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  • 1. TEMAS DE ENTRENAMIENTO Segunda Evaluación CÁLCULO DIFERENCIAL I Término – 2009 Derivadas Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique su respuesta. 1. Si = √ entonces 2 + =0 2. La función de variable real cuya regla de correspondencia es = 3| | + 4| − 1|, tiene un mínimo absoluto en = 1. 3. Sean y dos funciones pares y derivables para todo ℝ, entonces ( + ′ es una función también par y derivable para todo ℝ. 4. Sean , , ℎ funciones de variable real tales que = +ℎ . Si es derivable en entonces y ℎ son derivables en . 5. Suponga que es dos veces derivable en , y continua en [ , ] y sea , . Si ’’ = 0 entonces , es un punto de inflexión. 6. Las ecuaciones = + y = + tienen la misma recta tangente en el punto 0,0 . 7. Sea = sin 1 + cos , [0, 2 . Entonces el punto , es un mínimo local de . 8. La ecuación de la recta normal a = y paralela a la recta :2 − 2 + 3 = 0 es : − − 2 =0 9. La función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones: √ = − ln = 1+ = ′ √ √ ; , satisface la ecuación 10. Demuestre que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y una recta tangente cualquiera a la hipérbola 2 = es constante. 11. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva +3 + = 5 en 1,1 . 12. Si se conoce que el punto 1,2 pertenece a la función = + + y que la recta de = es tangente a en el origen, determine los valores de , , . 13. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 5− + = 6 en el punto 4,1 .
  • 2. 14. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva paramétrica: = 2 +1 1+ , =1 = 15. La recta normal a la curva de ecuación +2 =3 en el punto 1,1 intercepta la misma en otro punto . Determine las coordenadas de . 16. La recta tangente y la recta normal de la curva = en el punto , , forman un triangulo con el eje . Hallar el área de dicho triángulo. 17. Dada la curva: x t = cos t , t [0, ] = 2 a) Determine la región del plano donde se encuentra la curva b) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “ ” c) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “ ” 18. Sea = , en donde tiene la inversa . La relación que conecta las derivadas de es = 19. Sea = , utilizando la definición, calcule 4 . 20. Hallar el valor del área del triángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la curva definida por la ecuación√ + = 2 en el punto 1, 1 , con los ejes coordenados. 21. Obtenga la derivada para la función = √ 22. Obtenga y’: = 2 23. Sea = ln , hallar la segunda derivada empleando la definición. 24. Sea una función diferenciable para ∀ , y sea , , si = 0 entonces es un máximo o un mínimo valor de . 25. Sea = ; donde 0 < < 1 y sea [ , ] si es continua en [a, b] entonces: ∃ [ , ], tal que − = −
  • 3. 26. Para que el punto , sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de y cóncava hacia abajo al otro lado de . Gráficas de Funciones 27. Demuestre que las gráficas de 2 + =6 y = 4 se intersecan en ángulo recto. 28. Graficar indicando dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, extremos, concavidad, puntos de inflexión: = 29. Elabore la gráfica de la función: +1 = , 0,1 = √ + , tenga a 4,13 , como un punto √ 30. Determine y de modo que de inflexión. 31. Para que el punto , sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de y cóncava hacia abajo al otro lado de . Teorema del Valor Medio 32. Determine si la función = / cumple con el teorema de valor medio en el intervalo −2,2 . 33. Demuestre, utilizando el teorema del valor medio que lim →∝ √ +2−√ =0 34. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando su respuesta: “Para la función = en [1, ] no se cumple la conclusión del Teorema de Valor medio para derivadas de Lagrange”. Razón de Cambio 35. Una escalera de 13 . está apoyada contra una casa cuando su base empieza a resbalarse. En el momento en que la base está a 12 . de la casa, la base se está moviendo a una razón de 5 / . ¿A qué tasa está cambiando el área del triangulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento?.
  • 4. 36. Hay un poste de luz de 15 . de longitud y una pared de 5 . de altura que se encuentra a 25 . de distancia del poste. Una persona ubicada entre el poste y la pared, ubicado a una distancia de 10 . con respecto al poste, suelta un globo con helio, el mismo que empieza a subir a una velocidad constante de 10 / . Conforme el globo sube, el faro proyecta la sombra del mismo sobre la pared. ¿A qué tasa se mueve la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el instante en que la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el instante en que la sombra del globo deja de proyectarse sobre la pared. 37. En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a razón de 720 / . El tanque tiene una altura de 200 . y la longitud del radio es de 60 . Determine, la rapidez con la que sube el nivel de agua, cuando el tanque está a 1/8 de su capacidad. 38. Si la ordenada de los puntos que pertenecen a la circunferencia + = 25 decrece con una velocidad de 1.5 ./ ., determine la velocidad de variación de sus abscisas respectivas cuando la ordenada mide 4 . Interprete sus respuestas. Máximos y Mínimos 39. Dos ciudades y obtendrán su abastecimiento de agua de la misma estación de bombeo, la cual se ubicará en la orilla de un río recto a 15 . de la ciudad y a 10 . de la ciudad . Los puntos del río más cercanos a y están separados 20 .; y y se encuentran en el mismo lado del río. Calcule dónde deben ubicarse la estación de bombeo de modo que se emplee la menor cantidad de tubería. 40. Se quiere construir una pista rectangular coronado con un semicírculo con 200 . de perímetro (Observe la figura). Hallar las dimensiones de la pista para que su área sea máxima. r 41. Una ventana está formada por un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto. Encontrar la forma de tal manera que por la ventana ingrese la mayor cantidad de luz para un perímetro dado. 42. Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo?.
  • 5. 43. Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en la elipse con ecuación + = 1, si se conoce y que los lados del mismo son paralelos a los ejes de coordenadas. Fórmulas de Maclaurin y Taylor 44. Determine los términos hasta del polinomio de Maclaurin para ℎ = 1+ 45. Usando el polinomio de Maclaurin y con orden n=4, demuestre que: = tan 0.12 = 0.1194