ul><li>Bit će </li></ul>
  19. 19. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Vidimo da x mora biti veći 373,40 , a manji od 374,40 , pa kako x mora biti cijeli broj, x = 374 . </li></ul><ul><li>Ako provedemo 624 pokusa, dobit ćemo: </li></ul><ul><li>pa x može poprimiti vrijednost 374 i 375 . </li></ul><ul><li>Razlika je između ta dva broja 1, pa ako imamo veliki broj pokusa, ta je razlika beznačajna. </li></ul>
  20. 20. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Zaključujemo: ponovimo li pokus n puta, događaj će nastupiti x puta. x može poprimiti bilo koju vrijednost od 0 do n , međutim, od tih n + 1 vrijednosti koje može poprimiti x , najveću vjerojatnost ima x = np , dok svi ostali x imaju manju vjerojatnost. </li></ul><ul><li>Posve općenito možemo napisati x = np + k gdje k , koji može biti i pozitivan i negativan i jednak nuli, pokazuje za koliko x dobiven u pokusu odstupa od vrijednosti np . Iz te relacije dobivamo: </li></ul>
  21. 21. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>g dje je x/n relativna frekvencija događaja. </li></ul><ul><li>Ako n -> ∞ , onda x/n -> p , što odgovara definiciji vjerojatnosti a posteriori . </li></ul><ul><li>Pitamo sada: kolika je vjerojatnost da događaj nastupi np + h puta, odnosno kolika je vjerojatnost za odstupanje h : P h = ? </li></ul><ul><li>Promatrajmo najprije kolika je vjerojatnost za odstupanje h = 0 ( P 0 = ?) , tj. da je upravo </li></ul><ul><li>x = np, odnosno, vjerojatnost da događaj nastupi np puta? </li></ul>
  22. 22. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Ako napišemo </li></ul><ul><li>tj. formulu za vjerojatnost za stanoviti x , onda ćemo dobiti vjerojatnost za h = 0 ako je x = np : </li></ul>
  23. 23. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Jer je n >> , smijemo umjesto n! , (np)! i (nq)! upotrijebiti Stirlingovu formulu, </li></ul><ul><li>te dobiti: </li></ul>
  24. 24. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>(Stirlingova formula vrijedi doduše samo za cijele (prirodne) brojeve, no možemo je upotrijebiti i ako np i nq nisu cijeli brojevi, s obzirom na to da je približna.) </li></ul><ul><li>Dobivamo (što je σ obrazložit ćemo kasnije) : </li></ul>
  25. 25. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>To je dakle (približna) vjerojatnost da će događaj, čija je vjerojatnost pojave p, nastupiti np puta u n pokusa, odnosno, da nq puta ne će nastupiti. Naime, </li></ul><ul><li>np + nq = n(p+q) = n · 1 = n . </li></ul><ul><li>Očito je ovo. </li></ul><ul><li>Ako je n >> , P 0 bit će jako maleno. Što je veći n , to je P 0 manje. To ne smeta, međutim, da ustanovimo: kolikogod bila ta vjerojatnost malena, vjerojatnosti su za ostale x još znatno manje. Dobiva se tako da je vjerojatnost za odstupanje h , ako je h ≠ 0 , jednaka: </li></ul>
  26. 26. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>tj., to je vjerojatnost da će u n pokusa događaj, koji ima vjerojatnost p , u n pokusa nastupiti </li></ul><ul><li>np + h puta. </li></ul>
  27. 27. Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju <ul><li>Primjenom Stirlingove formule dobivamo: </li></ul><ul><li>Zaključujemo da je P h < P 0 , tj. vjerojatnost za bilo koje odstupanje od np bit će manja od vjerojatnosti za odstupanje h = 0 . </li></ul><ul><li>Formule su približne, tako su izvedene, a to su točnije što je n veće. Uvjerimo se u to. </li></ul>
  28. 28. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Novčić bacamo 10 puta. Kolika je vjerojatnost da će 5 + h puta pasti „glava“? </li></ul><ul><li>[ n = 10; p =1/2; q =1/2; np = 5 (5 = np = 10·1/2) ] </li></ul>
  29. 29. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Za veći n , n = 100 , približna formula daje još </li></ul><ul><li>bolje rezultate. </li></ul>
  30. 30. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ako u formuli </li></ul><ul><li>pišemo </li></ul><ul><li>dobit ćemo </li></ul>
  31. 31. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Označimo li s </li></ul><ul><li>uobičajenije pisanje) imamo: </li></ul>
  32. 32. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Krivulja </li></ul><ul><li>zove se normalna krivulja odnosno krivulja normalne razdiobe . </li></ul><ul><li>Nacrtamo li tu krivulju, dobivamo sliku </li></ul>
  33. 33. PRIMJERI i daljnja razmatranja
