UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE
MOHAMMED BOUDIAF D’ORAN
FACULTE DE GENIE-MECANIQUE
Département de Génie-Maritime
Thèse de DOCTORAT D’ETAT
Spécialité : Energétique
INVESTIGATION NUMERIQUE DU
REFROIDISSEMENT PAR FILM APPLIQUE AUX
AUBES DES TURBINES A GAZ
Présenté et soutenue publiquement par :
Azzi Abbès
Chargé de cours au Département de Génie-Maritime, Faculté de Génie-Mécanique, USTO
Devant le jury composé de :
Président : Pr. A. Youcefi USTO, Oran, Algérie
Examinateurs :
Pr. F. Leboeuf ECL, France
Pr. S. Benmanssour USTHB, Alger, Algérie
Dr O. Imine USTO, Oran, Algérie
Invité : Dr A. Liazid ENSET, Oran, Algérie
Directeurs de thèse :
Pr. M. Abidat USTO, Oran, Algérie
Dr D. Lakehal IET, ETH-Zurich, Suisse.
Octobre 2001

A la mémoire de mon père
A ma mère
A mes frères et sœurs
A ma femme et mes enfants
A ma famille
\"Nobody believes in the results of the numerical simulation except the researcher himself. But
everybody believes in the experimental data except the researcher himself.\"
\"If you want a new idea, read an old book\"
extrait du \"net\"

Remerciements
Je tiens à exprimer ma gratitude à mon premier directeur de thèse Monsieur Abidat Miloud
qui m’a accompagné durant toutes ces années de travail. J’aimerais le remercier pour son
soutien et ses conseils. Je remercie également mon second directeur de thèse Monsieur
Bassam Ali Jubran pour m’avoir orienté dans ce thème et m’avoir facilité le contact avec
d’autres laboratoires. Je tiens aussi à remercier profondément mon troisième directeur de
thèse Monsieur Lakehal Djamel avec qui j’ai beaucoup appris et grâce à qui mes efforts ont
pu aboutir. Je lui suis reconnaissant pour le suivi de mon travail, et pour sa grande
compétence qui m'a donné le goût de la recherche. Mes remerciements vont aussi à Monsieur
G. Theodoridis de l’Université de Thessaloniki pour son soutien et ses conseils durant mes
séjours à l’Université de Thessaloniki en Grèce.
D’autre part, je tiens à remercier le Professeur Habil N. Moussiopoulos directeur du
''Laboratory of Heat and Environmental Engineering'' de l’Université Aristotle Thessaloniki
en Grèce, et le Professeur G. Yadigaroglu, directeur du ''Nuclear Engineering Laboratory'' de
l’école polytechnique fédérale de Zurich en Suisse pour leurs soutiens matériels durant mes
séjours dans leurs laboratoires. Mes remerciements vont aussi à Monsieur Philipe Ligrani
(Utah University, USA) et Monsieur W. Haslinger (University of Darmstadt, Germany) pour
m’avoir permis d’utiliser leurs résultats expérimentaux pour la validation de mes calculs.
Un remerciement chaleureux est adressé à Monsieur Liazid Abdelkrim, Directeur du
Laboratoire des Technologies de l'Environnement (ENSET, Oran), pour m’avoir aidé à
structurer ce rapport et transformé avec patience mon script en un rapport clair et lisible.
Je tiens également à remercier Monsieur Francis Leboeuf pour l'intérêt qu'il a bien voulu
porter à ce travail en acceptant de l'examiner et d'être membre de jury de cette thèse.
Mes vifs remerciements s'adressent également à Monsieur A. Youcefi, Monsieur S.
Benmanssour, Monsieur O. Imine, pour avoir accepté d'être membres du jury de cette thèse.
Toute ma reconnaissance à tous mes amis et mes collègues de travail.

Résumé
Cette thèse constitue une étude numérique pour la simulation du refroidissement par film en
trois dimensions. Le code utilisé est basé sur la méthode des volumes finis pour la résolution
des équations moyennes de Reynolds ainsi que l’équation de l’énergie pour la prédiction du
champ thermique. Le modèle utilise une grille de calcul multi-blocs, de type structuré,
curvilinaire épousant parfaitement la géométrie complexe du domaine de calcul. Un
algorithme de couplage pression-vitesse de type SIMPLEC à maillage non entrelacé a été
utilisé pour la conduite des calculs itératifs. Les termes convectifs ont été approximés par des
schémas de convection de haute précision à limiteurs et appliqués à toutes les équations de
l'écoulement, y compris celles du modèle de turbulence. Les essais conduits sur une série de
cas de tests incluant l’écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles, la
cavité dont la face haute est entraînée (lid driven case), et le cas d'une marche descendante ont
permis de valider l'approche globale avec des résultats de la simulation numérique directe
(DNS).
Les configurations de refroidissement par film étudiées sont :
• Une plaque plane munie d’une ou de deux rangées d'orifices d'injection inclinées suivant
des angles simples ou composés, l'intérieur des trous d'injection étant inclus dans le
domaine de calcul.
• Une plaque plane munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle
simple, (Le domaine de calcul couvre aussi bien le trou d'injection que le \"plenum\").
• Une aube symétrique munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle
simple de part et d'autre du bord d'attaque.
Le premier but de cette thèse est d'étudier l'influence d'un certain nombre de paramètres sur la
distribution de l'efficacité de refroidissement. Cette première partie a été faite en utilisant un
modèle k − ε à haut nombre de Reynolds combiné à une approche loi de paroi. Les résultats
montrent que, hormis une sous-estimation de la dispersion latérale du jet, le modèle basé sur
la version standard du modèle k − ε reflète assez fidèlement les phénomènes physiques
accompagnants le refroidissement par film.
Le second but de cette étude est de comparer les performances de deux nouvelles classes de
modèle de turbulence, récemment développées, à prédire convenablement la physique de ce
type d'écoulement et qui consistent en une modification anisotropique de la

viscosité/diffusivité turbulente et une série de modèles algébriques explicites développés
jusqu'aux termes cubiques.
Dans La première classe de modèles on s'est basé sur des résultats d’un calcul DNS pour
améliorer le comportement du modèle Standard k − ε en lui affectant des coefficients de
transport anisotropiques. Cette technique est employée conjointement avec une approche bi-
couche résolvant la sous couche visqueuse par un model à une seule équation. Ce dernier est
lui-même basé sur des distributions de fluctuations normales tirées directement des calculs
DNS. Le second groupe de modèles est connu sous le nom de EASM. Des variantes
quadratiques et cubiques ont été testées. Ces modèles sont eux aussi utilisés conjointement
avec l'approche bi-couche (DNS) citée plus haut. La comparaison des distributions de
l'efficacité de refroidissement par film calculées par ces modèles aux mesures expérimentales
a montré que seule l'approche anisotropique de la viscosité/diffusivité peut reproduire
fidèlement la dispersion latérale du champ de température en réduisant l'intensité des deux
vortex contre rotatifs. Les modèles EASM quant à eux n’ont pas permis une nette conclusion
concernant leur supériorité (ou non) sur les modèles à deux équations.
Mots clefs : Refroidissement par film - Méthode des volumes finis - Modélisation de la
turbulence - EASM modèles - Approche \"bi-couche\" - Méthode multi-zones - Schémas de
convection à limiteurs.

Abstract
Typical film-cooling configurations are numerically investigated using a three-dimensional
finite volume method. The computational method uses arbitrary curvilinear, body-fitted,
multi-block, structured, non-staggered grids for implicitly solving the incompressible
averaged Navier-Stokes equations. An appropriate momentum-interpolation technique is used
to prevent pressure-field oscillations. The pressure-velocity coupling is achieved using the
SIMPLEC algorithm. The accuracy of the code is improved by using a second order-bounded
scheme for convection terms for all equations including the k and ε turbulence model
equations. The code is calibrated through applications to a wide range of flows such a 2D
channel flow, a lid driven cavity and a back step flow and the results are compared to DNS
data (Direct Numerical Simulation).
The thesis compares measured and calculated temperature and velocity fields obtained with
various classes of recently developed turbulence models. The film cooling configurations
studied are respectively:
• Simple and compound angle injections from one and two staggered rows of holes on a flat
plate (the holes are included in the computational domain).
• Simple angle injection from one row of holes on a flat plate (the hole and the plenum are
both included in the computational domain).
• Simple angle injection from one row of holes placed on each side near the leading edge of
a symmetrical turbine-blade.
The first aim of the thesis is to use a standard k − ε model with wall function in order to
investigate the physics of the flow. The influence of the number of rows and the injection
angles as well as the blowing ratio on the film cooling protection has been investigated and
compared with experimental data. Comparison between predicted and experimental results
indicates that the trends of the streamwise mean velocity and thermal fields are well predicted
in most cases. However, the spanwise-averaged film cooling effectiveness is globally
underpredicted by the model.
The second aim is to investigate the capability of some new trends in modelling jets-in-cross
flow with relevance to film cooling of turbine blades. The aim is to compare two classes of
recently developed turbulence models with respect to their predictive performance in
reproducing flow physics. The study focuses on anisotropic eddy-viscosity/diffusivity models

and explicit algebraic stress models up to cubic fragments of strain and vorticity tensors. The
first class of model is DNS-based two-layer approach transcending the conventional k − ε
model by means of a non-isotropic representation of the turbulent transport coefficients; this
is employed in connection with the near-wall one-equation model resolving the semi-viscous
sublayer only. The aspects of this new strategy are based on known DNS statistics of channel
flows and boundary layers. The other class of turbulence models is quadratic and cubic
explicit algebraic stress models rigorously derived from second-moment closure models. The
stress-strain relations are solved in the context of a two layer strategy resolving the near-wall
region by means of a non-linear one-equation model; the outer core flow is treated by use of
the two-equation model. The models are tested for the case of film cooling of a flat plate.
Comparison of the calculated and measured wall-temperature distributions shows that only
the anisotropoic eddy viscosity/diffusivity model can correctly predict the spanwise spreading
of the temperature field and reduces the strength of the secondary vortices. Unlike in the
shear-flow case, the non-linear stress models were of a mixing quality in film cooling
calculations.
Keywords : Film cooling - Volume finite method - Turbulence modelling - EASM models -
Two-layer model - Multi-bloc method - Bounded convective schemes.

Nomenclature
Lettres latines
cp, chaleur spécifique à pression constante
D , diamètre du trou d'injection
g, accélération de la pesanteur
h, coefficient d'échange thermique par convection
I, taux de quantité de mouvement, I = ρ cU c2 ρ ∞U ∞
2
J , jacobien de la transformation
k, énergie cinétique turbulente
M, taux d'injection, ρcU c ρ∞U ∞
p, pression statique
Pr, nombre de Prandtl laminaire
Prt , nombre de Prandtl turbulent
Pij , production mécanique de la turbulence
p D , espacement entre deux rangées de trous
q, densité du flux thermique
ReD, nombre de Reynolds basé sur le diamètre du trou, Re D = U ∞ D ν ∞
S, espacement entre deux trous dans une même rangée
s D , espacement latéral de deux trous sur la même rangée
T, température
t, temps
2
Tu, intensité de turbulence, Tu = u ' U ∞
2
ui , composante de la vitesse dans la direction xi
x1, 2,3 , coordonnées curvilignes non-orthogonales, ≡ ξ ,η , ζ
y1, 2,3 , coordonnées cartésiennes, ≡ x, y, z
Lettres grecques
δ , épaisseur de la couche limite
δ ij , symbole de Kronecker.
ε , taux de dissipation de l'énergie cinétique
Γ , coefficient de diffusion.

η, efficacité de refroidissement adiabatique
ρ , masse volumique
ν , viscosité cinématique moléculaire
ν t , viscosité cinématique turbulente
ν eff , viscosité cinématique effective
µ , viscosité dynamique moléculaire
µ t , viscosité dynamique turbulente
µ eff , viscosité dynamique effective
λ , conductivité thermique du fluide
α , diffusivité thermique
Π ij , terme de corrélation pression-vitesse
τ ij , tenseur des contraintes de Reynolds
S ij , tenseur des taux de déformation
κ , constante de Von Karman
Ω ij , tenseur des taux de rotation
φ , variable associée à une quantité scalaire
Indices
‘, composante fluctuante
∞, condition à l'infini, à l'entrée de l'écoulement principal.
c, condition à l'injection
w, condition sur la paroi solide.
, valeur moyenne
eff, effective

Sommaire
Introduction générale ........................................................................................................1
Chapitre I : Aspect du refroidissement par film.............................................................3
1.1. Introduction ......................................................................................................................3
1.2. Procédés de refroidissement .............................................................................................6
1.2.1. Refroidissement par convection.................................................................................7
1.2.2. Refroidissement par jet (impact)................................................................................7
1.2.3. Refroidissement par film ...........................................................................................8
1.2.4. Refroidissement par transpiration à travers une paroi poreuse..................................8
1.3. Processus de refroidissement par film ..............................................................................9
1.4. Paramètres qui influencent le processus de refroidissement ..........................................10
1.4.1. Influence du taux d’injection .................................................................................10
1.4.2. Influence du gradient de pression longitudinal........................................................11
1.4.3. Influence du nombre de Reynolds ...........................................................................12
1.4.4. Influence du rapport des masses volumiques...........................................................12
1.4.5. Influence de l’épaisseur de la couche limite ............................................................12
1.4.6. Influence de l’intensité de turbulence .....................................................................12
1.4.7. Influence des paramètres géométriques de l’injection.............................................13
1.5. Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant................................................15
1.6. Etude thermique du refroidissement par film .................................................................16
1.7. Analyse théorique du refroidissement par film ..............................................................17
1.7.1. Trajectoire du jet ......................................................................................................17
1.7.2. Prédiction de l’efficacité du refroidissement ...........................................................20
1.8. Etude numérique du refroidissement par film ................................................................24
Chapitre II : Modélisation de la turbulence ..................................................................25
2.1. Introduction ....................................................................................................................25
2.2. Description de la turbulence .........................................................................................25
2.3. Equations de transport ....................................................................................................27
2.3.1. Equations de Navier-Stokes.....................................................................................27
2.3.2. Equation de l’énergie ...............................................................................................28
2.4. Equations de la turbulence..............................................................................................29
2.4.1. Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence ..........................................29
2.4.2. Equations moyennes de Navier Stokes ....................................................................29
2.4.3. Equation moyenne de l’énergie de Reynolds...........................................................30
2.4.4. Equations de transport des tensions turbulentes de Reynolds .................................30
2.4.5. Equation de transport de la dissipation de la turbulence..........................................34
2.4.6. Equation de transport de l’énergie cinétique turbulente ..........................................36
2.5. Modèles de turbulence à deux équations........................................................................36
2.5.1. Modèle de turbulence standard k − ε ......................................................................37
2.5.2. Approche ‘loi de paroi ’...........................................................................................37
2.5.3. Approche à bas nombre de Reynolds.......................................................................39
2.5.4. Approche '' bi-couche''. ............................................................................................40
2.6. Faiblesses des modèles de viscosité turbulentes (EVM) ................................................42
2.7. Modèles des tensions turbulentes algébriques ASM ......................................................43
2.8. Modèle anisotropique de Bergeles .................................................................................46
2.9. Modèle anisotropique bi-couche ....................................................................................46
2.10. Récapitulation des modèles utilisés lors de cette étude..................................................47

Chapitre III : Présentation de la méthode numérique .................................................51
3.1. Transformation des équations en coordonnées généralisées (body fitted coordinates)..51
3.2. Méthode des volumes finis .............................................................................................54
3.3. Schémas de convection...................................................................................................57
3.3.1. Schémas de haute précisions....................................................................................58
3.3.2. Schémas de haute précision à limiteurs ...................................................................59
3.4. Traitement du gradient de pression ................................................................................62
3.5. Interpolation de Rhie et Chow........................................................................................64
3.6. Couplage vitesse-pression (SIMPLE et SIMPLEC).......................................................65
3.7. Introduction de la sous-relaxation ..................................................................................68
3.8. Résolution du système d’équations algébriques.............................................................68
3.9. Techniques de génération du maillage ...........................................................................70
3.10. Description de la version améliorée de FAST-3D........................................................74
Chapitre IV : Validation de l'outil de calcul .................................................................77
4.1. Introduction ......................................................................................................................77
4.2. Erreurs de discrétisations..................................................................................................78
4.2.1. Etude de la qualité du maillage ...................................................................................78
4.2.2. Etude des schémas de convection ...............................................................................83
4.3. Erreurs de modélisation....................................................................................................89
4.3.1. Simulation de l’écoulement turbulent pleinement développé entre deux plaques
parallèles ...............................................................................................................................89
4.3.2. Simulation de l’écoulement turbulent sur une Marche descendante (turbulent
backward facing step flow) ...................................................................................................94
Chapitre V : Simulation 3D du refroidissement par film ..........................................101
5.1. Injection sur une plaque plane .........................................................................................101
5.1.1. Motivations ...............................................................................................................101
5.1.2. Présentation du problème ..........................................................................................101
5.1.3. Domaine de calcul.....................................................................................................103
5.1.4. Conditions aux limites...............................................................................................104
5.1.5. Grilles de calcul.........................................................................................................105
5.1.6. Analyse des résultats .................................................................................................107
5.2. Injection sur une plaque plane avec plenum....................................................................117
5.2.1. Motivations ...............................................................................................................117
5.2.2. Présentation du problème ..........................................................................................117
5.2.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................117
5.2.4. Analyse des Résultats................................................................................................119
5.3. Refroidissement d'une aube de turbine symétrique .........................................................126
5.3.1. Motivations ...............................................................................................................126
5.3.2. Présentation du problème ..........................................................................................126
5.3.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................126
5.3.4. Analyse des Résultats................................................................................................128
5.4. Conclusion des trois simulations .....................................................................................129
Conclusions et perspectives...........................................................................................135
ANNEXE A : Développement des équations de transport.....................................................141
ANNEXE B : Développement des termes des tensions de turbulences des modèles EASM 144
Références.......................................................................................................................149

Introduction générale
Les performances des turbines à gaz et notamment leur efficacité thermique n'ont pas cessé de
subir de spectaculaires progrès depuis la seconde guerre mondiale. En aéronautique, les
applications militaires ont vu augmenter le rapport puissance/poids alors que dans l'aviation
civile, la consommation du combustible a sensiblement diminué. La technologie
turbomachine est aussi importante dans les systèmes de production d'énergie, si bien que la
dualité rendement des turbines/efficacité de refroidissement des aubes s'impose de la même
manière qu'en aéronautique. En effet, les progrès enregistrés dans la conception des turbines à
gaz sont liés directement à l’augmentation de la température maximale de fonctionnement du
cycle thermique de la machine. Néanmoins, en augmentant la température à l'entrée des
turbines, les aubes de celle-ci (leur bord d'attaque en particulier) s'exposent à des charges
thermiques pouvant les détériorer. Celles appartenants aux premiers étages (HP) sont
exposées aux plus hautes températures en plus d'un champ thermique à caractère fortement
non homogène. Ce dernier favorise l'apparition des points chauds et provoque la détérioration
prématurée des aubes. Ces aubes de turbines doivent donc être protégées par un moyen qui
n'affecterait (ou faiblement) ni le rendement de la turbine (en terme de pertes) ni ces autres
caractéristiques (en terme de charges thermiques). On comprend alors pourquoi le choix du
moyen de refroidissement des aubes est au cœur du processus de design.
L’objectif de ce travail est de contribuer à la compréhension des phénomènes complexes qui
accompagnent l’un des procédés les plus employés dans les turbines à gaz, à savoir le
refroidissement par film. L'étude est orientée vers la contribution au développement des
méthodes de calcul relatives à ce sujet et de tester quelques nouvelles approches de
modélisation de la turbulence, pour différentes configurations (de la plus simple à la plus
proche d'une turbine réelle) et pour différentes conditions d'écoulement. Les écoulements dans
les turbomachines sont généralement fortement turbulents, et en tant que tels ils nécessitent
une attention particulière. Par ailleurs, le choix de la méthode de refroidissement peut altérer
la structure de l'écoulement moyen, de sorte que le modèle de turbulence soit plus approprie à
un type de refroidissement qu'à un autre. Le but est de dégager des conclusions pratiques
quant à l'utilité d'un modèle complexe par rapport à un autre plus simple, mais conçu pour
prendre en charge les mécanismes physiques les plus pertinents à ce type d'écoulement.
Ainsi, nous avons consacré le premier chapitre pour expliquer les motivations et les aspects
théoriques relatifs au refroidissement par film. Une description exhaustive des différents

Introduction générale
paramètres géométriques, hydromécaniques et thermodynamiques qui influencent directement
l’efficacité de refroidissement est également présentée. Ensuite, nous avons effectué un
aperçu des différentes corrélations utilisées dans l’étude théorique de ce phénomène. Enfin, ce
chapitre est clôturé par un exposé rapide des études numériques précédentes.
La description du modèle mathématique et plus spécialement des modèles de turbulence
utilisés dans cette étude sont exposés avec détail dans le second chapitre.
Le troisième chapitre décrit la méthode numérique utilisée. Tous les aspects relatifs à la
méthode des volumes finis sont exposés en détail, en particulier la génération des grilles de
calcul, la discrétisation des équations du problème, les schémas de convection, l’algorithme et
la méthode de résolution des équations algébriques finales.
Au quatrième chapitre nous avons validé et calibré le code de calcul par les résultats DNS
(Direct Numerical Simulation), sur une série d'applications (cas-tests), incluant l’écoulement
turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles, la cavité ouverte de type \"lid
driven cavity\" et l'écoulement turbulent sur une marche descendante.
Les applications numériques conduites dans le cadre de cette étude sont présentées en trois
parties distinctes au cinquième chapitre. La première application concerne trois
configurations géométriques d’une plaque tridimensionnelle, auxquelles on a appliqué le
modèle de turbulence standard k − ε et la loi de paroi. Le but étant de ressortir les
caractéristiques globales de cet écoulement. La seconde application concerne aussi une plaque
où l'on a inclus le \"plenum\" dans le domaine de calcul. L’approche bi-couche à bas nombre de
Reynolds ainsi que les modèles EASM (Explicit Algebraic Stress Models) et la modification
anisotropique de Bergeles sont toutes appliquées à ce cas. Enfin, une aube réelle avec
injection près du bord d’attaque a fait l’objet de la troisième application.
L’étude est couronnée par une synthèse des conclusions les plus marquantes de ce travail, tout
en proposant des axes de recherches pour l'avenir.
2

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
Chapitre I
Le refroidissement par film
1.1 Introduction
La turbine à gaz nécessite une étude approfondie de son comportement thermique, du fait
qu’elle est particulièrement exposée aux gaz chauds en provenance de la chambre de
combustion. L’analyse du transfert de chaleur par convection d’une aube de turbine à gaz peut
être scindée en trois grandes parties (Lakshminarayana, 1996) : le transfert interne pour une
aube stationnaire, le transfert interne pour une aube en rotation et le transfert de chaleur
externe. Cette thèse envisage l’étude de cette dernière partie.
Le transfert de chaleur externe concerne les échanges thermiques entre les gaz chauds
émanant de la chambre de combustion et la surface externe de l’aube, avec ou sans
refroidissement. Cet échange se fait principalement par convection forcée. Il est très complexe
car il dépend de plusieurs facteurs dont la nature de la couche limite (laminaire ou turbulente)
qui se développe sur le profil de l’aube, le point de stagnation, le gradient de pression imposé,
la séparation et le ré-attachement de la couche limite, l’intensité et la structure de la
turbulence de l’écoulement en amont, la compressibilité, l’interaction des ondes de chocs avec
la couche limite pour les écoulements supersoniques ainsi que les effets induits par la nature
tri dimensionnelle de l’écoulement. Les paramètres de l’aube tels que la courbure, l’aspect
géométrique (hauteur/corde), l’incidence par rapport à l’écoulement en amont, la rotation, la
rugosité de la surface et le rayon de courbure du bord d’attaque jouent également un rôle non
négligeable sur le transfert thermique.
Les figures (I-1) et (I-2) représentent la structure générale de l’écoulement et la densité du
flux thermique autour d’une aube.
On peut en dégager les constatations suivantes :
• En raison de la faible épaisseur de la couche limite sur le bord d’attaque, un fort taux de
transfert de chaleur s’y développe. L’échange thermique autour de cette partie de l’aube
peut être étudié théoriquement en adoptant différentes corrélations établies pour le cas
d’un écoulement en stagnation sur un cylindre solide exposé à un écoulement transversal
(Lakshminarayana, 1996, page : 649).
• Sur l’extrados de l’aube, on remarque le développement d’une zone de transition
laminaire/turbulente conduisant à la formation d’une couche limite turbulente. Le taux de
3

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
transfert de chaleur a naturellement tendance à augmenter dans la zone de transition et
diminuer un peu plus loin.
• Sur l’intrados, la couche limite est généralement laminaire, transitionnel ou relaminarisé.
Figure I-1 : Détails du taux du transfert de chaleur autour d’une aube de turbine,
(Adapté de Daniels et Schultz, 1982, par Lakshminarayana, 1996)
L’intensité de turbulence de l’écoulement en amont de l’aube, la rugosité de sa surface
d’échange et sa courbure affectent directement la zone de transition et par conséquent le taux
de transfert de chaleur. L’augmentation de l’intensité de la turbulence contribue à un
développement prématuré de cette zone. Pour de forts taux de turbulence en amont de l’aube
la zone de transition se développe près de son bord d’attaque de façon prématurée.
La courbure de l’aube et la rotation influent simultanément sur la stabilité de la couche limite.
Une surface convexe empêche la génération de la turbulence alors qu’une surface concave
augmente la génération de l’énergie turbulente. La conséquence est que le transfert de chaleur
augmente dans la zone d’une surface concave (intrados) et diminue dans la partie convexe
(extrados).
4

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
Figure I-2 : évolution du coefficient du transfert de chaleur.
(Nealy et al., 1984 ; NASA CR 168015, d’après Lakshminarayana, 1996)
Le gradient de pression étouffe ou favorise le développement de la couche limite suivant qu’il
est favorable ou inverse. Il influe directement sur le gradient de la vitesse et de la température
sur la paroi, sur la séparation et le ré-attachement de la couche limite. Une nette augmentation
du taux de transfert de chaleur existe près du point de ré-attachement juste après la zone de
recirculation. Cette dernière est normalement une zone à faible échange thermique. Par
ailleurs, un gradient de pression favorable stabilise la couche limite, retarde et rallonge la
zone de transition. L’écoulement dans la zone du bord d’attaque est caractérisé par une faible
épaisseur de la couche limite si elle se développe, une forte accélération de l’écoulement et un
fort effet de la courbature de la surface d’échange. Souvent, ceci conduit à un décollement
local de la couche limite. Comme annoncé plus haut, les études théoriques et analytiques du
point de stagnation d’un cylindre exposé à un écoulement transversal sont applicables sur
cette zone de l’aube. Le taux de transfert de chaleur dans cette partie de l’aube est très
sensible à l’intensité de turbulence de l’écoulement incident.
Dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996 et Schlichting, 1979), plus de détails
sont développés sur l’influence de ces différents paramètres sur le taux de transfert de chaleur.
A la différence du transfert de chaleur interne entre l’aube et le fluide refroidissant qui peut
être facilement prédit par des corrélations plus ou moins simples, le transfert de chaleur
externe est difficilement prévisible. La difficulté vient du fait de l’incapacité de localiser les
5

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
zones de transition et de recirculation ainsi que les effets de la turbulence. Ce qui fait que la
prédiction du transfert de chaleur externe est orientée aujourd’hui vers les méthodes
expérimentales et récemment vers les méthodes numériques basées sur la solution des
équations de transport gouvernant l’écoulement moyen et la turbulence.
En réalité, le problème est plus complexe puisqu’on est généralement amené à augmenter la
température maximale du cycle thermique de la turbine à gaz afin d’améliorer les
performances et le rendement de la machine. Il est bien établi que l’augmentation de la
température maximale du cycle thermodynamique d’une turbine à gaz augmente
considérablement ses performances.
Si on conjugue cet accroissement de température au caractère fortement non uniforme du
champ thermique décrit ci dessus, il devient indispensable d’adopter un procédé de
refroidissement judicieusement optimisé afin d’assurer une répartition de température aussi
uniforme que possible de telle façon que l’efficacité globale ne soit pas moins altérée.
L’adoption d’un procédé de refroidissement est indispensable si on veut garder une durée de
vie acceptable de la turbine, puisqu’elle est directement liée à la charge thermique. En effet, le
refroidissement des surfaces en contact avec les gaz chauds permet d’augmenter la
température maximale du cycle tout en gardant la température des surfaces dans des limites
acceptables. D’après Lakshminarayana, (1996), les progrès réalisés dans le domaine du
refroidissement ainsi que la sélection des alliages métalliques utilisés ont permis un gain
considérable au niveau du cycle thermodynamique des turbines à gaz (750°K en l’espace
d’une vingtaine d’années). Il faut aussi souligner que la température d’une chambre de
combustion d’un turboréacteur peut atteindre 1600°K dans le domaine du transport civil, et
jusqu’à 1800°K dans le secteur militaire.
1.2 Procédés de refroidissement
Les différentes techniques de refroidissement utilisées pour les aubes des turbines à gaz sont
présentées sur la figure (I-3).
Bien évidement, l’air constitue le fluide refroidissant employé dans le domaine de l’aviation.
Ce sera aussi la seule variante considérée dans cette étude. L’air de refroidissement est
généralement soutiré à la sortie du compresseur introduisant ainsi, suivant le cas, soit une
diminution du rendement de la machine, soit une augmentation de la consommation en
combustible. Il est ainsi requis des ingénieurs d’optimiser la quantité d’air extraite de sorte
6

