EQUIVALENCIAS NOTABLES EXPOSITOR: RAFAEL MORA

Bicondicional y equivalencia Es falso que ‘si y sólo si p, entonces q’ signifique lo mismo que ‘p es equivalente a q’. Cuando decimos ‘si y sólo si p, entonces q’, estamos usando el lenguaje para decir que lo enunciado por p es condición necesaria y suficiente de lo enunciado por q. Cuando decimos ‘p es equivalente a q’ estamos utilizando el metalenguaje para expresar una relación entre nombres de enunciados y no entre enunciados mismos. Lo más correcto sería afirmar que ‘‘p’ es equivalente a ‘q’’. Cuando decimos ‘si y sólo si p, entonces q’, estamos diciendo que sólo en el caso de que se dé lo enunciado por el antecedente se dará lo enunciado por el consecuente. Cuando decimos ‘‘p’ es equivalente a ‘q’’ estamos diciendo que los valores de verdad del antecedente son en todos los casos los mismos que los del consecuente.

Es falso que ‘si y sólo si p, entonces q’ signifique lo mismo que ‘p es equivalente a q’.

Cuando decimos ‘si y sólo si p, entonces q’, estamos usando el lenguaje para decir que lo enunciado por p es condición necesaria y suficiente de lo enunciado por q.

Cuando decimos ‘p es equivalente a q’ estamos utilizando el metalenguaje para expresar una relación entre nombres de enunciados y no entre enunciados mismos. Lo más correcto sería afirmar que ‘‘p’ es equivalente a ‘q’’.

Cuando decimos ‘si y sólo si p, entonces q’, estamos diciendo que sólo en el caso de que se dé lo enunciado por el antecedente se dará lo enunciado por el consecuente.

Cuando decimos ‘‘p’ es equivalente a ‘q’’ estamos diciendo que los valores de verdad del antecedente son en todos los casos los mismos que los del consecuente.

EQUIVALENCIA DE FÓRMULAS Dos fórmulas ‘A’ y ‘B’ son equivalentes si y sólo si sus matrices son iguales; si sus matrices son diferentes, de dice que ‘A’ y ‘B’ no son equivalentes. Notación: A ↔ B: se lee ‘A’ es equivalente a ‘B’ A ↮ B: se lee ‘A’ no es equivalente a ‘B’ Ejemplos: [(p&q)-> r] ↔ [p -> (q->r)] (Exportación) (p->q) ↔ [p ↔ (p & q)] (Expansión 1) (p->q) ↔ [p ↔ (p & q)] (Expansión 2)

Dos fórmulas ‘A’ y ‘B’ son equivalentes si y sólo si sus matrices son iguales; si sus matrices son diferentes, de dice que ‘A’ y ‘B’ no son equivalentes. Notación:

A ↔ B: se lee ‘A’ es equivalente a ‘B’

A ↮ B: se lee ‘A’ no es equivalente a ‘B’

Ejemplos:

[(p&q)-> r] ↔ [p -> (q->r)] (Exportación)

(p->q) ↔ [p ↔ (p & q)] (Expansión 1)

(p->q) ↔ [p ↔ (p & q)] (Expansión 2)

ANÁLISIS MATRICIAL [(p&q)-> r] ↔ [p -> (q->r)] p q r [(p & q) -> r] ↔ [(p -> (q -> r)] V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F V F V V V V V V V F F F V F V V V V F V V F V V V F V V F V F F V F V F V F F F V F V V V F V V F F F F V F V F V V

[(p&q)-> r] ↔ [p -> (q->r)]

PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS La tradición aristotélica ha considerado como fundamentales a los principios lógicos otorgándoles máxima jerarquía. Dichos principios pueden transformarse a fórmulas cuya evaluación de sus matrices lógicas nos revele que se trata de una tautología. Esto significa que no podemos privilegiar sólo a estas tautologías por sobre otras igual de válidas. Dichos principios son los siguientes: 1. Principio de Identidad: Toda proposición es verdadera si y solo si ella misma es verdadera Forma Lógica: p ↔ p 2. Principio de No-contradicción: No es posible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Forma Lógica: ~(p&~p) 3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposición es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posibilidad intermedia. Forma Lógica: p  ~p

La tradición aristotélica ha considerado como fundamentales a los principios lógicos otorgándoles máxima jerarquía. Dichos principios pueden transformarse a fórmulas cuya evaluación de sus matrices lógicas nos revele que se trata de una tautología. Esto significa que no podemos privilegiar sólo a estas tautologías por sobre otras igual de válidas. Dichos principios son los siguientes:

1. Principio de Identidad: Toda proposición es verdadera si y solo si ella misma es verdadera

Forma Lógica: p ↔ p

2. Principio de No-contradicción: No es posible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo.

Forma Lógica: ~(p&~p)

3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposición es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posibilidad intermedia.