  34. 34. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Vjerojatnost je, </li></ul><ul><li>uvjerili smo se, vrlo malena ako je n velik. </li></ul><ul><li>To je logično jer je P h (približna) vjerojatnost da će događaj, čija je vjerojatnost p = konst. , u n pokusa nastupiti točno np + h puta; vjerojatnost da nastupi upravo stanovito odstupanje ( h ) ne može biti velika. </li></ul>
  35. 35. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ako je n vrlo velik, onda ta vjerojatnost graniči gotovo s nemogućnošću. U praksi nas stoga stvarno i ne zanima kolika je vjerojatnost za neko odstupanje, već kolika je vjerojatnost da se stanovito odstupanje nalazi unutar izvjesnih granica (brojeva): np – k i np + k primjerice. </li></ul><ul><li>Odgovorimo stoga na pitanje kolika je vjerojatnost da odstupanje bude unutar granica k , tj., </li></ul><ul><li>│ h│≤ k : </li></ul>
  36. 36. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Tražimo prema tome vjerojatnost za h u granicama od – k do + k , slika. </li></ul><ul><li>Ta je vjerojatnost: </li></ul><ul><li>vrijednosti su za P -k , P -k+1 itd. ucrtane u sliku. </li></ul><ul><li>Budući da je P -k vjerojatnost da je odstupanje jednako – k , P -k+1 vjerojatnost je da je odstupanje jednako – k +1 itd., to je vjerojatnost da je odstupanje jednako ili – k , ili – k +1 , ili … , ili k jednako sumi pojedinačnih vjerojatnosti. ( R adi se o međusobno isključivim događajima.) </li></ul>
  37. 37. PRIMJERI i daljnja razmatranja
  38. 38. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ako spojimo krajnje točke koje pripadaju pojedinim ordinatama, dobivamo poligon. Ploština je tog poligona, koji se sastoji od samih trapeza, jednaka </li></ul>
  39. 39. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>budući da je </li></ul><ul><li>Dobivamo stoga da je vjerojatnost da odstupanje </li></ul><ul><li>bude u granicama ± k jednaka: </li></ul><ul><li>tj., to je vjerojatnost da se promatrani događaj </li></ul><ul><li>dogodio unutar np ± k puta. </li></ul>
  40. 40. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Tražena je vjerojatnost jednaka dakle ploštini koju </li></ul><ul><li>zatvara poligon ako se tome pribroji </li></ul><ul><li>Ako je n dovoljno velik, onda je ploština poligona približno jednaka ploštini krivulje koja prolazi vrhovima poligona. Jednadžba je te krivulje </li></ul>
  41. 41. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>jer je vjerojatnost P h upravo jednaka tom izrazu. </li></ul><ul><li>Ako integriramo tu krivulju, onda će tako dobivena ploština biti za veliki n približno jednaka ploštini poligona pa je: </li></ul>
  42. 42. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>jer je </li></ul><ul><li>a </li></ul>
  43. 43. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ako je n >> , drugi član u formuli možemo </li></ul><ul><li>zanemariti i upotrebljavati formulu: </li></ul>
  44. 44. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>To je, dakle, vjerojatnost da se stanovito </li></ul><ul><li>odstupanje h nalazi unutar granica [-k,k] . </li></ul><ul><li>(Odstupanje od np: np±k .) </li></ul><ul><li>Krivulju smo </li></ul><ul><li>nazvali „ normalna krivulja “. Označimo njezin </li></ul><ul><li>integral ovako: </li></ul>
  45. 45. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>pa imamo da je </li></ul>
  46. 46. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>što je vjerojatnost da se odstupanje nalazi u granicama od – k do + k . </li></ul><ul><li>Postoje tablice u kojima se nalaze izračunate vrijednosti za funkcije φ(t) i Φ(t) kako bi se olakšalo računanje vrijednosti za pojedina odstupanja. </li></ul><ul><li>Funkcija </li></ul>
  47. 47. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>zove se i Gaussov integral budući da je Gauss integral te vrste upotrebljavao pri određivanju vjerojatnosti pogrešaka. </li></ul><ul><li>Ako u formuli </li></ul><ul><li>uvrstimo k -> ∞ , dobit ćemo, pokazat ćemo kasnije, ako uzmemo ujedno n -> ∞ , da je </li></ul>
  48. 48. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>što je u skladu s činjenicom da je vjerojatnost da se stanovito odstupanje nalazi u granicama od - ∞ do + ∞ jednaka 1 . </li></ul><ul><li>Podsjetimo se sada Bernoullijevog teorem a koji se naziva i zakonom velikih brojeva . </li></ul>
  49. 49. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Napišimo ponovno formulu </li></ul><ul><li>Imali smo da je x = np + h , odnosno za h = k , </li></ul><ul><li>x = np +k . </li></ul><ul><li>Dakle je </li></ul>
