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  • 1. 擔保債權憑證之評價 -Copula 分析法 廖 四 郎* 政治大學金融系 李 福 慶 淡江大學管理科學所博士班關鍵詞:擔保債權憑證(CDO)、分券(Tranche)、Copula、信用價差(Credit spread)* 聯繫作者:廖四郎教授,台北市文山區 116 指南路二段 64 號,電話:(02)2939-3091 分機 81251, 傳真:(02)8661-0401,電子郵件信箱:liaosl@nccu.edu.tw 1
  • 2. 摘要 資產證券化源自 1970 年代,第一筆擔保債權憑證交易自 1988 年出現在美國,然後在歐美迅速發展,目前已成為重要的之債券市場。台灣金融產業發展正值轉型期,銀行除面對低利率帶來經營壓力之外,同時亦需規避評等較差之企業貸款的信用風險,而保險業者在低利率時代來臨卻無良好報酬之投資標的可供投資。因此,此環境乃為推動證券化之良好契機。自 1997 年發生東南亞金融危機,乃至1998 年韓國的亞洲金融危機,造成許多跨國企業紛紛裁員、關廠、甚至倒閉,造成一連串的金融危機連鎖效應。因此,公司間或產業間之榮枯是相互關聯的,且均會受總體經濟因素所影響。是以,近年來除信用風險亦成為近年來財務領域上重要議題。理論或實證上,當多個標的資產之信用衍生性商品被加以開發,並用來管理信用風險的時候,需考慮多個標的資產間的違約相關性,方能準確地衡量信用風險。故在信用風險管理與信用衍生性商品的評價中,違約相關性的估計與考量顯得格外重要。結構式或縮減式模型在發展違約相關性的多變數模型中是困難的,因為其衍生性商品價值的理論推導繁複或其數值計算是相當費時。本文在多標的資產之信用風險評價模型中,透過適當個別資產之邊際違約機率與 Copula函數之選擇,及其相關參數之估算,即可快速求算具違約相關性之多變數聯合機率函數,以利擔保債權憑證(CDO)之評價。因此,本文針對 Copula 方法與分析架構做一剖析,再以國內 153 家上市公司所發行無擔保債券作為連結標的之擔保債權憑證為例,進行模擬實證並分析結果。 2
  • 3. 一、緒論 資產證券化(Asset Securitization)起源於 1970 年代,第一筆擔保債權憑證交易始於 1988 年出現在美國,然後在歐美迅速發展,且自 1995 年起至 2004 年底,擔保債權憑證已成為美國所有資產擔保證券(Asset Backed Securities)中成長最快速(約 250 倍),且目前亦為美國第三大之證券化商品,詳見表 11。國內亦於 2003年由台灣工業銀行推出全台灣首宗金融資產證券化之商品,為國內未來金融資產證券化的進程立下一個新的里程碑。根據金融監督管理委員會銀行局統計,截至2004 年 12 月 31 日止 資產證券化商品核准發行金額達 857 億多元 加上今(2005) , ,年初核准通過安信信用卡債權證券化,已核准的資產證券化商品已突破 900 億元。 表 1. 美國近十年各類資產證券化之變化                      單位:千億美元 汽車 信用卡 家庭 學生 設備 CBO/ 其他 總流 貸款 貸款 貸款 租賃 CDO 通外1995 59.5 153.1 33.1 3.7 10.6 1.2 43.9 316.3 (18.8%) (48.4%) (10.5%) (12%) (3.4%) (0.4%) (13.9%)2004 232.1 390.7 454 115.2 70.7 264.9 258 1,827.8 (12.7%) (21.4%) (24.8%) (6.3%) (3.9%) (14.5%) (14.1%) 資料來源:http://www.bondmarkets.com 國內金融產業發展正值轉型期,銀行除面對低利帶來經營壓力外,同時亦需規避評等較差之企業貸款的信用風險。此外,保險業者因低利時代的來臨,而無良好報酬之投資標的可供投資。因此,此一環境背景下恰為推動證券化之良好契機。是以,金融機構所積極開發新金融商品中,證券化商品成為近年來發展主流之一,除前述台灣工業銀行將企業貸款債券加以證券化外,台灣工業銀行亦與遠雄人壽集團及土地銀行共同合作所推出之「遠雄國際中心」之不動產證券化,亦成為國內首次不動產證券化之成功案例。此外,法國里昂信貸將企業貸款加以證券化,使其成為國內首件公開發行之證券商品。同時,萬泰銀行亦推出現金卡證券化之商品,此為跨國性證券化之發行首例;隨後建華金控旗下的安信信用卡公司亦於今(2005)年推出國內首檔信用卡證券化商品。 本文所指之「擔保債權憑證 (Collateralized Debt Obligation,簡稱 CDO)」2係指創始銀行透過特殊目的公司(SPV)將缺乏流動性且具違約可能之債權組合風險1 參閱網站 http://www.bondmarkets.com2 參閱 Perraudin(2004),P.181. 3
  • 4. 予以分散,並重新包裝成各種等級之分券(Tranche),再發行給一般投資人。其中,依債權標的組合種類的不同,可再區分為以高收益債券為主的擔保債券憑證(Collateralized Bond Obligation ; CBO) 及 以 銀 行 貸 款 為 主 的 擔 保 貸 款 憑 證(Collateralized Loan Obligation;CLO)。 CDO為ABS(Asset-Backed Securities,資產擔保證券)的一種,傳統ABS擔保資產可能為現金卡或信用卡、租賃租金等應收帳款,而CDO則除將高收益債券、新興市場公司債或銀行貸款等債務工具作為擔保外, 3 亦可包含ABS、RMBS(Residential Mortgage-Backed Securities)及CMBS(Commercial Mortgage-BackedSecurities)等已流通在外之分券(Tranche)。4 然而,從 1997 年發生東南亞金融危機,乃至 1998 年韓國的亞洲金融危機,造成許多跨國企業紛紛裁員、關廠、甚至倒閉,造成一連串的金融危機連鎖效應。由此可知,公司間或產業間之榮枯是相互關聯的,且均受總體經濟因素所影響。是以,近年來除信用風險已成為近年來財務領域上重要議題之ㄧ外,許多財務學者如 Davis and Lo(2001) Zhou(2001) Schonbucher and Schubert(2001)及 Jarrow and 、 、Yu(2001)等人,在理論或實證上,驗證當多個標的資產之信用衍生性商品被加以開發,並用來管理信用風險的同時,需考慮多個標的資產之間的違約相關性的存在,方能準確地衡量信用風險。故在信用風險管理與信用衍生性商品的評價中,違約相關性的估計與考量顯得格外重要。 此外,著眼於結構式或縮減式模型在發展違約相關性的多變數模型中是困難的,且因其衍生性商品評價的理論推導繁複或其數值計算相當費時,本文欲於多標的資產之信用風險評價模型中,透過適當個別資產之邊際違約機率函數與Copula 函數之挑選,及其相關參數之估算,快速求得具違約相關性之多變數聯合機率函數,以利擔保債權憑證(CDO)之評價。 本文之主要內容與架構如下:首先回顧信用風險模型與擔保債權憑證之相關文獻回顧,其次針對 Copula 方法與分析架構做一剖析,再以國內 153 家上市公司所發行無擔保債券作為連結標的之擔保債權憑證為例,進行模擬實證分析,最後則為本文結論。3 參閱 Schorin and Weinreich (2001),pages.3-64 參閱 Hurst (2001),p.115 4
  • 5. 二、文獻探討 由於擔保債權憑證的評價涉及兩個以上的信用風險債券之評價,信用風險債券間之違約相關性往往左右整個抵押債券評價模式。本節首先介紹信用風險之評價模式,其次針對 CDO 相關評價模式加以說明,最後概括介紹擔保債權憑證商品,分述如下:(一) 信用風險評價模式 目前文獻上描述違約過程的信用風險模型中,主要分為兩大類-結構式模型( Structural Model ) 與 縮 減 式 模 型 ( Reduced-Form Model ) 。 結 構 式 模 型 由Merton(1974)首先提出,其主要模型假設為公司資產動態過程服從 lognormal 分配 , 且 當 公 司 資 產 低 於 某 門 檻 , 即 發 生 違 約 。 縮 減 式 模 型 是 由 Jarrow andTurnbull(1995)等人所提出,其主要模型假設為違約是隨機發生的,且同時服從隨機跳躍的過程。因此多個資產間的違約相關性模型幾乎都建立於這兩個模型上。1.結構式模型(Structural Model) 本模型亦可稱為公司價值模型(Firm-Value Model)或稱為或有求償權法(Contingent Claims Approach,CCA)。此模型視公司債為公司資產的或有求償權,當公司的資產小於負債時,則公司破產。以 Merton(1974)模型以及 Black andCox(1976)首次通過時間模型(First Passage Time Model)為主,將公司所有流通在外的有價證券視為對公司價值的或有求償權,其價值類似以公司價值為標的資產,而以負債總額為履約價格的買權,由 Black-Scholes 模型,即可求得股權價值,而債券價值則為公司價值扣減股權價值。 結構模型在實際評價時所面臨到之重大問題在於公司真實價值以及負債價值的認定,由於公司價值中例如商譽既無法交易亦不易直接觀察,因此難以正確評估公司的公司價值。此外,面對公司複雜債權之不同求償順位,更添加評價之困難度。故對公司真實價值估算之困難性,造成結構模型實際運用上的瓶頸。更重要的是,此類模型無法應用信用評等的相關資訊,造成無法充分運用市場資訊,而對信用衍生金融商品進行評價時,所可能發生價值扭曲等嚴重問題。 Merton (1974) 首先利用公司資產負債的資本結構,針對債券的違約風險加以計算。此模型的債券價格受公司價值波動的影響,模型假設若公司無法支付本金,則債券發生違約。因此,信用風險只發生在債券到期時。就因為假設違約不會發 5