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
que la performance globale du turboréacteur n’en serait que légèrement affectée, tout en
gagnant sur la protection des aubes par le biais du refroidissement.
Figure I-3 : Différentes techniques de refroidissement des aubes de turbines à gaz.
(Lakshminarayana, 1996)
Les travaux de Lakshminarayana (1996), classent les procédés de refroidissement en deux
grandes catégories : les refroidissements internes et les refroidissements externes. La première
catégorie englobe la convection forcée et le jet interne. Ces procédés sont moins efficaces que
le refroidissement externe et sont par conséquents utilisés pour les turbines dont la
température amont varie entre 1300 et 1600°K. Ceci est en partie imputé au fait que les
caractéristiques thermiques de l’air sont assez limitées. Le refroidissement externe, tel que le
refroidissement par film et par transpiration à travers des surfaces poreuses, sont plus
efficaces et sont par conséquent réservés pour des températures amont dépassant 1600°K.
1.2.1 Refroidissement par convection
Le refroidissement par convection est la plus simple technique à réaliser. C’est d’ailleurs le
premier procédé utilisé pour les premières générations des turbines à gaz. Le fluide
refroidissant passe à plusieurs reprises à travers des conduites judicieusement aménagées dans
le corps des aubes et du rotor. Il est ensuite éjecté par des trous positionnés sur les bords de
fuites des aubes. Le refroidissement se fait alors par convection forcée.
1.2.2 Refroidissement par impact
Ce procédé est une amélioration du refroidissement par convection, figure (I-3). Il est réalisé
par un aménagement spécial à l’intérieur des aubes de telle manière à créer des jets internes
7

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
permettant un refroidissement plus efficace que par convection. Cette technique est
généralement utilisée dans la zone du bord d’attaque de l’aube, une région particulièrement
vulnérable du fait qu’elle est exposée directement aux gaz à hautes températures.
1.2.3 Refroidissement par film
Dans ce cas, l’air de refroidissement est injecté directement dans l’espace inter-aube, figure
(I-3). La fine couche de fluide froid ainsi formée sur la surface de l’aube joue le rôle d’un
tampon protégeant la surface du fluide chaud. L’injection se fait à travers une ou plusieurs
rangées de trous reliant le passage interne de l’air froid à la surface extérieure. Plusieurs
configurations peuvent être envisagées : (i) forme et disposition variables des orifices
d’injections, (ii) l’espacement entre trous, rangées et leurs angles d’injection par rapport à
l’axe de l’aube.
1.2.4 Refroidissement par transpiration
Pour ce fait, on utilise un matériau poreux permettant à l’air de refroidissement de s’infiltrer à
travers les parois à refroidir, figure (I-3). Ce procédé permet entre autre une distribution plus
homogène du fluide refroidissant sur la surface que par le biais du refroidissement par film,
d’où une meilleure efficacité de refroidissement. Néanmoins, à cause des difficultés de
construction, ce procédé reste réservé à des applications très restreintes.
Une analyse des différents procédés de refroidissement introduits plus haut nous amène à dire
que le principe le plus simple est sans doute celui effectué par convection, surtout que les
autres procédés fragilisent l’aube et que les orifices sont susceptibles de provoquer des
vibrations de la turbine. Des corps étrangers peuvent aussi obturer ces trous d’où une
influence sur le comportement thermique de la turbine. Ces corps étrangers peuvent être dus à
l’oxydation ou transportés par l’air lui-même. Néanmoins, les trois premiers procédés sont
largement utilisés dans les turbines modernes et sont souvent utilisés conjointement comme le
montre la figure (I-4).
8

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
Figure I-4 : Exemple typique d’une aube à haute pression utilisant conjointement le refroidissement
par film, par jet interne et par convection, (Elovic, 1976).
1.3 Refroidissement par film
Ce procédé consiste à soutirer un certain débit d’air froid du compresseur et l’injecter dans
l’espace inter-aube à travers des orifices judicieusement aménagés sur le corps de l’aube à
refroidir. Le jet d’air froid entre en interaction directe avec l’écoulement principal. Le but à
atteindre est de former une fine couche d’air qui joue le rôle d’un tampon protégeant la
surface du fluide à haute température. L’interaction directe entre le jet et l’écoulement
principal est très compliquée et donne lieu à une structure de l’écoulement en aval fortement
tridimensionnelle, turbulente, avec présence de tourbillons secondaires. L’avantage de ce
procédé ne peut être perceptible que si le débit d’air utilisé pour le refroidissement est
soigneusement optimisé. Il est nécessaire que ce débit soit minimisé tout en gardant un bon
niveau de refroidissement des aubes de la turbine à gaz. Il faut noter que chaque débit d’air
soutiré pour le refroidissement représente une augmentation de consommation en combustible
qu’il faut estimer et donc optimiser. En plus du souci économique, l’injection du fluide
refroidissant dans l’espace inter-aube doit être bien contrôlée de sorte à ne pas perturber
l’aérodynamique du passage inter-aube et détériorer les performances de la turbine en
augmentant les pertes de charges. Le processus de refroidissement par film est à ce jour un
des sujets les plus complexes en turbomachines, d’où l’intérêt croissant des chercheurs à
comprendre et améliorer ce procédé.
9

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
A la différence du refroidissement par convection, le refroidissement par film induit une
interaction directe entre l'air froid et les gaz chauds. Une forte interaction peut aussi exister
entre les jets voisins d’une même rangée ou de rangées différentes. Cette interaction influe
directement sur la structure de la couche limite qui se développe sur l’aube.
La complexité du phénomène est due aux aspects suivants :
• La température, la masse volumique et la vitesse du fluide refroidissant sont différentes de
celles de l’écoulement principal.
• L'interaction des jets avec l’écoulement principal influe directement sur la turbulence de
l’écoulement aval, par exemple en augmentant considérablement la production et la
dissipation de l’énergie cinétique turbulente près du point d’injection.
• La configuration géométrique est souvent assez complexe. La forme de l’aube et la
rugosité de surface interviennent directement sur la distribution de la pression autour de
l’aube.
• Le nombre de rangées de trous utilisés, le diamètre des trous d’injection, l’espace entre les
rangées ainsi que celui entre les trous, l’angle d’inclinaison des trous d’injection, leurs
positions relatives (carré ou en quinconce).
• Le plus souvent, le caractère non stationnaire de l’écoulement principal ainsi que l’effet
des forces de Coriolis dues à la rotation de l’aube augmentent la complexité du processus.
• L’injection du fluide refroidissant provoque une transition laminaire/turbulente
prématurée de l’écoulement, avec possibilité de relaminarisation sous certaines
circonstances.
1.4 Paramètres qui influencent le processus de refroidissement
On trouve dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996, et Hartnett, 1985), une
revue exhaustive des différents paramètres qui agissent sur le processus du refroidissement
par film. Ces paramètres peuvent être classés en deux grandes catégories : les paramètres
thermo- et hydro-dynamiques de l’écoulement principal et du jet, ainsi que les paramètres
géométriques des orifices d’injection (diamètre, angles d’inclinaisons, nombre de rangées,
etc…)
10

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
1.4.1 Influence du taux d’injection
L’écoulement principal est caractérisé par l’indice “∞”, alors que celui du fluide refroidissant
par l’indice “c”. Le rapport M = ρ cU c ρ ∞U ∞ , est appelé taux d’injection, alors que
I = ρ cU c2 ρ ∞U ∞ , représente le taux de la quantité de mouvement. Des chercheurs comme
2
Ligrani et al. (1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), Jubran et al. (1997
et 1999) ont pu montrer que l’efficacité du refroidissement augmente avec l'accroissement du
taux d’injection jusqu’à une certaine limite au-delà de laquelle elle diminue. Ce phénomène
appelé \"Blow-off\" est expliqué par le fait qu’à faible taux d’injection, le jet est pratiquement
plaqué contre la surface à protéger et remplit donc son rôle de façon correcte alors qu’à fort
taux d’injection, le jet pénètre profondément dans l’écoulement principal en se décollant de la
surface. Cette dernière est alors directement exposée aux gaz chauds d’où une mauvaise
protection. Pour une configuration à une seule rangée de trous inclinés à 35° et un rapport de
masse volumique avoisinant l’unité, la valeur optimale du taux d’injection est de l’ordre de
0.4 à 0.5, (Ligrani et al., 1992, 1994a & 1994b). Pour les configurations de refroidissement bi-
dimensionnelles et dans le cas où le jet resterait attaché à la surface, l’efficacité dépend du
taux d’injection (Demuren et al., 1986a). Cependant, dans le cas où le jet se détacherait de la
surface, le paramètre influençant l’efficacité devient le taux de la quantité de mouvement
(Sinha et al., 1991a). Ce taux est donc directement responsable de la trajectoire que prendra le
jet. Ce résultat a été confirmé par plusieurs études aussi bien expérimentales que numériques
(Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997
et 1999), (Lakehal et al., 1998) et (Theodoridis et al., 2001).
1.4.2 Influence du gradient de pression longitudinal
L’influence du gradient de pression longitudinal sur l’efficacité du refroidissement par film a
été explorée expérimentalement par chercheurs cités par Hartnett (1985). L’étude de
l’influence de ce paramètre est très importante puisque dans l’espace inter-aube, il existe un
gradient de pression favorable sur une première partie du canal, suivi par un gradient inverse
sur la dernière partie. Hartnett (1985) rapporte que certains chercheurs ont détecté une
augmentation de l’efficacité pour un gradient de pression favorable, alors que d’autres ont
exprimé l’effet inverse. Il nous semble que d’autres paramètres interviennent dans le
processus en parallèle avec le gradient de pression, de telle sorte que ce dernier influe
différemment suivant leurs importances. En effet, dans l’étude expérimentale présentée par
11

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
Maiteh et Jubran (1999), il ressort que le gradient de pression influe différemment sur
l’efficacité du refroidissement suivant que le taux d’injection est faible ou important. Pour les
faibles taux d’injection, un faible gradient de pression favorable diminuerait la protection de
la surface, alors qu’un gradient de pression inverse augmenterait l’efficacité latérale moyenne.
Le phénomène inverse est observé pour le cas des grandes valeurs du taux d’injection.
1.4.3 Influence du nombre de Reynolds
Les études rapportées par Hartnett (1985) s’accordent sur le fait qu’il n'y a qu’une très faible
influence du nombre de Reynolds ( Re D = U ∞ D ν ∞ ) sur l’efficacité du refroidissement par
film. Néanmoins, l'étude menée récemment par Haslinger (1997), a montré que
l'augmentation du nombre de Reynolds permet de maintenir le corps du jet plus proche de la
surface à refroidir, ce qui ce traduit directement par une augmentation de l'efficacité de
refroidissement.
1.4.4 Influence du rapport des masses volumiques
L’influence de ce paramètre est très importante, puisqu’il conditionne le taux de quantité de
mouvement I qui est directement responsable de la trajectoire du jet et par conséquent sur son
décollement ou son attachement à la paroi. En pratique, l’air injecté est plus dense que
l’écoulement principal, le rapport est de l’ordre de 2. Dans de telles conditions, la valeur
optimale du taux d’injection est supérieure à 0.5 (valeur pour ρ c ρ ∞ = 1 ), d’où une meilleure
efficacité de refroidissement. Pour le même taux d’injection, un gaz plus dense a un faible
taux de quantité de mouvement, donc sa pénétration est plus faible et son efficacité de
refroidissement est meilleure.
1.4.5 Influence de l’épaisseur de la couche limite
L’augmentation de l’épaisseur de la couche limite turbulente a pour effet de diminuer la
distribution de l’efficacité du refroidissement sur la ligne centrale qui passe par le centre du
trou d’injection. Ceci est expliqué par le fait que l’augmentation de l’épaisseur de la couche
limite diminue le module de la vitesse près de la paroi ce qui augmente l’épaisseur moyenne
de la couche limite thermique. Par conséquent, la valeur de l’efficacité sur la ligne centrale
diminue. Par contre, l’efficacité augmente sur la ligne médiane entre deux trous d’une même
rangée, puisqu’une couche limite plus épaisse permet une meilleure dispersion latérale du jet.
12

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
La compensation entre ces deux effets fait que l’efficacité moyenne latérale est finalement
peu influencée par ce paramètre.
1.4.6 Influence de l’intensité de turbulence
Hartnett (1985) présente quelques études qui montrent une légère diminution de l’efficacité de
2
refroidissement avec l’augmentation de l’intensité de turbulence ( Tu = u ' U ∞ ). La même
2
conclusion a été trouvée expérimentalement par Maiteh et Jubran (1999). Ce résultat
s’explique par le fait que l’augmentation du mélange entre le jet froid et les gaz chauds
participe à la dilution graduelle du jet et par conséquent diminue l’effet protecteur du jet sur la
surface.
1.4.7 Influence des paramètres géométriques de l’injection
Le comportement d’un jet isolé, confiné à un écoulement transversal a été largement étudié
aussi bien expérimentalement que numériquement. Il découle de ces études que suivant le
taux d’injection du jet, il se produit un décollement de la couche limite juste en aval du point
d’injection. Une zone de très haut niveau de turbulence est immédiatement crée dans cette
partie de l’écoulement. Le jet se comporte comme un corps solide flexible à structure
fortement tridimensionnelle. En amont du jet, l’écoulement est freiné comme s’il s’abattait
contre une paroi solide (impingement). Une zone de basse pression se crée immédiatement en
aval du jet. Cette dépression est directement responsable de la déviation (courbure) du jet dans
la direction de l’écoulement principal.
L’écoulement aux environs du jet se caractérise par un ensemble de vortex d’intensité et
d’importance différente en forme d’un fer à cheval appelé ‘horseshoe vortice’ (Andreopoulos,
1982). Sous l’effet de deux vortex longitudinaux tournant en sens inverse l’un par rapport à
l’autre (counter rotating vortices), la section droite du jet prend une forme rappelant celle
d’un rein (kidney shape). Ces deux vortex ont l’effet néfaste de ramener le fluide chaud de
l’écoulement principal vers la paroi plane ce qui va à l’encontre du but souhaité. Juste après le
point d’injection, il se développe un sillage tridimensionnel très complexe. Dans cette région,
la vitesse longitudinale est faible et la zone du sillage augmente proportionnellement avec le
taux d’injection. La chute de pression dans cette région cause un écoulement inverse ramenant
le fluide vers le plan de symétrie. En augmentant la vitesse du jet, cet effet devient de plus en
13

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
plus intense et prend la forme d’un jet contre une paroi. Cet effet est ensuite responsable du
décollement du sillage de la surface. Pour tous les taux d‘injection, il existe une couche de
cisaillement au-dessus de la région du sillage, où la vitesse longitudinale subit un changement
très rapide (zone de très forte intensité de turbulence). En se déplaçant dans la direction de
l’écoulement principal le jet se dissipe graduellement pour laisser se rétablir une structure
normale de couche limite sur une plaque plane (zone pleinement développée).
L’angle d’injection a une très grande influence sur la structure de l’écoulement près du point
d’injection. Un jet perpendiculaire perturbe plus intensément la structure de l’écoulement et
en particulier la taille des structures vorticales qui, dans ce cas sont plus grosses que celles
induites par un jet incliné. Différentes études (Sinha et al., 1991a) ont montré que la
trajectoire du jet est liée au taux de quantité de mouvement cité plus haut. Une méthode très
simple pour éviter le phénomène du \"Blow-off\" est donc de diminuer la vitesse du jet au point
d’injection sans toutefois diminuer le débit d’injection. Ceci peut être réalisé par
l’élargissement de la section de l’orifice d’injection par une sorte de chanfrein local. Cette
technique est connue sous le nom de \"Shaped holes\". Elle améliore considérablement
l’efficacité du refroidissement puisqu’elle permet d’utiliser un fort débit refroidissant tout en
évitant le décollement du jet. Ce paramètre est cité ici à titre indicatif, il ne sera pas traité dans
cette étude.
En pratique, pour le refroidissement des aubes de turbine à gaz, les orifices d’injection sont
disposés en rangée. Puisque les jets voisins entrent en interaction mutuelle, cette disposition
géométrique introduit un changement profond du comportement individuel de chaque jet.
Sinha et al. (1991a) ont observé que le jet issu d’une rangée est plus plaqué contre la paroi
solide qu’un jet isolé. Dans le cas de plusieurs rangées de trous, la structure de l’écoulement
devient de plus en plus complexe. Des études comme celles de Sinha et al. (1991b) montrent
en effet que la couche limite au voisinage de la deuxième rangée est plus épaisse que celle de
la première rangée. Une conséquence directe de cette structure se traduit par un décollement
plus significatif du jet issu de la deuxième rangée par rapport à celui de la première rangée.
Par ailleurs, il a été observé aussi qu’un jet incliné dans la direction longitudinale (angle
simple) produit une efficacité de refroidissement meilleure que celle produite par une
injection perpendiculaire du fait que l’inclinaison favorise l’adhésion du jet sur la plaque et
minimise l’effet du décollement de celui ci. Ce type de configuration est appelé trou a
inclinaison simple. Une inclinaison composée, constituée d’une inclinaison transversale
supplémentaire par rapport au plan transversal (angle composé) s’est avérée encore plus
performante, puisqu’elle permet aux différents jets de la même rangé de couvrir une plus
14

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
grande surface de l’aube à refroidir (Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b,
1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997 et 1999), (Lakehal et al., 1998), (Theodoridis et al.,
2001) et (Azzi et al., 1998 et 2001a). L’utilisation de deux rangées de trou en quinconce a
montré une nette amélioration puisqu’elle contribue à minimiser les effets du phénomène
\"Blow-off\". Une configuration à deux rangées de trous produit une meilleure efficacité de
refroidissement comparée à celle d’une seule rangée, pour le même taux d’injection.
L’utilisation d’un arrangement de trous en quinconce est préférable à un arrangement en ligne
puisqu’il permet d’avoir une distribution latérale plus uniforme de l’efficacité de
refroidissement. L’étude faite par Jubran et Maiteh (1999) a la particularité d’expérimenter
deux rangées de trous à inclinaisons différentes. Il en découle qu’une disposition d’une
première rangée à inclinaison simple suivie d’une deuxième rangée à inclinaison composée
procure une meilleure protection de la surface, comparativement aux dispositions classiques
où les deux rangées sont simples ou composées. Il faut toutefois noter que les configurations
expérimentées présentent un espacement inter-trou de deux fois le diamètre seulement.
Récemment, Leylek et Zerkle (1994), Walters et Leylek (1996 et 1997) ont mené plusieurs
études numériques proches aux cas réels des turbines à gaz avec deux rapports
longueur/diamètre du trou d’injection. Ces études ont montré une très grande différence de
comportement suivant que le tube est long ou court. Pour des tubes d’injection assez court,
l’angle d’injection effectif se trouve amplifié et par conséquent le décollement du jet se
manifeste pour des valeurs assez basses du taux d’injection. Plus récemment, Lutum et
Johnson (1999) ont confirmé ces constatations en menant une investigation expérimentale qui
a montré que les plus faibles valeurs de l’efficacité de refroidissement sont enregistrées pour
les plus courts tubes d’injection. Les mêmes constatations ont été enregistrées par l'étude
numérique menée récemment par Azzi, et al. (2001c).
1.5 Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant
Bien que ce thème ne fasse pas partie de notre étude, nous lui consacrons ce paragraphe ne
serait ce que pour marquer son importance lors de la conception des turbines à gaz. Plus de
détails sont fournis dans (Lakshminarayana, 1996). En effet, le jet de refroidissement
provoque un détachement et un rattachement de la couche limite avec création d’une zone de
recirculation. Un tel phénomène provoque des pertes hydro dynamiques majeures. Les
modifications apportées à la couche limite sont liées à plusieurs paramètres, aussi bien
hydrodynamiques que géométriques. Les pertes associées à la position du jet peuvent être
15

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
optimisées à travers la détermination de la distribution de pression, de la transition, et de la
structure de la couche limite. L’un des paramètres les plus important est la position du jet. En
effet, comme le montre la figure (I-5), la position du jet dans l’aube est critique : elle est
souvent contradictoire avec l’optimisation du transfert thermique. Selon cette figure, le jet au
bord d’attaque \"shower head\" et l’injection perpendiculaire à 90° provoque les plus grandes
pertes hydrodynamiques. Ce résultat est dû au fait que ces configurations perturbent
radicalement la structure de la couche limite. Par contre, l’étude menée par Holmes (1985),
rapportée par Lakshminarayana (1996), montre une amélioration apportée par le jet dans le
bord de fuite. C’est pour cette raison que l’air de refroidissement par convection est
généralement évacué à travers une rangée de trous aménagés sur le bord de fuite de l’aube.
Figure I-5 : Influence de la position et de l’inclinaison du jet sur les pertes hydro dynamique dans un
passage inter aube, (Heiser, 1978) (d'après Lakshminarayana (1996).
1.6. Etude thermique du refroidissement par film
La densité du flux thermique échangé par convection entre la paroi solide de l’aube et le
fluide s’écrit :
q0 = h0 (T∞ − Tw ) (I-1)
où h0 est le coefficient de transfert thermique local sans le jet secondaire, Tw est la température
locale de la paroi, et T∞ la température du fluide dans la zone externe non perturbée (bulk). En
présence du film refroidissant, la densité locale du flux thermique s’écrit :
q = h f (T f − Tw ) (I-2)
16

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
où h f est le coefficient de transfert thermique local en présence du film refroidissant, et T f la
température locale du film (mélange entre le jet et l’écoulement principal).
Dans ce qui précède, la détermination de la température du film résultant du mélange entre le
jet froid et les gaz chauds de l’écoulement principal est difficile. Le problème est détourné en
définissant une température adimensionnelle.
T∞ − T f
(I-3)
T∞ − Tc
où Tc est la température du jet froid au point d’injection.
Puisque les différentes températures citées ci-dessus vérifient toujours l’inégalité suivante
Tc < T f < T∞ , le rapport des températures dans la relation (I-3) est toujours inférieur à l’unité.
Pour les faibles nombre de Mach et pour une paroi adiabatique la température de la paroi en
l’absence du film refroidissant vérifie l’égalité suivante :
Taw = T∞ (I-4)
où Taw est appelée la température adiabatique de la paroi. En remplaçant T f par Taw , on
définit une température adimensionnelle appelée efficacité adiabatique du refroidissement par
film. Elle est exprimée par :
T∞ − Taw
η= (I-5)
T∞ − Tc
L’efficacitéη , vérifie bien les conditions aux limites logiques, c’est à dire η = 0 en absence de
refroidissement ( Taw = T∞ ), et η = 1 , près du point d’injection où Taw = Tc .
En pratique, on s’intéresse généralement à la moyenne transversale de l’efficacité de
refroidissement communément définie par :
L
η = ∫ η ( z ) dz
1
(I-6)
L0
où, L est la largeur de la surface à refroidir.
En plus de l’étude de l’efficacité adiabatique du refroidissement par film, l’étude thermique
porte sur la détermination de l’évolution du coefficient de transfert thermique pour voir si le
gain réalisé par la diminution de la température ( T f au lieu de T∞ ) n’est pas annulé par
l’augmentation du taux de transfert thermique étant donnée que généralement h f > h0 .
1.7 Analyse théorique du refroidissement par film
Le but recherché est de proposer des corrélations simples pour prédire quantitativement aussi
bien la trajectoire du jet que la distribution de l’efficacité du refroidissement par film sous
17

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
certaines conditions et cela sans trop perdre de la qualité. Dans ce paragraphe, nous allons
citer quelques-unes de ces corrélations.
1.7.1 Trajectoire du jet
L’étude du refroidissement par film se réduit à celle du jet dans un milieu non confiné.
L’étude théorique d’une telle configuration passe inévitablement par une idéalisation du
processus comme cela est schématisé par la figure (I-6).
Figure I-6 : Jet turbulent dans un écoulement transversal (adaptée de Demuren (1986b).
L’écoulement principal est perturbé par le jet de manière proche que celle d’un cylindre solide
exposé à un écoulement transversal. Les vortex issus du jet transversal sont généralement
compressés par l’écoulement principal. Ces deux vortex longitudinaux, tournants en sens
inverse pénètrent profondément dans l’écoulement global avant de s’estamper graduellement
suivant le taux d’injection de l’écoulement secondaire. Ce phénomène est directement
responsable de la section droite du jet en forme de rein. L’écoulement dans les environs du jet
est fortement turbulent et le jet est entraîné par l’écoulement principal pour lui être
pratiquement aligné, loin du point d’injection. Cependant, la structure du jet caractérisé par la
forme du rein est souvent préservée sur une longue distance en aval du jet. Dans le cas de
l’injection à partir de plusieurs trous disposés en une ou plusieurs rangées, les jets entrent en
interaction mutuelle et la structure devient de plus en plus complexe. La figure (6) montre un
plan de symétrie d’un jet simple perpendiculaire à l’écoulement transversal. On définit l’axe
du jet comme étant la trajectoire de la vitesse maximale à l’intérieur du jet que l’on appelle \"la
trajectoire du jet\". D’après l’étude théorique présentée par Demuren et al. (1986b), on peut
décomposer le jet en trois régions distinctes. La première zone, appelée corps du jet,
18

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
représente la partie non perturbée par l’écoulement principal. Sa longueur est liée directement
au taux d’injection et elle n’est significative que pour les fortes valeurs de ce dernier
(pratiquement, M > 4). Il est à rappeler que pour un jet libre, c’est à dire sans écoulement
transversal, les études expérimentales mentionnent une valeur de la longueur avoisinant 6D
pour cette zone. On peut citer les quelques corrélations empiriques pour l’évaluation de cette
longueur :
l j = 6.2 D −3.3 M
Fan (1967) (I-7)
6.4
lj =
Kamotani et Greber (1974) (I-8)
1 + 4.608 M
Les relations (I-7) et (I-8) sont pratiquement équivalentes pour les fortes valeurs du taux
d’injection, alors qu’elles différent sensiblement pour les faibles valeurs.
La seconde région du jet est celle déviée de la trajectoire caractérisée par une forte courbure
du jet. La troisième et dernière région du jet englobe la partie du jet qui est pratiquement
parallèle à la direction principale de l’écoulement.
Les modèles empiriques de prédiction de la trajectoire d’un jet sont évidemment les plus
simples du point de vue pratique, mais ils ont l’inconvénient d’avoir un domaine de validité
étroit. Ceci est dû au fait que ces modèles sont toujours liés aux conditions expérimentales qui
leurs ont donné naissance. L’un des modèles utilisés pour la prédiction de la trajectoire d’un
jet issu d’un trou circulaire et perpendiculaire à l’écoulement transversal s’écrit (Demuren,
1986b) :
c
⎛x⎞
y
=a Mb⎜ ⎟ (I-9)
⎝D⎠
D
où :
a = 0.75 ÷1.31
b = 0.74 ÷1.0
c = 0.33 ÷ 0.39
La plage d’application de ce type de modèle est : M = 1.4 ÷ 50
Dans cette catégorie, le modèle de Kamotani et Greber (1974) est applicable pour M = 4 ÷10 ,
b = 0.94 , c = 0.36 , a = 0.89 pour un jet issu d’une fente à profil plat, et a = 0.81 pour un jet issu
d’un tube à profil complètement développé. Si le jet est chauffé, sa trajectoire sera affectée
par le rapport des masses volumiques entre l’écoulement principal est celui du jet.
L’expression de la trajectoire prendra ainsi la forme :
0.11
⎛ρ ⎞
0.29
⎛x⎞
y
= 0.73 ⎜ c ⎟ I 0.52 ⎜ ⎟ (I-10)
⎜ρ ⎟
⎝D⎠
⎝ ∞⎠
D
où I est le taux de la quantité de mouvement définit précédemment.
19

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
Pour le cas d’un jet incliné d’un angle θ , on peut citer la corrélation de Shandorov (1957) :
2.55
( )
⎛ y⎞
x y
1 + I −1 cot θ
= I −1 ⎜ ⎟ + (I-11)
⎝D⎠
D D
Cette loi fût construite à partir de l’expérience du jet froid dans un écoulement chaud pour un
taux de quantité de mouvement I variant de 2 à 22, et θ allant de 45° à 90° (Demuren,
1986b).
1.7.2 Prédiction de l’efficacité du refroidissement
Hartnett (1985) présente une revue bibliographique de plusieurs corrélations semi–empiriques
déterminant l’efficacité du refroidissement. Ces formulations, qui sont aussi reprises par
Leontiev, (1999), titulaire du prix Max Jacob1998, se distinguent entre elles par la prise en
compte de plus ou moins de paramètres influençant le refroidissement par film. Il faut
toutefois noter que les corrélations proposées reposent sur un raisonnement bi-dimensionnel
n’incluant que le jet issu d’une fente bi-dimensionnel. Cette configuration dont quelques
variantes sont illustrées sur la figure (I-7), n’est pas souvent utilisée pour le refroidissement
des turbines à gaz en raison des difficultés de constructions.
La configuration la plus attractive est celle de l’injection à travers des rangées de trous
distincts (c’est aussi l’unique configuration explorée dans notre étude). Parmi ces formules
empiriques nous citons :
Librizzi et Cresci, (1964)
1
( )[
η=
] (I-12)
0.329(4.01 + ζ ) − 1
1 + C p∞ C pc
0.8
Kutaeladze et Leontiev, (1963)
1
η=
1 + 0.329(C p∞ C pc )ζ 0.8
(I-13)
Goldstein et Haji-Sheikh, (1967)
1.9 Pr 2 3
η=
1 + 0.329(C p∞ C pc )ζ 0.8
(I-14)
où ζ est le taux d’injection définit par:
−1 4
x ⎛µ ⎞
ζ = c ⎜ c Rec ⎟ (I-15)
⎜µ ⎟
Fs ⎝ ∞ ⎠
où
ρ cU c s ρ cU c
Rec = F=
et (I-16)
µc ρ ∞U ∞
20

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
U c : vitesse moyenne du jet refroidissant
xc : distance du bord de la fente d’injection.
L'équation (I-12) par exemple, tient compte du gradient de pression longitudinal, la
compressibilité et la non isothermalité du fluide, la rugosité de la surface d’échange, et
l’organisation des trous d’injection.
Figure I-7 : Plusieurs configurations de refroidissement par film de type fente,
Hartnett (1985)
Une autre technique, basée également sur l’hypothèse de bi-dimensionnalité, a été proposée
par Brown (1967) :
η = f1 (I ) f 21 ( A) (I-17)
où
f 2 ( A, I ) = Aγ ; γ = f 3 (I ) (I-18)
21

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
⎛ ms ⎞
⎟(Rex )
⎜
0.2
A= ⎝
x⎠
(I-19)
xi
1−
x
où x est la distance mesurée à partir du bord d’attaque de la plaque, xi est la distance jusqu’au
point d’injection. La largeur de la fente “s” utilisée dans l’équation (I-19), est généralement
prise égale à
πD 2
s= (I-20)
4p
1.8 Etude numérique du refroidissement par film
L’objectif de notre travail étant principalement à caractère numérique, tous les aspects relatifs
à cette approche pour le refroidissement par film seront traités avec détail le long des
chapitres qui suivent. Ceci inclu la formulation des équations de transport, la génération du
maillage, l’algorithme de résolution, l’approximation des termes non-linéaires, ainsi que la
modélisation de la turbulence. Notre but est de faire de ce document une référence assez
complète pour la modélisation numérique des écoulements et du transfert de chaleur, sans
toutefois être excessivement longue. Mais avant cela, nous devons rappeler et commenter les
différentes contributions disponibles à ce sujet.
Le transfert par convection forcée peut être traité par la résolution numérique des équations de
Navier-Stokes et l’équation de l’énergie. Plusieurs simplifications peuvent être faites afin de
rendre l’approche numérique plus aisée et adaptée aux capacités de calcul disponibles. Ainsi,
une simplification majeure peut être réalisée en assimilant la courbure de l’aube à une plaque
plane, et en négligeant l’effet de rotation.
En raison de la faible capacité de stockage des premiers calculateurs, les premiers modèles
mathématiques utilisés sont de type parabolique. Ces modèles présentent l’inconvénient d’être
applicable aux situations à faibles taux d’injection, où le jet reste plaqué contre la paroi de la
surface de l’aube. Bergles et al. (1976, 1981) ont proposé un modèle semi-parabolique qui
s’est avéré relativement efficace pour ce type de conditions. Ce modèle basé sur les mêmes
équations paraboliques de la couche limite permet le stockage des variables sur un seul plan,
sauf pour la pression. L’effet de celle-ci est introduit dans les équations de quantité de
mouvement par un processus itératif jusqu’à la convergence. La vitesse de l’écoulement est
maintenue positive ou nulle. De plus, les écoulements de retour ne sont pas captés. Demuren
(1983) a utilisé un modèle complément elliptique limité aux zones proches du point
d’injection et parabolique loin de l’injection. Dans la même stratégie, Shönung et Rodi (1987)
22

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
ont proposé un modèle bi- dimensionnel basé sur le même principe, mais étendu aux
équations de la turbulence. Chaque variable est décomposée en une moyenne d’espace latérale
et une fluctuation (Dans les équations de Reynolds la moyenne est temporelle). L’introduction
d’une telle décomposition dans les équations de Navier Stokes donne naissance à de nouveaux
termes qu’il faut modéliser afin de tenir compte de l’effet tri dimensionnel.
Avec l’essor de l’informatique et l’augmentation de la capacité de stockage des calculateurs
modernes, les modèles mathématiques pour le refroidissement par film sont devenus de plus
en plus complets, utilisant des procédures complètements elliptiques, dans lesquels le
domaine de calcul est étendu à l’intérieur des trous d’injection et parfois au plenum. La
courbure des aubes et les formes des trous d’injection sont fidèlement reproduites, avec de
surcroît des modèles de turbulence plus élaborés (Theodoridis, et al. 2001), (Lakehal, et al.
2001), (Azzi, et al. 2001b). Andreopoulos (1982), a par exemple montré que l’écoulement à
l’intérieur du tube d’injection est largement influencé par l’écoulement principal et que la
spécification des conditions aux limites aux points d’injection sous forme de profil de vitesse
ou autres ne correspondent pas exactement à la réalité. Ainsi, la résolution de l’écoulement à
l’intérieur des tubes d’injection devient nécessaire pour une bonne prédiction numérique.
Leylek et Zerkle (1994), ont montré aussi qu’un bon modèle numérique pour la prédiction du
refroidissement par film doit inclure le plenum situé avant l’entrée du tube d’injection.
L’importance de ce point est plus accentuée pour les cas à faible rapport entre la longueur et
le diamètre des trous d’injection.
L’approximation des termes de convection dans les premiers modèles se limitait à des
schémas de discrétisation de premier ordre (Demuren, 1983) et (Leylek et Zerkle 1994). Plus
récemment des schémas d’ordre supérieur et à limiteur sont systématiquement utilisés pour
l’ensemble des équations de transport, y compris ceux de la turbulence (voir le chapitre II).
Au registre de la modélisation de la turbulence, le modèle à deux équations k − ε est de loin
le modèle le plus utilisé bien qu’il s’est avéré que cette approche présente des faiblesses plus
ou moins importantes, suivant la complexité de l’écoulement. Le principal défaut de ce
modèle est lié à l’approximation de Boussinesq sur laquelle il est basé (hypothèse de viscosité
turbulente). Il est ainsi incapable de capter l’effet anisotrope de la turbulence responsable de
la dispersion latérale du jet. Amer et al. (1992) ont mené une étude comparative entre les
modèles k − ω et k − ε . Leur conclusion était que chaque modèle est mieux adapté que
l’autre, dans des situations différentes. Bergeles (1981) a corrigé avec succès cette défaillance
par un modèle simple, basé sur la multiplication des composantes latérales du tenseur de
Reynolds par un coefficient déduit des mesures expérimentales. Lakehal et al. (2001) et Azzi
23

CHAPITRE I. Le refroidissement par film
& Lakehal (2001b), ont récemment utilisé un modèle de type bi-couche à bas nombre de
Reynolds tout en adaptant la modification de Bergeles par le biais des résultats DNS. Le
modèle aide à capter plus de détails associés au champ de température. Les mêmes
constatations sont obtenues de l’étude menée par Ferguson et al. (1998) utilisant un autre type
de modèle bi-couche. Les investigations menées par le groupe de Leylek, utilisant certaines
variantes du modèle RSM (Reynolds Stress Models) ont montré que ces modèles ne sont pas
plus performants que ceux du premier ordre.
Il ressort des études numériques disponibles à ce jour que les modèles basés sur l'hypothèse
de la viscosité turbulente (Eddy Viscosity Models) appliqués suivant l'approche loi de paroi,
ne sont pas adaptés pour les configurations du refroidissement par film. En particulier la
dispersion latérale du jet est sous estimée, ce qui conduit directement à une sous estimation de
l'efficacité latérale moyenne sur la paroi solide. Cette réalité a poussé le groupe de Rodi
travaillant sur ce domaine (Lakehal, et al., 2001; Theodoridis et al., 2001) a opter pour une
modification anisotropique des termes du tenseur de Reynolds appliquée en combinaison avec
une technique bi-couche à bas nombre de Reynolds. Les facteurs de multiplication ont été
inspirés directement des calculs DNS.
24

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
Chapitre II
Modélisation de la turbulence
2.1 Introduction
L'étude de la turbulence est une science interdisciplinaire à large domaine d’application. On
peut citer à titre d'exemple : le comportement de l’aile d’un avion ou d’une aube de
turbomachine, la pulvérisation d’un combustible dans une chambre de combustion ou le jet
d’un réacteur d’avion ainsi que les différents types de jets aussi bien naturels qu’industriels.
Du coté des applications relatives à l'étude de l'environnement on peut citer : la fumée sortant
d’une cheminée d’usine, les gaz d’échappement d’une voiture, le développement d’un feu de
foret sous l’influence du vent, le vent dans une ‘rue canyon’, l'écoulement de l’eau dans une
rivière et bien d’autres exemples. D'un autre coté les mouvements des océans, les écoulements
biologiques sont aussi des applications où l’étude de la turbulence est nécessaire à la
compréhension des divers mécanismes d’influence et de contrôles. Cette branche de la
mécanique des fluides est très complexe et reste méconnue ou du moins par quelques aspects,
même après un siècle de recherche, depuis les premiers travaux de Reynolds (1895).
En définissant la turbulence par opposition à l’écoulement laminaire, on peut dire que
l’écoulement turbulent est caractérisé par des variations temporelles et spatiales aléatoires de
la vitesse, de la pression et de la température. L’autre caractéristique de l’écoulement
turbulent est que les fluctuations du champ de vorticité sont très fortes et le mélange est
intense. Au contact d’une paroi solide, le coefficient de frottement et d’échange thermique
sont augmentés par rapport au régime laminaire.
2.2 Description de la turbulence
Le problème des écoulements et du transfert de chaleur relève de la résolution des équations
de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Actuellement, il
existe deux techniques pour approcher le problème de la turbulence dans le fluide. La
première méthode est dite ''modélisation de la turbulence''. Elle consiste à décomposer le
champ de la vitesse et de la température en une composante moyenne et une fluctuation
turbulente. Le système d’équations résultant (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations,
25

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
RANS) quantifie ainsi le comportement de l’écoulement moyen. Mais la non-linéarité des
équations fait apparaître un nouveau terme, reflétant l’effet de la turbulence sur le champ
moyen, qu’il faut modéliser. Ce problème est connu sous l’acronyme de ''problème de
fermeture'' où l’on dispose d’un nombre d’équations inférieur au nombre d’inconnues. Une
variété de modèles est à présent disponible dans la littérature, allant du plus simple (à zéro
équation) au plus complexe (Reynolds Stress Model, RSM). Malheureusement aucun de ces
modèles n’est optimisé pour tous les cas de figures. La règle générale consiste à adapter le
modèle au problème posé. Toutefois, le modèle à deux équations k − ε de Launder &
Spalding (1974) est de loin le modèle le plus utilisé et considéré comme étant universel.
Malgré un certain nombre de limites que nous développerons un peu plus loin, ce modèle est
pratiquement implémenté dans tous les codes de calcul commerciaux.
L’idée maîtresse derrière la modélisation de la turbulence repose sur l’analogie que l’on fait
avec la phénoménologie de celle-ci : on se base ainsi sur la description des structures dont les
tailles des plus grosses pouvant avoir celles de la géométrie du domaine de l’écoulement aux
plus petites dites de Kolmogorov. Les premières sont appelées structures énergétiques parce
qu’elles transmettent l’énergie reçue aux structures de taille plus faible (phénomène de
cascade). Elles sont fortement anisotropes. Les plus petites sont appelées structures
dissipatrices (ou de Kolmogorov) ; Ainsi l’énergie reçue des macro-structures est directement
dissipée sous forme de chaleur. Les micro-structures sont par contre isotropes et
indépendantes de la spécificité de l’écoulement. L'approche par cette logique indique que la
turbulence peut être définie par deux échelles : une échelle de longueur et une deuxième de
temps. La première est en rapport avec la taille des structures turbulentes, et la deuxième avec
leur durée de vie, et c’est principalement l’idée des modèles de turbulences conventionnels.
La seconde méthode est la simulation directe (Direct Numerical Simulation, DNS). Dans
laquelle toutes les structures de la turbulence (macro- et micro-structures) sont résolues
directement et sans le recours à des approximations. Ceci n’est possible que par le biais d’une
résolution très fine des équations instantanées de Navier-Stokes. C’est à dire que l’algorithme
utilisé devra être suffisamment précis (en espace et en temps) pour capter toutes les échelles
de longueur et de temps de la turbulence. Malheureusement, le spectre des échelles de la
turbulence est tellement large (proportionnel au nombre de Reynolds) que les pas de
discretisation (espace et temps) indispensables dépassent de loin les capacités de stockage et
de calcul des meilleurs calculateurs actuels.
Une autre méthode aussi sophistiquée que la DNS, mais moins onéreuse est connue sous le
nom de ''simulation des macro-echelles'' (LES, Large Eddy Simulation). Elle consiste à filtrer
26

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
(en espace) les échelles de la turbulence pour ne résoudre ''directement'' que les macro
structures, et modéliser les petites structures par le biais de modèles plus ou moins simples,
dits ''modèles de sous-maille'' (subgrid models). Cette technique (LES) a le mérite de donner
des résultats d’une précision comparable à celle de la DNS, mais à moindre coût. Pour des
raisons strictement techniques (puissance de calcul) les méthodes de simulation (DNS et LES)
sont réservées aux écoulements à faible nombre de Reynolds et pour des configurations
géométriques simples. Pour les applications pratiques et industrielles les méthodes statistiques
de modélisation à partir des équations moyennes de Reynolds sont incontournables et le
seront probablement pour assez longtemps.
Dans le but d’être explicite et plus complet nous évoquons certains chercheurs de renommée
qui ont compilé des ouvrages plus ou moins complet sur la turbulence et les méthodes liées à
son étude. Nous citons, à titre d’exemple : Launder (1972), Bradshaw (1981), Nallasamy
(1987), Hinze (1975), Rodi (1980) etc. Dans les ouvrages de Schlichting (1979), et de
Cousteix (1989), la couche limite turbulente est amplement étudiée. Alors que Mohammadi
(1994), a consacré son ouvrage à la présentation mathématique du modèle k − ε . Lakehal
(1999), dans son récent rapport a introduit pratiquement toutes les méthodes actuelles de
traitement numérique de la turbulence, y compris les modèles algébriques et la LES.
Le but visé dans ce chapitre est de présenter le plus clairement possible et sans trop de détails
le modèle mathématique utilisé dans ce travail ayant servi à la prédiction du refroidissement
par film. Ce modèle repose sur les équations de Navier-Stokes et un modèle de turbulence, en
l’occurrence le modèle k − ε . Nous consacrerons une attention particulière à la modification
de Bergeles et cinq modèles algébriques de type EASM (Explicit Algebraic Stress Model).
2.3 Equations de transport
2.3.1 Equations de Navier-Stokes
Pour un fluide Newtonien, incompressible, isotherme et à propriétés constantes, les équations
de Navier-Stokes s’écrivent sous la forme :
∂vi
= 0; (II-1)
∂xi
∂p
Dvi
ρ + µ∇ 2 vi + ρg i ;
=− i = 1,2,3 (II-2)
∂xi
Dt
27

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
∂ ∂
D
représente la dérivée substantielle (totale), ρ la masse volumique,
= + vj
où
Dt ∂t ∂x j
g l'accélération de la pesanteur, et µ la viscosité dynamique,
La sommation d’Einstein s’applique, dans le sens où pour chaque index i, une sommation
∂φ i ∂φ i ∂φ i ∂φ i
= + +
suivant l’index j est nécessaire. Par exemple,
∂x j ∂x1 ∂x 2 ∂x 3
Le premier terme de l’équation (II-2) correspond à l’accélération du fluide comprenant une
première partie dépendante du temps et une deuxième décrivant la convection par la vitesse
⎛ ∂v ⎞
vi . Le terme non linéaire ⎜ v j i ⎟ de l’équation (II-2) représente la principale difficulté dans
⎜ ∂x ⎟
⎝ j⎠
la résolution de ce système.
2.3.2 Equation de l’énergie
Cette équation peut s’exprimer aussi bien en fonction de la température statique ou de
l’enthalpie de stagnation. Pour un fluide incompressible on a :
⎛ ∂T ⎞
∂
DT ⎜λ ⎟
ρ cp = (II-4)
⎜ ∂x ⎟
Dt ∂x j ⎝ ⎠
j
où c p est la chaleur spécifique à pression constante, et λ la conductivité thermique du fluide.
Cette équation traduit le bilan énergétique entre la convection et la conduction moléculaire à
l’intérieur du fluide. L’équation est écrite pour un fluide incompressible (La déformation
volumique est nulle, vk ,k = 0 ) où on a négligé l’augmentation de l’énergie interne par
compression. On a aussi négligé l’augmentation de l’énergie interne par dissipation visqueuse
qui est très faible dans le cas d’un fluide incompressible.
Si de surcroît la conductivité thermique est constante, l’équation (II-4) s’écrit sous la forme :
⎛ ∂T ⎞
∂
DT ⎜α ⎟
= (II-5)
⎜ ∂x ⎟
Dt ∂x j ⎝ j⎠
λ ν
avec α = = (II-6)
ρ c p Pr
cpµ
où Pr = est le nombre de Prandtl laminaire.
λ
Le transfert de chaleur par convection est un phénomène complexe et étroitement lié à la
structure de l’écoulement (turbulence, géométrie de la paroi solide, état de surface). Dans tous
28

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
les cas, la distribution de la température sera fonction de celle du champ de vitesse, mais si en
plus ce dernier dépend de celui de la température, la convection est dite naturelle, sinon elle
est dite forcée.
2.4 Equations de la turbulence
2.4.1 Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence
Comme évoqué un peu plus haut, la modélisation de la turbulence est basée sur le principe de
décomposition de chaque variable du champ dynamique et thermique en une valeur moyenne
et une fluctuation, décomposition de Reynolds, (Hinze, 1975). En pratique, on choisi un
intervalle de temps T grand devant l'échelle de temps des fluctuations turbulentes et
suffisamment petit devant l'échelle de temps des autres fluctuations (écoulement non
stationnaire).
La moyenne temporelle de la variable φ s’écrit :
t +T
φ (t )dt
1
T∫
φ= (II-7)
t
φ = φ +φ ' φ = vi , p, T , ...; (II-8)
vi = vi + u i' ; p = p + p ' ; T = T + θ ' (II-9)
où φ est la valeur moyenne de la variable φ et φ ' sa fluctuation temporelle. Suivant la
décomposition de Reynolds, les lois de la statistique impliquent les relations suivantes :
φ ' = ψ ' = 0.
φψ = φ ψ + φ 'ψ ' ,
φ 'ψ = ψ ' φ = 0 (II-10)
2.4.2 Equations moyennes de Navier-Stokes
L’application de la décomposition des variables aux équations de Navier-Stokes (II-1) et (II-
2) conduit aux équations moyennes de Reynodls (Reynolds Averaged Navier-Stokes -RANS) :
∂ vi
= 0; (II-11)
∂xi
∂τ ij
1 ∂p
D vi
+ ν∇ 2 vi −
=− i = 1,2,3 (II-12)
;
ρ ∂xi ∂x j
Dt
29

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
où l’on voit apparaître le tenseur des tensions de Reynolds τ ij ≡ u i' u 'j , qui a une forme
symétrique, τ ij = τ ji , et qui traduit la contribution de la turbulence au mouvement moyen. Les
tensions croisées, c’est à dire u ' v ' , v ' w ' , et u ' w ' dominent le mouvement turbulent, alors que
les termes de la diagonale ( u ' 2 , v ' 2 , et w ' 2 ) ne jouent qu’un rôle mineur.
2.4.3 Equation moyenne de l’énergie de Reynolds
En appliquant la décomposition précédente, l’équation de l'énergie (II-4), sera écrite pour le
champ turbulent moyen de la température sous la forme :
⎛ ∂T ⎞
∂
DT ⎜λ − ρ c p u 'jθ ' ⎟
ρ cp = (II-13)
⎜ ∂x ⎟
Dt ∂x j ⎝ ⎠
j
où Q 'j' = − ρ c p u 'jθ ' représente la densité du flux thermique turbulent.
Pour résoudre le nouveau système des équations moyennes de Reynolds (II-11), (II-12) et (II-
13) nous disposons en général de deux approches : la première consiste à écrire une équation
de transport pour chaque composante du tenseur de Reynolds et du flux thermique turbulent
(six plus trois, ce qui fait neuf équations en plus des équations du mouvement d’origine), ou
alors trouver un modèle de fermeture pour τ ij et Q 'j' . Le modèle introduit doit représenter de
façon cohérente la physique de la turbulence. Ceci est l’élément clé de la modélisation de la
turbulence.
2.4.4 Equations de transport des tensions turbulentes de Reynolds
Ces équations sont déduites de la soustraction des équations (II-12) de (II-2), et en multipliant
le résultat par u 'j . L’équation résultante est ensuite sommée à une équation similaire en inter-
changeant les indices i et j, et en prenant la moyenne temporelle. L’équation finale aura la
forme suivante:
Dτ ij ⎡ ∂τ ij ⎤
∂
= Pij + Π ij − ε ij + ⎢ν − C ijk ⎥ (II-14)
∂x k ⎣ ∂x k ⎦
Dt
où :
∂v j ∂ vi
Pij = −τ ik − τ jk (II-15)
∂x k ∂x k
30

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
⎛ ∂u i' ∂u 'j ⎞
Π ij = p ⎜ ⎟
+
'
(II-16)
⎜ ∂x j ∂xi ⎟
⎝ ⎠
∂u i' ∂u j
'
ε ij ≡ 2µ (II-17)
∂x k ∂x k
C ijk ≡ ρu i' u 'j u k + p ' u i'δ jk + p ' u 'j δ ik
'
(II-18)
désignent respectivement, la production mécanique de la turbulence appelé aussi source des
tensions de Reynolds Pij , le terme de corrélation vitesse-pression Π ij , le taux de dissipation de
la turbulence (par viscosité) ε ij et la diffusion de la turbulence ∂ (C ijk ) ∂x k . Le terme de
corrélation vitesse-pression joue le rôle de redistribution de l’énergie cinétique turbulente
suivant les trois directions ; il joue surtout en faveur d’un retour à l’isotropie (Hinze, 1975).
Le développement de l’équation de transport des tensions de Reynolds (II-14) conduit à six
nouvelles équations, une pour chaque composante. L’ensemble de ces équations contient 22
nouveaux termes inconnus. A savoir, six pour Π ij , six autres pour ε ij , et dix pour
ρu i' u 'j u k intervenants dans C ijk . On note ici que dans l’équation (II-14), seul le terme
'
production est déterminé directement sans le recours à un modèle. On remarque aussi d’après
l’équation (II-18) l’apparition des fluctuations de troisième ordre ρu i' u 'j u k , ce qui veut dire
'
qu’on a encore besoin de développer de nouvelles équations de transport pour chacune de ses
composantes. Cette procédure engendrera d’autres inconnues d’ordre plus élevées qu’il faudra
impérativement modéliser pour fermer le système à un niveau donné. En somme,
l’introduction de la moyenne de Reynolds dans les équations de Navier-Stokes conduit à un
système ouvert hiérarchiquement.
Finalement, on a le choix d’introduire directement un modèle pour estimer τ ij ou résoudre les
équations complètes (II-14), sachant qu’on doit modéliser au moins trois termes des équations
en question, à savoir le terme de corrélation vitesse-pression Π ij , le terme de la diffusion de
la turbulence C ijk et le terme de dissipation ε ij . Ce dernier niveau de fermeture est appelé
modèle de fermeture du second ordre ou Reynolds Stress Model (RSM). Ces modèles sont
capables de capter plusieurs effets locaux puisqu’ils tiennent compte de la convection et de la
diffusion des tensions de Reynolds. Ils sont malheureusement très lourds à utiliser, en
particulier pour les configurations géométriques tridimensionnelles. Le problème majeur avec
ce type de fermeture réside dans leur faible performance près des parois solides. Les erreurs
31

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
de prédiction dans la couche logarithmique peuvent aller jusqu’à 100%. La cause est attribuée
à l’hypothèse d’homogénéité de la turbulence sur laquelle sont basés ces modèles, ce qui n’est
pas le cas près des parois solides. Pour remédier à cette insuffisance, la plupart de ces modèles
incorporent des termes additionnels appelés termes de réflexion de la paroi (Gibson et
Launder, 1978) pour forcer la concordance avec les résultats expérimentaux.
En conclusion :
1. Les modèles de type RSM sont actuellement les plus sophistiqués, puisqu’ils prennent en
considération la majorité des aspects de la turbulence, tel que la convection, la diffusion et
les effets de ''mémoire'' de chaque composante de τ ij et de u i'θ ' .
2. Ils souffrent de certaines instabilités numériques, selon la modélisation de la zone proche
de la paroi solide.
3. Ils sont relativement encombrants, surtout pour les écoulements tridimensionnels et en
présence de forces de flottabilité. En pratique, il faut résoudre 15 équations
simultanément: une pour l’équation de continuité, trois pour les équations de la quantité
de mouvement, une pour l’équation de l’énergie, six pour les tensions de Reynolds, une
pour la dissipation, et trois pour le flux de chaleur turbulent. Ceci présente en effet une
limitation majeure qui décourage les utilisateurs à employer de tels modèles. En pratique,
les industriels préfèrent utiliser d’autres types de fermetures plus simples et moins
coûteuses, tel que les modèles à deux équations que nous exposerons un peu plus loin.
Turbulence isotrope et homogène
Si en un point donné de l’écoulement turbulent, les composantes du tenseur de Reynolds sont
indépendantes de l’orientation du repère de référence, la turbulence est dite isotrope. Si en
plus, toutes les propriétés statistiques de la turbulence sont indépendantes du point d‘espace,
la turbulence est dite homogène (Cousteix, 1989). Par exemple, pour un écoulement turbulent
isotrope et homogène l’égalité suivante se vérifie.
2
u '2 = v '2 = w '2 = (II-19)
k
3
1''
où k = u i u i , représente l’énergie cinétique turbulente. En pratique il est très difficile de
2
rencontrer un écoulement turbulent isotrope, bien qu’à très grand nombre de Reynolds les
petites structures ont tendance à devenir isotropes ; alors que les macro-structures conservent
32

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
leur anisotropie. En soufflerie, l'homogénéité et l’isotropie de la turbulence sont réalisées à
travers des grilles appelées nid d’abeilles.
Equilibre: Production - Dissipation
Considérons un écoulement stationnaire et homogène où toutes les quantités moyennes sont
indépendantes de la position et définissons le tenseur des taux de déformation :
1 ⎛ ∂ vi ∂ v j ⎞
⎜ ⎟
S ij = + (II-20)
2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟
⎝ ⎠
Dans ce cas l’équation de transport du tenseur des tensions de Reynolds (II-14) se réduit à:
− τ ij S ij = 2ν sij sij
''
(II-21)
'
où est le tenseur du taux de déformation du champ fluctuant de vitesse
sij
1 ⎛ ∂ vi' ∂ v j ⎞
'
⎜ ⎟ . L’équation (II-21) est souvent écrite sous forme de bilan comme :
s ij = +
'
2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟
⎝ ⎠
Ρ ≡ −τ ij S ij ε ≡ 2ν sij sij
''
et (II-22)
traduisant le principe de l’équilibre entre la production de l’énergie turbulente et sa
dissipation. Des résultats récents obtenues par la méthode DNS (Lakehal, 1999) ont montré
que cet équilibre est peu probable dans la sous couche visqueuse, mais il existe plutôt dans la
région logarithmique.
Concept de la viscosité turbulente (Eddy Viscosity)
Au lieu de résoudre les équations de transport de chaque composante du tenseur de Reynolds,
nous allons essayer de modéliser directement ces termes. La meilleure approximation connue
est basée sur l’hypothèse de Boussinesq qui stipule que les contraintes de Reynolds peuvent
être exprimées selon l’équation suivante :
2
τ ij = δ ij k − 2ν t S ij (II-23)
3
où δ ij = 1 pour i = j , et zéro autrement.
Le premier terme est isotrope, alors que le deuxième reliant linéairement τ ij au tenseur du
taux de déformation S ij est symétrique. Le coefficient de proportionnalité ν t désigne la
33

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
viscosité turbulente qui contrairement à la viscosité cinématique est une caractéristique de
l’écoulement et non pas du fluide. Ce concept est appelé Eddy Viscosity Modelling (EVM).
L'approche est développée par analogie au tenseur des contraintes de viscosité. L’introduction
de l’équation (II-23) dans (II-12) conduit à :
⎛ ⎞
⎜ν eff ∂ vi
1 ∂p ∂
D vi ⎟;
=− + i = 1,2,3 (II-24)
⎜ ⎟
ρ ∂xi ∂x j ∂x j
Dt ⎝ ⎠
où ν eff = ν + ν t est la viscosité effective comprenant la viscosité moléculaire et la viscosité
turbulente. En pratiqueν << ν t , ceci reflète bien le fait que l’écoulement turbulent favorise le
mélange du fluide et améliore l’échange par diffusion. On note ici que la pression p dans
l’équation (II-24) renferme implicitement la partie isotrope 2k 3 de τ ij .
Par analogie à l’hypothèse de Boussinesq appliquée ci-dessus, la corrélation vitesse-
température est rendue proportionnelle au gradient de température par :
∂T
u i'θ ' = −α θ (II-25)
∂x j
où α θ est le coefficient de diffusivité. Il est proportionnel à la viscosité turbulente :
νt
αθ = (II-26)
Prt
Prt , est le nombre de Prandtl turbulent (par opposition au nombre de Prandtl laminaire Pr ).
Enfin, l’équation turbulente du transport de la chaleur s’écrit :
⎛ ⎞
∂ ⎜α eff ∂T ⎟
DT
= (II-27)
⎜ ∂x j ⎟
Dt ∂x j ⎝ ⎠
où:
νt
ν
α eff = + (II-28)
Pr Prt
En résumé, on admet une similitude entre le transport turbulent de la quantité de mouvement
et de la chaleur par analogie de Reynolds.
2.4.5 Equation de transport de la dissipation de la turbulence
Une méthode pratique pour modéliser la dissipation ε ij dans l’équation (II-14) consiste à
l'assumer isotrope (Hinze, 1975), ce qui donne:
34

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
∂u i' ∂u i'
2 1
ε ij = εδ ij ; ε ≡ ε ii = ν (II-29)
∂x k ∂x k
3 2
Cette hypothèse est connue sous le nom d’approximation de Kolmogorov pour l’isotropie
locale. Elle stipule que la dissipation de l’énergie turbulente associée aux petites structures de
la turbulence n’a pas de direction privilégiée, elle est donc isotrope.
Une équation de transport de ε (et non de ε ij ) est ensuite construite, elle prend la forme
suivante (Hinze, 1975) :
Dε
= Pε 1 + Pε 2 + Φ ε + Dε + ν∇ 2 ε (II-30)
Dt
où:
⎛ ∂u ' ∂u ' ∂u ' ∂u 'j ⎞
∂v ⎟ − 2ν u ' ∂u i ∂ vi
' 2
⎜k
Pε 1 = −2ν i +
k i
(II-31)
⎜ ∂xi ∂x j ∂x k ∂x k ⎟
∂x j ∂x j ∂x j ∂x k
k
⎝ ⎠
∂u k ∂u k ∂u i'
' '
Pε 2 = −2ν (II-32)
∂xi ∂x j ∂x j
2
⎛ ∂ 2 u i' ⎞
Φ ε = −2ν ⎜ ⎟
2
(II-33)
⎜ ∂x ∂x ⎟
⎝jk ⎠
⎛ ∂p ' ∂u 'j u 'j ∂u ' ∂u ' ⎞
∂ ⎜ ⎟
Dε = −2ν + i i
(II-34)
⎜ ∂xi ∂xi ⎟
∂x j 2 ∂x k ∂x k
⎝ ⎠
représentent respectivement les processus physiques suivants: la production par l’écoulement
moyen Pε 1 , le taux de génération de la fluctuation de la vorticité Pε 2 , la destruction de la
dissipation par action de la viscosité Φ ε et la diffusion turbulente de la dissipation Dε . La
diffusion moléculaire est représentée par le termeν∇ 2 ε . A part la diffusion visqueuse tous les
autres termes de l’équation (II-30) nécessitent l’introduction de modèles pour les représenter.
Une description des différentes approximations de ces termes est disponible dans (Hanjalic et
Launder, 1972)
La modélisation de l’équation (II-30) basée sur une hypothèse de turbulence homogène est
donnée par l'équation suivante :
∂ ⎛k ⎞
Dε ∂ vi ε ε2 ⎜ τ ij ∂ε ⎟ + ν∇ 2 ε
= −Cε 1τ ij − Cε 2 + Cε (II-35)
∂xi ⎜ ε ∂x j ⎟
∂x j k
Dt k ⎝ ⎠
35

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
où Cε 1 et Cε 2 sont des constantes du modèle que nous verrons plus loin lors du traitement des
modèles à deux équations. Cε est une autre constante qui vaut approximativement 0.15 . Elle
est calibrée de façon à retrouver la valeur exacte de la constante de Von Karman dans la
couche limite (Lakehal, 1999).
2.4.6 Equation de transport de l’énergie cinétique turbulente
Elle est déduite de l’équation (II-14), en posant k ≡ τ ii 2
∂v ∂ ⎛1 ' ' ' ' '⎞
Dk
= − τ ij i − ε − ⎜ u i u i u j + p u j ⎟ + ν∇ k
2
(II-36)
∂x ∂x j ⎝ 2 ⎠
Dt
1 24j
43
P
où P ≡ Pii 2 représente la production mécanique de la turbulence due à l’interaction entre les
contraintes turbulentes et le gradient des vitesses moyennes. Notons ici que dans l’équation
(II-14) le terme Π ij disparaît dans l’équation (II-36), à cause de u i' ,i = 0 . Cette simplification
est la plus importante concession faite par les RSM en faveur des EVM basés sur l’équation
de k, puisque le terme corrélation vitesse- pression est responsable de la redistribution de
l’énergie entre les composantes des contraintes de Reynolds. Le terme de dissipation dans
l’équation (II-36), ainsi que les termes d’ordre deux et trois doivent être modélisé pour rendre
cette équation utilisable. Les propositions suivantes sont retenues (Hinze, 1975) :
⎞ ν ∂k
⎛1
− ⎜ u i' u i' u 'j + p ' u 'j ⎟ = t (II-37)
⎠ σ k ∂x j
⎝2
ε = C ∆ k 3 2 l0 (II-38)
où σ k , C ∆ sont des constantes du modèle et l 0 l’échelle de longueur de la turbulence.
L’équation (II-38) est connue sous le nom de relation de Prandtl-Kolmogorov.
2.5 Modèles de turbulence à deux équations
Comme il a été précisé plus haut, les deux échelles de turbulence l 0 et τ 0 varient d’une
manière significative dans l’espace et le temps. Pour bien représenter le processus de
convection/diffusion dans la turbulence, les modèles doivent être formulés en fonction d'une
autre échelle indépendante qui est l'échelle de vitesse v 0 . Dans la plus part des modèles à deux
équations, cette échelle est associée à l’énergie cinétique turbulente k dont il faut une
36

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
équation de transport. En combinant v 0 et l 0 , on peut définir une autre échelle, en
l’occurrence la dissipation de l’énergie turbulent, ε ≡ v0 l 0 donnée par l’équation (II-35).
3
Bien que le recours à une deuxième quantité autre que ε est possible, il y a plus d’une raison
pour choisir la dissipation comme deuxième quantité turbulente. La plus importante, est que
cette même quantité apparaît explicitement dans l’expression de transport de τ ij et k. Cette
quantité a également un sens physique facilitant son interprétation et sa comparaison.
2.5.1 Modèle de turbulence k − ε standard (à haut nombre de Reynolds)
C’est le modèle standard proposé par Launder et Spalding (1974), où une combinaison des
deux échelles turbulentes (de longueur et de temps) l 0 ≈ k 3 2 ε et τ 0 ≈ k ε aboutit à la forme
isotrope de la viscosité turbulente :
ν t= C µ k 2 ε (II-39)
où C µ est une constante, prise généralement égale à 0.09.
L’énergie cinétique de la turbulence k et son taux de dissipation sont déterminés par des
équations de transports déduites de (II-35) et (II-36) où la diffusion visqueuse est négligée :
∂ ⎛ ν t ∂k ⎞
Dk
⎜ ⎟ + Pk − ε ,
= (II-40)
Dt ∂x i ⎜ σ k ∂x i ⎟
⎝ ⎠
⎛ ν t ∂ε ⎞
Dε ε ε2
∂
⎜ ⎟ + C ε 1 Pk − C ε 2
= , (II-41)
⎜ σ ∂x ⎟
Dt ∂x i ⎝ ε i⎠ k k
⎛ ∂u ⎞ ∂ ui
∂uj
Pk =ν t ⎜ i + ⎟
⎜∂x ⎟∂x
∂ xi
⎝ ⎠
j j
Les constantes empiriques du modèle standard sont : C µ = 0.09 ; Cε 1 = 1.44 ; Cε 2 = 1.92 ;
σ k = 1.0 et σ ε = 1.3 . Ces constantes ont été fixées suivant des observations expérimentales et
d’autres intuitives (Launder et Spalding, 1974). La turbulence est supposée être en équilibre,
isotrope et surtout évoluant loin des frontières solides. Un traitement spécial pour les zones
proches des parois est nécessaire et est discuté ci-après.
2.5.2 Approche ‘loi de paroi ’
La couche limite près d’une paroi solide est composée de trois sous couches (Schlichting,
1979) :
37

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
La sous couche visqueuse, où l’effet de viscosité est dominant ; les contraintes tangentielles
∂u
s’expriment par : τ w = − µ .
∂y w
Une couche (tampon) de transition, où les contraintes visqueuses et turbulentes sont de même
ordre de grandeur.
La région de turbulence pleinement développée, où l’effet de la turbulence l’emporte sur la
viscosité, et où la contrainte pariétale s’exprime par τ w = − ρ u ' v '
Dans cette dernière sous couche le profil de la vitesse répond expérimentalement à une loi
logarithmique :
()
u 1
= ln y + + B (II-42)
uτ κ
τw uτ y p
est la vitesse de frottement, y + =
où uτ = est la distance à la paroi
ρ ν
adimensionnelle, y p la distance normal à la paroi, et B une constante d’intégration égale à
5.25 pour une paroi lisse.
( )
u 1
= ln E y + où E = 9 .
L’équation (II-42) peut aussi s’exprimer par
uτ κ
Les conditions aux limites appliquées à une paroi solide imperméable sont normalement
celles d’adhérence. Elles consistent à annuler toutes les composantes de la vitesse sur les
points de calcul qui se confondent avec la paroi solide.
La technique de l’approche 'loi de paroi' initiée par Launder et Spalding (1974), consiste à
éviter d’intégrer la zone pariétale qui est une zone fortement complexe nécessitant un très
grand nombre de points d’intégration afin de reproduire correctement le fort gradient de ε .
L’idée consiste à placer le premier point de calcul dans la zone logarithmique (la troisième
sous couche citée plus haut), et de fixer directement la vitesse parallèle à la paroi à partir de
l‘équation (II-42). Ce traitement est basé sur deux suppositions principales : (i) l’écoulement
dans cette zone est en équilibre si bien que la production de la turbulence est égale à sa
dissipation ( P = ε ), (ii) le profil de la vitesse suit la loi logarithmique citée plus haut (eq. II-
42).
Dans ces conditions d’équilibre, nous avons :
kp 1
uτ = τ w ρ
= ; (II-43)
2
Cµ 2
1
uτ
38

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
k p uτ2 ≈ 3.3 , d’où:
Des résultats expérimentaux indiquent que pour une paroi lisse
C µ = 0.09 . En utilisant (II-38) et (II-39), nous pouvons estimer les contraintes tangentielles
retardatrice par:
τ w = −λ w V p (II-44)
où:
⎧µ y p y + < 11.6
⎪ si
λw ⎨ 1 4 1 2
p
(II-45)
⎪ ρC µ k p y p µ autrement
⎩
y + = ρC µ 4 k 1 2 y p µ
1
(II-46)
p p
Les contraintes tangentielles appliquées à la distance d p = 2 y p à partir de la paroi (appliquées
sur tout le volume de contrôle) sont responsables du taux de production de l'énergie turbulente
suivant (transfert d’énergie de l’écoulement moyen vers la turbulence):
(u )
− uw
dp
∂u
1
∫ρu v .dy = − ρ u ' v '
Pw = −
p
''
(II-47)
∂y w
dp dp
w
yw w
Cette nouvelle expression de la production doit remplacer celle de l’équation de transport de k
(équation II-40). Dans la sous couche pleinement turbulente, où la dissipation de k est donnée
par l’équation (II-38), une valeur moyenne de ε w peut être obtenue par intégration de
l’équation (II-38) sur le volume de contrôle.
dp
kp 2
3
1
∫C
εw = .dy (II-48)
∆
dp y
y =0
où k est supposée être uniforme dans le volume de contrôle. Finalement la production et la
dissipation prennent les expressions suivantes :
τw Cµ 4 k p 2
3 3
2
εw =
Pw = ; (II-49)
κ yp
κ µ y+
p
En résumé, l’application des conditions aux limites suivant l’approche de la 'loi de paroi'
consiste à imposer les conditions suivantes :
Les contraintes tangentielles de l’équation (II-44) sont incorporées dans l’équation de quantité
de mouvement comme forces retardatrices.
La production dans l’équation de transport de k, est remplacée par celle donnée par (II-49).
Au lieu de résoudre l’équation de transport de ε , cette quantité est déterminée par (II-49).
Puisque le principe de l’équilibre sur lequel est basée cette théorie n’est pas valable dans la
sous couche visqueuse, une attention très particulière doit être consacrée à la position du
39

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
centre du premier volume de contrôle sur lequel les conditions aux limites sont appliquées. Il
doit impérativement se situer dans la zone 11.6 ≤ y + ≤ 200 . La valeur 11.6 n’est autre que
p
l’intersection du profil linéaire et la loi logarithmique. Notons aussi que certains auteurs
repoussent cette limite jusqu’à 500.
2.5.3 Modèle de turbulence k − ε à bas nombre de Reynolds.
Comme il a été dit précédemment, les équations du modèle k − ε ne sont valables que dans
les régions où les effets de la turbulence (inertie) l’emportent largement sur ceux de la
viscosité, c’est à dire loin des parois solides. Pour tenir compte des effets bas-nombre de
Reynolds sans utiliser l’approche ‘loi de paroi’ on introduit un certain nombre de fonctions,
f ε 1 , f ε 2 et f µ pour modifier les constantes, Cε 1 , Cε 2 et C µ . Des termes sources additifs D et
E sont aussi incorporés aux deux équations du modèle.
∂ ⎛ ν t ∂k ⎞
Dk
⎜ ⎟ + Pk − ε + D
= (II-50)
Dt ∂xi ⎜ σ k ∂xi ⎟
⎝ ⎠
∂ ⎛ ν t ∂ε ⎞
Dε ε ε2
⎜ ⎟ + Cε 1 f ε 1 Pk − Cε 2 f ε 2
= +E (II-51)
Dt ∂xi ⎜ σ ε ∂xi ⎟
⎝ ⎠ k k
ν t= C µ f µ k 2 ε (II-52)
Les différents modèles à bas nombre de Reynolds différent dans l’expression des coefficients
introduits ci-dessus et qui sont généralement donnés en fonction des nombres suivants :
Rt = ρ k 2 µ ε (II-53)
Ry = ρ k y µ (II-54)
2.5.4 Approche '' bi-couche''.
L’approche à bas nombre de Reynolds citée plus haut présente l’inconvénient de nécessiter un
très grand nombre de volume d’intégration près des parois solides en vue de refléter
fidèlement le profil de la dissipation dans cette zone critique. Cet inconvénient rend
l’application de cette technique pour les configurations à frontières complexes et tri
dimensionnelles très lourde. L’approche bi-couche proposée apporte le remède à cette
situation en divisant le domaine de calcul en deux zones : dans la première zone, loin des
parois solides, on applique le model standard à haut nombre de Reynolds, et dans la seconde
zone, proche de la paroi, on utilise un modèle à une seule équation (Norris et Reynolds,
40

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
1975). Dans le modèle à une seule équation, la viscosité turbulente est calculée
proportionnellement à une échelle de vitesse et une échelle de longueur l µ . L'échelle de
longueur est déterminée algébriquement alors que celle de la vitesse est calculée à travers la
résolution de l'équation de k. La dissipation qui apparaît dans l'équation de k est calculée en
fonction de k et d'une échelle de longueur notée lε . Cette dernière est aussi déterminée
algébriquement. Les modèles qui existent dans la littérature utilisent des variantes pour
introduire l'échelle de vitesse et celles des longueurs mentionnées ci-dessus. L'approche de
Rodi (1991) utilisant k 1 2 comme échelle de vitesse sera notée dorénavant modèle TLK.
µ t = ρ C µ k 1 2lµ (II-55)
ε = k 3 2 lε (II-56)
lµ = κ y Cµ 3 4 f µ
−
(II-57)
f µ = 1 − exp(− R y Aµ ) (II-59)
κ Cµ 3 4 y
−
lε =
1 + 13.2 (R y κ C µ 3 4 )
(II-58)
−
Dans ce modèle C µ prend la valeur 0.082 et la limite entre la région influencée par les effets
de la viscosité et le reste du domaine de calcul est fixée à f µ = 0.95 .
Une seconde variante de Rodi (1993), exposée par Lakehal (1997), utilise comme échelle de
vitesse la fluctuation normale à la paroi solide v '2 . Ce modèle sera noté dorénavant le
modèle TLV et sera formulé comme suit :
ε = v '2 k lε ,ν (II-60)
ν t = v '2 l µ ,ν (II-61)
avec, l µ ,ν = 0.33 y et lε ,ν = 1.3 y ⎡1 + 2.12ν v '2 y ⎤ (II-62)
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Cette composante de fluctuation de la vitesse est supposée être plus déterminante dans les
échanges de quantité de mouvement dans les zones proche des parois solides. Le grand
avantage de ce modèle est qu'il tire la distribution de cette échelle de vitesse directement des
calculs DNS de Kim et al. (1987).
v '2 k = 4.65 × 10 −5 (R y ) + 4.0 × 10 − 4 (R y )
2
(II-63)
41

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
Les deux zones critiques sont séparées par la valeur du nombre de Reynolds turbulent
R y = 80 .
Une reformulation de ce modèle pour ré-introduire l'énergie cinétique de turbulence k 1 2
comme échelle de vitesse et retrouver une forme similaire au modèle TLK, permet de ré-
écrire le modèle comme suit (Azzi et Lakehal, 2001) :
µ t = ρ C µ k 1 2lµ (II-64)
lµ = κ y Cµ 3 4 f µ
−
(II-65)
ε = k 3 2 lε (II-66)
κ Cµ 3 4 y
−
lε =
2 + 17.29 (R y κ C µ 3 4 f µ )
(II-67)
−
Maintenant, c'est f µ qui va suivre une distribution inspirée des résultats DNS.
1
fµ = 0.116 × R y + R y
2
(II-68)
32
L'application de la procédure bi-couche est liée à la manière de séparer la zone proche de la
paroi affectée par la viscosité du reste de l'écoulement. Comme évoqué précédemment cette
séparation est faite sur la base d'un critère ( f µ ou R y ). Elle peut être fixée au début du calcul
ou bien réactualiser à chaque itération (ou un certain nombre d'itération). Cette dernière
technique qui permet de suivre la couche visqueuse d'une manière dynamique, a été choisi
lors de l'application de ce type de modèles.
2.6. Faiblesses des modèles de viscosité turbulentes (EVM)
Comme indiqué plus haut, les modèles à une et deux équations s’appuient sur l’approximation
de Boussinesq. Cette approximation est elle-même basée sur une hypothèse d’isotropie de la
turbulence qui est loin d’être le cas dans beaucoup de situations pratiques. Plusieurs exemples
peuvent être cités, entre autres : l’écoulement stagnant avec séparation, en présence d’un
écoulement secondaire, les jets dans un écoulement transversal, l’écoulement en rotation,
l’écoulement dans des conduites de section non circulaire, etc. La qualité des prédictions de
cette classe de modèles peut être améliorée en utilisant les options des modèles à faible
nombre de Reynolds ou à bi-couches (two layer models), où on étend les calculs jusqu’à la
sous couche visqueuse. Ceci est surtout vrai lors du calcul du champ thermique en convection
forcée. Cette tendance a été largement explorée dans les années 80 et 90, et a abouti à
plusieurs types de modèles. Malheureusement, cette catégorie de modèles est difficilement
42

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
applicable pour les configurations tri-dimensionnelles, du fait que l’intégration totale de la
( )
sous couche visqueuse nécessite l’emploi de grilles de calcul très denses à la paroi y + < 1 .
Ecoulements fortement déformés
Les écoulements avec contraction brusque (stagnation) ou avec élargissement brusque
(accélération de la couche limite) sont des exemples d’écoulements à forte dilatation. Dans le
cas où la production de la turbulence est déterminée par l’expression isotrope de u i' u 'j , cette
quantité sera inconditionnellement positive,
∂vi
= Cµ ε S 2
P ≡ −u i' u 'j (II-69)
∂x j
(u k ,l + ul ,k )
1
k 1
S kl =
où S = S kl S kl , (II-70)
ε 2
2
Il s’ensuit que dans le cas d’un point de stagnation ( S 2 étant très grand), la production peut
être largement surestimée. Comme remède à ce problème le modèle de Kato et Launder
(1993), tirant profit du fait que près d’un point de stagnation la vorticité tend vers zéro,
k 1
reformule le terme de production en fonction de la vorticité Ω = Ω kl Ω kl
ε 2
P = Cµε S Ω (II-71)
(S + Ω k ,l = u k ,l ) (II-72)
k ,l
(uk ,l − ul ,k )
1
Ω kl = (II-73)
2
Principe de réalisabilité (Realizability Principe)
Le principe de réalisabilité impose que les tensions normales u i' u i' soient toujours positives, et
l'application de l’égalité de Schwarz pour les composantes diagonales u i' u 'j (i ≠ j ) ;
(u u ) ≤ u 2
' ' '2
u 'j2 (II-74)
i j i
2
k − ν t S ii , peut donner des valeurs négatives à u i' u i'
Or l’expression de Boussinesq, u i' u i' =
3
dans le cas où S ii est significatif (par exemple : accélération de la couche limite). Le principe
de réalisabilié est dans ce cas violé. Ce cas peut se poser lors d’un écoulement freiné, où
43

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
S11 = u , x (dans la direction longitudinale) est très important. Puisque l’équation (II-69)
surestime la production de la turbulence, la valeur de ν t a tendance d’augmenter
2
dangereusement, ν t S ii > k . Wilcox (1993), présente une revue de plusieurs exemples où la
3
théorie de l’EVM échoue.
2.7 Modèles algébriques des tensions turbulentes ASM
La principale défaillance des modèles basés sur l’hypothèse de Boussinesq est la dépendance
linéaire entre les contraintes turbulentes et le tenseur des taux de déformation. Cette linéarité
rend les modèles complètement isotropes et aucune différence n’est faite entre les différentes
composantes normales du tenseur de Reynolds. Evidement, les modèles de second ordre
(RSM) transcendent naturellement cette défaillance, puisqu’ils tiennent compte de l’historique
(convection et diffusion) de toutes les composantes du tenseur de Reynolds.
Malheureusement, en plus de leur lourdeur mathématique, ils comportent beaucoup de termes
encore non maîtrisables. Les chercheurs se sont donc retournés vers les modèles à deux
équations en essayant de les perfectionner. La première alternative consiste à essayer de
trouver des expressions plus évoluées pour les différentes constantes empiriques. En effet,
Rodi (1980), a postulé que les capacités prédictives du modèle k − ε peuvent être
sensiblement améliorées si au lieu de considérer C µ comme une constante, on la remplace par
une expression dépendante de (P ε ) . Leschziner et Rodi (1981), ont proposé une expression
tenant compte de la courbure des lignes de courant. Récemment, Yakhot (1986), et ses
coauteurs ont proposé un modèle baptisé RNG (ReNormalization Group), qui n’est autre que
le modèle standard k − ε , où les différentes constantes empiriques ont été remplacés par des
expressions déduites théoriquement.
Une autre tendance d’amélioration des modèles à deux équations est de généraliser
l’expression de Boussinesq pour la rendre anisotrope. En éliminant les termes de convection
et de diffusion des équations du modèle RSM, Rodi (1976), a proposé une expression
algébrique anisotrope pour chaque composante du tenseur de Reynolds. Les modèles ainsi
construits sont appelés ASM (Algebraic Stress Models). Bien que les premiers résultats étaient
prometteurs, ces modèles avaient le grand inconvénient d’être implicites. C’est à dire que le
terme des tensions turbulentes apparaît dans les deux parties de leurs formulations. En
conséquence, leur utilisation nécessite la résolution d’un système d’équations à chaque
44

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
itération de calcul. Cet handicap a fait que ces modèles ont tout de suite été abandonnés
pendant plus d’une décennie en faveur du modèle standard k − ε et ses autres versions.
Récemment, et en se basant sur des techniques d’analyse dimensionnelle, des chercheurs
comme Gatski et Speziale (1993), ont proposé des formulations explicites de ces modèles
baptisés Explicit ASM. Bien que les hypothèses de déduction de ce type de modèles sont
basées sur une turbulence homogène proche de l'équilibre, ils retiennent une grande majorité
des éléments physiques de la turbulence, notamment la précieuse faculté de distinction entre
les composantes du tenseur de Reynolds. Les nouvelles expressions du tenseur de Reynolds
sont ainsi composées d’une partie linéaire qui correspond exactement à l’approximation de
Boussinesq et une deuxième partie non linéaire formée d’une combinaison des termes de
déformation et de vorticité S ij et Ω ij .
La forme générale de ces modèles est tronquée à sept termes linéairement indépendants:
2 k k k
kδ ij − 2ν t S ij + C1 4ν t Tij1 + C 2 4ν t Tij2 + C 3 4ν t Tij3 partie quadratique
ui u j =
ε ε ε
3
k2 k2 k2 k2
+ C 4 8ν t T 4 + C 5 8ν t T 5 + C 6 8ν t T 6 + C 7 8ν t Tij7 partie cubique (II-75)
ε ε ε ε
2 ij 2 ij 2 ij 2
où :
1
Tij1 = S ik S jk − S kl S kl δ ij (II-76)
3
Tij2 = Ω ik S jk + Ω jk S ik (II-77)
1
Tij3 = Ω ik Ω jk − Ω kl Ω kl δ ij (II-78)
3
Tij4 = S ki Ω lj + S kj Ω li (II-79)
2
S lm Ω mn Ω nl δ ij
Tij5 = Ω il Ω lm S mj + S il Ω lm Ω mj − (II-80)
3
Tij6 = S ij S kl S kl (II-81)
Tij7 = S ij Ω kl Ω kl (II-82)
L’équation générale précédente peut ainsi s’écrire sous la forme suivante :
( )
⎛
2 k
kδ ij − 2ν t ⎜ S ij − 2C1Tij1 + 2C 2Tij2 + 2C 3Tij3
ui u j =
ε
⎝
3
⎞
− 2 2 (2C 4 Tij4 + 2C 5Tij5 + 2C 6 Tij6 + 2C 7 Tij7 )⎟
k2
(II-83)
⎟
ε ⎠
Le coefficient C 5 étant généralement nul, l’équation précédente prend la forme suivante :
45

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
( )
⎛
2 k
kδ ij − 2ν t ⎜ S ij + − 2C1Tij1 − 2C 2Tij2 − 2C 3Tij3
ui u j =
ε
⎝
3
⎞
(− 2C T − 2C 6Tij6 − 2C 7 Tij7 )⎟
k2
+2 4
(II-84)
⎟
ε
4 ij
2
⎠
Les différents termes ci-dessus sont développés en annexe et l’expression des coefficients
pour différents modèles de type EASM est donnée au tableau (II-1) (Shih et al, 1993; Shih et
al, 1995; Lien et al, 1996; Craft et al, 1996; Lakehal et Thiele, 2001).
Ce type de modèles différencie entre les différentes composantes des contraintes turbulentes
bien qu’il ne retient pas leur historique. Ils sont classés parmi les modèles anisotropes puisque
l’expression de C µ est basée sur l’invariant du tenseur des taux de la déformation et/ou de la
vorticité. Ils peuvent être utilisés avec la loi de paroi ou avec les variantes des modèles à
faible nombre de Reynolds.
2.8 Modèle anisotropique de Bergeles
Une autre méthode, pour remédier à l’isotropie de la version standard du modèle
k − ε consiste à multiplier les composantes latérales du tenseur des contraintes de turbulence
par des coefficients appropriés. Cette technique a été initialement appliquée aux modèles
mathématiques du refroidissement par film par Bergeles et al. (1978). Les calculs du
refroidissement par film et du jet dans un écoulement transversal ont montré que la dispersion
latérale calculée avec la version standard du modèle k − ε est systématiquement sous-estimée.
Ainsi, dans la modification de Bergeles, la viscosité turbulente affectée à la composante
latérale du tenseur des contraintes turbulentes et du flux thermique turbulent
µt ∂ u µt ∂ T
− w'θ ' =
− u ' w' = ; (II-85)
ρ ∂z ρ Prt ∂ z
est remplacée par une valeur amplifiée, calculée par :
µ ta = µ t [1.0 − f (1.0 − y δ )] (II-86)
où µ t est la viscosité turbulente calculée suivant le modèle standard, y est la distance à la paroi
solide et δ l’épaisseur de la couche limite. La formule ci-dessus a été déduite à partir des
équations des contraintes turbulentes en supposant un équilibre local de la turbulence et en
négligeant les composantes v' w' par rapport à u ' v' et u ' w' . Le facteur d’amplification est
inspiré des mesures expérimentales et a été fixé par Bergeles à f = 3.5 . Ce modèle a été
aussi utilisé par Demuren et al. (1986a), et Zhou et al. (1993), pour la prédiction numérique
46

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
d’un jet tri dimensionnel dans un écoulement transversal. Notons aussi que l'application de
cette technique a été limitée à la procédure ''loi de paroi'' et la modification appliquée aux
seules équations moyennes de l’écoulement et de la température.
2.9 Modèle anisotropique bi-couche.
Dans des études récentes Lakehal et al. (2001), ont élargie l'application de la modification
anisotropique de Bergeles aux deux équations du modèle de turbulence k − ε . Mieux encore,
en appliquant une procédure bi-couche pour résoudre la sous couche visqueuse, ils se sont
inspiré des résultats des calculs DNS pour proposer une distribution anisotropique du
coefficient d’amplification f .
En effet, puisqu'on se rapprochant de la paroi v '2 tend vers zéro plus rapidement que la
fluctuation latérale w '2 , le rapport w '2 v '2 atteint des valeurs plus grande que celle adopté par
Bergeles à la limite de la sous couche ( f = 4.5 ). Une loi de distribution reproduisant les
résultats DNS, a été proposée par Lakehal et al. (2001). Elle s'écrit :
10 3 ( y + )
0.42
w '2
= (II-87)
2.682( y + ) − 5.463
2
v '2
Cette relation traduit la forte anisotropie qui existe près de la paroi solide. Elle est valable
jusqu'à y + > 1.5 et seulement pour une couche limite attachée. L'isotropie ( w '2 = v '2 ), est
retrouvé dans la zone logarithmique à y + = 43 . Pour des raisons de stabilité de calcul, il est
conseillé de limiter le rapport à 60. Pour compléter la formulation du modèle, une relation
entre R y et y + est elle aussi, inspirée des résultats DNS.
y + = 0.00442 R y + 0.294 R y + 0.545
2
(II-88)
L'application de ce modèle sous sa forme bi-couche passe par l'amplification de la viscosité
( )
turbulente ν t × w '2 v '2 pour l'équation de quantité de mouvement relative à la vitesse latérale
et l'équation de k . Le terme de production de l'énergie cinétique turbulente renferme aussi
l'effet de la modification.
2.10 Récapitulation des modèles utilisés lors de cette étude
Les modèles de turbulences présentés dans cet exposé et qui seront utilisés dans les chapitres
suivants se résument ainsi :
47

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
SKE (Standard k-epsilon Model) : Modèle k − ε à haut nombre de Reynolds.
•
Les modèles algébriques explicites :
• SZL93 : modèle de Shih, T., H., Zhu, J., and Lumley, J. L. (1993)
• SZL95 : modèle de Shih, T., H., Zhu, J., and Lumley, J., L. (1995)
• GS/LT : modèle de Gatski, T., B., and Speziale, C., G. (1993), modifié par Lakehal, D.,
and Thiele, F. (2001)
• CLS : modèle de Craft, T., J., Launder, B., E., and Suga, K (1996)
• LCL : modèle de Lien, F., S., Chen, W., L., and Leschziner, M. (1996)
La pose des conditions aux limites sur les parois solides :
• -WF (Wall Function) : loi de paroi
• -TLK : bicouche de Rodi, W. (1991)
• -TLV : bicouche de Rodi, W., Manssour, N. N., and Michelassi, V. (1993)
• -Mut(DNS) : modification anisotropique de Lakehal, D., Theodoridis, G.S., and Rodi, W.
(2001)
48

Tableau II-1 : Constantes des modèles EASM.
Modèle, Code C1 C2 C3 C4 C6 C7
CP
2
Shih et al., 1995 *
2§ S k ·
1  9C P ¨
.0 .0 .0 .0 .0
SZL95 1 ¸
¨H¸
© ¹
*
Uk
S *k :* k
6.5  As*
1 6
H
HH
Shih et al., 1993 23 0.75 CP 3.8 CP 4.8 CP
1.25  S  0.9 : 1000  S 1000  S 1000  S .0 .0 .0
SZL93
2 2 2
Lien et al., 1996 23 0.75 CP 3.8 CP 4.8 CP  10 C  5C
P P 5 CP
1.25  S  0.9 : 1000  S 1000  S 1000  S
LCL96
CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
Craft et al., 1996 0.3 f 3
1.5
2 2 2
0 .1 0.26
CLS96  0 .1
1  0.35 max S , :

 10 C P  2 CP 2 CP
Gatski et Speziale, 1993 3.CC1. 1  K 4

4
Lakehal et Thiele, 1999 .0 .0 .0 .0
3  K 3  6[ 2  2K 2  6[ 2 2  D3 1  D4 2

g* g*
GS/LT99
* *
1 1
S ij S * S ki
jk **
§ · *
 0.36
arccos 6W * , W * , S*
6 cos I , I
1  exp¨
f3 As* S ij S ij  S kk G ij , S ij S ij ,

*3
¸ 3 3
¨ exp  0.75 max S , :

¸ ,
© ¹ S

**
U* 3.4 , 0.36 , 0.4 ,
:* D1 D2 D 3 1.25 , D4
ij : ij ,
S ij S ij  : * : * ,
ij ij
g* CC1 2,
g* , K2 K 4 K 2S 2 ,
D5 D1  D 5  1 , 0.67  0.5 * D 2

0.5 S 2 4.8  0.25 * 1.3 * max S , :

, C2 S

2
S
2,
[2 :
2 Sij Sij , 2 : ij : ij
C1:

2
49

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence
50

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
Chapitre III
Présentation de la méthode numérique
L’outil mathématique utilisé dans notre étude du refroidissement par film est traduit par un
code de calcul basé sur la méthode des volumes finis et intitulé FAST-3D (Flow Analysis
Simulation Tool of 3-Dimensions). La version originale du code a été développée par Zhu
(1992) à l’Institut d’Hydromécanique de l’Université de Karlsruhe, sous la direction du
professeur W. Rodi. L’utilisation d’un tel outil, élaboré par des spécialistes de renommée dans
le domaine de la modélisation numérique des écoulements turbulents et du transfert de
chaleur, est une assurance de la crédibilité des résultats issus de cette étude. Il s’agit du
meilleur moyen de formation par la recherche et de perfectionnement que nous avons eu dans
le cadre de cette thèse. On note bien que la moindre intervention dans les différentes
subroutines du code, sans parler de l’implémentation de nouveaux schémas ou modèles,
nécessite une connaissance précise de la structure détaillée du programme. L’utilisation du
présent code nous a conduit à étudier en détail la méthode des volumes finis, les algorithmes
de couplage pression-vitesse, les techniques d’interpolation, les méthodes de résolution des
systèmes d’équations algébriques, la génération des grilles de calcul de type ‘‘body fitted’’, la
méthode multi-blocs et avant tout le développement des équations de transport type à résoudre
et la modélisation de la turbulence. Ce dernier point étant déjà développé dans le chapitre
précèdent, nous allons consacrer le présent chapitre à l'aspect numérique.
3.1 Transformation des équations en coordonnées généralisées (body
fitted coordinates)
Tout le long de ce chapitre nous allons considérer que le domaine physique est représenté par
le système de coordonnées cartésiennes ( y1, 2,3 ≡ x, y, z ), et le domaine de calcul par le
système de coordonnées curvilignes non-orthogonales ( x1, 2,3 ≡ ξ , η , ζ ).
L'équation stationnaire de transport d'une variable φ par convection-diffusion dans un
système de coordonnées cartésiennes, s'écrit sous la forme générale suivante :
∂φ
⎛ ⎞
∂
⎜ ρUi φ − Γ ⎟ = Sφ i = 1, 2, 3 (III-1)
⎜ ⎟
∂ yi ∂ yi
⎝ ⎠
où:
51

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
U i est la composante de la vitesse suivant la direction y i .
ρ la masse volumique.
Γ le coefficient de diffusion.
φ une des variables suivantes φ = 1, u, v, w, k , ε et T .
S φ le terme source relatif à la variable φ
Cette équation traduit bien un principe de conservation, où la partie gauche exprime le flux
par convection et diffusion alors que celle de droite représente la génération ou la destruction
de la variableφ.
Dans un système de coordonnées curvilignes non orthogonales généralisées, l’équation
précédente prend la forme suivante :
∂
(Ci φ + Diφ ) = J Sφ i = 1, 2, 3 (III-2)
∂ xi
C i = ρ β ij u j
où le terme de convection
le terme de diffusion de la variable φ
Diφ
J le jacobien de la transformation qui est définit par :
∂x ∂y ∂z
∂ξ ∂ξ ∂ξ
∂x ∂y ∂z
J= (III-3)
∂η ∂η ∂η
∂x ∂y ∂z
∂ζ ∂ζ ∂ζ
le développement de l’équation, (III-2) donne l’expression suivante :
∂
(C1φ + D1φ ) + ∂ (C 2φ + D2φ ) + ∂ (C3φ + D3φ ) = J Sφ (III-4)
∂ξ ∂η ∂ζ
et celui des termes d’advection :
( )
C1 = U 1 = ρ u β 11 + v β 2 + w β 3
1 1
(III-5)
= ρ (u β )
+ v β 22 + w β 32
C2 = U 2 2
(III-6)
1
= ρ (u β )
+ v β 2 + w β 33
C3 = U 3 3 3
(III-7)
1
∂ yj
β ij =
où : , est le cofacteur du jacobien définit par (III-3).
∂ xi
Pour les équations de la quantité de mouvement, les termes de diffusion s’écrivent :
52

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ
µ⎛ 1 3⎞
⎜ ∂ ξ + B2 ∂ η + B3 ∂ ζ + β 1 ω 1 + β 2ω 1 + β 3ω1 ⎟
⎜ B1
D1u = − 11 12
(III-8)
⎟
J⎝ ⎠
∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ
µ⎛ 2 3⎞
⎜ ∂ ξ + B2 ∂ η + B3 ∂ ζ + β 1 ω 1 + β 2 ω 1 + β 3 ω 1 ⎟
⎜ B12
D2 u = − 21 22
(III-9)
⎟
J⎝ ⎠
∂φ 3 ∂φ 3 ∂φ
µ⎛ 3 3⎞
⎜ ∂ ξ + B2 ∂ η + B3 ∂ ζ + β 1 ω 1 + β 2 ω 1 + β 3 ω1 ⎟
⎜ B13
D3u = − 31 32
(III-10)
⎟
J⎝ ⎠
et le terme source :
⎡∂ ⎤
∂ ∂
( ) ( ) ( )
1
p β 11 + p β 12 + p β 13 ⎥
Su = − ⎢ (III-11)
⎣∂ξ ∂η ∂ζ ⎦
J
où :
∂ ui
ω ij = β n B ij = β n β nj
i
, (III-12)
∂ xn
j
qui se développent comme :
∂ ui ∂ ui ∂u
ω ij = β 1 +β2 + β3 i (III-13)
∂ξ ∂η ∂ζ
j j j
B ij = β 1i β 1j + β 2 β 2j + β 3i β 3j
i
(III-14)
Dans le code de calcul utilisé (FAST3D), l’équation (III-8) du terme de diffusion est
décomposée en trois parties (les expressions ci-dessous sont écrites pour l’équation de
transport de φ = u , celles des autres variables sont rassemblées en annexe ):
µ ∂u
• Une contribution normale exprimée par − 1
et comptabilisée avec le flux
B1
∂ξ
J
convectif par la subroutine coeff(n).f.
µ⎛ 1 ∂u ⎞
1 ∂u
⎜ B2
⎜ ∂ η + B3 ∂ ζ ⎟ et comptabilisé comme
• Une contribution croisée exprimée par − ⎟
J⎝ ⎠
terme source par la subroutine cdflux.f.
• Une contribution due à la non-orthogonalité du système de coordonnées, exprimée par
µ
(β ω )
+ β 2ω 12 + β 3ω 13
− 1 1 1 1
et calculée par la subroutine pdtst.f avec le terme source
1 1
J
relatif au gradient de pression.
En prenant, ∆ξ = ∆η = ∆ζ = 1 , le jacobien J correspond au volume de l’élément sur lequel les
équations sont intégrées. Cette particularité sera d’un grand intérêt pour l’évaluation du
jacobien lors de l’implémentation du code de calcul.
53

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
3.2 Méthode des volumes finis
Le domaine de calcul est divisé en une série de sous domaines appelés volumes de contrôle.
Ces volumes de contrôle enveloppent tout le domaine de calcul sans chevauchement, de telle
façon que la somme de leurs volumes soit égale exactement au volume du domaine de calcul.
Un point est positionné au centre de chaque volume et est appelé centre du volume de
contrôle, il sera noté P, figure (III-1). Les nœuds des volumes voisins seront notés suivant
leurs positions N, S, W, E, T et B (se rapportant aux directions North, South, West, East, Top
et Bottom respectivement). Dans la méthode des volumes finis les lois de conservation (de la
masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie) sont exprimées localement sous une
forme intégrale. La pierre angulaire de cette méthode réside dans le théorème de Gauss
(appelé aussi le théorème de la divergence ou théorème d’Ostrogradski) et qui permet de
transformer une intégrale de volume en une intégrale de surface.
W
P
y3,
y2
y1,
E
B
Figure III-1 : Volume de contrôle dans un maillage tri dimensionnel non orthogonal.
L’équation (III-1) s’écrit encore sous la forme suivante:
div(ρ uφ ) = div(Γφ .grad (φ )) + Sφ (III-15)
et en intégrant sur un volume de contrôle (théorème de la divergence)
∫ ρ (u.n).φ . dA = ∫ Γφ grad (φ ).n. dA + ∫ Sφ dV (III-16)
A A CV
54

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
Où n est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface d'intégration A (on a privilégié la
lettre A pour la surface d'intégration pour éviter toute confusion avec le terme source qu'on a
déjà désigner par la lettre S). L'équation précédente s'écrit sous la forme :
⎛ ∂φ ⎞
∑ ρ (u.n) A f φ f =∑ ⎜ Γφ
⎜ ∂ n ⎟ . A f + S φ .∆V f = e, w, n, s, t et b (III-17)
⎟
f
f⎝ ⎠f
f
Où f représente la face d'intégration.
Traitement du terme source
Le terme source est scindé en deux parties suivant l'équation :
S = SU + S Pφ P (III-18)
où S U et S P peuvent être ou ne pas être fonction des variables indépendantes du problème.
On note ici que le taux de convergence et la stabilité des calculs sont étroitement liés à la
manière de définir les deux constantes de linéarisation ci-dessus. La principale condition à
respecter, en vue d'assurer la dominance diagonale de la matrice résultante, est que S P doit
représenter une quantité négative.
Traitement du terme de diffusion
⎛ ∂φ ⎞
∑ (Γφ ) ⎜ ⎟ A f sera approximé par :
Le terme de diffusion définit par f⎜ ⎟
⎝∂n⎠f
f
φN − φP
⎛ ∂φ ⎞
⎜
⎜∂n⎟ = d
⎟
⎝ ⎠f NP
(III-19)
f
où N représente le volume voisin ayant la P
P
facette d'intégration f en commun avec le
volume P, figure (III-2)
d NP est la distance entre les points P et N.
et (Γφ ) f peut être estimé par une simple
interpolation linéaire
Figure III-2 : Volume de contrôle (2D),maillage non-orthogonal
55

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
(Γ ) = α f (Γφ )P + (1 − α f )(Γφ )N (III-20)
φ f
d Nf
α f est un coefficient d'interpolation définit par: α f =
où
d Nf + d fP
d Nf et d fP se rapportent aux distances entre le point N - f, et f - P respectivement.
Traitement des termes de convection
∑ ρ (u.n ) A f φ f , il faut estimer les
Pour approximer les termes de convection définis par f
f
quantités (u.n ) f et φ f aux facettes du volume de contrôle. La première partie sera traité un
peu plus loin par l'interpolation de Rhie et Chow. La seconde fera intervenir des schémas
d’interpolation appropriés appelés schémas de convection.
Pour cela, on définit d'abord les deux coefficients :
F f = ρ ( u.n ) f A f (III-21)
(Γ ) Af
φ
Df =
f
(III-22)
d NP
qui quantifient respectivement la convection et la diffusion.
Le plus simple schéma qu'on puisse imaginer est une interpolation linéaire entre les deux
points P et N respectivement. Ce schéma centré présente un bon degré de précision (ordre 2),
il est noté CDS, Central Differencing Scheme et il s'écrit (pour un maillage équidistant)
comme :
φP + φN
φf = (III-23)
2
Enfin, la combinaison des équations (III-23) du schéma centré aux équations (III-17 à III-22)
donne l'équation générale suivante:
a P φ P = ∑ a nbφ nb + b (III-24)
où l'indice nb se rapporte aux nœuds voisins du point de calcul P.
et
1
a nb = D f − Ff (III-25)
2
b = S U ∆V (III-26)
56

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
et aP = ∑ anb − S P ∆V (III-27)
Malheureusement, il a été trouvé que ce schéma (CDS) n’est stable que pour des valeurs du
nombre de Peclet ( Pe = F D ) inférieur à 2. La discrétisation des termes de convection
nécessite donc, l’introduction de schémas tenant compte de l’effet de convection en amont. Le
plus simple étant le schéma avant (UDS, Upwind Differencig Scheme) qui présente une très
bonne stabilité numérique mais une mauvaise précision (ordre 1). L’adoption de ce schéma
consiste à suivre la propagation des propriétés physiques de l’écoulement.
En d'autres termes, le schéma UDS s'écrit de la manière suivante:
φ f = φP Ff > 0 ;
si
φ f = φN Ff < 0 ;
si (III-28)
Un nouveau schéma, appelé schéma HYBRID, permet de basculer entre le CDS et l'UDS. Il
profite de la stabilité du schéma UDS quand Pe>2 et de la précision du schéma CDS quand
Pe<2.
3.3 Schémas de convection
Le schéma UDS cité plus haut est très apprécié pour sa forte stabilité, mais il présente
l’inconvénient d’être d’une précision insuffisante, surtout pour les cas de décollement ou à
impact suivi de recirculation. Le passage au schéma centré CDS d’ordre 2, pose des
problèmes de stabilité des calculs. Ainsi, l’approximation des termes de convection est un
élément clé aussi bien pour la stabilité que pour la précision de l’algorithme numérique. Il se
trouve que le schéma le plus stable est en même temps le moins précis et vis versa. La
première amélioration qu’on puisse imaginer est de remplacer le schéma amont de premier
ordre par des formules de second ordre, où on fait intervenir plus d’un point amont. On espère
ainsi garder la stabilité du schéma amont tout en améliorant sa précision. Malheureusement,
ce genre de procédure conduit à des problèmes de stabilité similaires à ceux du schéma centré.
Beaucoup d’études comparatives ont été menées pour tester le mérite de tel ou tel schéma. En
résumé, les avantages du schéma QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective
Kinematics ) ont été largement appréhendés, aussi bien du coté de la précision que de la
stabilité. Toutefois, il faut noter que pour des équations faiblement non-lineaires et couplées,
tous les schémas de second ordre produisent des résultats précis. Alors, que pour des
équations fortement couplées et non linéaires, la convergence devient difficile, voir
impossible avec des schémas centrés ou même de type QUICK. Il se produit des oscillations
57

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
près des discontinuités appelées «wiggles ». C’est pour cette raison que dans les premières
simulations numériques, les termes de convection dans les équations du modèle k-ε , étaient
généralement approximées par des schémas amont de premier ordre. C’est une limitation
assez sévère, et le schéma correspondant devient ainsi très diffusif.
3.3.1 Schémas à haute précisions
Pour des raisons de simplicité de présentation, le développement suivant des schémas de
convection sera fait pour un problème à une seule dimension, figure (III-3).
Figure III-3 : Volume de contrôle pour un cas unidimensionnel.
Soit l'expression de la variable φ à la facette ''est'' du volume de contrôle de centre P définit
par :
φ e = φ P + ∆φ e (III-29)
où ∆φ e est la correction à apporter aux schéma de base UDS (Fe > 0) .
∆ x ⎛ ∂φ ⎞
∆φ e ≈ ⎜⎟
2 ⎝ ∂x ⎠ e (III-30)
(1 − κ ) ⎡φ P − φW ⎤ + (1 + κ ) ⎡φ E − φ P ⎤
⎛ ∂φ ⎞
⎜ ⎟≈
2 ⎢ ∆x ⎥ 2 ⎢ ∆x ⎥
⎝ ∂x ⎠e ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (III-31)
qui donne finalement l'expression suivante pour l’expression de φ sur la facette \"e\".
[ ]
(1 − κ )∆−e + (1 + κ )∆ e
1
φe = φ P + Ue > 0 (III-32)
4
Les opérateurs suivants sont définis en rapport avec la figure (III-3) :
58

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
∆e = φE −φP ∆+ = φ EE − φ E (III-33)
e
∆− = φ P − φ W ∆− − = φW − φWW
e (III-34)
e
La formulation de l’équation (III-32) présente l’avantage d’être universelle, on peut ainsi
basculer d’un schéma à un autre en changeant simplement le paramètre κ , ce qui revient à
dire qu’avec une seule subroutine nous disposons d’une famille de schémas différents tels
que:
K=-1, SOU, Second Order Upwind Differencing Scheme
ou LUDS, Linear Upwind Difference Scheme
3 1
φe = φ P − φW
2 2 (III-35)
K=1/2 QUICK, Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics
3 3 1
φe = φ E + φ P − φW
8 4 8 (III-36)
K=1/3 CUI, (Cubic Upwind Interpolation scheme)
1 5 1
φe = φ E + φ P − φW
3 6 6 (III-37)
CDS, (Central Difference Scheme)
K=1
φe = 0.5(φ E + φ P ) (III-38)
Chakravarty-1, (Chakravarthy et Osher 1985)
K=0
1 1
φ e = φ P + φ E − φW
4 4 (III-39)
K=-1/3 Chakravarty-2, (Chakravarthy et Osher 1985)
7 1 1
φ e = φ P − φW + φ E
6 3 6 (III-40)
3.3.2 Schémas à haute précision à limiteurs
A coté de la précision et de la stabilité qui sont les deux caractéristiques les plus importantes,
le critère de limite aux frontières (boundedness) est une propriété très recherchée pour un
schéma numérique de convection. Ainsi, en l’absence de sources (ou puits) les valeurs d’une
quantité φ à l’intérieur du domaine ne doivent en aucun cas sortir de l’intervalle construit par
les valeurs de la variable aux frontières. L’importance de cette caractéristique devient décisive
59

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
dans le calcul de l’énergie cinétique turbulente. Si lors de l’utilisation du modèle de
turbulence k-ε, la valeur de la dissipation de l’énergie turbulente devient négative, elle aboutit
directement à des valeurs négatives de la viscosité turbulente et inévitablement à la
divergence de l’algorithme de calcul. C’est pour cette raison que la plupart des premiers
calculs avec le modèle de turbulence k-ε utilisent le schéma HYBRID pour les équations de k
et ε.
Il ressort des études effectuées par plusieurs chercheurs que seul le schéma UDS peut garantir
le critère des limites aux frontières (boundedness). Malheureusement, ce schéma est précis
seulement au premier ordre, ce qui n’est pas suffisant pour les calculs courants. Il devient
impératif donc de construire un schéma garantissant le critère des limites aux frontières tout
en étant précis à un ordre supérieur à un. Un tel schéma ne doit pas prendre en considération
les très grandes valeurs du gradient de la variable considérée. Ceci est réalisable par un
contrôle continu du gradient à chaque itération et à l’intérieur de chaque volume de contrôle,
de telle manière à ne considérer que le gradient dans une certaine limite. Cet important
concept a été introduit sous forme de ‘limiteur’ contrôlant l’évolution du calcul. Le rôle de ces
limiteurs est de forcer le calcul numérique à vérifier la propriété des limites aux frontières.
Pour construire un tel schéma, il faut en premier lieu reconnaître les régions où une
intervention est nécessaire, et ensuite décider sur la nature de l’intervention à pratiquer.
Différentes procédures ont été proposées pour la construction des schémas limités à haute
précision. Les plus pratiques sont sans doute celles connues sous le nom de Total Variation
Diminishing (TVD). Cette technique repose sur la correction des termes de convection en
fonction de la solution instantanée disponible en utilisant une fonction indicatrice reflétant la
solution instantanée.
Schémas TVD
Considérons un schéma amont de second ordre :
[ ]
(1 − κ )∆−e + (1 + κ )∆ e
1
φe = φ P + Ue > 0 (III-41)
4
Pour rendre ce schéma compatible avec la propriété TVD, nous introduisons un limiteur non-
linéaire noté Ψ.
[ ]
(1 − κ )Ψi+−1 2 ∆−e + (1 + κ )Ψi++1 2 ∆ e
1
φe = φ P + Ue > 0 (III-42)
4
pour refléter l’allure locale de la solution, un indicateur est définit comme :
60

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
φ i +1 − φ i
ri +1 2 =
−
φi − φi −1 (III-43)
Une discussion très détaillée tenant compte de plusieurs options est disponible dans (Hirsh,
1984), toutefois nous pouvons citer quelques conditions importantes que doit vérifier ce genre
de limiteur. La plus importante est sans doute le fait que ce limiteur doit être positif
Ψ (r ) ≥ 0 pour r ≥ 0 (III-44)
quand un maximum ou un minimum est rencontré, r devient négatif. Dans ce cas on imposera
au limiteur la valeur nulle, ce qui correspond à un taux nul de changement de la variable φ. On
évite ainsi la parution des ‘under’ et ‘overshots’ au prix d’une perte locale de la précision
puisqu’en ce point le schéma devient purement UDC, équation (III-42).
Ψ (r ) = 0 pour r ≤ 0 (III-45)
En résumé le limiteur vérifie la condition suivante :
0 ≤ Ψ (r ) ≤ 2 r (III-46)
On trouve dans la littérature plusieurs variantes de fonction limiteur, telle que celle de van
Leer’s MUSCL (Monotonic Upstream Scheme for Convection Laws, Leonard, 1991) :
⎧x x<y xy > 0
if and
⎪
min mod( x, y ) = ⎨ y x>y xy > 0
if and
⎪0 xy < 0
if
⎩ (III-47)
et sous forme compacte :
min mod( A, ωB ) = sgn( A) max{0, min{ A , ωBsgn( A)}}
(III-48)
La fonction minmod, est définie pour sélectionner le nombre du plus faible module d’une série
de nombre quand ceux ci ont le même signe, et zéro autrement.
Comme précédemment nous adoptons une formulation condensée pour générer différents
types de schémas à limiteur appartenant à la même famille :
[ ]
(1 − κ )∆−e + (1 + κ )∆ e
1 ~
φe = φP + Ue > 0 (III-49)
4
[ ]
(1 − κ )∆+e + (1 + κ )∆ e
1 ~
φe = φP + Ue < 0 (III-50)
4
( ) ( )
~
∆− = min mod ∆− , ω∆ e ∆ e = min mod ∆ e , ω∆− (III-51)
e e e
= min mod(∆ , ω∆ ) = min mod(∆ )
~
, ω∆ e
+
∆+ +
∆e (III-52)
e e
e e
61