  50. 50. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Obilježimo </li></ul><ul><li>to je relativno odstupanje, pa je </li></ul><ul><li>Ako u formuli pišemo umjesto k nk' dobivamo: </li></ul>
  51. 51. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ako n -> ∞, </li></ul><ul><li>(relativno odstupanje postaje jednako nuli), </li></ul><ul><li>što znači da </li></ul><ul><li>a vrijednost integrala postaje jednaka 1: </li></ul>
  52. 52. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ovaj nam rezultat kazuje sljedeće. Pretpostavili </li></ul><ul><li>smo da je </li></ul><ul><li>i vidjeli da je vjerojatnost da se relativno </li></ul><ul><li>odstupanje nalazi unutar granica [-k',+k'] </li></ul><ul><li>jednaka </li></ul>
  53. 53. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Integral teži prema jedinici kad n teži prema beskonačnosti, pa odavde dobivamo (Bernoullijev) teorem: </li></ul><ul><li>U slijedu od n pokusa događaj, koji ima konstantnu vjerojatnost p, neka nastupi x puta. Vjerojatnost da će razlika </li></ul>
  54. 54. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>biti po svojoj apsolutnoj vrijednosti manja od jednog određenog po volji malenog pozitivnog broja teži prema sigurnosti, tj., vjerojatnosti 1, kad broj pokusa n raste neograničeno. </li></ul>
  55. 55. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Slijedi iz činjenice da možemo učiniti </li></ul><ul><li>tako malenim kako želimo i uvijek će vjerojatnost </li></ul><ul><li>da je </li></ul>
  56. 56. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>po svojoj apsolutnoj vrijednosti manje od jedne unaprijed određene granice težiti prema 1 kad n teži prema beskonačnosti . </li></ul><ul><li>Bernoullijev se teorem naziva i „ zakonom velikih brojeva “, budući da kod vrlo velikog n odnos broja u kojem se pojavljuje promatrani događaj, prema broju svih pokusa n , teži prema vjerojatnosti tog događaja. Drugim riječima </li></ul>
  57. 57. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>pri čemu limes ne treba shvatiti u strogom smislu koji ima taj pojam u analizi. </li></ul><ul><li>Ovaj limes treba, naime, tako shvatiti da doduše nije moguće naći neki dovoljno veliki broj n 0 da bi za n > n 0 moralo biti </li></ul><ul><li>ako je ε po volji odabran pozitivan broj, već da se vjerojatnost da će to biti približava 1 kada n teži u beskonačnost. </li></ul>
  58. 58. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>To se može pisati i ovako: </li></ul><ul><li>Iz integrala </li></ul><ul><li>možemo očitati i ovakav rezultat, koji je također </li></ul><ul><li>dio Bernoullijeva teorema: </li></ul>
  59. 59. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ako broj pokusa raste neograničeno, približavamo se </li></ul><ul><li>vjerojatnosti nula da će apsolutno odstupanje biti manje od </li></ul><ul><li>nekog po volji velikog danog broja. Isto prema nuli teži i </li></ul><ul><li>vjerojatnost da će relativno odstupanje biti veće od nekog </li></ul><ul><li>po volji malog danog broja. </li></ul><ul><li>Bitno je ovo: kad broj pokusa raste, onda vjerojatnost da </li></ul><ul><li>se apsolutno odstupanje nalazi unutar bilo kako velikih </li></ul><ul><li>granica teži prema nuli. Zbog toga apsolutno odstupanje u </li></ul><ul><li>ovakvim razmatranjima nije ni važno. Važnije je da </li></ul><ul><li>relativno odstupanje pri velikom broju pokusa ne </li></ul><ul><li>prekoračuje stanovitu granicu i da možemo očekivati da će </li></ul><ul><li>relativno odstupanje težiti prema nuli kad broj pokusa teži </li></ul><ul><li>u beskonačnost. </li></ul>
  60. 60. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Pokazali smo da je vjerojatnost da se odstupanje nalazi unutar granice – k , + k približno jednaka </li></ul><ul><li>odnosno, budući da smo uveli relaciju </li></ul>
  61. 61. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>ta je vjerojatnost približno jednaka </li></ul><ul><li>Drugim riječima, vjerojatnost se može izračunati iz Φ(t) . Zbog važnosti te funkcije, i s obzirom da se taj integral može izračunati samo posebnom numeričkom metodom, vrijednosti su integrala izračunate i tabelirane. </li></ul>
  62. 62. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Odgovorimo sada na pitanje: </li></ul><ul><li>koju vrijednost ima prosječno odstupanje? </li></ul><ul><li>Budući da možemo relativnu frekvenciju nekog događaja zamijeniti s njegovom vjerojatnošću, to pojmu prosječne vrijednosti (aritmetička sredina) odgovara pojam matematičko očekivanje, pa će prosječno odstupanje biti jednako, jer je h = x - np : </li></ul>