  • 6. 生於債務到期前、公司債務僅有一種形式(排除不同到期日、不同償債等級),故破產僅發生於公司資產價值小於負債時等等,故本模型排除了流動性不足造成的公司破產或是債務違約。 Black and Cox(1976) 為解決 Merton(1974)信用風險只發生在債券到期時的缺點,因此,考慮了債券到期前的違約風險。本模型在債券到期前設定破產邊界值,當公司價值觸及此邊界值,則該公司就立刻面臨破產清算的狀況。亦即,透過增加了破產邊界條件以求得最後信用風險公司債之評價公式,使本模型得以包含到期日前違約的情形,以修正 Merton (1974)模型中,信用風險只發生在債務到期時之缺點。故此類結構模型又稱為首次通過模型(First Passage Time Model)。 Zhou(2001)以 first-passage-times 模型為基礎,提出多個企業間的違約相關性模型。該文定義當企業的價值第一次觸及違約的界限時,則此企業違約。因此,求取兩企業間的違約相關係數相當於計算二維度隨機過程通過界限的機率。2. 縮減式模型(Reduced-Form Model) 又稱違約強度模型(Intensity Model),此類模型具下列特點: (1) 假設市場完整(Complete Market)且為完美市場並符合無套利限制條件。 (2) 透過違約機率的計算以求得信用風險債券的價格,無需計算公司資產。 (3) 違約為隨機過程。 (4) 違約回復率(Recovery Rate)為外生變數。 (5) 可以運用信用評等的資訊對信用衍生商品進行評價。 Jarrow and Turnbull (1995) 首先提出違約強度模型,之後陸續有許多針對違約強度進行延伸的模型,例如: Duffie and Singleton (1999)、Lando(1998)。Jarrow andTurnbull (1995,以下簡稱 JT) 是利用類似國外貨幣的概念來考慮信用風險,當信用風險發生時則風險證券只會獲得部分的回復率,來計算可能發生違約的機率。 JT(1995)利用不同於 Merton(1974)的方法來評價信用風險。在假設破產過程及無風險利率期間結構彼此獨立且為外生變數之下,由無套利限制條件來評價信用風險。除了可應用於公司債之評價外,尚可運用於其他信用衍生商品。 Jarrow, Lando and Turnbull (1997,以下簡稱 JLT) 為 JT(1995)的延伸,首先將信用評等的資訊運用在信用風險債券的評價上,此模型具以下特色: (1)同公司不同債權的求償順序可用不同的回復率表示。 (2)能結合任何模型之無風險利率期間結構(如 HJM(1992))。 6
  • 7. (3)利用各信用評等之信用等級的歷史推移機率(Transition Probabilities)決定 風險中立機率。 (4)能用以評價信用衍生性商品與信用風險債券等,並且進行避險。 Lando (1998) 亦延伸 JLT(1997) 並多加入違約風險與利率相關之考量 Jarrow , 。and Yu (2001) 則在是開始分析不同公司間信用風險相關性對違約造成的影響。在衡量個別公司的信用風險時,必須考量因為其他風險相關公司的違約而產生信用風險跳躍的狀況,以計算不同公司因為自身的信用風險以及與其他公司間之信用風險相關總和後,所構成該公司特定之信用風險。 另外,Duffie and Singleton(1999)使用獨立的卜瓦松過程(Poisson Process)將違約過程間相關性模型化,而此方法必須事先假定相關係數的符號。(二) CDO 評價模型之介紹 現代信用違約風險模型不僅要求能在固定期間內能捕捉實際的違約相關性外,進而違約時點、信用價差及市場價格間之動態關係。然而,許多分析投資組合信用風險的量化模型往往無法達成上述這些要求。例如 Credit-Metrics(1997)5或Credit Risk+(1997)6皆為標準靜態分析模式,僅能分析固定期間內信用違約投資組合之違約風險。因此,上述兩個模型的主要缺點在於無法捕捉違約時間點的動態過程,且亦缺乏市場價格之動態過程,導致發行商無法進行避險。 Carey(1998) 主要考慮不同違約情況下,針對CDO 中的先償分券、次償分券等各種順位分券的價值變動程度進行敏感度分析。對次償債券而言,當擔保品的信用品質大幅下降時,會使次償債券的價值大幅的下降,甚至有可能發生次償債券的報酬率變負的情況。對於次償債券的投資人而言,違約發生的時點顯得格外重要;因投資人若能越早取得現金流量,越能避免虧損。因此對於次償債券而言,總體經濟的惡化所導致信用品質調降,相較於個別獨立發生的信用違約事件,對於投資人的影響更大。 Cifuentes(1996) 主要透過 BET(Binominal Expansion Technique)評價 CDO,5 J.P. Morgan 在1997 年發表CreditMetrics,估計在特定期間,信用資產或投資組合在某一信賴水 準下所可能產生的最大損失,而CreditMetrics 假設利率為外生變動並不考慮市場風險,主要利 用信用等級的移轉情形來作為信用風險的衡量指標。6 CreditRisk+是 由 瑞士 信貸 集 團 (Credit Suisse group) 的 金 融 服 務部 門 (Credit Suisse Financial Product)在1996 年所發表,該模型利用保險精算的方法,將違約機率視為一隨機變數,推導出債 權投資群組的可能損失分配,據以算出授信損失準備的一種方法。 7
  • 8. BET 方法主要是將多個違約相關性高標的資產轉化成 DS(diversity score)個彼此間同質的資產,而得出加權平均回復率、加權平均之信用評等、加權平均之違約機率、加權平均票面利率與本金,如此即可利用二項式分配計算分券之信用價差,其計算快速簡單為其模型之特性。然而,由於其過於簡化之假設,使得無法由 DS值變化來評估複雜違約相關性。Garcia et al.(2005) 實證結果顯示,BET 方法相較於 copula 方法來說,當高違約相關性時,BET 方法會低估違約損失。 Li(2000) 利用 Gaussian Copula 捕捉違約時點風險,而將 Credit-Metrics 模式予以擴展。而 Li(2000) 模型主要貢獻在於將過去特定期間內違約事件間相關性等離散變數之衡量,而擴展到具連續時間概念違約時點相關性之衡量不再侷限於特定期間,亦即在 Gaussian 假設下違約相關性之分析架構,除可將 CreditMetrics 固定期間內之違約分配予以建構外;仍可透過 Copula 轉換,將個別存活機率下之利率期限結構加以校正。因此,此一優勢將有助於讓 Gaussian Copula 成為目前評價CDO 與 BDS 主要模型之一。 該文為達簡化分析之目的,將存活時間的違約相關係數設為資產間報酬率之相關係數,此一假設提升 copula 於信用風險投資組合(如 CDO 與 BDS)實用價值。違約時間的聯合機率分配之建構,假設 τ 為違約時間, F(t) 為 τ 的累積機率分配函數,則存活函數 S(t) 可寫成如(1)式。      S (t) = 1 -F (t) = 1 -P r(t ≥ τ ) = P r(t< τ )              (1)  因此,由前述文獻研究結果顯示,透過縮減模型中違約強度概念之導引,即可求得違約強度與存活函數的關係如(2)式 ( t      S (t) = ex p - ∫ h (u )d u 0 )        (2) f(u) -S(u)其中, h(u) = = 為違約率函數或稱違約強度,而 f(u)為 τ 機率密度。 1-F(u) S(u)一般而言,過去文獻常假設 h(u) 為固定常數,則存活時間服從參數為 h 的指數(exponential) 分 配 , 且 違 約 時 點 服 從 齊 質 性 卜 瓦 松 過 程 (homogeneous Poissonprocess)。亦有部分文獻將存活時間作較ㄧ般化的韋伯分配(Weibull distribution)假設。其次,Li(2000) 應用 Sklar 定理,運用存活 Copula 函數將 I 家公司的聯合存活函數表示為下式: 8
  • 9. S(t1 ,t 2 ,...,t I ) = Pr(τ 1 >t1 ,τ 2 >t 2 ,...,τ I >t I ) (3) = Cτ1 ,τ 2 ,...,τ I (S1 (t1 ),S2 (t 2 ),...,SI (t I )) Davis and Lo(2001) 研究中指出,CBO 的績效良窳與否要視債券投資組合中違約相關性而定,他們利用兩種機率模型分析此一交互影響效果。第一個模型假設產業內個別發行商的違約事件將迅速且連鎖地傳染給其他同業,其結果顯示隨著傳染擴大,違約機率分配除變異數會增加外,也會呈現厚尾現象。另一模型則為一連續時間隨機過程,稱為 enhanced-risk model,其分析結果也如同第一模式。 Li(2000) 模型中,Gaussian Copula 所隱含價格動態保持較一般化,可模擬產生較為一致的違約情境,但是仍舊無法產生信用價差曲線。 Schonbucher andSchubert(2001) 將違約相關性納入信用違約強度模型中,而發展出一套最一般化Copula 函數分析及一致性的個別違約強度動態模式,亦即可推估個別債務人的存活機率與信用價差之動態過程,其研究結果顯示信用違約之傳染擴張( defaultcontagion ) 變 化 , 將 導 致 原 先 無 違 約 債 權 人 之 信 用 價 差 急 速 跳 躍 上 升 (jumpupward),尤其在 Clayton copula 下,此一跳躍幅度與事前違約(pre-default)強度成正比,若此一模式假設債務人之間在資訊不對稱情況下,則退化為最一般的個別債務人之違約強度模式,此一特性將有利於資料校準。 Duffie and Garleanu(2001) 引用違約強度之相關性具有跳躍過程的設定下,利用風險中立評價法針對 CDO 分券予以定價。該文中利用違約強度過程皆由兩個仿射過程(affine process)組成之假設,來捕捉違約相關性。其實證結果顯示,在蒙地卡羅模擬違約時間下,除違約時間相關性顯著影響個別分券的市場價值外,權益分券的價格增加與違約時點成正相關性。該模式雖然理論架構嚴謹,但仍有少數缺點,當與實證資料相較時,該模式所估之違約相關性過低,此外,該模型針對違約相關結構之分析相當複雜。 Jarrow and Yu(2001) 將 Duffie and Garleanu(2001) 模型予以擴展,導入信用違約傳染模型,該模型可較真實地估算違約相關性。然而,此一模型對於歷史資料估算與校正將是一項非常繁複的工作。 Schonbucher and Rogge(2003) 延續 Schonbucher and Schubert(2001),發展出信用價差與違約強度之聯合動態過程,包含導致其他債務人信用價差擴大之違約傳染動態變化。並推導出違約者與非違約者間違約與存活聯合機率以及敏感度的解析解表示法 此將有利於往後發行商的避險操作 此外 該文中發現 Archimedean , 。 , 9
  • 10. Copula 相較於實務界常使用的 Gaussian Copula 或 student-t Copula 而言, 可產生較為真實的信用價差變化過程。然而,此一模式的最大缺點為模擬過程複雜,不易執行。 Hull and White (2004) 在利用多因子 copula 模型與傅立葉轉換等方法分別處理違約個數的機率分配及總損失的機率分配之運算,藉以分析假設在某段期間內的條件機率值下,計算信用資產違約損失分配,進而計算出信用資產違約損失值。假設信用資產的價值與標的資產價值 xi 相關,標的資產的價格 xi 以一因子 M 模型表示: xi = ai M + 1 − ai2 Z i (4) 假設 M 和 Z i 皆服從一個平均數為零 標準差為 1 的隨機變數 且 M , Z1 …. Z N , ,相互獨立,係數 ai 介於 -1 與 1 之間。透過此一關係,引入條件機率之概念,而推估風險性資產之條件存活機率函數,其研究結果發現 student-t copula 所估算之結果與實際市場價格較相近。此一作法優點是在不利用蒙地卡羅法下可快速計算出各分券之合理價差,但其最大問題在於無法如 copula 方法可計算出債權群組內損失函數分配,亦即多因子 copula 無法求算 VaR (Value at Risk,風險值),以提供投資人與發行商更多風險相關訊息。 Lee,Kuo,and Urrutia(2004) 沿用 Hull and White (2004)之多因子模型,而將因子區分為系統風險因子與特殊風險因子,且假設二者風險因子互相獨立,並以卜瓦松模型來評價 CDO 等風險性資產。透過 Gaussian Copula 分析在不同景氣循環下,各種不同分券之合理信用價差。 Gill et al.(2004) 利用結構式模型搭配蒙地卡羅法模擬投資組合的信用違約機率分配 即是目前 Fitch 評等機構所採取 CDO 之評價方法 此一模型簡稱 VECTOR , ,模型,將債務人評等與 Fitch 所建立之 CDO 違約矩陣,可求算各種信用評等之違約門檻。此外,VECTOR 模型改進 Credit-Metrics(1997) 僅能處理單一固定期間缺點,將模型推廣至多期,並導入 Gaussian Copula 將資產間違約相關性納入模型,主要透過多變量因素分析(Factor analysis)捕捉資產報酬間之相關性 此一模型適用 。上之限制主要為僅運用 Gaussian Copula,而未能考量其他資產報酬之可能分配,如 student t 分配等。 Gupton(2004) 提出對於信用投資組合之風險評價模型之挑選原則,分析模型 10
  • 11. 之選擇差異主要在於所輸入資料完整性與準確性,若信用評等資料較為齊全,則採用馬可夫分析,例如 Credit-Metrics 或 CreditPortfolio View7。若信用品質資訊可由 資 產 報 酬 獲 價 格 加 以 解 讀 , 則 可 採 用 Merton 結 構 式 模 型 , 例 如PortfolioManager8。若信用品質良窳與否可由違約歷史資料加以判斷,則可採用縮減式模型,例如 CreditRisk+。 Li(2002) 指出 CreditRisk+模型較適用於規模較大之投資組合分析與管理,比較不適合普通規模信用投資組合(如 CDO)之評價。此外,CreditPortfolio View主要是利用總體經濟資料建立起信用事件間的相關性,模型需要相當多實證相關數據及信用評等資料,但仍無法鉅細靡遺描繪信用投資組合內資產違約相關性。最後 並分析比較 BET 與 Gaussian Copula 方法在評價投資組合損失機率分配上之 ,差異,研究結果顯示,Gaussian Copula 較 BET 方法能將資產報酬之厚尾現象加以分析。 Galiani(2003) 與 Meneguzzo and Vecchiato(2004) 等 研 究 則 是 首 先 利 用Gaussian Copula 針對 CDO 進行定價與風險控管的敏感度分析 然後再討論利用選 ,擇不同 Copula 後之效果。 綜合上述分析,近年來 CDO 評價模式常用的有 CreditMetrics(Mina(2001))、Fitch(Bound(2003)) 、 BET(Cifuentes(1996)) 、 Copula(Li(2000) 、 Galiani(2003) 與Meneguzzo and Vecchiato(2004))、Factor Copula(Hull and White(2004))、違約擴散模 型 (Davis and Lo(2001) 、 Schonbucher and Schubert(2001) 、 Duffie andGarleanu(2001)、 Jarrow and Yu(2001)、Schonbucher and Rogge(2003))等,由於國內信用評等資料庫初期,部分資料期長度不足,故不適合選取 CreditMetrics Fitch、 、BET 等模型進行 CDO 之評價。至於 Factor Copula 雖然計算迅速,無法模擬損失機率分配,導致 VaR 求算不易,在風險控管上仍有改善空間。此外,違約擴散模型理論模型雖然嚴謹,但由於估計參數過多,以致模擬不易進行,且此一模型對7 CreditPortfolio View 模型(1997)是由麥肯錫顧問公司(McKinsey and Company)團隊所發展,主要 理論為違約事件的發生、信用評等的變動與總體經濟因素如失業率、GDP 成長率及利率水準等 有很大的關聯性。CreditPortfolio View 將公司違約、信評移動的機率和這些總體經濟變數以函 數來表示,以建立總體計量模型估計信用風險。8 KMV 公司根據 Merton 評價公司價值的選擇權模型,發展一套預測公司違約機率的模型,主要 描述當公司資產的市場價值小於負債的帳面價值,公司即會發生違約狀況,因此該模型利用公 司財務報表及股價資料來計算違約距離(distance to default;DD),以推估公司預期違約機率 (expected default frequencies; EDF)。 11
  • 12. 於歷史資料估算與校正將是一項繁複的工作。因此,Meneguzzo and Vecchiato(2004)所提出 copula 方法的出現剛好可突破此一估算與模擬時所遇到之瓶頸。 違約相關性在評價 CDO 分券時為首要考慮之因素,在給定各個資產違約機率與彼此間違約相關性後,即可估算出資產投資組合之損失分配,以作為 CDO 分券評價之用。此外,各種可能損失分配仍需與實際違約資料間具有一致性,其模擬、估計與校準工作顯得格外重要。因此,基於違約相關結構完整性、模型操作(模擬、估計、校準)方便性、結果準確性(Gaussian、Student t、Archimedean Copula)與風險控管等層面考量,本文採用 Meneguzzo and Vecchiato(2004) 之分析模式,以期能提高 CDO 評價之效率與準確性。(三) 擔保債權憑證(CDO)商品之介紹1.發行背景與相關案例 國內金融產業發展正值轉型期,銀行除面對到低利率所帶來經營壓力之外,同時亦需規避評等較差之企業貸款的信用風險。此外,保險業者因低利率時的來臨,而苦無良好報酬之投資標的可供投資。此一環境背景乃為推動證券化之良好契機。以下將國內所推動之資產證券化之案例彙整如表 2: 表 2. 台灣已核准的資產證券化商品資產證券化 創始機構 受託機構 發行金額 發行地點 發行方式 發行時間 商品類型 台灣工業銀行 92-98 企業貸款 土地銀行 36.52 億 境內 私募 (6 年) (第一檔) 法國里昂信貸 公募與私 92-97 企業貸款 中國信託 88 億 境內 (5 年) 銀行 募 台灣工業銀行 公募與私 92-98 企業貸款 土地銀行 32 億 境內 (第二檔) 募 (6 年) 中國信託商業 92-97 房屋貸款 德意志銀行 50 億 境內 私募 銀行 (5 年)現金卡應收 境內 92-98 萬泰商業銀行 德意志銀行 115.6 億 私募 帳款 與境外 (6 年) 93-100 房屋貸款 第一商業銀行 德意志銀行 54 億 境內 私募 (7 年) 台新國際商業 93~115 房屋貸款 德意志銀行 57 億 境內 私募 銀行 (22 年) 公募與 93-96 企業貸款 建華商業銀行 復華銀行 49 億 境內 私募 (3 年) 12
  • 13. 日盛國際商業 93~103 汽車貸款 德意志銀行 50 億 境外 私募 銀行 (10 年) 93-114 房屋貸款 彰化銀行 德意志銀行 54 億 境內 私募 (21) 信用卡應收 建華金控安信 94-98 土地銀行 37.6 億 境內 私募 帳款 信用卡公司 (4 年)2.現行 CDO 商品之概要 一般的 CDO 可分為兩種類型:資產負債表型( Balance Sheet) 與套利型(Arbitrage)。此兩者的不同之處,在於金融機構之初始發行動機以及標的資產組合來源。9此外,資產負債表型 CDO 近年來發展迅速,發行者通常是商業銀行等金融機構,其目的是在考量資本適足率前提下,提高資產報酬率(ROE)。銀行可將手中握有的企業債權(包括貸款與債券)形成一個資產組合,以作為證券化的標的,將信用風險透過分券方式予以移轉。此債權的絕大部分是具有抵押性質的貸款,因此擔保貸款憑證(CLO)通常是屬於資產負債表型 CDO。 相反的,套利型 CDO 的目主要是利用市場的套利機會,以獲取超額利潤。首先,金融機構購買一個資產的投資組合,作為證券化的標的資產,例如所謂的高收益債券或債務資產,經過整合與重新包裝,分割成各種等級之分券,發行給一般投資人。若其發行價格大於購買的成本,其差額就是證券化商品發行者的獲利。對於投資群組所購入資產的投資組合,大部分由許多不同的有價證券(如債券)所組成,因此擔保債券憑證(CBO)通常是套利型 CDO。 無論是資產負債表型或套利型 CDO,可再分為現金流量型(Cash Flow CDO)或市場價值型(Market Value CDO),另外套利型的 CDO 還有另一種合成型(Synthetic CDO)。其分類大致如圖 1:109 一般來說,套利型 CDO 資產來源多為初級或次級市場之證券,而資產負債表型 CDO 資產來源 多為以投資等級的銀行貸款居多。10 參閱 Anson, Fabozzi, Choudhry and Chen (2004) ,p. 134. 13