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
où les différents limiteurs se définissent par le paramètre ω choisi dans l’intervalle (1<ω<2):
Donc, le concept de la totale variation à conduit à des schémas d’ordre supérieur tout en
préservant la monotonicité. Ces schémas sont en général de second ordre, sauf dans les zones
de maximum ou minimum où le schéma devient seulement d’ordre 1. La principale restriction
est que l’analyse de ces schémas a été faite pour des problèmes à une seule dimension et
l’extension de tels schémas pour des problèmes à deux ou trois dimensions n’est pas évidente.
Dans cette étude nous allons adapter le schéma TVD/MUSCL avec le limiteur de
Chakravarthy-Osher pour l’approximation des termes de convection, en utilisant l’équation
(III-53) pour l’estimation de ω.
1 ≤ ω ≤ (3 − κ ) (1 − κ ) (III-53)
A cause de la non-linéarité du schéma TVD/MUSCL, nous suivons la procédure différée déjà
adaptée dans le code original (FAST3D) et qui consiste à scinder le schéma en une première
partie correspondant au schéma UDS et une deuxième partie qui représente la correction
apportée que nous ajoutons au terme source. Les schémas décrits plus haut sont implémentés
dans la nouvelle version du code par le biais deux nouvelles subroutines appelées coeff6.f et
coeff7.f pour les schémas d’ordre 2 avec limiteurs et les schémas d’ordre 2 sans limiteurs
respectivement.
Avant de terminer ce paragraphe, on note que la version originale du code (Fast3D) comporte
déjà quatre types de schéma et qui sont : HYBRID, QUICK, SOUCUP et HLPA. Les deux
derniers sont de type à limiteurs utilisant la technique NVD (Normalised Variable Diagram).
Cette dernière est similaire à la technique TVD décrite plus haut.
3.4 Traitement du gradient de pression
Normalement, le terme source S U dans les équations de la quantité de mouvement contient
un gradient de pression. L'équation (III-1) s'écrit donc (1D):
(ρ u u ) = − dp + d ⎛ µ d u ⎞ + S
d
⎜ ⎟ (III-54)
dx dx ⎝ dx ⎠
dx
Malheureusement, la pression n'apparaît pas dans l'équation de continuité. Pire encore, pour
un fluide incompressible où la masse volumique est constante, l'équation de continuité, qui
traduit le principe de conservation de la masse, se trouve complètement découplée des
équations du mouvement. Pour φ = 1 ; Γ = 0 et S = 0 dans l'équation (III-1), on obtient
l'équation de continuité.
62

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
du
=0 (III-55)
dx
ce qui donne:
ue − u w = 0 (III-56)
Normalement, si le champ de pression est connu, la résolution de l'équation de quantité de
mouvement (III-54) donne un champ de vitesse qui vérifie automatiquement l'équation de
continuité (III-56). Mais comme aucune information sur la pression ne peut être obtenue de
l'équation de continuité on est amené à résoudre ce problème par un algorithme itératif. C'est à
dire, on utilise une distribution quelconque de la pression pour résoudre l'équation de quantité
du mouvement. Le champ des vitesses obtenu ne vérifie pas l'équation de continuité, puisqu'il
a été déduit d'un champ de pression quelconque. L'idée est de déduire de l'équation de
continuité une équation pour corriger la pression. Alors, cette nouvelle pression est ré utiliser
pour calculer un nouveau champ de vitesse et ainsi de suite jusqu'à convergence de toutes les
variables du problème. Patankar (1981), a proposé un tel algorithme qu'il désigna Semi
Implicit Method for Pressure Linked Equations ou SIMPLE
Supposons qu'on veut intégrer l'équation (III-54) par rapport au volume de contrôle de centre
P. Le gradient de la pression sera discrétisé comme suit:
p⎞ p − pe
d
⎟=w
− (III-57)
⎟ ∆x
x ⎠P
d
et en utilisant une interpolation linéaire :
p⎞ 1 ⎛ pW + p P p P + p E ⎞ pW − p E
d
⎟=
− − ⎟=
⎜ (III-58)
⎟
x ⎠P ∆ x ⎝ 2 ∆x
⎠
d 2 2
Ce qui fait que l'information sur la pression au point P a purement et simplement disparue,
comme si la pression était calculée sur une grille double de celle de la vitesse. En
conséquence, un champ de pression non uniforme de type (50,100,50,100,50,…) sera capté
par le schéma ci-dessus comme étant un champ uniforme. L’addition d’un tel champ
(échiquier pour le cas bi dimensionnel) à la solution exacte sera aussi solution des équations
discrétisées. C’est le problème très connu sous le nom du problème de l’échiquier (chekboard
or red black problem). Le premier remède à cette situation a été proposé par Patankar. Il
consiste en l’utilisation de plusieurs grilles de calcul décalées les unes par rapport aux autres.
La pression sera intégrée sur le volume de contrôle de centre P, alors que la vitesse u sera
intégrée sur un autre volume ayant son centre au point w et ses limites W et P.
63

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
Pendant longtemps, il a été établi que le maillage entrelacé était la seule solution au problème
de la pression cité ci-dessus. En 1981, des travaux sur la méthode des volumes finis utilisant
un maillage non entrelacé ont été publiés par Hsu (1981), Prakash (1981) et Rhie (1981)
(références citées par Peric (1988)). Au début, ces travaux n’ont pas eu un grand écho parce
que la communauté des chercheurs était convaincue que l’utilisation d’une grille de calcul non
entrelacée aboutit inévitablement à des instabilités (Patankar, 1981). Un peu plus tard la
nouvelle méthode connue sous le nom de l’interpolation de Rhie & Chow fut tout de suite
adoptée par la quasi-totalité des codes et on a rapidement oublié l’ancienne méthode des
grilles entrelacées et ses complications.
3.5 Interpolation de Rhie et Chow
Quelques avantages de la nouvelle méthode par rapport à l’ancienne :
• Toutes les variables sont stockées au centre du même volume de contrôle, par conséquent
une seule grille de calcul est utilisée (gain en espace mémoire de stockage)
• Les termes de convections calculés sur les facettes des volumes de contrôle sont les
mêmes pour toutes les équations du problème.
• La pose des conditions aux limites est extrêmement simplifiée.
Une étude comparative entre les deux méthodes a été conduite par Peric (1988). Les résultats
numériques sur trois configurations différentes (toutes laminaires) ont montré que le taux de
convergence, la dépendance vis à vis des coefficients de relaxation et la précision sont
identiques pour les deux méthodes. Pour quelques cas étudiés, la nouvelle méthode converge
rapidement et garde l’avantage de la simplicité. Elle est aussi bien adaptée pour les techniques
multigrid, multizones et aux maillages non orthogonaux.
L’équation (III-54), écrite pour un volume de contrôle de centre P s’écrit :
⎛ ⎞
a P u P − (∇ x p ) P = ⎜ ∑ a nb u nb ⎟ + bP (III-59)
⎝ nb ⎠P
ou encore
H P (∇ x p ) P
uP = + (III-60)
aP aP
avec
⎛ ⎞
H P = ⎜ ∑ a nb u nb ⎟ + bP (III-61)
⎝ nb ⎠P
et pour le volume de contrôle voisin de centre N :
64

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
⎛ ⎞
a N u N − (∇ x p ) N = ⎜ ∑ a nb u nb ⎟ + bN (III-62)
⎝ nb ⎠N
H N (∇ x p ) N
uN = + (III-63)
aN aN
⎛ ⎞
H N = ⎜ ∑ a nb u nb ⎟ + b N (III-64)
⎝ nb ⎠N
Le principe de conservation permet d'écrire une équation de la même forme pour le point f
appartenant à la facette d'intégration.
⎛ ⎞
a f u f + (∇ x p ) f = ⎜ ∑ a nb u nb ⎟ + b f (III-65)
⎝ nb ⎠f
(∇ x p ) f
Hf
uf = + (III-66)
af af
⎛ ⎞
H f = ⎜ ∑ a nb u nb ⎟ + b f (III-67)
⎝ nb ⎠f
où :
(∇ x p ) f = Af nx ( pN − pP ) (III-68)
a f = α a P + (1 − α ) a N (III-69)
α est le coefficient d’interpolation.
le principe de l'interpolation de Rhie et Chow se base sur les équations (III-59) et (III-62) pour
approximer l'équation (III-65), d'où :
1 ⎡HP + HN ⎤ 1 ⎡ PN − PP ⎤
uf = ⎥+ a ⎢ ∆x ⎥ (III-70)
af ⎢
⎣ ⎦ f⎣ ⎦
2
[a P + a N ]
1
af = (III-71)
2
La clé de cette interpolation est que la vitesse est fonction de la pression en deux points
adjacents. En d’autres termes, pour éviter le problème de l’échiquier cité plus haut, la
nouvelle méthode passe indirectement par l’idée du maillage entrelacé.
3.6 Couplage vitesse-pression (SIMPLE et SIMPLEC)
L’intégration de l’équation (III-54) sur le volume de contrôle de centre P et de limites e et w
donne :
65

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
a P u P = ∑ a nb u nb + b − AP ( p e − p w ) (III-72)
L’introduction d’un champ de pression initial p* donne la solution provisoire u * (notons que
u * ne vérifie pas l’équation de continuité) :
( )
⎛ ∑ a nb u nb + b − AP p e − p w ⎞
* * *
⎜ nb ⎟
uP = ⎜
*
⎟ (III-73)
ap
⎜ ⎟
⎝ ⎠P
A ce stade, aucune des deux variables n’est correcte. Toutes les deux nécessitent une
correction.
u = u* + u ' (III-74)
p = p* + p ' (III-75)
où u ' et p ' sont les corrections qu’il faut estimer.
En introduisant les équations (III-74) et (III-75) dans (III-73) et en tenant compte de (III-72),
il s’ensuit :
u P = u P − d P ( pe' − p w )
* '
(III-76)
où :
AP
dP = (III-77)
aP
∑a '
Notons ici qu’on a négligé le terme u nb . Normalement, ce terme doit s’annuler lors de
nb
la convergence. C’est à dire que cette omission n’influe par sur le résultat final, mais elle
fausse un peu le résultat temporaire. C’est d’ailleurs la seule simplification faite dans
l’algorithme SIMPLE. Elle a été corrigée dans les variantes plus évoluées (SIMPLEC).
On obtient de l’équation (III-76) la correction de la vitesse :
⎛1⎞
u P = −⎜ ⎟ AP ( p e − p w )
' * *
(III-78)
⎜a ⎟
⎝ P ⎠P
L'équation de correction de la pression est déduite.
a P p P = ∑ a nb p nb − S m
' '
(III-79)
nb
L’introduction de l’expression corrigée (III-78) dans l’équation de continuité (III-56) , donne
l’équation de correction de la pression, qu’on écrira sous la forme (1D) :
a P p P = a E p E + aW pW + b
' ' '
(III-80)
où :
a E = (d A)e (III-81)
66

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
aW = (d A)w (III-82)
a P = a E + aW (III-83)
( ) − (u A)
b = u* A *
(III-84)
w e
D’après l’équation (III-80), le terme b représente le terme source de masse témoin d’un
champ de pression initial aléatoire. Normalement, l’algorithme de résolution doit annuler ce
terme.
L’algorithme SIMPLE est constitué des étapes suivantes :
1. Choix arbitraire d’un champ de pression initial p * .
2. Résolution des équations de quantité de mouvement (III-73 ), pour déduire un champ de
vitesse u * .
3. Calcul du terme source de la masse b de l’équation (III-84) et résolution de l’équation (III-
80) de correction de la pression.
4. Correction des champs de pression et de vitesse par les équations (III-74) et (III-75).
5. Résolution des autres équations de transport relatives aux autres scalaires du problème, tel
que la température ou les quantités turbulentes.
6. Remplacement de l’ancien champ de pression par le nouveau et retour à l’étape 2.
Les calculs seront répétés jusqu’à convergence de toutes les variables.
∑a '
Comme il a été mentionné plus haut, la simplification du terme u nb n’affecte en rien la
nb
solution finale, puisque si la convergence est atteinte ce terme devrait s’annuler. Toutefois, le
taux de convergence est modifié par cette simplification. Il se trouve que la correction p ' est
surestimée par SIMPLE et le calcul a tendance à diverger. Le remède pour stabiliser les
calculs est d’utiliser un coefficient de sous relaxation aussi bien pour les équations du moment
que celle de la pression. L’équation (III-75) devient :
p = p * + α p p' (III-85)
On note aussi que pour stabiliser l’algorithme, il est nécessaire de fixer le coefficient de sous
relaxation de p’ à des valeurs plus faibles que celles des équations du moment et que
l’équation de correction de la pression est généralement résolue plusieurs fois dans la même
itération globale.
∑a '
Pour corriger l’erreur introduite par la négligence du terme u nb dans SIMPLE, Van
nb
Doormal et Raithby (1984) ont apporté une amélioration à l’algorithme SIMPLE, qu’ils ont
renommé algorithme SIMPLEC (SIMPLE-Consistent)
67

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
La correction de la vitesse obtenue précédemment par les équations (III-74) et (III-75) sera
écrite :
( )
ue = ue + d e pP − pE
* ' '
(III-86)
où :
Ae
de = (III-87)
a e − ∑ a nb
∑a '
Remarquons, qu’au lieu de négliger complètement le terme u nb , on a retenu une partie
nb
∑a
de lui . Les étapes de SIMPLE restent les mêmes pour SIMPLEC.
nb
On note aussi, avant de terminer ce paragraphe, que les deux algorithmes SIMPLE et
SIMPLEC présentent l’inconvénient de nécessiter un champ de pression initiale pour amorcer
les calculs, or il est très difficile d’estimer un champ de pression correcte pour un écoulement
donné. L’amélioration apportée par l’algorithme SIMPLER (SIMPLE-Revised) corrige ce
défaut en initialisant le calcul par un champ de vitesse qu’il est plus facile à estimer et en
développant une équation propre de la pression p à coté de celle de la correction p’.
La version originale du code utilisé lors de cette étude (Fast3D) comporte l’algorithme
SIMPLE. L’algorithme SIMPLEC a été introduit plus tard par G. Theodoridis.
3.7 Introduction de la sous-relaxation
Soit φ P , la valeur de la variable issue de l'itération précédente, l'équation (III-24) s'écrit :
*
⎡ ∑ a nbφ nb + b ⎤
φP = φP + ⎢ − φP ⎥
* *
(III-88)
⎢ ⎥
aP
⎣ ⎦
Où l'expression entre crochets représente le changement de φ P dans l'itération actuelle. Pour
diminuer ce changement en vue de stabiliser les calculs, on introduit un coefficient α ayant
une valeur entre 0 et 1. Cette opération est appelée sous relaxation.
⎡ ∑ a nb φ nb + b ⎤
φP = φP + α ⎢ − φP ⎥
* *
(III-89)
⎢ ⎥
aP
⎣ ⎦
ou encore :
(1 − α )a Pφ P
*
aP
φ P = ∑ a nbφ nb + b + (III-90)
α α
Cette dernière équation garde la forme de l'équation (III-24), avec une légère modification des
coefficients. Cette formulation est très utile lors de l’implémentation numérique de la
68

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
relaxation. On introduit ainsi la sous relaxation par le choix d'un bon coefficient α . On note
également qu'après convergence, l'égalité φ P = φ P est satisfaite.
*
3.8 Résolution du système d’équations algébriques
Le but de la méthode numérique étant de transformer l’équation aux différences partielles
(E.D.P) en un système d’équations algébriques composé d’autant d’équations que
d’inconnues. Les inconnues sont les valeurs de la variable à prédire aux différents points de la
grille de calcul (centre des volumes de contrôle pour la méthode des volumes finis). Le
résultat peut s’exprimer sous forme matricielle :
A.φ = b (III-91)
Où A est une matrice carrée (n x n, n est le nombre des volumes de contrôle global), φ est le
vecteur d’inconnues et b un vecteur des quantités connues (source). La résolution d’un tel
système par une méthode directe n’est pas envisageable, vu la taille excessive de la matrice
habituellement utilisée dans les prédictions des écoulements et du transfert de chaleur (CFD).
Les méthodes directes sont très précises mais aussi extrêmement consommatrices de mémoire
de stockage et de temps de calcul. Elles sont donc réservées pour les systèmes de faible taille.
Les méthodes indirectes, dites itératives, sont donc incontournables en CFD. Ces méthodes
utilisent l’approximation actuelle φ n pour estimer (améliorer l’estimation) une nouvelle
solution φ n +1 . L’algorithme de résolution sera répéter plusieurs fois jusqu’à ce que la solution
satisfasse un critère de convergence prédéterminé. Le nombre des méthodes itératives étant
très importants et sont toutesdisponibles dans la littérature. Ainsi, on se limite à exposer ici la
méthode dite Strongly-Implicit Procedure (SIP) de Stone (1968) utilisée dans la version
originale du code.
Le principe de cette méthode est de décomposer la matrice A en deux matrices triangulaires
U (upper) et L (lower).
A.φ = L.U .φ = b (III-92)
L.V = b
ou : (III-93)
U .φ = V
et (III-94)
la résolution du système passe par deux étapes :
étape 1 : résoudre l’équation (III-93) pour trouver le vecteur temporaire V
résoudre l’équation (III-94) pour trouver le vecteur solution φ
étape 2 :
69

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
L’avantage de la méthode réside dans la grande simplification apportée par les matrices
triangulaires. Des tests de résolution de l’équation de Laplace ont montré que la méthode est
50 à 60% plus rapide que la méthode ADI (à directions alternées), (Anderson, 1984).
On note aussi que l’implémentation du code est complètement vectorisée. C’est à dire que
toutes les variables (3D) utilisées par le programme (plus de 70 variables) sont stockées dans
un même vecteur F (1D). Cette disposition permet de tirer profit des capacités des calculateurs
vectoriels pour minimiser le temps des calculs. Plus de détails sont disponibles dans (Zhu,
1992). L’étude présentée par G. Theodoridis (1996) montre que pour la même application, le
nombre de \"CPU times\" en minutes nécessaires à la convergence passe de 79 à 7900 d’une
machine vectorielle à une machine scalaire.
3.9 Techniques de génération du maillage
La précision des résultats obtenus par la méthode des volumes finis, ainsi que la conduite du
calcul (taux de convergence) sont étroitement liées à la qualité du maillage utilisé. La
complexité géométrique des problèmes à traiter numériquement a conduit à l’utilisation de
maillages de plus en plus complexes allant du simple maillage structuré, uniforme, et
orthogonal aux maillages non structurés, en passant par les grilles structurées, curvilignes et
non uniformes. Le maillage non structuré, qui a été initialement utilisé pour le calcul des
structures solides a trouvé récemment un large domaine d’application dans le calcul des
écoulements et du transfert de chaleur. Il présente une très grande flexibilité de génération de
la grille de calcul surtout pour augmenter la densité de concentration des points dans certaines
zones critiques.
Une autre solution plus simple, appliquée aux domaines de calcul tridimensionnel et à
géométrie complexe, réside dans l’utilisation de la méthode dite multi-bloc ou multi-zones
(Chen, 1994 ; Lien, 1996). La description détaillée de cette méthode sera faite un peu plus
loin.
En vue d’optimiser la taille de la grille de calcul, on est amené à utiliser une concentration de
points dans les zones de fort gradient, tel que les points de stagnation ou de discontinuité et
près des parois solides. Quand on n'est pas certain de la position exacte de ces zones critiques,
on peut utiliser la méthode de génération de maillage dite adaptive, où les nœuds du maillage
sont périodiquement redistribuer suivant des tests effectués sur la solution disponible
instantanément. Naturellement, la procédure est consommatrice d’un temps de calcul
supplémentaire.
70

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
Quand les frontières du domaine de calcul ne sont pas rectangulaires on est amené à utiliser
un maillage curviligne non-orthogonal épousant parfaitement les frontières de calcul de type
\"body fitted\". Ce genre de maillage facilite la pose des conditions aux limites et améliore par
conséquent la précision des résultats obtenus. La génération d’un tel maillage peut se faire
aussi bien par des méthodes différentielles ou algébriques. La plupart des méthodes
différentielles sont basées sur la solution des équations elliptiques de Laplace ou de Poisson
(Thompson et al., 1974). Dans ce dernier type d’équation, des termes sources sont employés
pour contrôler le maillage à l’intérieur du domaine de calcul, Thomas et Middlecoff (1979).
La méthode algébrique présente plusieurs niveaux de complexité allant de l’interpolation
transfinite à l’isogéométrique en passant par l’interpolation semi-isogéométrique.
La méthode la plus utilisée de génération du maillage est sans doute la méthode différentielle
de résolution des équations elliptiques. Elle présente l’avantage de contrôler les nœuds
internes par les termes sources et l’inconvénient d’être numériquement instable, surtout pour
le cas tridimensionnel ou les cas de fortes concentrations de points dans certaines régions.
Les fonctions de contrôle injectent l’influence de la distribution des nœuds de frontières à
l’intérieur du domaine de calcul. Les méthodes algébriques ont le grand avantage d’être
numériquement efficaces, elles sont très flexibles et permettent un contrôle parfait de l’espace
entre les nœuds. Cependant, dans beaucoup de situation, il est nécessaire d’introduire des
courbes ou des surfaces à l’intérieur du domaine avant d'interpoler algébriquement le reste des
nœuds.
Certains codes de calcul utilisent une méthode différentielle pour générer un premier maillage
grossier et ensuite une méthode algébrique pour raffiner le maillage suivant les spécifités de la
configuration étudiée (Zhu, 1992).
Les recommandations suivantes sont généralement très appréciées lors de la génération d’un
maillage de calcul (CFX-Tascflow, 1995).
Orthogonalité
Bien que l’orthogonalité du maillage à l’intérieur du domaine de calcul soit très appréciée, par
ce qu'elle minimise les erreurs de troncature, elle n’est pas un critère indispensable. Par contre
sur les frontières, cette condition est très importante, surtout si on utilise la loi de la paroi lors
de la modélisation de la turbulence.
71

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
Direction de l’écoulement
Il est très important de maintenir autant que possible les surfaces à i,j et k constants, alignées
avec la direction de l’écoulement. Cette disposition aide à maintenir les erreurs de diffusion
numérique au plus faible niveau possible. Cependant quand cet alignement est impossible à
réaliser, il faut utiliser des schémas numériques de convection à haut niveau de précision.
Aspect géométrique du volume de contrôle (Aspect ratio) et discontinuité
Cette caractéristique est définie par le rapport des arêtes des volumes de contrôle, qu’il est
généralement recommandé de maintenir à des valeurs raisonnables. C’est à dire qu’il faut
éviter d’avoir des volumes de contrôles où une arête dépasse 100 fois les autres. (La valeur
100 est donnée à titre indicatif. Elle est inspirée du manuel du code commercial Tascflow
(1995). L’utilisation d’un maillage à densité non uniforme conduit à la détérioration de la
précision surtout si les schémas de convection utilisés sont développés pour un maillage
uniforme (la très connue formule du schéma QUICK est développée pour un maillage
uniforme) comme c’est le cas du code utilisé dans cette étude. Ainsi, il est très recommandé
d’utiliser un coefficient de raffinement autant que possible près de l’unité à l’intérieur de
chaque zone et quand une région de forte densité de nœud est voisine à une autre région de
faible densité de nœuds. Il faut s’arranger de telle manière que le passage entre les deux
régions soit progressif.
En général, un bon maillage doit épouser parfaitement les frontières du domaine de calcul,
avoir une distribution lissée des nœuds, avoir une concentration de nœuds dans les zones où
un large gradient est suspecté et enfin il doit être orthogonal aux frontières.
Le code de génération de maillage tridimensionnel construit lors de cette étude repose sur les
deux méthodes : algébrique et elliptique suivant une procédure multi-blocs (ou multi-zones).
La méthode multi-block (ou multi-zones)
Cette méthode est un compromis entre les méthodes structurées mono-bloc et les méthodes
non-structurées générales. Elle consiste à décomposer le domaine de calcul en bloc (sous-
domaines) qui seront résolus séparément. L’information se propage entre les blocs par
l’intermédiaire de zones de connectivités. La solution finale doit être indépendante du choix
du nombre et de la taille des blocs utilisés. Normalement, les sous domaines ainsi construits
doivent être géométriquement plus simples que le domaine global. Par exemple, pour le cas
72

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
du refroidissement par film, la considération de l’écoulement à l’intérieur du trou d’injection
et le \"plenum\" est facilitée par la décomposition du domaine de calcul en plusieurs blocs,
comprenant un bloc principal de l’écoulement au-dessus de la plaque à refroidir, un bloc pour
chaque trou d’injection considéré et un bloc pour le \"plenum\".
Les avantages de cette méthode se résument en :
• La possibilité de décomposer le domaine de calcul suivant les processus physiques et
utiliser des modèles mathématiques différents sur chacun des sous-domaines en fonction
des caractéristiques physiques du problème. Par exemple différents modèles de turbulence
selon ses caractéristiques, ou différents types d’équations (elliptiques ou paraboliques)
suivant la complexité de l’écoulement, ou encore différents schémas d’approximation de
la convection.
• L’exploitation efficace des machines multi-processeurs, en partageant de façon optimale
les calculs entre les différents processeurs moyennant une programmation parallélisée.
• Pour les domaines géométriquement complexes, la méthode permet de réaliser un
important gain en espace mémoire de stockage des variables en évitant l’utilisation
excessive des volumes bloqués.
• La génération du maillage se trouve considérablement simplifiée et plus efficace. Le
traitement des sous domaines de formes simplifiées est plus aisé par rapport au domaine
global complexe. On peut même envisager différents types de maillage pour chaque bloc
(par exemple en O, C ou H).
Pour utiliser cette méthode, la première étape réside dans la définition des frontières et des
systèmes de coordonnées pour chaque bloc. Un maillage est ensuite généré pour chaque bloc
séparément, et les systèmes de coordonnées utilisées peuvent avoir - ou ne pas avoir - les
mêmes directions. La seule restriction à vérifier est la continuité du maillage entre les blocs
adjacents et la parfaite superposition des nœuds des interfaces reliants les différentes zones.
Suivant la technique d’interpolation utilisée, un certain nombre de volumes de contrôles sont
communs aux zones voisines les unes aux autres et forment des zones appelées zones de
connectivité, figure (III-4). Elles sont considérées comme une sorte de conditions aux limites
temporaires. Pour notre cas, l’utilisation de l’interpolation de Rhie et Chow (1983) pour la
correction de la pression et les schémas de convection d’ordre supérieur pour les termes de
convection nous conduit à joindre à chaque zone une couche de deux volumes de contrôles
originaires du bloc voisin. La figure (III-4) montre ce détail pour le trou d’injection.
73

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
Les calculs sont effectués dans chaque bloc séparément. Avant et après la résolution de
chaque équation du modèle mathématique, on procède à une actualisation des variables des
zones de connectivité, figure (III-4).
1 2
Figure III-4 : Zone de connectivité (la méthode multi-blocs)
Donc, après avoir repérer les différents blocs (géométrie assez simple) on génère une grille
pour chaque bloc à part. La génération d’une sous-grille passe par quatre étapes successives :
1. Génération des points : Cette première étape est la plus simple, elle consiste à repérer les
points extrêmes du domaine, leur donner des indices et introduire les dimensions
géométriques du bloc.
2. Génération des lignes : En utilisant une routine adaptée, on génère des lignes ou des
courbes entres les différents points construits précédemment. Un coefficient de
raffinement permet de contrôler la distribution des nœuds intermédiaires entre les nœuds
frontières.
3. Génération des surfaces : Disposant des nœuds
formant les lignes frontières, on génère les
Y
X
surfaces soit par interpolation géométrique ou par
Z
la résolution des équations elliptiques de Poisson.
4. Génération du volume : Ici aussi, la génération
du volume passe par une interpolation
géométrique ou bien par la méthode
différentielle.
La conduite des calculs est contrôlée par une visualisation graphique après chaque étape.
Une fois les grilles de tous les blocs construites, on fait appel à un module de pre-processing
pour rassembler les différentes grilles en une seule grande grille en les arrangeant de la façon
la plus optimale possible suivant la taille et la forme de chaque bloc (en minimisant les zones
74