  63. 63. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Dalje, jer je za x = 0 taj član jednak nuli, imamo: </li></ul>
  64. 64. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Drugi je član jednak np budući da je: </li></ul><ul><li>a i prvi isto tako: </li></ul>
  65. 65. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Dakle je: </li></ul><ul><li>što znači da je prosječno odstupanje jednako nuli, odnosno da je prosječna vrijednost svih mogućih x- a jednaka np kako i slijedi iz matematičkog očekivanja za slučajnu varijablu X ( X poprima vrijednosti od 0 do n s vjerojatnošću </li></ul>
  66. 66. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Kraće pisano: </li></ul><ul><li>(Podsjetimo na razliku između i μ : prva je vrijednost povezana s uzorkom, a druga s populacijom.) </li></ul>
  67. 67. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Prema tome E(X) nije samo onaj x koji ima najveću vjerojatnost, nego je to ujedno i prosječna vrijednost svih x – ova. </li></ul><ul><li>Promatramo li nadalje prosječnu vrijednost kvadrata odstupanja, dobivamo </li></ul>
  68. 68. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>To se odstupanje označuje s σ 2 i naziva srednjim kvadratnim odstupanjem ili varijancom : </li></ul><ul><li>Drugi korijen iz tog izraza </li></ul><ul><li>naziva se standardno odstupanje ili standardna devijacija . ( Što je veće σ veće je rasipanje vrijednosti slučajne varijable oko vrijednosti μ .) </li></ul>
  69. 69. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Pod relativnim standardnim odstupanjem podrazumijevamo </li></ul><ul><li>a pod izrazom </li></ul><ul><li>koeficijent varijacije . </li></ul>
  70. 70. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Postavimo sada pitanje: </li></ul><ul><li>u kojim se granicama smije nalaziti odstupanje da vjerojatnost za to bude 1/2? </li></ul><ul><li>(Odstupanje koje ima vjerojatnost 1/2 zove se vjerojatno odstupanje .) </li></ul><ul><li>Funkcija Φ(t) </li></ul>
  71. 71. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>određuje vjerojatnost za odstupanje k: </li></ul><ul><li>Dakle je </li></ul><ul><li>odnosno, </li></ul>
  72. 72. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>k/σ znači prema tome mjerenje odstupanja u jedinici jednakoj standardnoj devijaciji. </li></ul><ul><li>Iz tablice nalazimo: </li></ul><ul><li>za t = 0,67 -> Φ(0,67) = 0,24857 , </li></ul><ul><li>za t = 0,68 -> Φ(0,68) = 0,25175 . </li></ul>
  73. 73. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Linearnom interpolacijom, slika, dobivamo: </li></ul>
  74. 74. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Dakle je Φ(0,6745) = 0,25 i dalje </li></ul><ul><li>Prema tome, ako se odstupanje nalazi u ovim granicama, onda takvo odstupanje ima vjerojatnost 1/2 . Odnosno, drugim riječima, vjerojatnost je da se događaj dogodi unutar np – 0,6745σ i np + 0,6745σ puta jednaka 1/2 . </li></ul>
  75. 75. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Ustanovimo sada kolika je vjerojatnost da odstupanje bude unutra granica (-σ,+ σ)? </li></ul><ul><li>Φ(1) znači dakle da je odstupanje jednako 1 mjereno u standardnoj devijaciji. </li></ul><ul><li>Upitamo li se kolika je vjerojatnost da je odstupanje u granicama (-2σ,+ 2σ), imamo: </li></ul>
  76. 76. PRIMJERI i daljnja razmatranja <ul><li>Vjerojatnost je, dakle, da odstupanje bude unutar granica ±2σ otprilike 95% , što znači da su unutar tog intervala sadržana praktički sva odstupanja koja se pojavljuju. </li></ul><ul><li>U praksi se rijetko traži veća vjerojatnost od 95% , tako da svako odstupanje unutar granica ±2σ zadovoljava. </li></ul><ul><li>Ukoliko bismo promatrali granicu od ±3σ, vjerojatnost je tada (slika): </li></ul>
  77. 77. PRIMJERI i daljnja razmatranja
  78. 78. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>Ponovimo osnovno. </li></ul><ul><li>Binomna je razdioba definirana formulom: </li></ul><ul><li>i ta je formula funkcija vjerojatnosti. </li></ul><ul><li>To je vjerojatnost da u slijedu od n jednakih pokusa događaj koji ima konstantnu vjerojatnost p nastupi x puta. </li></ul><ul><li>Ako je n veoma velik, može se upotrijebiti približna formula: </li></ul>
  79. 79. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>x može pritom poprimiti vrijednost 0 i vrijednosti prirodnih brojeva od 1 do n . </li></ul><ul><li>Ako pretpostavimo da x poprima sve vrijednosti na realnoj brojnoj crti od 0 do n , onda je u tom intervalu gornja funkcija kontinuirana. Pokazuje se da je u tom slučaju </li></ul>
  80. 80. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>Naime, ako pišemo </li></ul><ul><li>dobivamo: </li></ul>
  81. 81. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>Naime, ako je x = 0 dobivamo donju granicu: </li></ul><ul><li>dok za x = n dobivamo gornju granicu: </li></ul>
  82. 82. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>Odavde slijedi da je </li></ul><ul><li>gustoća vjerojatnosti. </li></ul><ul><li>Prema tome je vjerojatnost za odstupanje x – np </li></ul><ul><li>jednaka: </li></ul>
  83. 83. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>Ako pišemo: </li></ul><ul><li>dobivamo: </li></ul><ul><li>odnosno </li></ul>
  84. 84. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>tj. funkcija je gustoće vjerojatnosti u graničnom slučaju jednaka </li></ul>
  85. 85. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>Razdioba se koja se ravna po ovoj formuli naziva normalna razdioba odnosno normalna krivulja , a često i Gaussova razdioba . </li></ul><ul><li>Dakle, iako se statistički podaci, koje daje praksa, diskontinuirani, ipak se na njih primjenjuje normalna razdioba, koja je kontinuirana, zbog pojednostavnjenja računa. Praktički razlika između kontinuirane i diskontinuirane krivulje nije bitna. Promatrajući krivulju ne ćemo stoga promatrati krivulju apsolutne frekvencije , već krivulju (gustoće) vjerojatnosti f(x) koja je definirana u intervalu od - ∞ do + ∞ . Očito se radi o krivulji funkcije gustoće vjerojatnosti jer vrijedi: </li></ul>
  86. 86. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>što možemo ovako dokazati. Pišemo li </li></ul><ul><li>dobivamo </li></ul>
  87. 87. NORMALNA RAZDIOBA <ul><li>Kako je vrijednost ovog integrala jednaka drugom </li></ul><ul><li>korijenu iz 2 , </li></ul><ul><li>to je P = 1 . </li></ul>
  88. 88. PRIMJERI <ul><li>Novčić je bačen 12 puta. Odredite </li></ul><ul><li>vjerojatnost da se glava pojavila između 4 i </li></ul><ul><li>7 puta uključivo koristeći se: </li></ul><ul><li>binomnom razdiobom, </li></ul><ul><li>normalnom razdiobom. </li></ul><ul><li>a) </li></ul>
  89. 89. PRIMJERI <ul><li>a) </li></ul>
  90. 90. PRIMJERI
  91. 91. PRIMJERI <ul><li>b) x = broj glava koji se pojavio. </li></ul><ul><li>Tražimo P(4 ≤ x ≤7) . Pretpostavimo li da su </li></ul><ul><li>podaci kontinuirani, kako bismo mogli upotrijebiti </li></ul><ul><li>normalnu razdiobu, vrijedi: P(3,5 ≤x ≤7,5) , slika: </li></ul>
  92. 92. PRIMJERI <ul><li>Iz tablice (u tablici su samo pozitivne vrijednosti </li></ul><ul><li>za t; zbog simetrije vrijedi): </li></ul><ul><li>t 1 = - 1,45 => t 1 = 1,45 => </li></ul><ul><li>Φ(1,45) = 0,4265; </li></ul><ul><li>t 2 = 0,87 => Φ(0,87) = 0,3078. </li></ul>
  93. 93. PRIMJERI <ul><li>Dakle je </li></ul>
  94. 94. PRIMJERI <ul><li>Bacamo (idealnu) kocku 180 puta. Odredite </li></ul><ul><li>vjerojatnost da će se brojka 6 pojaviti: </li></ul><ul><li>između 29 i 32 puta uključivo </li></ul><ul><li>između 31 i 35 puta uključivo. </li></ul><ul><li>a) </li></ul><ul><li>Tražimo P(29 ≤x ≤32), odnosno, pretpostavimo li </li></ul><ul><li>da su podaci kontinuirani, P(28,5 ≤x ≤32,5). </li></ul><ul><li>Tada je: </li></ul>
  95. 95. PRIMJERI <ul><li>Iz tablice dobivamo: </li></ul>
  96. 96. PRIMJERI <ul><li>b) </li></ul><ul><li>Tražimo P(31 ≤x ≤35) , odnosno, pretpostavimo </li></ul><ul><li>li da su podaci kontinuirani, P(30,5 ≤x ≤35,5). </li></ul><ul><li>Tada je: </li></ul>
  97. 97. PRIMJERI <ul><li>Iz tablice dobivamo: </li></ul>
  98. 98. PRIMJERI <ul><li>Podaci govore o rođenju 1705 dječaka i </li></ul><ul><li>1527 djevojčica. Potvrđuju li ti podaci </li></ul><ul><li>hipotezu da je vjerojatnost rođenja muškog </li></ul><ul><li>odnosno ženskog djeteta 1/2? </li></ul><ul><li>(Hipoteza /pretpostavka/ je izjava da je nešto </li></ul><ul><li>istinito. Testiranje je znanstvena metoda kojom </li></ul><ul><li>se provjerava vjerodostojnost (sigurnost) </li></ul><ul><li>pretpostavke /hipoteze/.) </li></ul>
  99. 99. PRIMJERI <ul><li>Budući da imamo sveukupno 3232 rođenja, </li></ul><ul><li>očekivali bismo 1616 dječaka i isto toliko </li></ul><ul><li>djevojčica: </li></ul><ul><li>np = μ = 1616, σ = (npq) 1/2 = 28,425. </li></ul><ul><li>Rođeno je 1705 dječaka, pa je odstupanje </li></ul><ul><li>1705 – 1616 = 89 . </li></ul><ul><li>Kolika je vjerojatnost da se odstupanje </li></ul><ul><li>nalazi unutar te granice? </li></ul>