  • 14. 擔保債權憑證 CDO 套利型 Arbitrage 資產負債型 CDO Balance Sheet CDO現金流量型 市場價值型 現金流量型 合成型 CDO CDO CDO Synthetic CDO 圖 1. CDO 類型分類 傳統 CDO 將做投資群組(Collateral)內的債務工具,如銀行貸款債權,實際移轉出售給承擔風險第三者,亦即所謂的特殊目的機構(Special Purpose Vehicle;SPV),整個架構為一「實質出售(True Sale)」,SPV 再據以發行不同信用品質的分券(其架構見圖 211),故傳統的 CDO 在風險移轉之外,亦獲得籌資(CashFunding)的利益。 資產 1   現金 先償 現金 現金 創 特 分券 資產 2 殊 始 目 次償 資產 3 機 的 分券 … 構 機   構 資產 資產實 分券 權益 質出售 分券 資產 N 資產面 負債面 圖 2. 擔保債權憑證之架構圖 現金流量型 CDO 是最常見的 CDO,大多由銀行將其貸款債權包裝移轉給特殊目的機構(Special Purpose Vehicle,以下簡稱 SPV),SPV 據以發行不同信用品質之分券,使其分券之現金流量與貸款債權之現金流量的相連結;然而,市場價值型CDO 則主要取決於債權投資群組中的各標的資產之市價。現金流量型 CDO 之信用價差取決於流通在外的本金總額、債權投資群組的票面價格以及實際所收到的利息收 入 ; 然 而 市 場 價 值 型 CDO , 其 信 用 風 險 關 鍵 指 標 則 為 超 額 擔 保 比 率( Over-Collateralization Ratio),債權投資群組的當日市場價值( Mark-to-Market11 參閱 Perraudin (2004) , p.182. 14
  • 15. Value)是否足以支付本金與利息。由此觀之,市場價值型 CDO 之分券信用價差所受市場風險較現金流量型 CDO 來得大,其信用價差波動性及敏感度均較高。茲將現金流量型 CDO 與市場價值型 CDO 二者其他差異性加以比較如表 3 所示。 表 3. 現金流量型與市場價值型 CDO 之比較 現金流量型 CDO 市場價值型 CDO 投資組合 1.標的資產違約率最小化 1.利潤最大化 管理目標   (透過慎選投資標的) 2.標的資產價格波動性最小化 投資組合 1. 每個月追蹤一次 1. 每週或兩週追蹤一次 追蹤查核 2. 依照契約上的帳面價值計 2. 依照契約上的市場價值計算 算應付利息及本金。 應付利息及本金。 1.覆蓋測試:面值測試12與利 1.超額抵押測試(同面值測試) 測試方法 息支出測試13 2.最小淨值測試15 2.品質測試14 當資產市場價值大幅下降,以 當資產市場價值大幅下降,以 信用增強 致無法通過覆蓋測試時,則管 致無法通過超額抵押測試時, 作法 理者將從次償分券的現金流 管理者會出售資產,以供應先 量移轉給先償分券 償分券現金流量 更進ㄧ步,以圖 316為例,說明現金流量型 CDO 之每期現金流量(waterfall)情況:特殊目的公司 SPV 據以發行不同信用品質的分券(Tranche)給投資人,由於現金流量型 CDO 著重的是是否能夠定期支付利息 ( 利息測試, Interest coverageTest ;IC Test) 及到期時償還本金的能力(面值測試),除非標的資產被提前求償、贖回或被賣斷時,得到的多於本金才可再投資其他新的標的資產上,否則現金流量型 CDO 必須根據各階層償還之先後順序及流量,用來先支付求償順序較高的分券。反之,由於市場價值型 CDO 則因管理者較積極買賣標的資產,透過再投資,以期創造最高的收益,因此市場價值型 CDO 之分券價格主要著重標的資產價格波動性及對市場的敏感度,故為達信用增強的目的,當其未通過超額抵押測試12 面額測試係指對於每個階層的分券,皆有規定一個最小面值比率,例如一個面值$120 百萬美元 的先償債券,若其契約規定的超額抵押測試(OC test)為 120%,表示標的物資產的最小面值需為 $144 萬美元,次級債券的小 OC test 值將小於先償債券,例如 105%,假設該次級債券面值為$35 百萬美元,此時標的物資產需維持的最小面額為$180 百萬美元。13利息測試的主要目的,係為確保標的物資產抵押品的利息收入足以支付各階層受益憑證的利息 收入。14 品質測試主要用來測試分券能否如期被支付。15 最小淨值測試係指權益分券應有最小值限制,以確保標的資產之品質;權益分券價值之估算為 標的資產市場價值扣除先償與次償分券之價值與相關費用後。先償分券投資人可利用此一指標 加以評估,以作為是否繼續投資或提早贖回之參考。16參閱 Schorin and Weinreich (2001) ,p.10. 15
  • 16. (Overcollateralization test (OC Test))時,資產管理者會清算標的資產以償付先償分券。 合成型 CDO 是一種透過信用違約交換等信用衍生性商品契約,在不發生實質資產移轉的情形下,達成轉移信用風險功能的結構型商品。SPV 係根據創始機構之信用資產參考群組發行分券,將其信用保障予以出售給分券投資人。而分券投資人購買之款項則由 SPV 持有,以供做日後支付分券投資人、或是當信用標的參考群組中之資產發生違約時,支付給信用保障買方。信用保障的買方會定期繳交保障費用(Premium)給 SPV,再加上 SPV 持有款項所生之利息,將用來支付分券投資人利息。若參考群組中之資產發生違約,則 SPV 會與信用保障的買方協調,同時就損失進行償付。在信用交易終止時,SPV 會將其持有之剩餘款項歸還分券投資人。 由於資產發生違約時的損失風險已轉讓予分券投資人,故創始機構則為信用保障的買方。反之,由於資產發生違約的風險係由合成型 CDO 的分券投資人承擔,故該分券投資人係為信用保障的賣方。如此,信用風險將轉讓予分券投資人,而實際資產則仍屬於創始機構。合成型 CDO 仍透過不同方式予以架構,因此,可區分為充分的資金支持(Fully Funded)、部分資金支持(Partial Funded)、或全無資金支持(Fully Unfunded)。1717 參閱 Anson, Fabozzi, Choudhry and Chen (2004) ,pages 139-157. 16
  • 17. 標的物資產 信託管理費用 先償分券 管理費用 先償分券 利息支出 次償分券 利息支出 先償分券 再投資 贖回 次償分券 贖回 權益分券 管理費用 權益分券 贖回 圖 3. 擔保債權證券之現金流量瀑布3.信用增強 透過表4之整理,可發現國內的證券化案例中,所採用之信用增強方式大部分為次順位分券之內部信用增強,同時搭配準備金的方式為主。其可能原因為:(1) 次順位分券的內部信用增強方式,為成本較低的信用增強方式。 當發行人僅需將標的資產分割成數個優先順位不同的分券,即可達到信用增強的目的,相較於超額擔保,無須提供額外大量的標的資產作為信用擔保。因此,並不致於造成發行人利息成本的大幅上升,進而達到降低資金成本之目的。(2) 缺乏專業且具公信力的信用保險機構,以提供第三人的信用保險。 由表2國內所有的證券化案例之觀察 發現多數案例均將次順位分券由發行人 ,自行買回,並提供準備金作為另外的信用與流動性增強的方式。雖然可藉此提供投資人更多的信用保證,以提高投資人購買的意願,但也使得發行人成本上升,以致無法達到降低資成本之目的。此外,發行人仍須承擔權益分券所承受的信用 17
  • 18. 風險,使得身兼創始機構的發行人之成本大幅上升。此外,權益分券由發行人自行買回之情況,亦可能是因為市場上對於此一次償債券的報酬與風險不甚瞭解,導致投資人投資權益分券之意願不高。 目前台灣證券化的初期,多數發行機構與創始機構,投資信用品質較佳的資產,以作為證券化的擔保資產。而投資信用評等較高資產的好處在於較能提高投資人之購買意願,然而其缺點則是資產本身所提供的收益也較低,以致在採用權益分券買回的作法時,若權益分券所給予的票面利率過高,常導致本身會有虧損的現象。 表 4. 台灣已核准擔保債權憑證商品中信用增強實例 是否有自行買回部 擔保債權憑證 信用增強 位台灣工銀首檔企 次順位的信用增強方式,分為主次順位 次 順 位 部 位 由 台 灣業貸款證券化 兩類。此外尚有提列準備金。 工業銀行自行買回。 次順位的信用增強方式,分為五個順法國里昂信貸企 位。前四個順位公開發行,第五順位為 無自行買回。業貸款證券化 私募,此外尚有提列準備金。 次順位的信用增強方式,分為五個順 第 四 與 第 五 順 位 均台灣工銀第二檔 位,第一第二順位公開發行,第三順位 由 台 灣 工 業 銀 行 自企業貸款證券化 私募。此外尚有提列準備金。 行買回。中國信託商業銀 次順位的信用增強方式,分為五個順 第 五 順 位 由 中 信 自行房貸證券化 位。此外尚有提列準備金。 行買回。 賣方次順位與賣方萬泰商業銀行現 次順位與超額利差帳戶,並採循環方式 受益憑證均由萬泰金卡債權證券化 購買標的資產。此外尚有提列準備金。 銀行自行買回。 次順位的信用增強方式,分四個順位,第一銀行房貸證 第四順位由第一銀 前三順位採私募方式此外尚有提列準券化 行自行買回。 備金。台新國際商業銀 次順位信用增強方式,分四個順位,前 第 四 順 位 由 台 新 銀行房貸證券化 三順位採私募方式,尚有提列準備金。行自行買回建華商業銀行企 次順位信用增強方式,分五個順位,前 第 五 順 位 由 建 華 銀業貸款債權 四順位採公募方式,第五順位採私募。行自行買回 次順位的信用增強方式,分四個順位,彰化銀行房貸證 第四順位由彰化銀 前三順位採私募方式,尚有提列準備券化 行自行買回 金。日盛國際商業銀 次順位的信用增強方式,共分兩個順 次 順 位 由 日 盛 國 際行 2004 年汽車貸 位,採私募方式此外尚有提列準備金。商業銀行買回款債權證券化安信信用卡證券 次順位的信用增強方式,分為三個順 安 信 自 行 買 回 無 評化 位。 等的次順位分券。 18
  • 19. 三、Copula 方法簡介 由前述文獻整理得知 過去評價 CDO 模型有 Merton Credit-Metrics BET … , 、 、 、 、Copula 等方法。然而,為使 CDO 各個分券信用價差之分析結果可真實,且快速反應標的資產之信用評等變動、違約回復率、資產相互間違約相關性,並考量違約相關結構完整性、模型操作(模擬、估計、校準)方便性、結果準確性與風險控管等層面後,本文採用 Meneguzzo and Vecchiato(2004)之分析模式,以期能提高 CDO評價之效率與準確性。是故,以下將分別介紹 Copula 運用原理、類型、及其相關性之估算。(一)Copula 原理及其運用 Copula 函數通常為多變量之累積機率分配,假設 n 個隨機變數 X1,…,Xn,其所有經過機率轉換的邊際累積機率分配皆服從均勻分配 U(0,1)。如(5)式所示。F1 ( x1 ) ~ U(0, 1) ,…, Fn ( x n ) ~ U(0, 1)                             (5) 對於某個 n 維度的聯合累積機率分配函數 F (x1, …, xn),其第 i 個維度的邊際累積分配為 Fi(xi),F (x1, …, xn)與其對應之 Copula 函數 C : [0, 1]n→ [0,1],滿足以下關係: C(F1 (x1 ),...,Fn (x n )) = Pr(U1 ≤ F1 ( x1 ),......U n ≤ Fn ( xn )) = Pr( F1-1 (U1 ) ≤ x1 ,..., Fn-1 (U n ) ≤ xn ) = Pr( X 1 ≤ x1 ,..... X n ≤ xn ) = F ( x1 ,...,xn )   (6)(二) Copula 函數類型 Copula 函數類型大致可分成三大類,分別為 Gaussian Copula、Student-t Copula以及 Archimedean Copula 等。至於上述三類之適用性,除利用所適用之邊際累積機率分配來認定外,或者就預期損失最大化原則來加以挑選適合之 Copula。以下茲就各類多維度函數加以介紹。1.多元常態 Copula(Gaussian Copula) 多元常態 Copula 假設存在著對稱且正定的相關矩陣 R ,則其 Copula 函數定義如(7)式。 C R (u1 ...u n ) = Φ R (Φ −1 (u1 )...Φ −1 (u n ))       (7)其中, Φ (u)表累積標準常態分配函數; Φ (u)–1 表標準常態分配的反函數。 19
  • 20. 2.多元 Student-t Copula 多元 Student-t Copula 假設存在對稱且正定的相關矩陣 R ,則其 Copula 函數為: −1 −1           TR ,υ (u1...u n ) = t R ,υ (tυ (u1 )...tυ (u n ))     (8)其中, t R ,υ 表累積標準多元 Student t 分配函數; tυ −1 表標準多元 Student t 分配函數之反函數。3.多元 Archimedean Copulas(1) Clayton-n-Copula 函數:當 α > 0 時,可以表示成如下形式: −1 α  n  C (u1 ,..., un ) =  ∑ ui−α − n + 1 (9)  i =1 (2) Gumbel-n-Copula 函數:當 α > 1 時,可以表示成如下形式: 1α   n α   C (u1 ,..., un ) = exp  −  ∑ (− ln ui )   (10)   i =1    (3) Frank-n-Copula 函數:當 α > 0 , n > 3 時,可以表示成如下形式:  ( ) n 1  ∏ e −α ui − 1    C (u1...un ) = − ln 1 + i =1  (11) α  ( ) n −1 e −α i − 1     (三)變數相關性之衡量1. Kendall’s (τ) 對於一個 Copula C,假設(X1, Y1)和 (X2, Y2)為兩個相互獨立隨機配對。 則 Kendall’s (τ)為: τ = Pr(( X 1 − X 2 )(Y1 - Y2 ) > 0) − Pr(( X 1 − X 2 )(Y1 - Y2 ) < 0) (12)2. Spearman’s ρ s 對於一個 Copula C,假設(X1, Y1)、(X2, Y2)和(X3, Y3)為三個相互獨立的隨 機配對。則 Spearman’s ρ s 為: ρs = 3[Pr(( X1 − X2 )(Y1-Y3 ) > 0) − Pr(( X1 − X2 )(Y1-Y3 ) < 0)]   (13)   20
  • 21. 四、擔保債權證券(CDO)之評價模式 影響 CDO 分券信用價差的因素甚多,其中以標的資產間違約相關性、違約機率及違約回復率等三者影響最大。因此,本文所提出有關擔保債權憑證之評價模式,將分為兩大步驟來。首先針對標的資產間違約時點相關性加以模式化,再將違約相關性因素納入 CDO 分券評價模型中,以期能精確且快速估算 CDO 分券合理之信用價差。分述如下:(一) 具相關性違約時點模式之建立  對於 n 個標的資產的違約時間 τ 1 , τ 2 , τ 3 ,..., τ n 之聯合累積機率分配之求算,除針對個別資產違約時點的累積機率分配與 copula 類型予以判定與校準外,仍須視標的資產間違約相關係數之未來穩定性,如此方可精確估算未來的聯合違約時點累積機率分配。其中,資產間違約相關係數可由 GARCH 模型加以估算外,仍須建構 copula 與個別違約累積機率函數之關聯,根據前述文獻可知,違約強度函數 h 恰可做為雙方連結之樞紐。而本文為達簡化分析之目的,提及將存活時間的違約相關係數設為資產間報酬率之相關係數,此一假設提升 copula 於信用風險投資組合(如 CDO)實用價值。  因此,由前述文獻研究結果顯示,透過違約強度概念之導引,即可求得違約強度與存活函數的關係。並運用存活 Copula 函數將 I 家公司的聯合存活函數表示為(14)式: S(t1 ,t 2 ,...,t I )=Pr(τ 1 >t1 ,τ 2 >t 2 ,...,τ I >t I ) (14) =Cτ1 ,τ 2 ,...,τ I (S1 (t1 ),S2 (t 2 ),...,SI (t I ))其中,t 為時間變數; τ 表違約時點。 CDS Spread最後,本文假設 h= , δ 表示回復率(Recovery Rate),CDS Spread 表示 1-δ合成 CDO 架構下,創始機構與 SPV 所簽訂信用違約交換契約之信用價差。假設強度函數 h 為一固定常數,則就可利用 copula 函數去描述定義每一個信用事件的存活期間的機率分配函數。 (二) CDO 分券之評價模式 完成評價第一階段有關聯合違約機率分配函數之估算,期能正確評價 CDO 分券合理之信用價差。一般擔保債權憑證之評價可分為三個步驟,首先建立具相關性違約時點模式,其次推論出損失函數分配(亦即某特定時點下,推估累計投資組 21
  • 22. 合違約損失分配函數),最後再進行擔保債權憑證分券之評價。因此,以下就損失函數分配之估算以及 CDO 分券之評價等內容加以介紹。1.損失函數分配之估算  本文為強調違約相關性在擔保債權憑證評價時之重要性,而做以下兩項假設:(1)違約時點與利率過程獨立且(2)違約回復率與違約時點以及利率過程獨立。此外,評估模型中,考慮投資債權群組含有n個標的債權名目本金Ai及違約回復率Ri(i=1,2,…,n),Li(=(1-Ri))*Ai)表示第i個債權違約時之淨損失,τi表示第i個債務人違約時點, N i ( t ) =1{τ i <t} 為t時點之跳躍過程。 L(t ) 為第t時點擔保債權投資組合之累計損失金額,如下所示: n L(t ) = ∑ Li N i (t ) (15) i =12.擔保債權憑證分券之評價 考慮ㄧ擔保債權憑證分劵(Tranche),其發生違約給付的情況只有在投資債權群組價值介C與D之間(C<D),C稱為權益分券發行額,D稱為創始機構發行分券最 n n高的發行量,其中 0 ≤ C ≤ D ≤ ∑ A i 。而 ∑ A i 則稱為投資債權群組之總面額。 i=1 i=1 因此,持有 CDO 分券投資人的累積損失 M(t)  0 ,若 L(t) ≤ C  M(t)= L(t)-C ,若 C ≤ L(t) ≤ D (16) D-C ,若 D ≤ L(t)  此外,亦可寫成 M(t)=(L(t)-C) ⋅ I[C,D] ⋅ L(t)+(D-C) ⋅ I  n  ⋅ L(t) (17) ∑  D, Ai   i=1   (1) 違約給付金額(Default Leg ,以下簡稱 DL) T    DL =E P [ ∫ B(0,t)dM(t)] 0其中,B(0,t)表示第 t 時點的折現因子,T 為 CDO 投資組合到期日。 22
  • 23. (2) 保護收入(Premium Leg,以下簡稱 PL)  m m P L = E P  ∑ ∆ i-1 ,i ⋅ W ⋅ B (0 ,t i ) ⋅ [ D -C ] ⋅ I [ L (t) ≤ C ] + ∑ ∆ i-1 ,i ⋅ W ⋅ B (0 ,t i ) ⋅ [ D -L (t) ] ⋅ I [C ≤ L (t) ≤ D ]   i= 1 i= 1   m  (18) = E P  ∑ ∆ i-1 ,i ⋅ W ⋅ B (0 ,t i ) ⋅ m in {m a x [ D -L (t),0 ] ,D -C }  i= 1   T  = W ⋅ E P  ∫ B (0 ,t) ⋅ g (L (t))d t  0  其中 g(L(t))= min {max [ D-L(t),0] ,D-C}(3) 合理之信用價差(fair credit spread) 最後,透過 PL=DL 關係,估算每一層 CDO 分券合理的信用價差 W E P  ∫ B(0,t)dM(t)  T  0    W= (19) E P  ∫ B(0,t)g(L(t))dt  T  0    23
  • 24. 五、實證方法與結果分析 影響擔保債權憑證評價的因素甚多,如前述資產標的相關係數矩陣、到期日、每個分券本身所佔群組資產之比例、以及各信用資產的信用價差(或稱風險貼水)與回復率等。因此,本文首先將透過國內外歷史資料之統計,估算參考群組內風險資產之信用價差與回復率。其次,利用先前所提到的 copula 方法來評價擔保債權憑證分券合理之信用價差。(一)資料選取與研究對象 透過台灣經濟資料庫(TEJ)取得企業信用風險指標(Taiwan Corporate CreditRisk Index;TCRI)之評等低風險投資級從第一等級至第四等級之台灣上市企業公司發行無擔保債券之相關資訊,並作為擔保債權憑證所聯結之標的,共為 153 家(原為 169 家,因其中 16 家上市公司資料有遺漏值,故予以扣除)。以下詳列本文所設定的擔保債權憑證之條款限制、參數以及引用的資料: 標的資產:台灣上市公司 TCRI 低風險投資級從第一級至第四等級發行 的無擔保債券,原為 169 家,因其中 16 家在估計期間資料有遺漏值,故 予以扣除,故共有 153 家標的資產。 名目本金:每家公司之名目本金( Notional Amount )均設為新台幣 1,000,000 元。 資料期間:自民國 92 年 1 月 1 日至民國 93 年 12 月 31 日之日報酬資料。 發行分券種類: a. 權益分券:〔該分券可涵蓋群組資產組合損失之前 0%~3%〕 b. 次償分券:〔該分券可涵蓋群組資產組合損失之前 3%~15%〕 c. 先償分券:〔該分券可涵蓋群組資產組合損失之前 15%~100%〕 民國 94 年 1 月郵匯局一年期定存利率(r=1.665%)作為無風險利率 信用價差:由於國內信用評等資料庫有關信用價差部分尚未建置完備, 根據中華信評公司對本身信評表與 Moody’s 評等表間所做之比照對應結 果,本文將採 Moody’s 的各類評等之信用價差,作為國內各評等信用價 差之參考。 回復率(Recovery Rate):由於本文 CDO 資產池內標的資產為國內公司 所發行之無擔保債券,然而國內有關無擔保債券違約回復率統計資料庫 24
  • 25. 建置尚未完備,本文參酌 Moody’s 報告書18中所載無擔保債券之平均歷 史回復率 46.9%,以作為本國無擔保債券回復率之預估值。 蒙地卡羅模擬法模擬試行 50,000 次(二)實證結果分析 本小節主要分為三部分,首先是利用GARCH與IFM19等計量方法,估計各種Copula函數之參數。其次,透過參數的設定,以校正市場資料與統計模型設定上的差異,利於挑選出最佳預測模型。 此外,於本分析模式中,考慮各個信用資產違約機率與彼此間違約相關性下,模擬出信用資產參考群組之損失機率分配。並配合市場實際資料,估算各順位分券可能之信用價差、預期損失與損失函數變動的風險值。 最後,利用敏感度分析,以瞭解在不同的相關係數(Correlation)、回復率(Recovery Rate)變動之下,各順位分券可能的信用價差(Credit Spread)變動程度,以供作發行商評價與投資人選擇標的時之參考。分述如下:1.檢驗資料的特性 本小節利用 GARCH 模型檢驗各個資產報酬率,藉此瞭解資料的特性。將所有的 153 筆樣本作時間序列分析。因此,本文在此挑選出 4 家公司作樣本,使用標準化 t 分配的 GARCH(1,1)進行分析,並將估算之結果整理如表 5: 表5. 估計GARCH(1,1)參數和標準誤(SE) 仁寶 中鋼 台灣大哥大 長榮 α0 -0.0010652(**) 0.001257(**) 0.0014890(**) 0.0003234 (**) SE 0.0013226 0.0007792 0.0007200 0.00126411 α1 0.0000706(**) 0.000108(**) 0.0000415(**) 0.0003467 (**) SE 0.0000698 0.0000667 0.0000211 0.00004204 β 0.767765 (**) 0.355125(**) 0.4997658(**) 0.06386213(**) SE 0.1739970 0.2635909 0.1533193 0.0397126 υ 7.16046 3.64845 5.96333 8.248122 註:(**)表顯著。 根據表5,參數估計值都通過檢定且顯著,所以假設資產報酬為標準化t分配 的GARCH(1,1)模型及擁有波動聚集(Volatility Clustering)及厚尾現象。2.不同 Copula 的參數估計18 參閱 Moody’s(2001).19 參閱 Cherubini, Luciano and Walter (2004),p.156-182 25
  • 26. 本小節利用Copula函數配適評價模型,由於資產報酬擁有波動聚集(VolatilityClustering)及厚尾現象;故共有三種Copula模型選擇,將所估得的結果整理如下: (1) Normal Copula:利用 Empirical Kendall’s (τ)之相關係數矩陣取代原先的 皮爾森(Pearson)相關係數矩陣,表 6 列出仁寶、中鋼、長榮以及台灣大哥 大等四家公司為例: 表 6. Empirical Kendall’s (τ)之相關係數矩陣 相關 仁寶 中鋼 長榮 台灣大 Kendalls tau_b 統計量數 仁寶相關係數 1.000 .271** .182** .176** 顯著性 (雙尾) . .000 .000 .000 個數 500 500 500 500 中鋼 相關係數 .271** 1.000 .347** .201** 顯著性 (雙尾) .000 . .000 .000 個數 500 500 500 500 長榮 相關係數 .182** .347** 1.000 .182** 顯著性 (雙尾) .000 .000 . .000 個數 500 500 500 500 台灣大 相關係數 .176** .201** .182** 1.000 顯著性 (雙尾) .000 .000 .000 . 個數 500 500 500 500 Spearmans rho 係數 仁寶 相關係數 1.000 .388** .265** .255** 顯著性 (雙尾) . .000 .000 .000 個數 500 500 500 500 中鋼 相關係數 .388** 1.000 .480** .292** 顯著性 (雙尾) .000 . .000 .000 個數 500 500 500 500 長榮 相關係數 .265** .480** 1.000 .262** 顯著性 (雙尾) .000 .000 . .000 個數 500 500 500 500 台灣大 相關係數 .255** .292** .262** 1.000 顯著性 (雙尾) .000 .000 .000 . 個數 500 500 500 500 **. 在 .01水準 (雙尾) 上的相關才會顯著。 (2) Student-t Copula:,除上述 Empirical Kendall’s (τ)矩陣之外,利用 IFM 法,估計邊際分配的自由度 υ ,本模型得到 Student t 合適自由度為 5;此 外,標的資產報酬散佈圖提供一個良好的判斷準則,詳如圖 4,當觀察出 尾部具離散現象時,便可考慮選擇 Student-t Copula。 仁寶 中鋼 長榮 台灣大 圖 4. 標的資產報酬散佈圖 (3) Archimedean Copula:利用 IFM 法估計所有的邊際分配之參數 α 。本文選 26
  • 27. 取 Archimedean Copula 中的 Clayton Copula,估計 Clayton Copula 合適 α 為 0.9832。3.收益比較分析 本節利用不同 Copula 模型去評價三種分券的信用價差、損失函數統計量與VaR 值;茲將所得之結果整理如下: 無論由 Gaussian Copula、 Student-t Copula 或 Archimedean Copula-ClaytonCopula 角度觀察,由於權益分券須負擔整個群組資產前百分之三的違約損失,預期最大損失會有 200.99 萬元~103.4 萬元,佔群組資產可能損失金額的大部分。在高的預期損失下,權益分券有著極高的信用價差 196.2bps~100.4bps,且為風險與報酬最高之分券。 先償分券是負責群組資產損失超過 15%以後的所有損失,因此,若不發生大規模的連鎖倒閉,則先償分券幾乎不會發生損失,而信用價差 0.13b.ps 比市場上Aaa 級債券(2.6bps)相較之下來的更低,足以顯示此分券信用價差之穩定性。各分券之信用價差詳見表 7。 表 7. 分券之信用價差 Gaussian Copula T-Copula (自由度 = 15) 信用價差 信用價差 預期損失(萬 分券 預期損失(萬元) 分券 (bps) (bps) 元)先償分券 0.3 13.4 先償分券 0.5 20.84次償分券 25.9 141.6 次償分券 27.8 150權益分券 196.2 200.99 權益分券 173.1 183.82 T-Copula (自由度 = 10) T-Copula (自由度 =5) 信用價差 信用價差 預期損失(萬 分券 預期損失(萬元) 分券 (bps) (bps) 元)先償分券 0.6 24.45 先償分券 0.9 37.08次償分券 28.2 152.42 次償分券 29.5 159.2權益分券 162.3 176.06 權益分券 136.5 154.83 Clayton Copula (alpha mean=1.258) Clayton Copula (alpha min=0.9832) 信用價差 信用價差 預期損失(萬 分券 預期損失(萬元) 分券 (bps) (bps) 元)先償分券 0.14 5.12 先償分券 0.13 4.6次償分券 24.3 100.3 次償分券 22.4 93.18權益分券 112.5 122.44 權益分券 100.4 103.4 27
  • 28. Clayton Copula (alpha max=2.6795) Clayton Copula (alpha median=1.2422) 信用價差 信用價差 預期損失(萬 分券 預期損失(萬元) 分券 (bps) (bps) 元)先償分券 0.16 5.9 先償分券 0.14 4.96次償分券 26.4 110.43 次償分券 23.7 99.11權益分券 123.4 127.5 權益分券 108.2 113.3若由損失函數統計量來看(詳見表 8): 1. 由 Gaussian Copula、Student-t Copula 與 Archimedean Copula 形式模擬結 果可知:Student-t 分配隨著自由度愈大,則 Student-t 愈趨近於 Gaussian 分配。此外,次償分券之標準差為三個分券中最大,代表此分券不會如 同權益分券般容易發生損失,也不會像先償分券般幾乎不發生損失;由 圖 5 損失分配長條圖可獲得以下結論 投資群組(標的資產)的信用價差大 : 小會影響分券的合理信用價差。 2. VaR 分析:風險值是在未來的特定時間長度和信賴水準 1-α(或稱為 風險水準)下,以估算投資組合報酬之市場風險,或是此一投資組合可 能發生的最大損失。VaR 值越大,表示投資人預期可能發生的最大損失 越大,因此越能捕捉到厚尾現象;即投資人關心的下方風險。由表 7 可 知,Student-t Copula 最能表現厚尾的狀況,而 Archimedean Copula 在本 文的實証下,較無法反映資料的特性。若投資人未將金融資產報酬所呈 現出的波動聚集及厚尾現象納入考量,則將會低估損失,導致違約破產 的可能性增加。 表 8 損失函數的統計量 Gaussian Copula T-Copula (自由度 = 15) 先償 次償 權益 先償 次償 權益 統計量 統計量 Senior Mezzanine Equity Senior Mezzanine Equity中位數(萬) 0 0 159.3 中位數(萬) 0 0 106.2平均數(萬) 13.4 141.6 200.99 平均數(萬) 20.84 150 183.82標準差(萬) 136.42 370.62 180.37 標準差(萬) 181.76 395.51 183.02最小值(萬) 0 0 0 最小值(萬) 0 0 0最大值(萬) 4714.2 1836 459 最大值(萬) 5351.4 1836 459 VAR 95% 0 1027.8 459 VAR 95% 0 1134 459 VAR 99% 466.2 1836 459 VAR 99% 784.8 1836 459 T-Copula (自由度 = 10) T-Copula (自由度 = 5) 先償 次償 權益 先償 次償 權益 統計量 統計量 Senior Mezzanine Equity Senior Mezzanine Equity 28
  • 29. 中位數(萬) 0 0 106.2 中位數(萬) 0 0 53.1 平均數(萬) 24.45 152.42 176.06 平均數(萬) 37.08 159.2 154.83 標準差(萬) 203.99 404.1 183.73 標準差(萬) 268.36 427.4 184.24 最小值(萬) 0 0 0 最小值(萬) 0 0 0 最大值(萬) 5192.1 1836 459 最大值(萬) 5616.9 1836 459 VAR 95% 0 1187.1 459 VAR 95% 0 1346.4 459 VAR 99% 944.1 1836 459 VAR 99% 1422 1836 459 Clayton Copula (alpha mean=1.258) Clayton Copula (alpha min=0.9832) 先償 次償 權益 先償 次償 權益 統計量 統計量 Senior Mezzanine Equity Senior Mezzanine Equity 中位數(萬) 0 0 0 中位數(萬) 0 0 0 平均數(萬) 5.12 100.3 122.44 平均數(萬) 4.6 93.18 103.4 標準差(萬) 110.4 415.35 130.52 標準差(萬) 100.4 431.77 142.25 最小值(萬) 0 0 0 最小值(萬) 0 0 0 最大值(萬) 1945 1836 459 最大值(萬) 1937 1836 459 VAR 95% 0 943 459 VAR 95% 0 901 459 VAR 99% 231.7 1836 459 VAR 99% 221.2 1836 459 Clayton Copula (alpha max=2.6795) Clayton Copula (alpha median=1.2422) 先償 次償 權益 先償 次償 權益 統計量 統計量 Senior Mezzanine Equity Senior Mezzanine Equity 中位數(萬) 0 0 0 中位數(萬) 0 0 0 平均數(萬) 5.9 110.43 127.5 平均數(萬) 4.96 99.11 199.61 標準差(萬) 136.5 372.1 105.09 標準差(萬) 107 418.48 113.3 最小值(萬) 0 0 0 最小值(萬) 0 0 0 最大值(萬) 1955 1836 459 最大值(萬) 1940 1836 459 VAR 95% 0 981 459 VAR 95% 0 974 459 VAR 99% 245.6 1836 459 VAR 99% 228.4 1836 459 經過比較三種 Copula 方法在評價分券的損失函數統計量與 VaR 值之後 發現 ,Student-t Copula 是最能捕捉資料之厚尾現象。此 Copula 是用移動視窗(movingwindow)法推估 Empirical Kendall’s(τ)的相關係數矩陣,來解釋資產報酬與時間變動的相關程度。本文是利用資產報酬的相關性取代存活時間的違約相關性,故違約時間的相關性會隨著時間點的不同而改變,前一期的相關程度會影響此期的變化,更符合經濟上的直覺和實際市場資料的特性。以下針對 Student-t Copula 在兩種不同的情況下做比較,以便讓不同風險偏好的投資大眾對投資擔保債權憑證之分券報酬與風險型態有更進一歩的瞭解: 29
  • 30. (1)使用實際市場資料模擬(選擇 Student t Copula): 標的資產評等 AAA AA A BAA 資產信用價差(bps) 4.902 6.102 7.502 8.602 分券種類 先償 次償 權益 分券信用價差(bps) 0.9 29.5 136.5 對於購買分券之投資人,所關心的不僅僅是各個分券所可獲得的信用價差,更關注的是預期損失的金額和損失的機率。由圖 5 可知,所有分券平均會有 0.6的機率收取足額的信用價差,直到擔保債權憑證結束;一旦發生損失,最大的損失機率幾乎集中在權益分券上,印證高報酬之下卻也帶來了高風險。先償與次償分券則明顯因為受到的保護大(較慢受到違約的影響),相對的期望損失的機率低。投資人可以因風險偏好程度購買符合自己風險喜好的分券。但權益分券之投資人,雖然擁有較高的信用價差,在景氣不佳時更能表現出它的高收益;但對照此表,很容易因為債權投資群組的違約造成損失;尤其景氣低迷時,公司的違約機率相對更大。在風險最高的權益分券,模擬的結果高達 0,24 的機率會全部損失,自身承受的風險非常大。 圖 5. 實際市場資料模擬損失分配圖(2)使用高風險的債權群組模擬(選擇 Student t Copula): 標的資產評等 AAA AA A BAA 資產信用價差(bps) 150 分券種類 先償 次償 權益 分券信用價差(bps) 67.8 977.4 3476 30
  • 31. 假設債權群組評比後只有一種風險性資產,它的信用價差高達 150bps,由於債權群組擁有較高的風險性,相對的,分券投資人一開始的收益比較高。但若由損失機率角度觀之,次償分券在模擬時會完全的損失,風險非常的大;因此,當市場上的擔保債權憑證之債權投資群組風險非常高時,投資人在承購此等級分券時格外小心,很有可能會因為提前違約而遭受損失,對於先償分券投資人,雖然拿到的價差比較小;相對的,受到的保護大( 必須債權群組到一定程度的違約之後,才有影響),對於比較風險規避投資人,不僅可以拿到比市場上高一點的信用價差,損失的機率也小,是值得投資的分券等級。因此,擔保債權憑證分券購買前,建議投資人需對債權投資的風險和信用等級作一仔細評估,方能減低自身的投資風險與損失。 圖 6. 高風險的債權群組模擬損失分配圖(五) 敏感度分析 本節將以資產間相關係數以及違約回復率等兩個因子,針對擔保債券憑證分券之信用價差進行敏感度分析,假設違約回復率為 0.1~0.9 之間,相關係數ρ介於0.1 與 0.9 之間,在此相關係數矩陣設定為ρij = r, ρii = 1,其他設定不做改變,相關係數(Correlation)、違約回復率(Recovery Rate)和分券信用價差(Credit Spread)的間之變動分析結果分述如下。 由圖 7 至圖 9 可窺知分券信用價差與違約相關係數以及違約回復率彼此間之變動關係。其中,由圖 7 可發現對權益分券而言,信用價差與相關係數呈現反比。由圖 8 可知對次償分券而言,變動關係也與權益分券大致相同;先償分券由圖 9 31
  • 32. 卻發現不同於權益與次償分券之結果,其信用價差與相關係數則呈現正向變動。 當債權群組內相關係數較小時,發生極端損失的情況較少,而在此時先償分券所暴露風險較少,亦即信用價差則可得以降低,而在此時債權群組內發生損失為零的情況會比相關係數較大時來得少,則權益分券的期望損失將會提高,如此亦可解釋權益分券信用價差較高之原因。 而當相關係數較大時,債權群組內損失發生會較容易群聚現象(Clustering),甚至 在完全正相關(ρ = 1)情況下,所有的公司將會同時違約或同時存活,此時若一旦發生信用違約,則可能產生連鎖違約之極端損失,先償分券投資人此時便暴露於可能發生大量損失之風險下,因此需要有較高的信用價差以作為風險補償;此外,由於損失發生之群聚現象,相對應地之發生零損失的機率亦將大幅上升,則權益分券的期望損失得以降低,故權益分券所對應之信用價差亦可降低。 圖 7. 權益分券之評價      圖 8. 次償分券之評價        圖 9. 先償分券之評價 32
  • 33. 六、結論 發行擔保債權憑證具有多重效益,就發行機構而言,不但可有穩定收入,並可減少自有資本之提存準備,提高資金運用效率;對投資人而言,亦可分散風險,並提供多樣化的投資工具;就資本市場觀點而言,透過擔保債權憑證可活絡金融機構借貸市場。在信用風險管理與信用衍生性商品評價中,違約相關性是ㄧ個重要的因子。此外,本文發現違約回復率、相關係數以及違約機率等三者均會影響分券信用價差的評價:就權益分券而言,信用價差與相關係數是呈反比的,而次償分券表現出來也與權益分券大致相同;相對於權益分券與次償分券,先償分券之信用價差則與債權群組內相關係數是呈正比的。 此外,當債權群組內相關係數較小時,發生極端損失的情況較少,而在此時先償分券所暴露風險較少,亦即信用價差則可得以降低,而在此時債權群組內發生損失為零的情況會比相關係數較大時來得少,則權益分券的期望損失將會提高,如此亦可解釋權益分券信用價差較高之原因。 而當相關係數較大時,債權群組內損失發生會較容易群聚現象(Clustering),甚至 在完全正相關(ρ = 1)情況下,所有的公司將會同時違約或同時存活,此時若一旦發生信用違約,則可能產生連鎖違約之極端損失,先償分券投資人此時便暴露於可能發生大量損失之風險下,因此需要有較高的信用價差以作為風險補償;此外,由於損失發生之群聚現象,相對應地之發生零損失的機率亦將大幅上升,則權益分券的期望損失得以降低,故權益分券所對應之信用價差亦可降低。 當評價各個分券之信用價差時,不同的 Copula 能夠說明不同的資料特性,例如具資料厚尾和波動聚集時,應選擇 Student-t Copula;據相關文獻顯示,當違約具有傳遞效果(default contagion)時,Archimedean Copula 可以更精準的描繪出資料的相關性,但本文實證結果,效果不佳;主要是因為將強度函數 h 視為固定常數而非隨機的,影響使用 Archimedean Copula 的精確度。若能將強度函數 h 設為隨機,則 Archimedean Copula 可能是一個更好的選擇。 參考文獻Andersen, L., J. Sidenius, and S. Basu (2003), “All your hedges in one basket,” RISK, November 2003.Andersen, L. and J. Sidenius (2004), “Extensions to the Gaussian copula:random recovery and 33
  • 34. random factor loadings,” working paper, Bank of America, June.Anson M.J.P., F.J. Fabozzi, M.Choudhry and R.R.Chen(2004), Credit derivatives—instruments, applications, and pricing, John Wiley &Sons, Inc.Black, F. and J. C. Cox (1976), “Valuing corporate securities: some effects of bond indenture provisions,” Journal of Finance 31, pages 351-367.Bluhm, C., L. Overbeck and C. Wagner (2002), An introduction to credit risk modeling, Chapman & HallCarey M. (1998), “Credit risk in private debt portfolios,” Journal of Finance 53(.4), pages 1363-1387.Cherubini, U., E. Luciano and W. Vecchiato (2004), Copula methods in finance, John Wiley & Sons, Ltd.Choudhry, M.(2004),”Structured credit products - credit derivatives & synthetic securitization ”, Wiley FinanceCifuentes, A. and G. O’Connor (1996), The binomial expectation method applied to CBO/CLO analysis, Moody’s Special Report, Dec 13th 1996Crosbie, P.J. and J.R. Bohn(2002), ”Modeling default risk”, Moody’s KMVCrouhy, M., D. Galai and R. Mark(2000), ”A comparative analysis of current credit risk models”, Journal of Banking and Finance,24,pages 59-117.Davis, M. and V. Lo (2001), “Infectious defaults,” Quantitative Finance 1, pages 382-387.Delianedis, G. and R. Geske (1998), "Credit risk and risk neutral default probabilities: information about migrations and defaults," University of California at Los Angeles, Anderson Graduate School of Management 1114, Anderson Graduate School of Management, UCLA.Duffie, D. and K. Singleton (1999), “Modeling term structure of defaultable bonds,” Review of Financial Studies, 12, pages 687-720.Duffie, D. and N. Garleanu (2001), “Risk and valuation of collateralized debt obligations,” Finance Analysis Journal 57(1), pages 41-59.Frey, R. and A. J. McNeil (2001), “Modeling dependent defaults,” Working Paper, Department of Mathematics, ETH Zurich.Galiani, S.S.(2003), “Copula functions and their application in pricing and risk managing multiname credit derivative product”, working paper,Garcia, J.,T. Dwyspelaere , L. Leonard, T. Alderweireld and T.V. Gestel (2005),”Comparing bet and cash flows CDO’s ”, working paperGiesecke, K. (2001), “Structural modeling of correlated defaults with incomplete information,” working paper, Humboldt University.Giesecke, K. and S. Weber (2004), “Cyclical correlations, credit contagion, and portfolio 34
  • 35. losses,” Journal of Banking and Finance 28(12),pages 3009-3036.Gill K.,R. Gambel, R.V. Hrvatin, H. Katz, G. Ong and D. Carroll (2004),”Global rating criteria for collateralized debt obligations”, structured finance, Fitchratings , 13th Sep. 2004Gordy,M.B.(2000),”A comparative anatomy of credit risk models”, Journal of Banking and Finance,24,pages 119-149.Gupton, G.M.,C.C. Finger and M. Bhatia(1997), “ CreditMetrics -technical document”, Morgan Guaranty Trust CompanyGupton, G.M. (2004),”Portfolio credit risk models”, credit derivatives –the definitive guide edited by Jon Gregory, Risk BooksHull, J. and A. White (2004), “Valuation of a CDO and an n-th to default CDS without Monte Carlo simulation,” Journal of Derivatives 12(2), pages 8-48.Hurst,R.R.(2001),”CDOs backed by ABS and commercial real estate”, Investing in collateralized debt obligations, edited by Frank J. Fabozzi and Laurie S. GoodmanJarrow, R., D. Lando, and S. Turnbull (1997), “A Markov model for the term structure of credit spread,” Review of Financial Studies 10, pages 481- 523.Jarrow, R. and S. Turnbull (1995), “Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk,” Journal of Finance 50 , pages 53- 85.Jarrow, R. and F. Yu (2001), “Counterparty risk and the pricing of defaultable securities,” The Journal of Finance 56, pages 1765- 1799.Lando, D. (1998), “On Cox processes and credit risky securities,” Review of Derivatives Research, Vol.2, pages 99-120.Laurent, J.P. and J. Gregory(2003), ”Basket default swaps, CDO’s and factor copulas,” working paper, ISFA Actuarial School, University of LyonLee, C.W., C.K. Kuo and J.L. Urrutia (2004), “A Poisson model with common shocks for CDO valuation,” The Journal of Fixed Income 14(3), pages 72-82.Li, D.X. (2000), “On default correlation: A copula function approach,” The RiskMetrics Group working paper number 99-07Li, D.X. (2002), “Valuing synthetic CDO tranches using copula function approach,” The RiskMetrics Group working paperLin, S.Y. (2004), “Two essays on credit derivatives: CB asset swap and CDO”, Working PaperMarshall, A.W. and I. Olkin(1988),”Families of multivariate distributions,” Journal of the American Statistical Association, pages 834-841Meneguzzo, D. and W. Vecchiato (2004), “Copula Sensitivity in Collateralized Debt Obligations and Basket Default Swaps,” The Journal of Futures Markets, Vol. 24(1), pages 37-70.Merton, R. (1974), “On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates,” 35
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