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
bloquées), en joignant à chaque bloc les zones de connectivité nécessaires et en y insérant des
zones bloquées entre les sous grilles.
3.10 Description de la version améliorée de FAST-3D
La version originale du FAST-3D est destinée pour la résolution de l’écoulement tri-
dimensionnel, incompressible, stationnaire et à frontières complexes. Il présente les
caractéristiques suivantes :
• Utilisation d’un maillage structuré, curvilinaire, non orthogonale de type Body-fitted.
• La grille de calcul est de type non entrelacé, permettant la localisation de toutes les
variables au centre des volumes de contrôles. Cette disposition à l’avantage de simplifier
la pose des conditions aux limites et la programmation, d’économiser l’espace mémoire
ainsi que le temps de calcul. Pour remédier aux oscillations du champ de pression, le code
utilise la technique d’interpolation de Rhie et Chow (1983).
• Les composantes de la vitesse sont rapportées au système de coordonnées cartésiennes.
Cette disposition permet de simplifier la pose des conditions aux limites par rapport à
celle utilisant des composantes alignées au maillage curvilinaire, surtout à l’entrée du
domaine étudié.
• Le couplage pression-vitesse est effectué suivant l’algorithme SIMPLE de Patankar et
Spalding (1972)
• L’approximation des termes de convection peut se faire suivant l’un des quatre schémas
de convection disponibles : HYBRID (Spalding, 1972), QUICK (Leonard, 1979),
SOUCUP (Zhu, 1991) et HLPA (Zhu et Rodi 1991).
• Les équations algébriques discrétisées sont résolues par la méthode SIP (Strongly Implicit
Procedure) (Stone, 1968).
La turbulence est traitée suivant la version standard du modèle k − ε , et les conditions aux
•
frontières solides sont traitées par la loi logarithmique de Launder et Spalding (1974).
• Le langage de programmation utilisé est le Fortran à haut degré de vectorisation.
• Le programme ne comporte aucun module de pre- ou post-processing.
Le programme est composé d’une centaine de subroutine compilé en projet, et divisé en deux
groupes distincts comme le montre clairement la figure (III-5) :
75

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique
Figure III-5 : Processus du calcul du FAST3D, Zhu, 1992.
• Les routines indépendantes sont générales et ne doivent pas être changées.
• Les routines dépendantes doivent être adaptées pour chaque configuration étudiée.
Plusieurs améliorations ont été introduites précédemment par G. Theodoridis et D. Lakehal, et
récemment par A. Azzi (2001a), notamment, quelques opérations de pré-processing en
relation avec la méthode multibloc, les schémas de convection à limiteur et une contribution
dans la mise au point des modèles EASM de turbulence et de l'approche bi-couche. En plus
des caractéristiques propres au FAST-3D, la nouvelle version est dotée des particularités
suivantes :
• L’utilisation de la méthode multibloc.
• L’utilisation de l’algorithme SIMPLEC de Van Doormal et Raithby (1984).
• L’intégration de plusieurs nouveaux schémas de convection à haute précision et à limiteur.
• L’implémentation de la modification anisotropique de Bergeles (1978) ainsi que celle
relative à la zone bi-couche.
• L’implémentation de nouveaux modèles de turbulence de type EASM.
• L'implémentation de la technique bi-couche en TLK et TLV.
• La considération de la compressibilité du fluide ainsi que l’état non stationnaire.
• L’introduction de nouveaux types de conditions aux limites pour la température.
76

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Chapitre IV
Validation de l'outil de calcul
4.1 Introduction
La prédiction numérique des écoulements et du transfert de chaleur, communément connue
sous le nom de CFD (Computational Fluid Dynamics), devient de plus en plus acceptable
dans le monde de l’engineering comme moyen d'aide à l'optimisation et au contrôle des
écoulements. Cela est bien sur dû au grand essor de l’informatique mais surtout au
développement spectaculaire des méthodes numériques et de la maîtrise des erreurs
introduites par cette technique.
En effet, les erreurs des prédictions numériques peuvent être classées en trois grands groupes
comme l’a présenté avec détail Jasak (1998 ) dans ces travaux.
• Erreur due au modèle mathématique, définie comme la différence entre la
physique de l'écoulement et la solution exacte du modèle mathématique censé la
décrire. Ce type d'erreur n'apparaît donc pas dans le cas ou l'écoulement est
laminaire. Les équations de Navier-Stokes lui sont suffisantes. Dans le cas d'un
écoulement turbulent ou réactif, c'est précisément l'introduction du modèle
mathématique qui est à la source de ces erreurs.
• Le deuxième groupe d’erreurs est lié aux méthodes numériques utilisées pour
la résolution du modèle mathématique qui est formé de plusieurs équations aux
dérivées partielles non linéaires et fortement couplées. C’est donc la différence entre
la solution exacte du modèle mathématique et la solution du système d’équations
algébriques issues de la discrétisation des équations originales. Ce type d’erreur est
lié d’un coté aux schémas de discrétisation et d’un autre coté à la discrétisation
spatiale et temporelle du domaine de calcul.
• Le système d’équations algébriques obtenu est généralement résolu en
utilisant un algorithme itératif. La différence entre la solution exacte du système et
la solution convergente de la méthode itérative est considérée comme le troisième
type d’erreur. Evidement cette erreur est maîtrisée par un critère de convergence
établi par l’utilisateur en fonction de la précision désirée.
77

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Il est clair maintenant que les deux premiers groupes d’erreur nécessitent une calibration
assez précise avant acceptation d’une solution numérique. La validation de l'outil de calcul
sera donc faite dans ce chapitre en deux étapes : La première vérifie les erreurs liées à la
manière de discretiser le domaine de calcul et les schémas de convection adoptés et la
seconde contrôle les performances des modèles de turbulence utilisés.
4.2 Erreurs de discrétisations
4.2.1 Etude de la qualité du maillage
La version originale du code utilisé dans cette étude, comporte comme beaucoup d’autres
codes des expressions de schémas de convection formulées pour un maillage uniforme. Ainsi,
le but de cette étude est de montrer que les schémas QUICK de Leonard (1979), et HLPA de
Zhu (1991), tels qu’ils sont implementés dans FAST3D, présentent des niveaux de précision
dépendant de la nature du maillage utilisé (uniforme ou non uniforme).
Le cas-test sélectionné est le ‘2-d lid-driven cavity, laminar’. Cette configuration est très
documentée et a été déjà utilisée pour développer des schémas numériques à haute précision
(Shreiber and Keller, 1983 ; Huang et al. 1985 ; Theodoridis, 1993). Nous avons utilisé trois
grilles uniformes ayant (22 × 22 ) , (42 × 42 ) et (82 × 82 ) nœuds, qu’on a noté Grid1U,
Grid2U et Grid3U respectivement. Trois autres grilles de même taille mais non uniformes,
notées Gird1NU, Grid2NU et Grid3NU sont générées en raffinant le maillage à partir du
centre de la cavité vers les parois par un coefficient 1,2. Les coefficients de relaxation utilisés
sont de 0.8 pour les équations de quantité de mouvement et de 0.3 pour la correction de la
pression.
Maillage Uniforme
Sur la figure (IV-1), est représenté un schéma du cas-test étudié avec ses conditions aux
limites et son système de coordonnées. La grille de calcul Grid2NU est représentée sur la
figure (IV-2).
Pour ce premier test, 12 cas ont été calculés correspondants aux quatre schémas du FAST3D
et les trois grilles (Grid1U, Grid2U et Grid3U). Les figures (IV-3), (IV-4), (IV-5) et (IV-6)
représentent la distribution de la composante vitesse U à la position x/D = 0.5 comparée aux
mesures expérimentales de Schreiber et Keller (1983) pour les quatre schémas disponibles
78

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
que sont HYBRID de Spalding (1972), QUICK de Leonard (1979), SOUCUP de Zhu (1991) et
HLPA de Zhu (1991).
Bien que l’indépendance numérique vis à vis du maillage n’est atteinte pour aucun des
schémas utilisés, la supériorité des schémas QUICK et HLPA (second ordre) est bien évidente.
Pour la même densité de grille de calcul les résultats du schéma QUICK sont plus proche des
mesures expérimentales que ceux obtenus par le schéma HYBRID. On note aussi que les
calculs effectués avec les schémas QUICK et HLPA (82 × 82 ) adhérent exactement aux
mesures expérimentales.
En comparant la figure (IV-6) à la figure (IV-3), il est clair que les prédictions numériques
obtenues par le schéma QUICK (42 × 42 ) sont plus proches des mesures expérimentales que
ceux obtenus par le schéma HYBRID (82 × 82 ) . Ce qui confirme qu'on peut avoir plus de
précision avec un schéma de second ordre et un maillage grossier qu'avec un schéma d'ordre 1
et une grille plus dense.
Maillage Non Uniforme
Les mêmes cas ont été calculés pour un maillage non uniforme. Les figures (IV-7), (IV-8),
(IV-9) et (IV-10) représentent la distribution de la composante vitesse U à la position x/D =
0.5 comparée aux résultats expérimentaux de Schreiber et Keller (1983), pour les mêmes
schémas disponibles, à savoir HYBRID, QUICK, SOUCUP et HLPA.
Ici l’indépendance numérique de la grille de calcul est atteinte pour tous les schémas à
Grid2NU. La supériorité des deux schémas QUICK et HLPA par rapport aux deux autres est
toujours vérifiée, mais comparés aux résultats du maillage uniforme une nette détérioration
des résultats est sensible. L'examen des figures (IV-7) et (IV-8), indiquent bien que même en
utilisant des grilles de calcul denses, les prédictions numériques sont assez éloignées des
mesures expérimentales. Les résultats numériques des deux schémas HLPA et QUICK avec le
maillage grossier Grid1NU (22 × 22 ) présentent même une légère supériorité sur ceux du
schéma HYBRID avec Grid3NU (82 × 82 ) , plus spécialement dans la moitié supérieure des
courbes. Ces tests confirment la supériorité des schémas de second ordre par rapport à ceux
du premier ordre.
Sur la figure (IV-11), sont représentés les résultats obtenus pour le schéma QUICK avec les
deux grilles Grid3U et Grid3NU. Les résultats de la grille Grid3U Uniforme sont nettement
79

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
meilleurs que ceux de Grid3NU. Les mêmes conclusions sont obtenues de la figure (IV-12)
pour le schéma HLPA. Alors que les courbes correspondantes à la grille uniforme sont
exactement superposées sur les résultats expérimentaux, ceux de la grille non uniforme
présentent des erreurs qui sont plus accentuées pour le schéma HLPA que pour le QUICK.
En conclusion, nous pouvons dire que le schéma QUICK (seconde ordre pour un maillage
uniforme) implementé dans FAST3D, en se basant sur une formulation de maillage uniforme,
devient moins précis pour un maillage non uniforme. La détérioration de la précision est plus
accentuée pour le HLPA que pour le QUICK. Ainsi le FAST3D tel qu’il est structuré donne
une bonne précision seulement pour un maillage uniforme. Dans le cas où l’utilisation d’un
maillage non uniforme serait nécessaire, ce qui est pratiquement toujours le cas, il est
fortement conseillé l’usage d’un coefficient de raffinement (streching) très proche de 1.
80

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Y
U
1
Wall Wall
0
X
0 1
Wall
Figure (IV-1) : 2D Lid-driven Cavité
Figure (IV-2) : Grille de calcul non uniforme,
Grid2NU
1,0 1,0
Schre iber & K eller, 19 83 Schreib er & Ke ller, 198 3
Gr id1u Grid 1u
Gr id2u Grid 2u
0,8 0,8
Gr id3u Grid 3u
Hyb rid
Soucup
0,6 0,6
y/D y/D
0,4 0,4
0,2 0,2
0,0 0,0
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
U/U0 U/U0
Figure (IV-3) : Schéma Hybrid avec maillage Figure (IV-4) : Schéma Soucup avec maillage
uniforme uniforme
1,0 1,0
Schreib er & Ke ller, 198 3
S chr eiber & K eller, 1 983
Grid 1u
G rid1u
Grid 2u
G rid2u
0,8 0,8
Grid 3u
G rid3u
Quick
Hlpa
0,6 0,6
y/D y/D
0,4 0,4
0,2 0,2
0,0 0,0
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
U/U0 U/U0
Figure (IV-5) : Schéma Hlpa avec maillage Figure (6 IV-) : Schéma Quick avec maillage
uniforme uniforme
81

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
1,0 1,0
S chr eiber & K eller, 1 983
Schreib er & Ke ller, 198 3
G rid1 nu
Grid 1 nu
Grid 2 nu G rid2 nu
0,8 0,8
G rid3 nu
Grid 3 nu
S oucup
Hybri d
0,6 0,6
y/D y/D
0,4 0,4
0,2 0,2
0,0 0,0
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
U/U0 U/U0
Figure (IV-7) : Schéma Hybrid avec maillage non Figure (IV-8) : Schéma Soucup avec maillage non
uniforme uniforme
1,0 1,0
S chr eiber & K eller, 19 83 S chr eiber & K eller, 19 83
G rid1 nu G rid1 nu
G rid2 nu G rid2 nu
0,8 0,8
G rid3 nu G rid3 nu
Quick
Hlpa
0,6 0,6
y/D y/D
0,4 0,4
0,2 0,2
0,0 0,0
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
U/U0 U/U0
Figure (IV-9) : Schéma Hlpa avec maillage non Figure (IV-10) : Schéma Quick avec maillage non
uniforme uniforme
1,0 1,0
Schreib er & Ke ller, 198 3 Schreib er & Ke ller, 198 3
Grid 3 U Grid 3 U
Grid 3 NU Grid 3 NU
0,8 0,8
QUICK HLPA
0,6 0,6
y/D y/D
0,4 0,4
0,2 0,2
0,0 0,0
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
U/U0 U/U0
Figure (IV-12) : Schéma Hlpa avec maillage
Figure (IV-11) : Schéma Quick avec maillage
uniforme et non uniforme
uniforme et non uniforme
82

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
4.2.2 Etude des schémas de convection
Dans cette partie, nous allons vérifier la précision des quatre schémas disponibles dans
FAST3D, ensuite les six schémas non limités (unbounded) de la routine coeff7, et enfin les
cinq schémas à limiteurs (bounded) de la routine coeff6 (voir le chapitre III pour les routines
coeff6 et coeff7). Ces derniers schémas ont été implementés dans la nouvelle version du code.
Pour se limiter au seul phénomène de convection, nous considérons un cas de pure convection
d'un scalaire φ , sans diffusion et sans source.
L'équation correspondante s'écrit :
U .Grad .(φ ) = 0. (IV-1)
Pour tester le cas défavorable où la direction de l’écoulement ne coïncide pas avec la direction
du maillage, l’angle entre la direction de la vitesse et l'axe horizontal est fixé à 30°. Sur la
figure (IV-13), sont représentés le domaine de calcul, la direction de la vitesse, les conditions
aux limites et la solution exacte du premier test (la marche).
sortie
1
φ=1
U sortie
entré
30°
φ=0
0
entré
0 1
Figure (IV-13) : Cas test des schémas de convection : Profil de la marche
Pour écarter les erreurs induites par la non uniformité du maillage cités dans le paragraphe
précédent, nous avons choisis un maillage uniforme constitué de 30 × 30 volumes de contrôle.
En s'inspirant de l’étude exhaustive menée par Jasak (1998), nous avons sélectionné trois test
représentatifs. Le but est de vérifier le comportement des schémas de convection dans ces
différentes situations.
83

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Les conditions à l’entrée de Leonard (1991), citées par Jasak (1998), s’écrivent :
• Test 1 : Profil de la marche :
⎧ 1
for 0 ≤ x < ,
⎪0
⎪
φ (x ) = ⎨ 6
(IV-2)
1
⎪1 for ≤ x ≤ 1,
⎪
⎩ 6
• Test 2 : Profil Sin2 :
⎧ 2⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 1
⎪sin ⎢3π ⎜ x − ⎟⎥ ≤x< ,
for
φ (x ) = ⎨ ⎣⎝ 6 ⎠⎦ (IV-3)
6 2
⎪0
⎩ autrement ,
• Test 3 : Profil Semi-ellipse :
⎧ 2
⎛ x −1 3⎞ 1 1
⎪
⎪ 1− ⎜
⎜ 16 ⎟ ≤x< ,
φ (x ) = ⎨
for
⎟ (IV-4)
⎝ ⎠ 6 2
⎪
⎪0
⎩ autrement,
Profil de la marche
La solution de ce cas présente la particularité d'une discontinuité brusque rappelant l'onde de
choc dans les écoulements compressibles. Cette discontinuité dans la solution exacte est un
test assez sévère pour les schémas de convection. Sur la figure 14, sont comparées les
solutions obtenues par les schémas disponibles dans le code FAST3D, comparées à la
solution exacte, alors que sur la figure (IV-15) sont comparées les solutions données par la
routine coeff7 implémentée dans le code. On rappelle que cette routine utilise une formule
universelle permettant de passer d'un schéma à un autre par le choix d'un paramètre. Les
schémas sont tous de second ordre mais sans limiteur. La solution du schéma HYBRID sur la
figure (IV-14) est loin d'être satisfaisante, alors que celles des autres schémas de second ordre
est plus près de la solution exacte mais présente des imperfections des deux cotés de la
discontinuité. Exception faite pour le schéma HLPA, qui est limité suivant la technique de la
variable normalisée. La figure (IV-16), présente les solutions obtenues par les mêmes
schémas mais en introduisant un limiteur (coeff6, chapitre III). L'introduction du limiteur
permet de garder la précision des schémas de second ordre tout en éliminant l'imperfection de
la figure (IV-15).
Enfin, pour permettre une comparaison directe nous avons rassemblé sur la figure (IV-17) le
schéma QUICK avec et sans limiteur (TVD) et le schéma HLPA (limiteur NVA). La
comparaison de ces schémas avec la solution exacte indique clairement l'avantage de
84

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
l'utilisation du limiteur pour ce cas test. Le schéma QUICK avec limiteur présente une légère
supériorité sur le schéma HLPA.
Profil Sin2
L’objectif de ce cas est de vérifier le comportement des différents schémas de convection
dans une situation où la solution exacte présente un changement progressif passant par un
maximum. Ce test est motivé par le fait que les limiteurs associés aux schémas de convection
forcent ces derniers à une précision d'ordre 1 lorsqu'il y' a changement de direction (maximum
ou minimum). Notre but est de mettre en évidence ce point précis qui est considéré comme
l'inconvénient majeur des schémas à limiteurs. Les solutions numériques comparées à la
solution exacte sont représentées sur les figures (IV-18), (IV-19), (IV-20) et (IV-21). Celles
ci sont construites suivant la même stratégie du test précèdent. C'est à dire que la figure (IV-
18) montre la précision limitée du schéma HYBRID et les oscillations indésirables du schéma
QUICK. Sur la figure (IV-19), on aboutit aux mêmes observations précédentes pour les
schémas d'ordre deux sans limiteurs alors que sur la figure (IV-20) l'introduction des limiteurs
empêche la solution de chevaucher hors des limites naturelles du problème. Le prix à payer
est bien sur une faible précision au environ du maximum. La figure (IV-21) montre clairement
que le schéma QUICK avec limiteur est plus performant dans la zone de changement de
direction alors qu'il est moins bon que le QUICK sans limiteurs au environ du maximum.
Profil Semi-ellipse
Ce test diffère du précèdent par le fait que la solution change brusquement alors que le
maximum n'est pas très marqué. Dans le test précèdent le changement était progressif et le
maximum bien marqué (sous forme de pic). Les résultats sont représentés sur les figures (IV-
22), (IV-23), (IV-24) et (IV-25) et les mêmes conclusions du test précèdent sont valables pour
celui-ci. La différence est que l'absence du pic a fait que le schéma QUICK avec limiteur
donne les meilleurs résultats puisqu'il n'est plus confronté à un maximum très marqué de la
solution.
Pour estimer l'effort de calcul supplémentaire introduit par l'adoption des limiteurs, nous
avons reporté sur le tableau (IV-1) le nombre d'itérations nécessaires pour réaliser un résidu
maximum de 10-5, le temps de calcul global et le temps moyen consommé par chaque
itération sur une machine scalaire de type PC 333 Mhz. La première remarque obtenue du
85

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
tableau est bien sur le nombre excessif d'itérations (575) nécessaires pour le schéma CDS avec
un temps globale de 23 secondes. Bien que le temps alloué à chaque itération pour ce schéma
est seulement de 0.04 seconde. La comparaison entre les schémas originaux du code et la
routine coeff7 que nous avons implémenté montre la supériorité de cette dernière en temps de
calcul nécessaire. Le schéma QUICK original nécessite 0.089 secondes alors que le nôtre ne
prend que 0.076, ce qui donne pour ce cas une différence d'une seconde dans le temps global
du calcul. L'examen de la dernière partie du tableau révèle que l'introduction des limiteurs
n'apporte aucune complication supplémentaire puisque le temps global de convergence reste
pratiquement dans les mêmes limites.
En conclusion l’étude présentée ci-dessus, montre que l'adoption des limiteurs ne peut être
que bénéfique, puisqu'elle permet de se débarrasser définitivement des oscillations
indésirables lors des changements brusques de la solution. Cette particularité bien précieuse
permet l'application des schémas à haute précision aux équations très sensibles de la
turbulence. Nous avons montré aussi que la faible précision des schémas d'ordre 1 les écartent
systématiquement de toute simulation raisonnable. Parmi les schémas essayés dans cette
étude, le schéma à haute précision QUICK avec limiteur s’est avéré le meilleur de tous et sera
par conséquent utilisé par défaut dans tout ce qui suit.
Tableau (IV-1). Nombre d’itérations et temps de calcul
Schémas du Fast3d HYBRID QUICK SOUCUP HLPA
Nombre d’itérations 62 79 62 53
Temps [Sec] 8 7 6 6
Temps moyen par itération [Sec] 0.129 0.089 0.097 0.113
Schémas de haute précision de la routine, CUI CHAKRAVA LUDS CHAKRAVA QUICK CDS
coeff7 RTHY-1 RTHY-2
Nombre d’itérations 70 60 54 55 79 575
Temps [Sec] 6 5 5 5 6 23
Temps moyen par itération [Sec] 0.086 0.083 0.093 0.091 0.076 0.040
Schémas à limiteurs, coeff6 CUI CHAKRAVARTHY-1 LUDS CHAKRAVARTHY-2 QUICK
Nombre d’itérations 66 68 82 65 68
Temps [Sec] 5 6 6 5 5
Temps moyen par itération [Sec] 0.076 0.088 0.073 0.077 0.074
86

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
1,2 1,2
1,0
1,0
0,8
0,8
Exact Exact
0,6
0,6 Hybrid CDS
(x) 0,4
φ(x)
Quick CUI
φ
0,4 Soucup Chakravarty-1
0,2
Hlpa Luds
0,2
Chakravarty-2
0,0
Quick
0,0
-0,2
-0,2 -0,4
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X X
Figure (IV-14) : Profil de la marche : schémas du Figure (IV-15) : Profil de la marche, schémas sans
code Fast3D limiteurs (coeff7)
1,2
1,0
1,0
0,8
0,8
Exact
0,6 0,6
CUI
(x)
Chakravarty-1
φ(x)
φ Exact
0,4 0,4
Luds
Quick
Chakravarty-2
Hlpa
0,2
Quick
0,2
Quick avec limiteur
0,0
0,0
-0,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X X
Figure (IV-16) : Profil de la marche, schémas avec Figure (IV-17) : Profil de la marche
limiteurs, (coeff6)
1,0
1,0
0,8
Exact
0,8
Exact
Hybrid Cds
0,6
Quick
0,6 Cui
Soucup (x) Chakravarty-1
φ(x)
φ
Hlpa 0,4 Luds
0,4
Chakravarty-2
0,2 Quick
0,2
0,0
0,0
-0,2
-0,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X
X
Figure (IV-19) : Profil Sin2, schémas sans limiteurs
Figure (IV-18) : Profil Sin2 , schémas du code
(coeff7)
Fast3D
87

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
1,0
1,0
Bounded Schemes 0,8
0,8
Exact
Exact
Quick
Cui 0,6
0,6 Hlpa
Chakravarty-1
(x) Quick avec limiteur
φ(x)
φ Luds 0,4
0,4
Chakravarty-2
Quick 0,2
0,2
0,0
0,0
-0,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X X
Figure (IV-20) : Profil Sin2, schémas avec Figure (IV-21) : Profil Sin2
limiteurs, (coeff6)
1,2
1,0
1,0
Exact
0,8
Exact Cds
0,8
Hybrid Cui
0,6
Quick Chakravarty-1
0,6
(x)
Soucup Luds
φ(x)
φ
0,4
Hlpa 0,4 Chakravarty-2
Quick
0,2
0,2
0,0 0,0
-0,2 -0,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X X
Figure (IV-22) : Profil Semi-ellipse, schémas du Figure (IV-23) : Profil Semi-ellipse, schémas sans
code Fast3D limiteurs (coeff7)
Exact
1,0 1,0
Quick
Bounded Schemes Hlpa
0,8
0,8
Quick avec limiteur
Exact
Cui 0,6
0,6
Chakravarty-1
(x)
φ
φ(x)
Luds 0,4
0,4
Chakravarty-2
Quick 0,2
0,2
0,0
0,0
-0,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X
X
Figure (IV-24) : Profil Semi-ellipse, schémas avec Figure (IV-25) : Profil Semi-ellipse
limiteurs, (coeff6)
88

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
4.3 Erreurs de modélisation
Pour valider les modèles de turbulence adoptés, nous avons procédé aux essais suivants :
L'écoulement turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles et l'écoulement
turbulent sur une marche descendante. Ces deux écoulements font intervenir des phénomènes
assez importants et diversifiés leurs attribuants le statut de cas test largement utilisés pour la
validation des codes de calcul.
4.3.1 Simulation de l’écoulement turbulent pleinement développé entre deux
plaques parallèles
En dépit de sa simplicité géométrique, l’écoulement turbulent pleinement développé dans un
canal bi-dimensionnel est un cas-test très important. C'est par excellence le cas idéal pour
calibrer la modélisation de la turbulence près des parois solides. La validation est
considérablement facilitée par la disponibilité de beaucoup de mesures expérimentales et de
calculs DNS aussi claires que complètes. L’écoulement en question présente donc un très bon
exemple pour montrer les limites des modèles basés sur l’hypothèse de la viscosité turbulente
tel que la version standard du modèle k-ε.. En effet, ce type de modèles complètement
isotropes est incapable de marquer la différence entre les contraintes normales et de
cisaillement de Reynolds. Le cas-test est aussi un bon moyen pour montrer les limites du
traitement classique des conditions aux limites avec la technique ''loi de la paroi''. L’utilisation
d’un modèle à une seule équation pour résoudre la sous couche visqueuse est plus appropriée
pour la capture des quantités turbulentes près des parois solides, tout en étant raisonnable vis a
vis de la densité du maillage nécessaire (10 à 15 nœuds au lieu de 25 à 30 pour les modèles
purement à bas nombre de Reynolds). Le fait que l'échelle de longueur demeure constante
près de la paroi solide, rend ce type de modèles plus appropriés pour les cas de gradient de
pression défavorable que les modèles purs k-ε à bas nombre de Reynolds. Notons aussi que la
bonne prédiction des quantités turbulentes dans cette partie critique de l’écoulement est
indispensable pour la justesse du calcul du champ thermique associé.
89

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Dans ce cas bien précis le seul gradient de vitesse qui existe est ∂ U ∂ y . Par conséquent, les
termes non linéaires dans les modèles EASM n’ont plus d'influence et la principale
amélioration de ces modèles est attribuée principalement aux expressions évoluées de C µ et
au traitement près de la paroi solide.
L’un des plus importants paramètres dans ce cas est le coefficient de frottement, qui est
formulé par Dean (1978) comme suit : C f = 0.073Re −1 4 .
Pour la validation de nos calculs, nous avons choisi deux cas avec différent nombre de
Reynolds (Re=6666 et Re=13750) et dont les résultats DNS sont disponibles dans la
littérature.
Le premier cas-test est celui de Gilbert et Kleiser (1993) ayant les caractéristiques suivantes :
Test Case: Fully Developed 2-D Channel Flow
Code Number: CH12__PG.WL5
Date of Release: December, 1993
Computors: N. Gilbert and L. Kleiser Institute of Fluid Mechanics German Aerospace
Research Establishment (DLR) Bunsenstrasse 10 D-37073 Goettingen, Germany
Flow conditions
Re_tau = delta*u_tau/nu = 211
Re_m = 2*delta*Um/nu = 6666
The data presented here are non-dimensionalized by the wall variables, i.e., u_tau and nu.
Les fichiers des résultats DNS sont disponibles à l’adresse électronique suivante :
http://www.thtlab.t.u-tokyo.ac.jp/
Le deuxième cas est celui de Kim et al. (1987), basé sur un nombre de Reynolds relativement
élevé par rapport au précédent (Re=13750). Les calculs DNS de Kim et al, ont été vérifiés
expérimentalement plus tard par Nishino et Kasagi (1989) en utilisant la méthode dite (three-
dimensional particle tracking velocimeter measurements).
Les modèles de turbulences appliqués sont :
• La version standard du modèle k-ε à haut nombre de Reynolds.
• Les deux modèles algébriques de type EASM (Explicit Algebraic Stress Model) de Shih et
al. (1993 et 1995) où le développement des composantes du tenseur de Reynolds est limité
aux termes quadratiques.
90

