05. Conservación de la cantidad de
movimiento

Teorema de transporte de Reynolds
M
t1 t2 t3
Representación de un volumen material M, el cual contiene el mismo fluido (la
misma masa) que se mueve y deforma al seguir el movimiento de un fluido, en tres
tiempos sucesivos t1, t2 y t3.
La cantidad total de la propiedad del fluido B contenido en un volumen material M es:
B ≡ ∫∫∫ ρbdV
M
donde b representa la propiedad B por unidad de masa.

M
III
I II
M
t + ∆t
t
Sea M un volumen material, que se mueve con la corriente de fluido, entonces
la tasa de variación con respecto al tiempo de B contenida en M es:
dB DB ⎡ (B III + B II )t + ∆t − (B I + B II )t ⎤
= = lim
dt Dt ∆t →0 ⎢
⎣ ∆t ⎥
⎦
⎡ (B I + B II )t + ∆t − (B I + B II )t (B III )t + ∆t − (B I )t ⎤
= lim ⎢ + ⎥
∆t →0
⎣ ∆t ∆t ⎦
∂B &
= + B neto
∂t

Tasa de variación de
B en el volumen de
control V
∂
∫∫∫ ρbdV = ∂t ∫∫∫ ρbdυ + ∫∫ ρb(v·n)dS
D
Dt M V S
Tasa de variación de B Flujo neto de B a través
en el volumen material M, de las fronteras del
siguiendo el movimiento volumen de control V
Del fluido

Cantidad de movimiento lineal
M ≡ ∫∫∫ ρvdυ (Cantidad de movimiento lineal)
M
DM ∂
= ∫∫∫ ρvdυ + ∫∫ ρv(v·n )dS
Dt ∂t V S
Ley de movimiento de Newton
Fuerza viscosa
sobre la frontera de V.
DM
= ∫∫ (− pn )dS + ∫∫ τdS + ∫∫∫ ρgdυ
Dt S S V
Fuerza de presión Fuerza gravitacional
sobre la frontera de V. sobre el volumen V.

Teorema de cantidad de movimiento lineal
∫∫∫ ρvdυ + ∫∫ ρv(v·n)dS = ∫∫ (− pn )dS + ∫∫ τdS + ∫∫∫ ρgdυ
d
dt V S S S V
Fuerzas externas:
∫∫∫ ρvdυ + ∫∫ ρv(v·n)dS = ∫∫ (− pn )dS + ∫∫ τdS + ∫∫∫ ρgdυ + ∑ Fext
d
dt V S S S V

Aplicaciones del teorema de momento lineal
Propulsión
Motores cohete

Motores de reacción

Hélices
En el flujo que pasa por la hélice de un avión, las líneas de corriente que pasan a los
lados de la hélice, encierran el fluido que pasa por ella. El fluido de acercamiento
tiene la velocidad de vuelo Vf, se acelera por la hélice a una velocidad Vp y a una
velocidad todavía mayor Vw en la estela de la hélice lejos de la corriente hacia abajo,
resultando en una fuerza de empuje F.

Cálculo de la fuerza F: Cálculo de la velocidad Vp:
⎛ Vw 2 Vf 2 ⎞
F = ρA p ⎜
⎜ 2 − ⎟ Vp =
1
(Vw + Vf )
⎝ 2 ⎟ ⎠ 2
Potencia de propulsión: Rendimiento de propulsión:
Pp = Vp A p (p sal − p ent ) η prop ≡
Pv FVf
= =
2Vf
= Vp F Pp FVp Vw + Vf

Turbinas eólicas
Turbinas eólicas dispuestas en línea en una “granja eólica”. Éstas turbinas que
generan 400 kW cada una tienen un diámetro de 33 m. y sus ejes se encuentran
30 m por encima del nivel del suelo.

Línea de corriente
pasando a
través de la hélice.
pent psal
Vp
Viento Estela Vf, Pa
Vw, Pa
Área, A
psal
pa pa
pent

Potencia de una turbina eólica:
⎛ Vw + Vf ⎞
2
Pwt = ρA p ⎜ ⎟ (Vw − Vf )
⎝ 2 ⎠
16 ⎛ 1 3⎞
máxima Pwt = ⎜ ρA p Vw ⎟
27 ⎝ 2 ⎠

Bomba de chorro
A
p1 V1 p2 V2
As
Vs
As ⎛ As ⎞
p 2 − p1 = ⎜1 − ⎟ρ(Vs − V1 )
2
A ⎝ A ⎠
Una bomba de chorro está compuesta de un chorro coaxial de un fluido de alta
velocidad que se inyecta en un tubo que lleva un fluido de menor velocidad. Al
mezclarse las dos corrientes, se produce un aumento en la presión corriente
abajo.

Paletas de turbina
Vr
vr
α
Vr
vn
Vb
An
En el flujo de agua que choca con el álabe o paleta de una turbina Pelton, una boquilla dirige una corriente
de agua de alta velocidad tangente al disco de la turbina al cual se han fijado álabes radiales (la forma del
área transversal de los álabes se esquematiza en ésta figura). Los álabes se mueven en la dirección del
chorro de agua, interceptando la corriente por lo menos un álabe.

Potencia del álabe:
Pb = Fb Vb = ρA n Vb (Vn − Vb ) (1 + cos α )
2
Potencia de la turbina:
Vn
Pt = Pb = ρA n Vb Vn (Vn − Vb )(1 + cos α )
Vr
⎛ Vn ⎞ (1 + cos α )
3
máxima Pb = ⎜ ρA n
⎜
⎟
⎝ 2 ⎟⎠ 2

Flujos horizontales con una superficie libre
Flujo a través de una compuerta
Vent
F 1 ⎛ (h ent − h sal ) ⎞
W
3
F g = ρg⎜
⎜ h +h
⎟
⎟
W 2 ⎝ ent sal ⎠
hent
hsal
Vsal
El flujo bidimensional de agua debajo de una compuerta es un flujo uniforme,
horizontal lejos tanto corriente arriba como corriente debajo de la compuerta.
La fuerza limitadora o restrictiva que mantiene la compuerta fija en su lugar
resulta del equilibrio de la cantidad de movimiento lineal.

Resalto hidráulico
Resalto hidráulico
g
Vsal
Vent hsal
hent
Un resalto hidráulico en el flujo a través de un canal siempre va acompañado de
un aumento en la profundidad de la corriente en la dirección del flujo.

Momento angular
La ley de Newton del momento angular
R × (mV ) = R × F
d
dt
dR
d
(R × mV ) − × mV = R × F
dt dt
d
(R × mV ) = R × F
dt

Teorema del momento angular
H ≡ ∫∫∫ (R × ρV )dυ
M
dH
= ∫∫ (R × [− pn ])dS + ∫∫ (R × τ )dS + ∫∫∫ (R × ρg )dυ
dt S S V
∫∫∫ (R × ρV )dυ + ∫∫ (R × ρV )(V·n)dS = ∫∫ (R × [− pn])dS + ...
d
dt V S S
∫∫ (R × τ )dS + ∫∫∫ (R × ρg )dυ + ∑ T
S V
ext