  100. 100. PRIMJERI <ul><li>Iz tablica: t = 3,13 => Φ = 0,49913 => </li></ul><ul><li>P = 2Φ = 0,99826, slika. </li></ul>
  101. 101. PRIMJERI
  102. 102. PRIMJERI <ul><li>To je, dakle, vjerojatnost da se odstupanje nalazi unutar granice ± 89 . </li></ul><ul><li>Da predodžba bude zornija, postavimo pitanje kolika je vjerojatnost da </li></ul><ul><li>se to odstupanje premaši? </li></ul><ul><li>1 - 0,99826 = 0,00174. </li></ul><ul><li>Razabiremo da je vjerojatnost da bi se takvo odstupanje moglo </li></ul><ul><li>premašiti jako mala, što drugim riječima znači da je takvo odstupanje </li></ul><ul><li>praktički nemoguće. </li></ul><ul><li>Zaključujemo da podaci ne potvrđuju hipotezu da je </li></ul><ul><li>vjerojatnost rođenja muškog djeteta 1/2. </li></ul><ul><li>Ukoliko ne sumnjamo u tu vjerojatnost, koja je više puta </li></ul><ul><li>potvrđena, zaključujemo da podaci nisu (statistički) točni. </li></ul><ul><li>Naime, najveća vjerojatnost koja se u praksi kod ovakvih zadataka </li></ul><ul><li>primjenjuje ne iznosi više od 99,7% . (U promatranom je slučaju ta </li></ul><ul><li>vjerojatnost jednaka 99,8% .) Drugim riječima, navedeno je </li></ul><ul><li>odstupanje preveliko i nevjerojatno vrijedi li vjerojatnost 1/2 za </li></ul><ul><li>rođenje dječaka odnosno djevojčica. </li></ul>
  103. 103. PRIMJERI <ul><li>2000 komponenata imaju srednje vrijeme do </li></ul><ul><li>kvara jednako 1000 sati, a standardnu </li></ul><ul><li>devijaciju 200 sati. </li></ul><ul><li>Koliko će se komponenata, prema </li></ul><ul><li>očekivanju, pokvariti u prvih 700 sati rada? </li></ul><ul><li>Koliko će se pokvariti između 900-tog i </li></ul><ul><li>1300-tog sata? </li></ul><ul><li>Nakon kojeg se vremena može očekivati da </li></ul><ul><li>će 10% komponenata biti pokvareno? </li></ul>
  104. 104. PRIMJERI <ul><li>Očito, pretpostavljamo da je funkcija gustoće vjerojatnosti kvara, za promatranu vrstu kompone- nata, normalna. (Dakle, ne eksponencijalna.) </li></ul><ul><li>np = μ = 1000, σ = (npq) 1/2 = 200; </li></ul><ul><li>x = np + h = μ + k. </li></ul><ul><li>t =1,5 => Φ(1,5) = 0,4332 => 0,5 – 0,4332= = 0,0668 i to je vjerojatnost da se komponen- -ta pokvari u prvih 700 sati rada, slika. </li></ul>
  105. 105. PRIMJERI
  106. 106. PRIMJERI <ul><li>Jer ima 2000 komponenata , očekivani je broj kvarova ( neovisnost komponenata) u prvih 700 sati rada: </li></ul><ul><li>2000 ∙ 0,0668 = 133,6 => 134 komponenata pokvarit će se u prvih 700 sati rada, slika. </li></ul>
  107. 107. PRIMJERI <ul><li>Odgovorimo sada na pitanje koliko će se komponenata pokvariti između 900-tog i 1300-tog sata. </li></ul><ul><li>za površinu A 1 vrijedi, slika: </li></ul><ul><li>a za površinu A 2 : </li></ul>
  108. 108. PRIMJERI
  109. 109. PRIMJERI <ul><li>Iz tablice: </li></ul><ul><li>t 1 = 0,5 => Φ(0,5) = 0,1915 </li></ul><ul><li>t 2 = 1,5 => Φ(1,5) = 0,4332 </li></ul><ul><li>Φ(t 1 ) + Φ(t 2 ) = 0,6247 => </li></ul><ul><li>2000 ∙ 0,6247 = 1249,4 => </li></ul><ul><li>1250 će se komponenata pokvariti između 900-tog i 1300-tog sata , slika. </li></ul>
  110. 110. PRIMJERI <ul><li>Da bismo odgovorili na pitanje </li></ul><ul><li>„ nakon kojeg se vremena može očekivati da će 10% komponenata biti pokvareno“ , moramo odrediti t koje odgovara poznatoj površini. Radi se o površini, slika: </li></ul><ul><li>0,5 – 0,1 = 0,4. </li></ul><ul><li>Iz tablice određujemo (interpolacijom): </li></ul><ul><li>t = -1,2817 . </li></ul><ul><li>Dobivamo: </li></ul><ul><li>x = 743,7 sati , slika. </li></ul>
  111. 111. PRIMJERI
  112. 112. PRIMJERI <ul><li>Kad bi funkcija gustoće vjerojatnosti kvara komponenta bila eksponencijalna (eksponencijalna funkcija pouzdanosti) rezultati bi bili ovakvi: </li></ul>
  113. 113. PRIMJERI <ul><li>2000 – 993 = 1007 (134) komponenata bit će pokvareno nakon 700 sati rada. </li></ul><ul><li>m(900) = 2000·e -0,001·900 = 813,139 </li></ul><ul><li>m(1300) = 200·e -0,001·1300 = 545,064 => </li></ul><ul><li>813,139 - 545,064 = 269 ( 1250 ) komponenata će se pokvariti između 900-tog i 1300-tog sata . </li></ul>
  114. 114. PRIMJERI <ul><li>t = 105,4 h (743,7 ) : </li></ul><ul><li>unutar tog vremena može se očekivati da će se 10% komponenata pokvariti. </li></ul>
  115. 115. PRIMJERI <ul><li>Test na razredbenom postupku na FER-u sadrži 40 zadataka. Za svaki zadatak ponuđeno je 5 odgovora od kojih je samo jedan točan. Točan odgovor donosi 15 bodova, a netočan -4. Kolika je vjerojatnost da nasumce (“na sreću”) zaokružujući odgovore skupite 135 bodova što je minimum da zadovoljite na testu? </li></ul><ul><li>n = 40, p = 1/5, </li></ul><ul><li>q = 4/5, np = μ = 8 </li></ul>
