DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II SEPARATA N° 2 DE FISICA I (CB-302 U) 1.- Un pequeño cuerpo de masa m se desliza Y’ sobre una barra, que es una cuerda en un volante circular. El volante gira alrededor de su centro O’ con una velocidad angular de w = 4 rad/s en sentido de las agujas de un reloj. El cuerpo m tiene una velocidad constante de 1.80 m/s hacia la derecha del volante. Encontrar a velocidad y aceleración absolutas de m; cuando: γ = 0.46 m, si R = 0.9 m 2.- Un automóvil viaja hacia el sur sobre un W  WT Z meridiano, su rapidez relativa a la tierra es N de 20 m/s, incrementando a razón de 0,5 m/ s2. Se muestra un marco que está fijo en el 0.7 m m R espacio, cuyo origen es el centro de la tierra O’ X 45° y el eje Z es el polar de rotación (R = 6400 Y Y km). En el instante mostrado: a) Elija un sistema de referencia rotante sobre la X tierra (grafique) y halle los vectores posición, velocidad y aceleración en ese sistema. S b) En el marco mostrado (sistema fijo) encuentre los vectores, posición, velocidad y aceleración. Considere WT ≈ 7 x 10-5 rad/s. 3.- Un automóvil, formula 1, con una rapidez constante Z' W de 288 km/h, se mueve sobre la superficie terrestre según se muestra . • Si O' X' Y' Z' es un sistema coordenado fijo en el V0 espacio y OXYZ es un sistema coordenado fijo a λ tierra. Determine para el instante mostrado: Y’ a) La posición del móvil en el sistema O' X' Y' b) La velocidad del móvil en el sistema O' X' Y' Z' c) La aceleración del móvil en el sistema O' X' Y' Z' λ = 37° X' Nota : Elija (grafique) el sistema OXYZ. 4.- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con rapidez V0 en un punto cuya latitud es λ. Calcule la desviación debida a la aceleración de coriolis ¿En qué dirección se desvía? x’ Y’ P w α 0,1 m 1 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 0’ X’
  • 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II 5.- La partícula P se desliza en la ranura recta de un disco que esta girando: i) Calcule la velocidad y aceleración absolutas de la partícula en el instante α = 4 rad/s2, x’ = -0,2 m, x' = 2m/s (x’ mostrado, si: w = 5 rad/s,  2 aumentando), y ' = 1 m/s ( x' aumentando). ii) Calcule y grafique en el x  sistema primado los vectores aceleración de coriolis y centrípeta. 6.- En la figura mostrada el coeficiente de rozamiento cinético entre los bloques de 2kg y 3 kg es de 0,3. La superficie horizontal y 2 kg las poleas no tienen rozamiento. Si las 3 kg masas se liberan a partir del reposo: i) Dibuje los diagramas de cuerpo libre para cada bloque. 10 kg ii) Calcule la aceleración de cada bloque. iii) Determine las tensiones de las cuerdas. 7.- Un cuerpo de masa m ≡ 10 kg se mueve sobre un plano rugoso (µk ≡ 0,2) como se indica en la figura. m0 La longitud de la cuerda es 1 m y su masa m0 ≡ 0,2 m kg. Considerar la cuerda indeformable. Si la mano aplica a la cuerda una fuerza de 122 N, determinar: a) Como modificamos el problema para que el sistema (m + m 0) este en equilibrio? b) Realizar los DCL de m y m0 c) ¿Qué fuerza le aplica la cuerda a m?  Un cuerpo de masa m ≡ 1 kg se mueve sobre un 8.- F plano inclinado (µk ≡ 0,2 , µs ≡ 0,3) mediante una m fuerza F(t) ≡ (2t2 + 5) N, como se muestra en la figura, determinar: 30°  0 a) r (t), v (t) y a (t), si en t ≡ 0 se encontraba en 0 con rapidez cero. b) Evaluar a) para t ≡ 10 s. Un cuerpo de masa m ≡ 1 kg se mueve en el espacio bajo la acción de la 9.- fuerza resultante cuyas componentes tangencial y normal son: FT ≡ {( 2t + 4 ) i + 2t ˆ + 3k } N y FN ≡ ( FT x k ) N . Si en t ≡ 0 pasaba por el origen    ˆ ˆ ˆ j  de coordenadas con v (0) ≡ 10 i m/s, determinar: ˆ a) Los vectores velocidad y aceleración b) En que tiempos el cuerpo será acelerado exclusivamente en Z? µ 10.- Se tiene el sistema mostrado en la figura ¿Entre m2  que limites debe estar comprendida la fuerza F de F tal manera que m1 y m2 no deslicen? En posición estática m1 esta cayendo. M m1 µ 2 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo
  • 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II 11.- La Fig. muestra el módulo de la fuerza F en F(N) función del tiempo, que tiene dirección paralela desplazamiento de una masa de 35 kg. que parte de reposo y se mueve en una superficie 500 Parábola horizontal. Halle: a) La fricción en función del tiempo para 0 ≤ t ≤ 1 0 30s. 20 Grafique. t(s) F b) El instante que alcanza la velocidad máxima 12.- El bloque A tiene una masa de 25 kg y el bloque B de 35 kg 15 kg. Los coeficientes de fricción entre todas las superficies de contacto son µs = 0.20 y µk = 0.15. θ = 25° y el módulo de la fuerza P Sabiendo que aplicada al bloque A es de 250 N, determínese. P A a) La aceleración del bloque A. B θ b) La tensión en el cable. 13.- Un barco de masa total m se ancla a la mitad de un río que fluye con una velocidad constante v0. El componente horizontal de la fuerza ejercida sobre el barco por la cadena del ancla es T 0. Si la cadena T0 del ancla se rompe repentinamente, determínese el tiempo necesario para que el barco alcance una velocidad igual a 1/2 v0. Supóngase que la resistencia friccional del agua es proporcional a la V velocidad del barco relativa al agua. D 14.- El sistema mostrado está en reposo 600 mm C 8 kg cuando se aplica una fuerza de 150 N al collarín B. B a) Si la fuerza actúa durante todo el 15 0N movimiento, determínese la velocidad del collarín B al golpear al soporte C. b) ¿Después de qué distancia d se deberá eliminar la fuerza de 150 N si el collarín debe llegar al soporte C con velocidad cero? 3 kg A 15.- La esfera C y el bloque A se están moviendo hacia la izquierda con una velocidad v0 cuando el V0 bloque es frenado repentinamente por la pared. Determínese la mínima velocidad v0 para la cual A la esfera C oscilará en un circulo completo alrededor del pivote B. 256 mm 3 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo B C
  • 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II a) Si BC es una barra delgada de mas despreciable b) Si BC es una cuerda.  16.- Dos masas m ≡ 20 kg y M ≡ 30 kg pueden F moverse sobre una superficie lisa, como lo indica la figura, mediante la fuerza F(t) ≡ 4 (t + 1) N. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre las masas son, respectivamente 45° 0,3 y 0,25. Determine: a) Los DCL de las masas en todo tiempo. m b) Las aceleraciones de las masas en todo M tiempo. 0 x 17.- Una partícula de masa m se mueve en el plano XY, partiendo del eje X moviéndose en trayectoria circular de radio R con velocidad angular inicial   ˆ ˆ w0 = w0 k . Si en todo instante la fuerza tangencial sobre m es F = −mke −θ T , donde T es el vector tangente unitario, k es constante positiva y θ es la ˆ posición angular. Halle: a) La aceleración angular cuando ha recorrido media vuelta. b) La velocidad angular en función de la posición angular θ. c) En caso de existir, aquellos ángulos para los cuales la fuerza sobre m sólo tiene componente tangencial. 18.- Dos bloques A y B, usados por una varilla de 9.1 kg B masa despreciable, están hacia debajo de un 0.3 plano inclinado, como se indica en la Fig. El 13.6 kg coeficiente de fricción cinética entre A y el plano A 0.2 0,2 y entre el B y el plano 0,3. Encontrar la α tensión en la barra conecta y la aceleración de los bloques. F 19.- Una partícula de masa m que esta inicialmente en reposo en el origen, queda sujeta a la acción de una fuerza cuya magnitud es linealmente decreciente en el intervalo de tiempo 0 ≤ t, ≤ t1, F0 y nula para t > t1, como se indica en la Fig. Si la fuerza actúa en la dirección del eje X, encontrar 0 t1 2 t1 t la rapidez y el desplazamiento de la partícula cuando t = 2t1. 20.- Una partícula desliza hacia abajo en un plano vertical a partir de la cima de una esfera lisa, de radio r (Fig.) Determinar el punto donde la partícula deja la esfera y la velocidad de la partícula en ese instante. 21.- Un bloque B de 250 gr cabe dentro de una cavidad V A hecha en el plano vertical con una velocidad 0.9 m B O. 4 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo θ
