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  • 1. Reti complesse Misurare le reti Grafi Casuali Reti complesse Reti e Misure Matteo Dell’Amico dellamico@disi.unige.it 7 novembre 2006 Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 2. Reti complesse Misurare le reti Grafi Casuali Argomenti Trattati 1 Reti complesse Generalit`a Esempi Obiettivi 2 Misurare le reti Distribuzione dei gradi Coefficiente di clustering Fenomeno small-world 3 Grafi Casuali Introduzione Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 3. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Definizioni Rete Collezione di entit` (nodi) interconnesse. a Un arco (link) fra due entit` denota un’interazione fra di esse. a Rete complessa Rete con topologia non banale. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 4. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Perch´ ci interessano le reti? e Sono ovunque. I tradizionali modelli basati su grafi non sono sufficienti. Le reti su vasta scala necessitano di nuovi strumenti per poter essere studiate. “Nuovo” campo scientifico che coinvolge informatica, matematica, fisica, biologia, sociologia ed economia. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 5. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Diversi tipi di reti Le categorie pi` importanti u Reti sociali Knowledge (Information) Network Reti tecnologiche Reti biologiche Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 6. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Reti sociali Caratteristica I link denotano un’interazione sociale Esempi Rete delle conoscenze Rete dei co-autori Rete delle chiamate telefoniche Rete degli attori Rete delle E-mail/IM Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 7. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Knowledge (information) network Caratteristica I nodi memorizzano informazioni, i link le associano Esempi Rete delle citazioni (grafo diretto aciclico) World Wide Web (grafo diretto) Reti di fiducia (Web of trust) Reti P2P Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 8. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Reti tecnologiche Caratteristica Reti costruite per la distribuzione di “prodotti” Esempi Internet Reti per la distribuzione dell’energia Reti delle linee aeree Reti telefoniche Reti di trasporto (strade, ferrovie, ecc...) Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 9. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Reti biologiche Caratteristica Rappresentano sistemi biologici Esempi Reti d’interazione fra le proteine Reti di regolazione dei geni Catene alimentari Reti neurali Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 10. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Il mondo ` pieno di reti e Che ce ne facciamo? Studiamo la loro topologia Misuriamo le loro propriet` a Studiamo la loro evoluzione e la loro dinamica Creiamo modelli realistici Creiamo algoritmi che sfruttano la struttura delle reti Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 11. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Il linguaggio dot - grafi indiretti graph G { 0 -- 1 1 -- 2 0 -- 2 0 -- 4 1 -- 5 4 -- 5 6 7 } Gli archi sono contrassegnati dall’operatore “--”. I nodi isolati sono elencati per conto proprio. Per ulteriori informazioni: man dot, www.graphviz.org. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 12. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Il linguaggio dot - grafi diretti digraph G { 0 -> 1 1 -> 2 0 -> 2 0 -> 4 1 -> 5 4 -> 5 6 7 } Gli archi sono contrassegnati dall’operatore “->”. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 13. Reti complesse Generalit`a Misurare le reti Esempi Grafi Casuali Obiettivi Disegnare grafi .dot neato neato graph.dot scrive su stdout un file dot annotato con le posizioni dei nodi. Le opzioni -Tform ato -ooutfile permettono di ottenere un immagine con l’estensione desiderata. Le opzioni -G, -N, -E impostano attributi di default al grafo, ai nodi ed agli archi rispettivamente. Per altre informazioni, ancora man dot. Esempio Lo script draw dotfile esegue “neato -Tsvg -Nstyle=filled -Nlabel= -Nshape=circle -o$2 $1” Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 14. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Distribuzione dei gradi frequenza f (k) k grado Frequenza f (k): la frazione di nodi con grado k. Problema f (k) ` la probabilit` che un nodo a caso abbia grado k. e a Determinare la distribuzione di probabilit` che meglio a approssima i dati osservati. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 15. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Distribuzione dei gradi frequenza f (k) k grado Frequenza f (k): la frazione di nodi con grado k. Problema f (k) ` la probabilit` che un nodo a caso abbia grado k. e a Determinare la distribuzione di probabilit` che meglio a approssima i dati osservati. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 16. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Studiare la distribuzione del grado graph degree distribution Lo script graph degree distribution scrive su stdout, per ogni linea, un possibile grado e la relativa frequenza. Uso: graph degree distribution graph.dot > freq.txt. Gnuplot Programma interattivo per disegnare grafici. Per disegnare: plot ’datafile ’ [with lines]. Per creare un file di tipo eps: set term post eps, set output ’nom efile ’. Per tornare a disegnare sullo schermo: set term x11. Scala logaritmica: setlogscale [x][y], set nologscale. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 17. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Studiare la distribuzione del grado graph degree distribution Lo script graph degree distribution scrive su stdout, per ogni linea, un possibile grado e la relativa frequenza. Uso: graph degree distribution graph.dot > freq.txt. Gnuplot Programma interattivo per disegnare grafici. Per disegnare: plot ’datafile ’ [with lines]. Per creare un file di tipo eps: set term post eps, set output ’nom efile ’. Per tornare a disegnare sullo schermo: set term x11. Scala logaritmica: setlogscale [x][y], set nologscale. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 18. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Power law La distribuzione dei gradi in molte reti reali segue la power law p(k) ≈ c · k −α . Osservazione Siamo abituati a ottenere distribuzioni simili alla “distribuzione normale” (gaussiana). La power law ` radicalmente diversa: e Ha una frazione non trascurabile di nodi con grado molto alto (hubs). Non ha “scala caratteristica” (propriet` scale-free): il valor a medio ` poco informativo. e Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 19. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Power law La distribuzione dei gradi in molte reti reali segue la power law p(k) ≈ c · k −α . Osservazione Siamo abituati a ottenere distribuzioni simili alla “distribuzione normale” (gaussiana). La power law ` radicalmente diversa: e Ha una frazione non trascurabile di nodi con grado molto alto (hubs). Non ha “scala caratteristica” (propriet` scale-free): il valor a medio ` poco informativo. e Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 20. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Firma della power law Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 21. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Firma della power law frequenza log (frequenza) α grado log (grado) Osservazione La distribuzione power law diventa una retta se disegnata su scala log-log (bilogaritmica): log p(k) = −α log k + log c. α ` detto esponente della power law (spesso, 2 ≤ α ≤ 3). e Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 22. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Distribuzione dei gradi in alcuni grafi reali Per verificare se una rete ` power-law, ` meglio valutare la e e densit` cumulativa della distribuzione dei grafi. a Dato p(k), calcoliamo P(k) = i>=k p(i). Otteniamo sempre una retta, con coefficiente angolare −α + 1. Lo script cumulative degree distribution genera la distribuzione di densit` cumulativa a partire dall’output di a graph degree distribution. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 23. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Distribuzione esponenziale log (frequenza) λ grado Definizione p(k) ≈ c · e −λk Identificata da una retta se disegnata su scala log-lineare log p(k) = −λk + log c. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 24. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Statistiche collettive Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 25. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Clustering Molte reti hanno la propriet` di essere composte da gruppi di a nodi molto ben connessi. Nelle reti sociali, il clustering (transitivit`) rappresenta il a principio secondo il quale due miei amici hanno una buona probabilit` di essere amici tra di loro. a Reti con alto clustering hanno un elevato numero di triangoli. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 26. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Coefficienti di clustering Definizione numero di triangoli in G C (1) (G ) = triple connesse in G Definizione triangoli centrati nel nodo i ci = triple centrate nel nodo i i ci C (2) (G ) = n Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 27. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Coefficienti di clustering Definizione numero di triangoli in G C (1) (G ) = triple connesse in G Definizione triangoli centrati nel nodo i ci = triple centrate nel nodo i i ci C (2) (G ) = n Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 28. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Coefficienti di clustering Definizione numero di triangoli in G C (1) (G ) = triple connesse in G Definizione triangoli centrati nel nodo i ci = triple centrate nel nodo i i ci C (2) (G ) = n Osservazione C (1) assegna pi` peso ai nodi di grado alto, C (2) assegna lo u stesso peso a tutti. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 29. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Esempio n1 n2 n3 n4 n5 clustering dotfile stampa i valori di C (1) e C (2) . Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 30. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Esempio n1 n2 n3 n4 n5 clustering dotfile stampa i valori di C (1) e C (2) . 3 3 C (1) = 1+1+6 = 8 ≈ 0.37. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 31. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Esempio n1 n2 n3 n4 n5 clustering dotfile stampa i valori di C (1) e C (2) . 3 3 C (1) = 1+1+6 = 8 ≈ 0.37. 1 1 13 C (2) = 5 1+1+ 6 = 30 ≈ 0.43. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 32. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Statistiche collettive Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 33. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Sei gradi di separazione Esperimento di Milgram (1967) Determinare la lunghezza media delle catene di conoscenti che collegano due persone (che non si conoscono) negli USA Tipica istanza del problema Ad una persona “sorgente” (in Nebraska) viene data una lettera da consegnare ad una persona “destinazione” (a Boston). La sorgente ha informazioni di base sulla destinazione (indirizzo, occupazione, ecc. . . ). Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 34. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Sei gradi di separazione Esperimento di Milgram (1967) Determinare la lunghezza media delle catene di conoscenti che collegano due persone (che non si conoscono) negli USA Tipica istanza del problema Ad una persona “sorgente” (in Nebraska) viene data una lettera da consegnare ad una persona “destinazione” (a Boston). La sorgente ha informazioni di base sulla destinazione (indirizzo, occupazione, ecc. . . ). Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 35. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Esperimento di Milgram Dettagli La sorgente deve iniviare la lettera ad un conoscente diretto (ricevente) provando a raggiungere la destinazione nel minor numero di passi possibile. I riceventi seguono la stessa regola della sorgente. La lettera passa di ricevente in ricevente finch´ non arriva a e destinazione o non si perde (!) Risultato La lunghezza media di una catena di conoscenze che raggiunge la destinazione ` circa sei. e Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 36. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Esperimento di Milgram Dettagli La sorgente deve iniviare la lettera ad un conoscente diretto (ricevente) provando a raggiungere la destinazione nel minor numero di passi possibile. I riceventi seguono la stessa regola della sorgente. La lettera passa di ricevente in ricevente finch´ non arriva a e destinazione o non si perde (!) Risultato La lunghezza media di una catena di conoscenze che raggiunge la destinazione ` circa sei. e Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 37. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Esperimento di Milgram Dettagli La sorgente deve iniviare la lettera ad un conoscente diretto (ricevente) provando a raggiungere la destinazione nel minor numero di passi possibile. I riceventi seguono la stessa regola della sorgente. La lettera passa di ricevente in ricevente finch´ non arriva a e destinazione o non si perde (!) Risultato La lunghezza media di una catena di conoscenze che raggiunge la destinazione ` circa sei. e Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 38. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Esperimento di Milgram Dettagli La sorgente deve iniviare la lettera ad un conoscente diretto (ricevente) provando a raggiungere la destinazione nel minor numero di passi possibile. I riceventi seguono la stessa regola della sorgente. La lettera passa di ricevente in ricevente finch´ non arriva a e destinazione o non si perde (!) Risultato La lunghezza media di una catena di conoscenze che raggiunge la destinazione ` circa sei. e Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 39. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Misurare il fenomeno small-world Distanza geodesica dij = lunghezza del cammino minimo fra i nodi i e j. Diametro d = maxi,j {dij : i, j connessi}. Media della distanza geodesica 1 l= n(n−1)/2 i>j dij Problema Come trattare le coppie di nodi disconnesse? Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 40. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Misurare il fenomeno small-world Distanza geodesica dij = lunghezza del cammino minimo fra i nodi i e j. Diametro d = maxi,j {dij : i, j connessi}. Media della distanza geodesica 1 l= n(n−1)/2 i>j dij Problema Come trattare le coppie di nodi disconnesse? Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 41. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Misurare il fenomeno small-world Distanza geodesica dij = lunghezza del cammino minimo fra i nodi i e j. Diametro d = maxi,j {dij : i, j connessi}. Media della distanza geodesica 1 l= n(n−1)/2 i>j dij Problema Come trattare le coppie di nodi disconnesse? Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 42. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Misurare il fenomeno small-world Distanza geodesica dij = lunghezza del cammino minimo fra i nodi i e j. Diametro d = maxi,j {dij : i, j connessi}. Media della distanza geodesica 1 l= n(n−1)/2 i>j dij Media armonica della distanza geodesica 1 l −1 = n(n−1)/2 i>j dij −1 Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 43. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Misurare il fenomeno small-world distances dotfile stampa diametro, distanza media e media armonica delle distanze. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 44. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Statistiche collettive Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 45. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Una distanza geodesica corta ` sufficiente? e Osservazione Deve esistere un metodo per sfruttare i percorsi brevi in condizioni “realistiche”. I link dei vicini devono essere, in qualche modo, prevedibili: un amico avvocato pu` conoscere molti altri avvocati. Il o clustering alza il diametro ma aiuta la navigabilit`. a L’esperimento di Milgram dimostra che le persone sono capaci a “navigare” sulla rete sociale. Risposta Si parla di fenomeno small-world quando si presentano basso diametro, facilit` di navigazione ed elevato coefficiente di a clustering. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 46. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Una distanza geodesica corta ` sufficiente? e Osservazione Deve esistere un metodo per sfruttare i percorsi brevi in condizioni “realistiche”. I link dei vicini devono essere, in qualche modo, prevedibili: un amico avvocato pu` conoscere molti altri avvocati. Il o clustering alza il diametro ma aiuta la navigabilit`. a L’esperimento di Milgram dimostra che le persone sono capaci a “navigare” sulla rete sociale. Risposta Si parla di fenomeno small-world quando si presentano basso diametro, facilit` di navigazione ed elevato coefficiente di a clustering. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 47. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Una distanza geodesica corta ` sufficiente? e Osservazione Deve esistere un metodo per sfruttare i percorsi brevi in condizioni “realistiche”. I link dei vicini devono essere, in qualche modo, prevedibili: un amico avvocato pu` conoscere molti altri avvocati. Il o clustering alza il diametro ma aiuta la navigabilit`. a L’esperimento di Milgram dimostra che le persone sono capaci a “navigare” sulla rete sociale. Risposta Si parla di fenomeno small-world quando si presentano basso diametro, facilit` di navigazione ed elevato coefficiente di a clustering. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 48. Reti complesse Distribuzione dei gradi Misurare le reti Coefficiente di clustering Grafi Casuali Fenomeno small-world Una distanza geodesica corta ` sufficiente? e Osservazione Deve esistere un metodo per sfruttare i percorsi brevi in condizioni “realistiche”. I link dei vicini devono essere, in qualche modo, prevedibili: un amico avvocato pu` conoscere molti altri avvocati. Il o clustering alza il diametro ma aiuta la navigabilit`. a L’esperimento di Milgram dimostra che le persone sono capaci a “navigare” sulla rete sociale. Risposta Si parla di fenomeno small-world quando si presentano basso diametro, facilit` di navigazione ed elevato coefficiente di a clustering. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 49. Reti complesse Misurare le reti Introduzione Grafi Casuali I grafi casuali di Erd¨s–R´nyi o e Il modello Gn,p n : numero di vertici 0≤p≤1 Per ogni coppia di nodi i e j, genera l’arco (i, j) con probabilit` p in modo indipendente. a Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 50. Reti complesse Misurare le reti Introduzione Grafi Casuali Componenti connesse erdos renyi graph n p dotfile genera un grafo casuale Gn,p in dotfile. Lo script color graph components dot1 dot2 colora le componenti connesse di colori differenti. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 51. Reti complesse Misurare le reti Introduzione Grafi Casuali Per il 7 novembre Creare grafi casuali e studiarne le caratteristiche: distribuzione del grado coefficiente di clustering diametro e distanze medie componenti connesse Scrivere una breve relazione e sottometterla su aulaweb. Matteo Dell’Amico Reti complesse
  • 52. Reti complesse Misurare le reti Introduzione Grafi Casuali Domande La distribuzione del grado ` una power law? e Che valori assume il coefficiente di clustering rispetto alle reti reali viste negli esempi? Il diametro ci permetterebbe di parlare di rete “small world”? Per quali valori di n e p si ottiene una componente connessa di dimensioni paragonabili all’intera rete (componente gigante)? Per quali valori di n e p tutti i nodi fanno parte di un’unica componente connessa? Come si evolvono le caratteristiche delle reti fissando p al crescere di n → ∞? Come si evolvono le caratteristiche delle reti al crescere di n → ∞ fissando il grado medio np? Matteo Dell’Amico Reti complesse