Forma Lógica: p  ~p

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -I- Conmutación (p&q) ↔ (q&p) (p  q) ↔ (q  p) (p↔q) ↔ (q↔p) (p ↮ q) ↔ (p ↮ q) Asociación p&(q&r) ↔ (p&q)&r p  (q  r) ↔ (p  q)  r p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r Distribución (p&q)  r ↔ (p  r) & (q  r) (p  q) & r ↔ (p&r)  (q&r) p->(q&r) ↔(p->q)&(q->p) p->(q  r) ↔(p->q)  (q->p)

Conmutación

(p&q) ↔ (q&p)

(p  q) ↔ (q  p)

(p↔q) ↔ (q↔p)

(p ↮ q) ↔ (p ↮ q)

Asociación

p&(q&r) ↔ (p&q)&r

p  (q  r) ↔ (p  q)  r

p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r

Distribución

(p&q)  r ↔ (p  r) & (q  r)

(p  q) & r ↔ (p&r)  (q&r)

p->(q&r) ↔(p->q)&(q->p)

p->(q  r) ↔(p->q)  (q->p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -II- Doble Negación ~~p↔p ~~~p ↔~p Teoremas de De Morgan ~(p&q) ↔ ~p  ~q ~(p  q) ↔ ~p&~q p&q ↔ ~(~p  ~q) p  q ↔ ~(~p&~q) Idempotencia p  p ↔ p p&p ↔ p Def. del condicional p->q ↔ ~p  q p->q ↔ ~(p&~q)

Doble Negación

~~p↔p

~~~p ↔~p

Teoremas de De Morgan

~(p&q) ↔ ~p  ~q

~(p  q) ↔ ~p&~q

p&q ↔ ~(~p  ~q)

p  q ↔ ~(~p&~q)

Idempotencia

p  p ↔ p

p&p ↔ p

Def. del condicional

p->q ↔ ~p  q

p->q ↔ ~(p&~q)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -III- Def. del bicondicional p ↔ q ↔ p->q & q->p p↔q ↔ [ (p&q)  (~p&~q) ] Def. de la disyunción fuerte p ↮ q ↔ ~ (p ↔ q) p ↮ q ↔ (p  q) & (~p  ~q) Absorción p & (p  q) ↔ p p  (p & q) ↔ p p  (~p & q) ↔ p  q p & (~p  q) ↔ p&q Transposición p->q ↔ ~q->~p p ↔ q ↔ (~ q ↔ ~p)

Def. del bicondicional

p ↔ q ↔ p->q & q->p

p↔q ↔ [ (p&q)  (~p&~q) ]

Def. de la disyunción fuerte

p ↮ q ↔ ~ (p ↔ q)

p ↮ q ↔ (p  q) & (~p  ~q)

Absorción

p & (p  q) ↔ p

p  (p & q) ↔ p

p  (~p & q) ↔ p  q

p & (~p  q) ↔ p&q

Transposición

p->q ↔ ~q->~p

p ↔ q ↔ (~ q ↔ ~p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -IV- Consideremos que T es una fórmula tautológica, F es una fórmula contradictoria y C es una fórmula consistente capaz de ser verdadera o falsa. T & C ↔ C T  C ↔ T T & T ↔ T T  T ↔ T F & C ↔ F F  C ↔ C F & F ↔ F F  F ↔ F

Consideremos que T es una fórmula tautológica, F es una fórmula contradictoria y C es una fórmula consistente capaz de ser verdadera o falsa.

T & C ↔ C

T  C ↔ T

T & T ↔ T

T  T ↔ T

F & C ↔ F

F  C ↔ C

F & F ↔ F

F  F ↔ F

EJERCICIOS Demostrar que las siguientes equivalencias son tautológicas: [(p->q) -> (r->s)] ↔ ~(~s->~r)->~(~q->~p) [(p->q)->r] ↔ [(p  r) & (~q  r)] [(p&q)  r]  s ↔ ~[~(p&q)->r] -> s ~(p&q&r) ↔ ~p  ~q  ~r p->[~p->(q->r)] ↔ (p&~p&q)->r

Demostrar que las siguientes equivalencias son tautológicas:

[(p->q) -> (r->s)] ↔ ~(~s->~r)->~(~q->~p)

[(p->q)->r] ↔ [(p  r) & (~q  r)]

[(p&q)  r]  s ↔ ~[~(p&q)->r] -> s

~(p&q&r) ↔ ~p  ~q  ~r

p->[~p->(q->r)] ↔ (p&~p&q)->r

BIBLIOGRAFÍA GARCÍA ZÁRATE, Óscar. (2007) Lógica. Lima: UNMSM. LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos. PISCOYA, Luis. (1997) Lógica. Lima: UNMSM. DEAÑO, A. (2001) Introducción a la Lógica Formal. Madrid: Alianza Editorial.

GARCÍA ZÁRATE, Óscar. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.

LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos.

PISCOYA, Luis. (1997) Lógica. Lima: UNMSM.

DEAÑO, A. (2001) Introducción a la Lógica Formal. Madrid: Alianza Editorial.