  • 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II constante de manera que v = 3m/s. Se sabe que el resorte ejerce sobre el bloque B una fuerza de módulo P = 1.5 N y despreciando el efecto de rozamiento, determínese el intervalo de valores de θ para el cual el bloque B está en contacto con la cara de la cavidad mas cercana al eje de rotación 0. 22.- Una canica de peso W esta usando una cuerda inextensible de peso despreciable y esta girando sobre W • una horizontal lisa. La cuerda pasa a través de un agujero en la mesa y se esta jalando hacia abajo por medio de un fuerza P. En el instante considerando, el agujero esta a una distancia r0 de la canica y la cuerda se esta moviendo hacia abajo con una velocidad constante v0. Encontrar la tensión de la cuerda. 23.- Una curva de radio r esta resaltada un ángulo θ, y un auto de masa m toma la curva a la velocidad v. Suponiendo que el auto no puede volcarse, encuentre (a) la fuerza normal que ejerce el pavimento sobre las rueda, (b) la fuerza total de fricción que actúa perpendicularmente a los neumáticos, (c) la velocidad máxima a la que el auto puede tomas la curva sin deslizarse hacia fuera y (d) la fuerza normal que prevalece a esta velocidad máxima. 24.- Una partícula P se mueve con una aceleración Y relativa constante a0, de A hacia B, en la A W ranura AB de un disco giratorio. En el instante h considerado, la partícula esta en B con una rapidez v0 a lo largo de AB, y el disco esta R X girando con una rapidez angular w en el 0 sentido de las manecillas del reloj (figura). Z Determinar la velocidad y la aceleración B absolutas de P, si: h = 3 m, R = 5 m, v0 = 10 m/s, a0 = 3 m/s2 , w = 15 rad/s. v0 a0 25.- El sistema mostrado en la figura, parte del m0 reposo. Hallar la aceleración del bloque m 1. µ=0 Suponga que m2 > m1. µ=0 m1 m2 26.- Sobre el sistema que se muestra en la figura actúa una fuerza F(t) ≡ (2 t + 2) N. Las masas m1 ≡ 20 kg y m2 ≡ 5 kg tienen coeficientes m2 F m1 5 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 0 x
  • 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II estático µs ≡ 0,4 y , cinético µk ≡ 0,2. El sistema parte del origen con rapidez cero, determinar: a) Los DCL de m1 y m2 para todo t b) Las aceleraciones de m1 y m2 en todo t 27.- Un cuerpo de masa ≡ 1 kg que se mueve sobre una curva C en el espacio, experimenta una fuerza tangencial que e proporcional a su posición sobre C (coordenadas sobre la curva). Considerar que en t ≡ Os parte del origen de coordenadas con rapidez 2 m/s y en t ≡ 2s ha recorrido sobre la curva 10 m, alcanzando una rapidez de 8 m/s. Determine la fuerza sobre el cuerpo en la posición sobre la curva s ≡ 20 m, si experimentalmente se observa que en esta posición l radio de curvatura R, es de 1 m. 28.- Un cuerpo de masa m ≡ 1 kg se mueve en el espacio bajo la acción de la fuerza resultante cuyas componentes tangencial y normal son: { } ( )    Fr ≡ ( 2t + 4 ) i + 3k N y FN ≡ Fr x k N . Si en t ≡ 0 pasaba por el origen de ˆ ˆ ˆ  ˆ coordenadas con v (0) ≡ 10 i m/s, determinar: a) Los vectores velocidad y aceleración b) En que tiempos el cuerpo será acelerado exclusivamente en Z? T4 29.- Un río fluye hacia el Sur a una velocidad de 9 km/h en un lugar cuya latitud es 45° . Encontrar la aceleración   de coriolis definida como -2 w x v . ¿En qué lado de la rivera del río, presionará el agua produciendo mayor erosión? T2 T3 T1 30.- Una masa M se mantiene fija mediante una fuerza aplicada F y un sistema de poleas, como se ilustra en T5 M la figura. Las poleas tienen masa y fricción despreciables. Encuentre a) la tensión en cada sección F de la cuerda T1 , T2, T3 , T4 , T5 y b) la magnitud de F . F 31.- Dos bloques de masas m1 = 4.00 kg y m2 = 3.00 kg se m1 ponen en contacto entre sí, sobre una superficie m2 horizontal sin fricción, como se muestra en la Fig. Se aplica una fuerza F = 9.00 N Encontrar: a) la aceleración del sistema b) la fuerza de contacto entre los dos bloques. 32.- La masa m1 sobre una mesa horizontal sin fricción se conecta a la masa m 2 por m1 medio de una polea sin masa P1 y una polea fija sin masa P2 como muestra la figura. a) Si a1 y a2 son las magnitudes m2 de las aceleraciones de m1 y m2 6 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo
  • 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II respectivamente , ¿Cuál es la relación entre estas aceleraciones? b) Determine expresiones para las tensiones en las cuerdas. 33.- Un bloque de fondo plano y rugoso, se mueve con una rapidez inicial de 73 m/seg sobre una 7.3 m/seg µ superficie horizontal del mismo material. Dado que el bloque, determinar el coeficiente de fricción µ para ese material. 12.8 m 34.- La varilla vertical AB de la figura adjunta rota con  velocidad angular W . Una cuerda liviana inextensible de  W longitud l tiene un extremo fijo al punto “O” de la varilla y en el punto “P” de la cuerda se coloca una masa m. Hallar la tensión en la cuerda y el ángulo θ que forma la A 0 cuerda con la vertical, cuando el sistema alcanza el estado indicado por la figura, usando: θ i) Un SRI con Z según AB P ii) Un SRNI con Z según AB y que rote con el sistema m B 35.- Los coeficientes de rozamiento de los bloques A y C con las superficies horizontales son: µs ≡ 0,24 y µk ≡ 0,20. Si mA = 5 kg, mB = 10 kg y mC ≡ 10 kg, determine: i) Los DCL de los bloques ii) La tensión en la cuerda iii) La aceleración de cada bloque iv) Es posible resolver el problema si la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de A y C: f A ≡ k X A y f C ≡ k X C ( k < 0) ?   mA mC  36.- Se aplica una fuerza constante F a un embolo de masa M para moverlo en un cilindro lleno de aceite. Conforme el embolo se mueve, el aceite puede fluir a través de orificios practicados en él (ver Fig.), • ejerciendo una fuerza resistiva que es proporcional  a la velocidad del embolo. Hallar X ≡ X(t), la F distancia recorrida por el embolo, si en t ≡ 0: mB X(0) = 0 y X ( 0) ≡ 0 .  37.- Un bloque de masa m está sobre el plano m inclinado de masa M. El sistema está inicialmente en reposo. Haga el DCL para el bloque y el plano M inclinado separadamente y plantee la segunda ley de Newton para cada cuerpo, en los casos: θ 7 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo
  • 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007-II i) Superficies lisas ii) Superficies no lisas F(N) 38.- La función que proporciona la fuerza F que actúa sobre un cuerpo de masa m = 1 kg y que inicialmente está en reposo tiene por gráfica la 10 Fig. mostrada, donde F está dada en Newtons y t en segundos. Si la fuerza actúa en la dirección 0 del eje X y considerando que el móvil parte de 10 x = 0: 20 t(s) a) Determine la posición del cuerpo cuando t = 20 s. -4 b) Determine el tiempo necesario para que el cuerpo regrese al estado de reposo. 39.- Encuentre la ecuación de movimiento de una partícula con relación a un observador en la superficie terrestre, en la aproximación w2 = 0 y cerca de la superficie terrestre. 40.- Pruebe que las ecuaciones de movimiento del problema anterior en las componentes x, y, z son:  = 2 w senλ y  = −2( wsenλ x + cos λ z )  = − g 0 + 2w cos λ y donde λ: latitud. x y z   41.- Un objeto de masa m inicialmente en reposo, se deja caer a la tierra desde una atura pequeña en comparación con el radio terrestre. Demostrar que después de un tiempo t el objeto se reflecta hacia el este de la vertical en 1 cantidad igual a wgt 3 cosλ. 3 42.- Deducir la ecuación de movimiento de un péndulo simple, teniendo en cuenta la rotación de la tierra. 43.- Se lanza un proyectil desde Lima (latitud λ = 12°) con velocidad inicial v0 formando un ángulo α° respecto al plano horizontal (tangente a la tierra) y con u ángulo θ° respecto al eje x: Hallar: a) Aceleración de coriolis (vector) b) Aceleración centrípeta (vector) 8 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo