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Examen Resuelto Del Primer Parcial
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Examen Resuelto Del Primer Parcial

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  • 1.   Escuela Superior Politécnica del Litoral   Instituto de Ciencias Matemáticas  CÁLCULO DIFERENCIAL    Examen de la primera evaluación I término 2009‐2010    10 de julio de 2009        SOLUCIÓN Y RÚBRICA DEL EXAMEN    NOTA: En los ejercicios que involucren el cálculo  de límites, NO ESTA PERMITIDO la  aplicación  de  la  regla de L’Hopital  Tema 1   Califique cada una de las siguientes proposiciones como Verdaderas o Falsas. Justifique su afirmación.  a. (4 puntos) Si     es una función de variable real con regla de correspondencia   ,  entonces   tal que | |     Se puede observar que:  1 0  1 1  | | 1  Por lo tanto la proposición es VERDADERA  1. 
  • 2. Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Grafica parcialmente la  Realiza la gráfica de la  Califica correctamente  coherentes que  función (o intenta  función correctamente  la proposición  conduzcan a  realizar un acotamiento  (o realiza un  mostrando procesos  determinar la cota o  a la función)  acotamiento de la  correctos y completos,  califica correctamente  misma por procesos  e indicando un valor de  la proposición sin  algebraicos) y no  M válido  justificar  concluye  0  1  2‐3  4    b. (4 puntos)  lim 1  Considere   por lo que:  1 lim   1 lim   0  Por lo tanto la proposición es FALSA.  Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Realiza un cambio de  Evalúa correctamente  Califica correctamente  coherentes que  variable pertinente que  el límite de la función  la proposición  conduzcan a  permita transformar la  por simple inspección  mostrando procesos  determinar el límite o  función original a otra  (o  aplicando el  correctos y completos  califica correctamente  con límite conocido en  teorema del  la proposición sin  el punto dado (o  emparedado) y no  justificar  establece alguna cota a  concluye  la función g(x)=sen(x))  pero no es consistente  con la tendencia de la  nueva variable.  0  1  2‐3  4   
  • 3. c. (4 puntos) lim 1 0  Por definición:  1, 1 0 1   0, 1 0 1, 1 1   0, 0 1 1 1, 2   0, 1 2 Por lo que:  lim 1 1  lim 1 0  Por lo tanto:  lim 1  no existe    Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Realiza la gráfica de la  Aplica la definición de  Califica correctamente  coherentes que  función interna o  la función escalón  la proposición  conduzcan a  intenta aplicar la  unitario (o por medio  mostrando procesos  determinar el límite o  definición de la función  gráfico) y evalúa los  correctos y completos  califica correctamente  escalón unitario pero se  limites unilaterales  la proposición sin  equivoca en la  correctamente pero no  justificar  resolución de las  concluye  desigualdades.  0  1  2‐3  4       
  • 4. d. (4  puntos)  Sea  una  función  continua  en  todos  los  reales  cuya  regla  de  correspondencia  se  expresa como:  ,   , entonces   es derivable en  .  La proposición es FALSA.   Contraejemplo:  , 0   , 0 La función   es continua en  0, sin embargo no es derivable en  0.  Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Muestra la gráfica de  Establece un  Califica correctamente  coherentes que  alguna función pero la  contraejemplo  la proposición  conduzcan a  misma no cumple con  (definiendo g(x) y h(x))  mostrando algún  determinar si la función  la hipótesis de  la misma que es  contraejemplo  es continua en el punto  continuidad en todos  continua en todos los  (definiendo g(x)y h(x)) y  x=0 o califica  los reales, o no define  reales pero no justifica  estableciendo la validez  correctamente la  expresamente las  completamente si la  del mismo.  proposición sin  funciones g(x) y h(x)   misma es derivable en  justificar  x=a.  0  1  2‐3  4    Tema 2   Calcule cada uno de los siguientes límites  a. (5 puntos) lim     1 lim   1 5 5