  116. 116. PRIMJERI <ul><li>vjerojatnost je da ste na x pitanja (zadataka), od njih 40 , odgovorili točno nasumičnim odabirom. </li></ul><ul><li>( x je, dakle, broj točnih odgovora.) </li></ul><ul><li>Koliki mora biti x ? Treba vrijediti: </li></ul><ul><li>x∙15 - 4 ∙(40 – x) ≥ 135 => x ≥ 15,526. </li></ul><ul><li>x mora dakle biti 16 , pa je tražena vjerojatnost jednaka </li></ul>
  117. 117. PRIMJERI <ul><li>Tu ćemo vjerojatnost odrediti pomoću normalne razdiobe. Pretpostavit ćemo stoga da su podaci kontinuirani, kako bismo mogli upotrijebiti normalnu razdiobu. Vrijedi prema tome: </li></ul><ul><li>P(x ≥ 15,5) = P(t ≥ 2,96) . </li></ul><ul><li>Naime, </li></ul>
  118. 118. PRIMJERI <ul><li>Iz tablice očitavamo iznos ploštine za </li></ul><ul><li>t = 2,96 -> 0,4985 </li></ul><ul><li>pa je tražena vjerojatnost, slika, da „na sreću“ zadovoljite na opisanom razredbenom postupku: </li></ul>
  119. 119. PRIMJERI
  120. 120. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Odgovorimo sada na treće od pitanja postavljenih na </li></ul><ul><li>početku. </li></ul><ul><li>Broj je testiranih komponenata 2000. Kolika </li></ul><ul><li>je vjerojatnost da na kraju testiranja budu </li></ul><ul><li>najviše tri komponente pokvarene ako je </li></ul><ul><li>vjerojatnost kvara komponente, za vrijeme </li></ul><ul><li>testa, 0,0005? </li></ul><ul><li>Neka je x broj pokvarenih komponenata na kraju </li></ul><ul><li>testa. Budući da je </li></ul><ul><li>n = 2000, p = 0,0005, m = np = 0,0005·2000 = 1 , </li></ul><ul><li>tražena je vjerojatnost jednaka: </li></ul>
  121. 121. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Zašto? </li></ul>
  122. 122. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>U binomnoj smo razdiobi imali </li></ul><ul><li>Ako uzmemo da je p = m/n , možemo pisati </li></ul><ul><li>Pretpostavimo da je m malen broj prema n i potražimo kojoj se vrijednosti približava gornji izraz ako n -> ∞ . Izraz napišimo sada ovako: </li></ul>
  123. 123. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Upotrijebimo li Stirlingovu formulu, </li></ul>
  124. 124. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>dobit ćemo: </li></ul>
  125. 125. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Za n -> ∞ dobivamo, budući da je </li></ul><ul><li>dobivamo: </li></ul>
  126. 126. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Dobili smo tako razdiobu poznatom pod nazivom Poissonova razdioba . (Otkrio ju je francuski matematičar S. D. Poisson, 1837. godine.) </li></ul><ul><li>Bitno je pritom da je ta razdioba zapravo granični slučaj binomne razdiobe. </li></ul><ul><li>Valja uočiti da je i normalna razdioba granični slučaj binomne razdiobe. Naime, i normalnu smo razdiobu dobili kad smo kod binomne razdiobe pretpostavili da je n jako velik kako bismo mogli upotrijebiti Stirlingovu aproksimaciju za velike faktorijele. </li></ul>
  127. 127. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Međutim, kod graničnog prijelaza kojim smo dobili normalnu krivulju nismo pravili nikakve pretpostavke o veličini p . Šutke smo pretpostavili, kao što i mora biti, da taj p ima određenu vrijednost koja se kod graničnog prijelaza ne mijenja: p = konst . Drugim riječima i u izrazu </li></ul><ul><li>p = m/n kad n raste, mora ujedno rasti i m , odnosno kad n -> ∞ onda i m -> ∞ . Kod graničnog slučaja, koji nas vodi Poissonovoj razdiobi, stvar je drugačija. Pretpostavljamo, naime, da je m vrlo malen prema n i da znatno sporije konvergira prema ∞ od n . Zbog te pretpostavke uzimamo da je </li></ul>
  128. 128. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Tako onda dobivamo Poissonovu razdiobu. Kada ćemo se moći koristiti tom razdiobom? Uvijek kada je m mali prema n , tj. kad se radi o događajima koji imaju malu vjerojatnost, dakle o događajima koji se (u veoma velikom broju pokusa) rijetko pojavljuju: kvarovi vrlo pouzdanih komponenata primjerice, samoubojstva, tiskarske pogreške na jednoj stranici, prometne nesreće na određenoj dionici autoceste u jednom danu, telefonski pozivi centrali u jednoj minuti, rođenja četvorki itd., no, i pouzdanost sustava s rezervom računa se pomoću Poissonove razdiobe. </li></ul>