  • 5. 1 lim   1 5 5 1 lim   1 5 5 5 5 5 5 1 lim   1 5 5 5 5 5 5 Se conoce que:  lim 0 , lim 1 , lim 0 , lim 1   Por lo tanto:  1 1 lim   1 5 5 5   Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Agrupa adecuadamente  Procede a la agrupación  Evalúa correctamente  coherentes que  los términos, pero no  de términos  el límite dado  conduzcan a  muestra procesos  adecuadamente y  determinar el límite  adicionales que  divide tanto al  conlleva a la  numerador y  determinación del  denominador, para una  límite.  expresión que conduce  a límites de funciones  conocidas,  estableciendo su valor,  pero se equivoca al  simplificar la expresión  resultante.  0  1‐2  3‐4  5   
  • 6. √ b. (5 puntos) lim   √ 1 1 lim   2 √ 1 1 √ 1 1 lim   2 √ 1 1 1 1 lim   2 √ 1 1 2 lim   2 √ 1 1 1 lim   √ 1 1 Por lo tanto:  √ 1 1 1 lim   2 2 Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Multiplica, tanto  Procede a la  Calcula correctamente  coherentes que  denominador como  simplificación de la  el límite mostrado  conduzcan a la  numerador, por la  expresión resultante y  procesos coherentes y  determinación de lo  conjugada del  calcula el límite, pero se  correctos  solicitado  numerador y simplifica  equivoca en la  términos semejantes,  evaluación  pero no simplifica los  factores del  denominador y  numerador.  0  1‐2  3‐4  5       
  • 7. | | c. (5 puntos) lim   Se conoce que:   4, 4 | 4|   4, 4 Observe que, debido a que se solicita el límite de la función cuando x tiende a 3,  entonces para valores cercanos a 3  se tiene que:  | 4| 4 4  Por lo que:  | 4| 1 lim   3 4 1 lim   3 3 lim   3 Por lo tanto:  | 4| 1 lim 1  3   Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Aplica la definición de  Analiza el  Evalúa correctamente  coherentes que  la función valor  comportamiento de la  el límite solicitado  conduzcan a  absoluto para obtener  función por la derecha  determinar el límite  la regla de  y por la izquierda del  correspondencia de la  punto x=2  y calcula los  función por la derecha  límites, pero no  y la izquierda del punto  concluye  x=2, pero se equivoca al  escoger la expresión  resultante.  0  1‐2  3‐4  5   
  • 8. d. (5 puntos) lim √ 8 9 √ 8 9     lim 8 9 8 9   √ 8 9 √ 8 9 lim 8 9 8 9   √ 8 9 √ 8 9 8 9 8 9 lim   √ 8 9 √ 8 9 16 lim   √ 8 9 √ 8 9 16 lim   √ 8 9 √ 8 9 16 lim   √ 8 9 √ 8 9 16 lim   8 9 8 9 16 lim   8 9 8 9 1 1 Por lo tanto:  lim 8 9 8 9 8     
  • 9. Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Multiplica y divide por  Procede a dividir tanto  Determina el límite  coherentes que  la conjugada y procede  numerador como  solicitado  conduzcan a la  a la simplificación de la  denominador para la  correctamente  determinación de lo  expresión resultante  máxima potencia de x  mostrando todo el  solicitado  pero no realiza artificios  simplificando la  proceso.  adicionales que permita  expresión resultante  calcular el límite  (máximo 3 puntos) y  solicitado.  calcula el límite (4  puntos), pero se  equivoca en los cálculos  0  1‐2  3‐4  5    Tema 3  , 0 a. (5 puntos) Sea la función   con regla de correspondencia  . De ser  , 0 posible hallar el valor de   para que   sea continua en  0.   3 1 lim   Considere:  1   1   1 1   3 Por lo que:  3 1 lim   lim 1   1 3 3 lim 1   1