  129. 129. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Označimo Poissonovu razdiobu ovako </li></ul><ul><li>i pretpostavimo da je definirana samo za 0 i </li></ul><ul><li>cjelobrojne vrijednosti, tj. x = 0, 1, 2, itd. </li></ul><ul><li>Tada je </li></ul>
  130. 130. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Ako načinimo </li></ul><ul><li>vidimo da se radi o funkciji vjerojatnosti koja je </li></ul><ul><li>određena samo u točkama 0 , 1 , 2 , itd. , i čija je </li></ul><ul><li>suma za x = 0 do ∞ jednaka 1 . </li></ul>
  131. 131. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom <ul><li>Ako potražimo dobivamo da je </li></ul><ul><li>Dakle je prosječna vrijednost (očekivanje) jednaka </li></ul><ul><li>m . Prema tome, vrijedi i obrnuto: ako nam je </li></ul><ul><li>poznata prosječna vrijednost jedne razdiobe, pa </li></ul><ul><li>ako slutimo da je ta razdioba Poissonova, možemo </li></ul><ul><li>naći parametar m koji karakterizira tu razdiobu </li></ul><ul><li>samim tim što smo našli prosječnu vrijednost. </li></ul>
  132. 132. PRIMJERI <ul><li>Ilustrirajmo to analizirajući zabilježena događanja iz II. svjetskog rata kada su Nijemci bombardirali London letećim bombama V1. </li></ul><ul><li>Promatrano je područje južnog Londona površine 144 km 2 razdijeljeno u 576 sektora. </li></ul><ul><li>Palo je („svega“) 537 bombi raspodijeljene ovako po sektorima: </li></ul>
  133. 133. PRIMJERI <ul><li>( 0 bombi palo je u 229 sektora, po 1 bomba pala je u 211 sektora, itd., 7 bombi palo je samo u jednom sektoru.) </li></ul>
  134. 134. PRIMJERI <ul><li>Struktura razdiobe podsjeća nas na Poissonovu. </li></ul><ul><li>Naime, gađanje sa svakom pojedinom bombom </li></ul><ul><li>možemo promatrati kao poseban slučajni pokus: </li></ul><ul><li>treba procijeniti vjerojatnost događaja da na </li></ul><ul><li>slučajno odabrani sektor padne točno x bombi. </li></ul><ul><li>Imamo pritom 576 sektora i 537 bombi, a </li></ul><ul><li>izračunat ćemo koliko bi bombi prema Poissonovoj </li></ul><ul><li>razdiobi trebalo pasti u pojedine sektore i te </li></ul><ul><li>rezultate usporediti sa stvarnim događa n jima. </li></ul>
  135. 135. PRIMJERI <ul><li>Izračunajmo najprije m : </li></ul><ul><li>Prema Poissonovoj razdiobi možemo očekivati f x dijelova južnog Londona u koje je palo točno x bombi V1: </li></ul>
  136. 136. PRIMJERI <ul><li>Naime, vjerojatnost je x bombi </li></ul><ul><li>a to je upravo </li></ul>
  137. 137. PRIMJERI <ul><li>Dobivamo ove vrijednosti za f x (f teorijski ): </li></ul>
  138. 138. PRIMJERI <ul><li>Očito, podaci se prilično slažu, pa s e može pretpostaviti da se radi o Poissonovoj razdiobi. </li></ul><ul><li>Drugim riječima, to znači da se radi o zakonu koji vrijedi za rijetke događaje, odnosno zaključujemo da Nijemci nisu gađali (ili to nisu mogli) određene objekte u Londonu jer bismo u protivnom morali dobiti normalnu razdiobu koju redovito nalazimo kod gađanja. </li></ul><ul><li>Radilo se, dakle, o razaranju, odnosno, o zastrašivanju protivnika. </li></ul>
  139. 139. PRIMJERI <ul><li>Vjerojatnost je kvara komponente, </li></ul><ul><li>podvrgnute testu, 0,006. Koristeći se </li></ul><ul><li>binomnom i Poissonovom razdiobom </li></ul><ul><li>odredite ove vjerojatnosti: </li></ul><ul><li>nula kvarova tijekom 1000 testiranja, </li></ul><ul><li>barem jedan kvar tijekom 1000 testiranja, </li></ul><ul><li>barem dva kvara tijekom 1000 testiranja. </li></ul>
  140. 140. PRIMJERI <ul><li>Binomna razdioba </li></ul><ul><li>n = 1000, p = 0,006, x = 0, 1, 2 </li></ul><ul><li>a) </li></ul><ul><li>P(vjerojatnost nula kvarova tijekom 1000 testova): </li></ul><ul><li>b) </li></ul><ul><li>P(vjerojatnost barem jednog kvara tijekom 1000 testova): </li></ul>
  141. 141. PRIMJERI <ul><li>c) </li></ul><ul><li>P(vjerojatnost barem dva kvara tijekom 1000 testova): </li></ul><ul><li>Budući da je </li></ul><ul><li>to je </li></ul>
  142. 142. PRIMJERI <ul><li>Poissonova razdioba </li></ul><ul><li>n = 1000, p = 0,006, x = 0, 1, 2 </li></ul><ul><li>(Kad je n>>1, p<<1, Poissonova se razdioba može rabiti.) </li></ul><ul><li>Dakle je </li></ul><ul><li>i m = np = 1000·0,006 = 6 , </li></ul><ul><li>te dobivamo: </li></ul>
  143. 143. PRIMJERI <ul><li>a) </li></ul><ul><li>P(vjerojatnost nula kvarova tijekom 1000 testova): </li></ul><ul><li>b) </li></ul><ul><li>P(vjerojatnost barem jednog kvara tijekom 1000 testova): </li></ul>
  144. 144. PRIMJERI <ul><li>c) </li></ul><ul><li>P(vjerojatnost barem dva kvara tijekom 1000 testova): </li></ul><ul><li>Budući da je </li></ul><ul><li>to je </li></ul>

×