  • 10. 3 lim 1  1 3 1   lim 1 Por lo tanto:  3 1 lim 3  Por lo que:  3    Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Aplica el cambio de  Realiza manipulaciones  Determina  coherentes que  variable pertinente que  algebraicas a la función  correctamente lo  conduzcan a la  permita transformar la  transformada con el fin  solicitado mostrado el  determinación de lo  función original en otra  de obtener el límite en  desarrollo completo y  solicitado  con límite en el punto  el punto x=0, pero se  correcto  del ejercicio.  x=0 conocido, pero se  equivoca en algún  equivoca en la  cálculo (por ejemplo no  tendencia de la nueva  evalúa el logaritmo  variable, o determina el  natural a la expresión  valor de A calculando el  resultante)  límite directamente sin  ningún proceso.  0  1‐2  3‐4  5               
  • 11. b. (5  puntos)  Utilizar  la  definición  formal  de  límites  para  demostrar  que  lim √ 1 1    Determinemos un   tal que  0 | 2| √ 1 1     Puesto que:   | 2| | 1 1|    √ 1 1 √ 1 1  Y como   √ 1 1 1  Entonces:  | 2| √ 1 1 √ 1 1    √ 1 1  Reescribiendo lo anterior se tiene que:    √ 1 1 | 2| √ 1 1   Por lo tanto:    Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Establece la definición  Realiza un acotamiento  Demuestra  coherentes que  de límite para la  lo que permite  correctamente el límite  conduzcan a la  función dada e intenta  establecer la relación  de la función dada  determinación de lo  establecer la relación  entre el antecedente y  estableciendo  solicitado  entre delta y épsilon.  el consecuente de la  claramente la relación  definición de límite,  entre delta y épsilon  pero se equivoca en el  acotamiento.  0  1‐2  3‐4  5                 
  • 12. c. (4  puntos)  En  el  diagrama  mostrado  a  continuación,  bosqueje  la  región  ,  siendo                      , /0 3 ,     Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Identifica la gráfica  de  Bosqueja  Sombrea  coherentes que  alguna de las  correctamente la  correctamente la región  conduzcan a la  ecuaciones pero se  gráfica de la  solicitada,  determinación de lo  equivoca  circunferencia, así  solicitado  significativamente en  como la de las rectas,  los parámetros de la  pero no sombrea la  misma (por ejemplo, no  región solicitada.  establece el centro de  la circunferencia ni el  radio o coloca la recta  en una posición  incorrecta)  0  1  2‐3  4                     
  • 13. Tema 4  a. (5 puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la gráfica de una función que  cumpla con las siguientes condiciones:  0 0 0 | | | 3|    0 0 0 3    0 0 0 3    0 0 | 1 |    0 0 | |        Desempeño  Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente  No desarrolla procesos  Interpreta  Grafica las asíntotas  Grafica correctamente  coherentes que  correctamente las  oblicuas y verticales y a  la función solicitada,  conduzcan a la  definiciones formales  lo mucho 2 de las otras  mostrando claramente  determinación de lo  de límites dadas, pero  condiciones de límites  las asíntotas verticales y  solicitado  no realiza la  propuestas  oblicuas así como las  interpretación gráfica  otras condiciones  de las mismas  establecidas.  0  1‐2  3‐4  5       
  • 14. b. (5 puntos) Considere la gráfica mostrada a continuación de una función de variable real      estime, de ser posible:    i.     1 ∆   2 ∆ 0,6   0,2 3 
  • 15. ii. 1           ∆ 1   ∆ 3   0.4 7,5  iii.         1 ∆   2 ∆ 1   0,8 1,25 
  • 16. iv. 1         ∆ 1   ∆ 1   1 1  v. 2   No es derivable en  2    Esto se aplica en cada literal del ejercicio.  Desempeño  Insuficiente  Regular  Excelente  No desarrolla procesos  Grafica de manera  Grafica y estima  coherentes que conduzcan a la  coherente la recta  adecuadamente el valor de la  determinación de lo solicitado  tangente a la curva en  pendiente de la recta tangente  cada punto dado (excepto  (excepto en el quinto literal en  en el quinto literal en el  el cual la derivada no existe)  cual la derivada no existe),  pero se equivoca  significativamente en la  estimación de la  pendiente de la recta  tangente (por ejemplo, no  considera el signo de la  pendiente, o escoge  valores que no se ajusta a  la recta graficada por el  estudiante)  0  0,5  1