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
• Le modèle de Craft et al., (1996) qui est aussi de type EASM mais comportant les termes
quadratiques et cubiques.
• Le modèle de Lien et al. (1996) de même nature que le précèdent.
• Le modèle de Gatski et Speziale (1993) modifié par Lakehal et Thiele (1999), de type
EASM quadratique.
Ces modèles seront notés respectivement SKE, S93, S95, LCL, CLS et GLT.
Le traitement des parois solides est réalisé en plus du traitement classique ''loi de paroi'', selon
une méthode bi-couches à bas nombre de Reynolds. Les deux variantes du modèle de Rodi
(1991 et 1993) sont appliquées à ce cas test, et sont notés TLK et TLV respectivement.
Les expressions de ces modèles sont développées dans le chapitre II consacré aux modèles
mathématiques.
Afin d’assurer le caractère complètement développé de l’écoulement, le domaine de calcul
utilisé dans cette étude est élargi jusqu’à 30 fois la distance entre les deux plaques. Une large
étude de sensibilité des résultats à la taille de la grille de calcul a mené à l’adoption de 221 et
101 points dans les directions longitudinales et transversales respectivement.
Les autres conditions sont :
La vitesse débitante moyenne et fixée à U m = 5 m / sec , la moitié de la distance entre les deux
plaques δ = 0.5 m , la masse volumique ρ = 1.2 et la viscosité dynamique est calculé suivant
le nombre de Reynolds par Re = ρ U m 2δ µ . A l’entrée du canal, l’intensité de la turbulence
a été fixée à 5% et la viscosité turbulente vaut 50 fois la viscosité laminaire. Le tableau (IV-
2), représente les prédictions numériques du coefficient de frottement comparées aux valeurs
empiriques de Dean (1978). L’examen des valeurs ci-dessous montre qu’il y a une légère
surestimation de ce coefficient et que l’approche TLK semble être plus appropriée pour la
prédiction de ce coefficient.
Tableau. (IV-2). Comparaison du Coefficient de frottement pour un écoulement turbulent pleinement
développé dans un canal 2D.
RE Exp. SKE-WF SKE S93 S95 GLT LCL CLS
GK92 0.0080 0.0073 0.0090 0.0086 0.0085 0.0086 0.0087 0.0087 TLK
6666 0.0090 0.0091 0.0086 0.0092 0.0073 0.0093 TLV
KM87 0.0067 0.0067 0.0067 0.0064 0.0068 0.0068 0.0071 TLK
13750 0.0073 0.0072 0.0067 0.0074 0.0074 0.0073 TLV
91

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Sur les figures (IV-26a, b, c et d) sont présentés les résultats de nos calculs comparés aux
résultats du calcul DNS de Gilbert & Kleiser (1993). La comparaison est faite respectivement
pour les grandeurs suivantes : tensions croisées de Reynolds, énergie cinétique de turbulence,
sa dissipation et les tensions normales de la turbulence. Nos résultats concernent le modèle
standard k-ε couplé à une procédure de loi logarithmique de la paroi ainsi que les deux
variantes du modèle bi-couches notés TLK et TLV. On rappelle que ce dernier modèle est basé
sur une distribution de la composante normale de fluctuation de la vitesse ν ' basée sur les
résultats DNS de Kim et al. (1987).
On note tout d'abord sur la figure (IV-26a) que jusqu'à environ ( y + = 200) , les tensions
croisées de la turbulence sont parfaitement reproduit par les deux modèles TLK et TLV.
Cependant, le pic de k + est bien capter par le modèle TLV, alors qu(il est sous-estimé par le
modèle TLK, figure (IV-26b). Cette défaillance est une conséquence directe de la
surestimation de ε + enregistrée au environ de l'endroit où k + atteint son maximum. On note
aussi sur la figure (IV-26c) que le modèle TLK se comporte de la même manière que les
autres modèles à bas nombre de Reynolds en sous estimant sensiblement la valeur maximale
de ε + près de la paroi solide. La défaillance des modèles basés sur la théorie de la viscosité
turbulente à séparer les composantes normales de Reynolds est bien évidente sur la figure
(IV-26d).
3.0 5
+
k
2
-uv/U τ
DNS GK93
2.5
4
SKE-WF
SKE-TLK
DNS GK93
2.0
SKE-TLV
SKE-WF 3
SKE-TLK
1.5
SKE-TLV
2
1.0
1
0.5
0.0 0
+
1 10 100 +
0 50 100 150 200
y y
( b ) Profil de l’énergie turbulente.
( a ) Profil des tensions turbulentes croisées.
92

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
0.30 3
Symbols DNS GK93
DNS GK93
4
SKE-WF
SKE-WF
ε / (Uτ /µ)
0.25
SKE-TLK
SKE-TLK
SKE-TLV
SKE-TLV
0.20 2
urms/U τ v rms/U τ w rms/U τ
0.15
0.10 1
0.05
0.00
0
+
1 10 100
y +
1 10 100
y
( c ) Profil de la dissipation de l’énergie turbulente. ( d ) Profils des tensions turbulentes normales.
Figure (IV-26) : Ecoulement turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles,
Re= 6666, DNS ( Gilbert & Kleiser, 1992)
Une sélection des résultats issus du test des modèles algébriques est représentée par les
figures (IV-27a, b, c et d). La comparaison concerne les composantes normales de la
turbulence du modèle quadratique GS/LT ainsi que le modèle cubique CLS. Les résultats des
deux approches TLK et TLV sont comparés au calcul DNS. L'examen de ces figures met en
évidence l'aptitude de l'ensemble des modèles algébriques à séparer les différentes
composantes du tenseur de Reynolds, sans toutefois égaler celle faite par le calcul DNS. Il est
claire aussi que les résultats issus de l'approche TLV sont meilleurs que ceux de TLK et que le
modèle quadratique GS/LT l'emporte sur le CLS. Ce dernier ainsi que les autres modèles
algébriques (non représentés) ne séparent pas assez les composantes normales (v + ) et latérales
(w ) par rapport
+
à la paroi solide.
3
3
Symbols: DNS GK93
Symbols: DNS GK93 Lines : GLT-TLV
Lines : GLT-TLK
urms/Uτ vrms /Uτ wrms/Uτ
urms /Uτ vrms /Uτ w rms/U τ
2
2
1
1
0
0 1 10 100
+
y
+
1 10 100
y
(b)
(a)
93

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
3
3
Symbols: DNS GK93
Symbols: DNS GK93
Lines : CLS-TLV
Lines : CLS-TLK
urms /Uτ vrms /U τ w rms /Uτ
urms /Uτ vrms/Uτ wrms /Uτ
2
2
1
1
0
0
1 10 100
1 10 100 +
+
y y
(c) (d)
Figure (IV-27) : Ecoulement turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles,
Re= 6666, DNS( Gilbert & Kleiser, 1992)
Bien que la reproduction exacte de ces composantes n'est par primordiale pour un écoulement
attaché comme celui de notre test, elle est très appréciée dans le cas d'écoulements
secondaires (vortex). A l'issue de ce test, nous pouvons dire que l'utilisation d'un modèle non-
linéaire à deux équations couplé à un modèle non-linéaire à une équation dans la zone affectée
par la viscosité, peut constitué une alternative assez robuste et concurrente aux procédures
purement à bas nombre de Reynolds.
La confrontation des résultats issus de notre test sur le cas de Kim et al. (1987) aux calculs
DNS est légèrement meilleure que celle enregistrée pour le cas test précèdent. Ceci est dû
sûrement au fait que le nombre de Reynolds (Re =13750) de ce cas est plus élevé que celui de
Gilbert & Kleiser (1993). Les conclusions qu'ont pourrait tirées de ces résultats sont similaires
à ceux du cas test procèdent, ainsi nous avons choisis de ne pas encombrer ce mémoire par
d'autres figures.
4.3.2. Simulation de l’écoulement turbulent sur une Marche descendante
(turbulent backward facing step flow)
Cette configuration est le cas-test le plus utilisé pour la validation des codes de calcul et plus
spécialement les modèles de turbulence. Il a été codifié sous le numéro 0421, lors de la
classification des cas-test à la conférence de Stanford sur les écoulements turbulents en 1981
(Nallasamy, 1987).
94

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Bien que la configuration géométrique d’un tel écoulement semble être assez simple,
l’écoulement est en effet très complexe puisqu’il est associé à des phénomènes physiques tel
que le décollement de la couche limite, son ré-attachement, un gradient de pression inverse
accompagné d’un bulbe de recirculation et la courbature des lignes de courant. Tous ces
phénomènes doivent être captés et estimés avec justesse, ce qui rend ce cas particulièrement
difficile à modéliser numériquement.
La première configuration testée dans cette étude est celle étudiée expérimentalement par Kim
et al. (1978) et numériquement par Shih et al. (1993) et (1995). Elle sera dorénavant notée cas
KK78. Notre choix pour cette configuration est motivé par le fait qu'elle a été choisie par Shih
et al. (1993) et (1995) lors de la présentation de leur modèles EASM. La validation par ce cas
sera pour nous une assurance de la bonne implémetation du modèle dans notre code de calcul.
La deuxième configuration est celle étudiée par Lee and Moin (1992). Elle correspond à un
cas de faible nombre de Reynolds (Re = 5100) où les résultats détaillés obtenus par la
méthode DNS sont disponibles sur le réseau Internet. Elle sera notée cas LM92.
La figure (IV-30) associée au tableau (IV-3) résument tous les paramètres des deux cas test.
P i l KK78 t ét i l
Hd
y
Hs
0
Le
Ls
Figure (IV-30) : Géométrie de la marche descendante.
Tableau (IV-3) : Paramètres du cas test de la marche descendante.
δ
Cas Re Ls Le Hs Hd Uref
KK78 44737 0.6 10 40 1 2 1
LM9 5100 - 3 27 1 5 1
Cas KK78
95

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
Ce cas a été étudié numériquement à deux reprises par le même groupe de chercheurs (Shih et
al., 1993) et (Shih et al., 1995) avec deux modèles de type EASM que nous avons repris dans
notre étude et qui sont notés SZL93 et SZL95 respectivement (voir le chapitre II). Un profil de
vitesse suivant une fonction puissance d’ordre 6 avec épaisseur de la couche limite
δ mentionnée au tableau (IV-3) est appliqué à l’entrée du domaine de calcul. Comme nous ne
disposons pas des profils de k et ε à l’entrée, nous avons appliqué une intensité de
turbulence de l’ordre de 5% et une dissipation de l’énergie cinétique turbulente ε selon la loi
ε = C µ 4 k 3 2 L . Où L = min (0.41 ∆y, 0.085 δ ) et ∆y est la distance entre le point de calcul et
3
la paroi solide. Ces deux expressions ont été utilisées par Shih et al, (1993) et (1995).
La taille du maillage utilisé pour cette configuration est inspirée de l’étude numérique
conduite par Shih et al. (1993), où l’étude de sensibilité numérique a montré que les résultats
obtenus par la grille fine se composant de 200 × 92 volumes de contrôles dans les directions x
et y respectivement, sont numériquement indépendants de la taille de la grille de calcul.
Pour ce cas nous ne disposons que de la longueur de ré-attachement qui est d'ailleurs un
important paramètre de validation pour le cas de la marche descendante. Le tableau (IV-4)
présente cette longueur, calculée par les différents modèles de turbulence considérés par la
présente étude, comparée aux valeurs expérimentales ainsi que celles calculées par Shih et al.
(1993) et Obi et al. (1989) avec un modèle de type RSM.
La première constatation qui constitue pour nous une assurance de la bonne implémentation
du modèle S93 et S95 dans le code de calcul, montre la correspondance des résultats obtenus
par cette étude (''loi de paroi'') avec ceux obtenus par Shih et al. (1993) et (1995) (toujours en
''loi de paroi''). Le code de calcul original étant le même, la très faible différence est sûrement
due aux conditions à l’entrée qui sont légèrement différentes puisque nous ne disposons pas
des profils à l’entrée contrairement à Shih et al. (1993). Un autre facteur d’influence sera peut
être le taux de raffinement du maillage adopté pour les deux calculs.
Les résultats du tableau (IV-4) montrent clairement la nette amélioration apportée par les
modèles EASM par rapport à la version standard du modèle k − ε et aussi l’avantage d’une
approche type bi-couche. Il est mentionné par Shih et al. (1993) que cette amélioration est due
principalement à l’expression évoluée de C µ et que l’anisotropie du modèle ne joue qu’un
rôle marginal dans un tel cas-test.
Tableau (IV-4) : Longueurs de ré-attachement du cas test KK78 de la marche descendante.
Exp, KK78 SKE de Shih et al. 1993 SZL93 de Shih et al. SZL95 de Shih et al. RSM de Obi et al. 1989
1993 1995
96

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
7 ± 0.5 6.35 7.35 7.27 6.44
Exp, KK78 SKE-TLK SZL93-TLK SZL95-TLK GLT-TLK LCL-TLK
7 ± 0.5 6.21 7.48 6.98 6.67 7.15
Cas LM92
Notre choix pour cette configuration est motivé par le fait de disposer de fichiers complets des
profils de toutes les variables du cas dans différentes stations après la marche, y compris dans
la zone de recirculation. Le cas est aussi caractérisé par son faible nombre de Reynolds. On
note aussi, qu’une condition de symétrie est appliquée à la frontière supérieure de la marche et
qu'on dispose des profils de la vitesse moyenne et l’énergie cinétique turbulente à l’entrée du
domaine de calcul. La dissipation a été calculée en supposant une viscosité turbulente égale à
cinquante fois la viscosité moléculaire ( µt =50.µ ).
L’étude de sensibilité aux maillages basée sur trois grilles différentes a aboutit à un maillage
optimal non uniforme composé de 191× 121 points suivant les coordonnées x et y
respectivement. Un raffinement du maillage est appliqué au voisinage du coin de la marche
dans les deux directions et aussi près des parois solides.
Les figures (IV-31) et (IV-32) comparent les profils de la vitesse longitudinale, les contraintes
de cisaillement de Reynolds et l'énergie cinétique turbulente en plusieurs positions après la
marche descendante, avant et après le point de ré-attachement. Sur la première figure sont
rassemblés les résultats du modèle SKE, des modèles EASM (SZL93 et SZL95) et ceux de la
méthode DNS de Lee and Moin (1992), et sur la seconde on compare les modèles GLT et
LCL. Les figures (IV-31a) et (IV-32a) montrent la supériorité des modèles EASM à mieux
capter les profils de la vitesse dans la zone de recirculation, spécialement l'écoulement de
retour. Un peu plus loin (x/H>20) tous les profils coïncident avec les résultats DNS.
Conformément à beaucoup d’investigations précédentes (Michelassi, 1996), il a été trouvé
que la version standard du modèle k − ε sur-estime l'énergie cinétique turbulente dans la zone
de recirculation, figures (IV-31c) et (IV-32c). Ces figures montrent aussi que les modèles
EASM reproduisent assez fidèlement un bon niveau de l’énergie cinétique turbulente dans la
zone de recirculation.
L'examen des figures (IV-31c) et (IV-31d) et (IV-32c) et (IV-32d) confirme les constatations
avancées par Nallasamy (1987), qui explique que la sous estimation de la longueur de ré-
attachement est liée à une énergie de turbulence élevée dans la zone de recirculation. La sur-
estimation du niveau des contraintes de cisaillement dans cette zone produit un niveau élevé
de la viscosité turbulente.
97

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
3,0 3,0
DNS Le & Moin, 1992
y/H
y/H SKE-TLK
2,5 2,5
S93-TLK
S95-TLK
2,0 2,0
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
0,0 0,0
2 4 6 8 10 12 14 16 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
10 . U + x 10 . U + x
( a)
3,0 3,0
y/H
y/H
2,5 2,5
2,0 2,0
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
0,0 0,0
0 2 4 6 9 12 15 18
300 . u'v' + x 300 . u'v' + x
(b)
3,0 3,0
y/H y/H
2,5 2,5
2,0 2,0
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
0,0 0,0
4 6 8 10 9 12 15 18 21
100 . k + x 100 . k + x
(c)
Figure (IV-31) : Ecoulement turbulent sur une marche descendente, Re = 5100. SKE, S93 et S95
98

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul
3,0 3,0
DNS Le & Moin, 1992
y/H
y/H SKE-TLK
2,5 2,5
GLT-TLK
LCL-TLK
2,0 2,0
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
0,0 0,0
2 4 6 8 10 12 14 16 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
10 . U + x 10 . U + x
(a)
3,0 3,0
y/H
y/H
2,5 2,5
2,0 2,0
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
0,0 0,0
0 2 4 6 9 12 15 18
300 . u'v' + x 300 . u'v' + x
(b)
3,0 3,0
y/H y/H
2,5 2,5
2,0 2,0
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
0,0 0,0
4 6 8 10 9 12 15 18 21
100 . k + x 100 . k + x
(c)
Figure (IV-32) : Ecoulement turbulent sur une marche descendente, Re = 5100. SKE, GLT et LCL
99

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Chapitre V
Simulation 3D du refroidissement par film
5.1 Injection sur une plaque plane
5.1.1 Motivations
L'équipe du Professeur Ligrani à l’Université de Utah (USA) a menée des recherches
considérables dans le domaine du refroidissement par film. Leurs études expérimentales
portent sur la compréhension des mécanismes physiques qu'impliquent la variation de la
disposition des canaux d'injection. Dans le but de cerner de plus près le phénomène et
concentrer l’étude sur l’interaction du fluide refroidissant avec les gaz émanant de chambre de
combustion, la géométrie du modèle a été simplifiée en la ramenant à une simple plaque
plane. Plus de détails sont disponibles dans les travaux publiés par Ligrani et al. (1992, 1994
et 1995).
5.1.2 Présentation du problème
Parmi une multitude de cas testés notre choix s’est porté sur trois configurations géométriques
étudiées expérimentalement par Ligrani et al. (1992, 1994 et 1995). Ces configurations
correspondent à :
• Une seule rangée de trous inclinés d’un angle simple (c’est à dire dans la direction de
l’écoulement principal).
• Deux rangés de trous inclinés d’un angle simple.
• Deux rangés de trous inclinés d’un angle composé (Inclinaison dans la direction de
l’écoulement, et inclinaison latérale).
Elles seront notées cas 1RS, cas 2RS et cas 2RC respectivement.
La géométrie de ces trois configurations est schématisée par la figure (V-1). Chaque partie de
cette figure présente une vue de la surface plane à refroidir (plan x-z). La figure (V-2), montre
une vue en perspective détaillant les différents angles d'inclinaison des trous d'injection. La
projection de l'axe du trou d'injection sur le plan longitudinal (x-y) forme l'angle Ω qui vaut
35° pour toutes les variantes. La projection de l'axe du trou d'injection sur le plan transversal
(z-y) forme l'angle β qui vaut 90° pour les deux premières configurations et 30° pour la
dernière. La vue de dessus montrée à le figure (V-1), présente pour la configuration 3 un
101

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
angle de déviation de 50.5°, alors que l'inclinaison par rapport à la surface à refroidir sera de
24°. Sur le tableau (V-1) sont représentés toutes les dimensions géométriques des trois
configurations.
x/d
z/d
3d
6d
( a ) Cas 1RS: Une rangée de trous inclinés d’un angle simple.
x/d
z/d
4d
X
Z
6d
domaine de calcul
( b ) Cas 2RS: Deux rangées de trous inclinés d’un angle simple.
x/d
z/d
4d
50.5° X
Z
6d
( c ) Cas 2RC: Deux rangées de trous inclinés d’un angle composé.
Figure (V-1) : Géométrie des trois cas étudiés
102

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Z
X
Y
β=30° Projection du trou
d'injecton sur le plan
α=50.5°
latéral
Ω=35°
θ=24°
Projection du trou
d'injection sur le plan
longitudinal
Figure (V-2) : Détails géométriques de l’inclinaison composée (2RC)
Table (V-1) : Paramètres géométriques des trois configurations
d [mm]
α θ Ω β
Configuration s/d p/d
Cas1, 1RS 0° 35° 35° 90° 9,45 6 -
Cas2, 2RS 0° 35° 35° 90° 9,45 6 4
Cas3, 2RC 50.5° 24° 35° 30° 9,45 6 4
5.1.3 Domaine de calcul
Dans la figure (V-1) l’espacement (p/d) entre les trous dans chaque rangée est de six fois le
diamètre du trou d’injection, alors que l’espace (s/d) entre les deux rangées des 2RS et 2RC
est de quatre fois le diamètre du trou d’injection. Le diamètre nominal du trou d’injection est
103

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
de 9.45 mm. Comme il est montré sur la figure (V-1), la position longitudinale (x/d) à partir
du bord aval du trou d’injection de la deuxième rangée est utilisée pour représenter la
distribution de l’efficacité de refroidissement et comparer les différentes configurations entre
elles. L’abscisse X indique la distance à partir du centre du trou d’injection de la première
rangée. Le début du domaine de calcul qui correspond à l’entrée de l’écoulement principal est
positionné à 7d en amont du centre du trou d’injection de la première rangée, alors que la
sortie de l’écoulement est à 78d en aval du même point. La hauteur du domaine de calcul est
fixée à 8d et la longueur du trou d’injection est prise égale à 7d, figure (V-3). Les dimensions
géométriques indiquées ont étés fixées après plusieurs tentatives afin de minimiser leurs
influences sur les résultats de la simulation tout en optimisant la taille de la grille de calcul.
Y
X
Z
8d
4d
7d
3d
Figure (V-3) : Géométrie du domaine de calcul, cas 2RS.
5.1.4 Conditions aux limites
En raison de la nature elliptique du problème considéré, des conditions aux limites pour toutes
les variables doivent être définies sur toutes les frontières géométriques du domaine de calcul.
Néanmoins, vu la non compressibilité des fluides considérés, la pression fait exception et sera
extrapolée à partir de l’intérieur du domaine de calcul. Le tableau (V-2) rassemble quelques
paramètres du problème étudié. En s’inspirant de la répétabilité du processus le long des
rangées de trous suivant la direction z, le domaine de calcul est limité par un plan de symétrie
passant par le centre du trou d’injection et un deuxième plan passant par le milieu de la
104

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
distance entre deux trous de la même rangée pour le cas 1RS et 2RS. Alors que pour le cas
2RC et à cause de l’injection composée, deux plans de périodicités sont positionnés comme le
montre la figure (V-1).
Table (V-2) : Paramètres des différentes simulations
[kg / m ]
U ∞ [m / s ] ρc ρ∞
δ /d
µ M
3
ρ Tu ∞
1.8 10-5
10.0 1.2 5% 1.03 1 0.5, 1.0 & 1.5
A l’entrée du domaine de calcul, un profil de vitesse inspiré des données expérimentales de
Ligrani et al. (1992) est imposé. Il correspond à une vitesse débitante moyenne de 10m/s et
une épaisseur de couche limite d’environ 1d. Les profiles de k et ε sont spécifiés en utilisant
une distribution uniforme correspondante à une intensité de turbulence de 5 % et un rapport
entre la viscosité turbulente et moléculaire de 50. Le profil de la vitesse au trou d’injection
étant très difficile à estimer surtout pour les faibles taux d’injection. Ceci est dû
principalement à la forte interaction qui existe entre l’écoulement principal et l’intérieur du
trou d’injection et rend pratiquement impossible la prédiction avec justesse du profil du jet.
Ainsi, dans notre étude, l’intérieur du trou d’injection est inclus dans le domaine de calcul. Un
profil de vitesse correspondant à l’écoulement complètement développé est imposé à l’entrée
inférieur du trou d’injection, suivant la loi de puissance, U in = 1.26.U j .( 2. y / d ) , où y est la
16
distance à partir de la paroi du tube d’injection. Une distribution uniforme de k et ε basée sur
une intensité de turbulence de 5 % et une longueur d’échelle d est imposée à l’entrée du trou
d’injection.
A la sortie de l’écoulement ainsi qu’aux différents plans de symétrie, le gradient de toutes les
variables calculées est annulé. Sur les parois solides les conditions d’adhérence couplées à la
loi logarithmique de la paroi sont imposées. Pour la température, toutes les parois sont
considérées adiabatiques alors qu’une différence de température est imposée entre le jet et
l’écoulement principal. La représentation finale de la température sera faite en valeurs
adimensionnelles (efficacité du refroidissement).
105

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
5.1.5. Grilles de calcul
La figure (V-4) montre un exemple de la grille de calcul utilisée pour le cas 2RC. Le maillage
est considérablement raffiné près des parois solides et au voisinage du trou d’injection. Une
attention particulière a été consacrée au raffinement du maillage près de la plaque plane pour
ne pas chevaucher sur la sous couche laminaire. Le distance adimensionnelle y+ a été
maintenue dans les limites imposées par les conditions aux limites de type loi de la parois (12
< y+ < 60). Les coefficients utilisés pour le raffinement du maillage ont été eux aussi
maintenus tout près de l’unité pour minimiser les erreurs introduites par les schémas de
convection qui ne sont pas adaptés pour un maillage non uniforme (voir chapitre III).
Y
X
Z
Figure (V-4) : Grille de calcul pour le cas 2RC, 137 × 28 × 50 points
suivant x, y et z respectivement.
La méthode multibloc utilisée consiste à diviser le domaine de calcul en deux blocs pour le
cas 1RS et trois blocs pour les cas 2RS et 2RC. Le premier bloc correspond au domaine de
l’écoulement principal au-dessus de la plaque plane alors que les autres blocs correspondent à
l’intérieur des tubes d’injection.
Une étude de sensibilité des résultats de la simulation à la taille des grilles de calcul utilisées a
été menée et a conduit aux tailles raisonnables vis à vis des moyens de calcul disponibles
(PIII 450 Mhz, 128 Mo de RAM) suivantes : 146x26x23, 156x26x20 et 137x28x50 nœuds pour
les cas 1RS, cas 2RS et cas 2RC respectivement. Les calculs menés avec des coefficients de
106

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
relaxation adéquats n’a montré aucune difficulté de convergence et les résidus de toutes les
équations ont diminué de plus de cinq niveaux y compris ceux de k et ε pour les cas 1RS et
2RS et de quatre niveaux pour le cas 2RC.
5.1.6 Analyse des résultats
On définit une température adimensionnelle η telle que :
T − T∞
η= (V-1)
Tc − T∞
où T∞ est la température de l’écoulement principal, Tc la température du fluide refroidissant et
T la température locale de la paroi. On rappelle ici qu’on a suivi la tendance expérimentale à
prendre Tc > T∞ contrairement à la réalité. Ceci ne pose aucun problème puisque la
température est un scalaire passif n’ayant aucune influence sur l’écoulement.
Une efficacité latérale moyenne est calculée :
L
1
L∫
η= ηd z (V-2)
0
où L est la largeur de la plaque à refroidir
Cette Efficacité Latérale Moyenne (ELM) est utilisée comme paramètre d'évaluation et de
comparaison des différentes configurations étudiées.
Il est bon à noter tout de suite, que le but de cette partie de notre étude n'étant pas de prétendre
une étude détaillée du cas, puisqu'il a été démontrer au par avant (Djamel et al. 1998) que seul
la résolution complète de la sous couche visqueuse par le biais d'un modèle à bas nombre de
Reynolds ou un modèle bi-couche est capable de bien simuler cette zone de l'écoulement. En
appliquant le modèle à haut nombre de Reynolds et une technique de loi de paroi, nous
espérons reproduire les caractéristiques globales de cet écoulement. D'autres techniques plus
élaborées seront introduites lors de la simulation de la deuxième plaque.
Sur les figures (V-5), (V-6) et (V-7) on confronte les prédictions numériques pour un taux
d’injection égale à 1 aux résultats expérimentaux. Les figures de droites concernent les
contours de la vitesse longitudinale alors que celles de droite sont pour l'efficacité de
refroidissement.
La figure (V-5) présente les contours de la vitesse longitudinale et de température sur trois
plans transversaux et à différentes distances du bord aval de l’orifice d’injection. La position
107

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
des orifices d’injection est schématisée par des vecteurs en bas de chaque figure. En premier
lieu, on constate un très bon accord d'allure entre le calcul et les mesures expérimentales.
Les contours de la vitesse présentent un aspect symétrique avec un gradient de vitesse assez
important entre deux trous de la même rangée et une couche limite plus épaisse au niveau des
points d’injection. Au niveau du premier plan (x/d=9) et des deux cotés inférieurs du jet,
existe une pénétration de fluide à faible quantité de mouvement et haute température. Ceci
peut s'expliquer par l'existence des deux vortex tournant en sens inverse l'un par rapport à
l'autre des deux cotés du jet. Les contours de la température confirment l’existence de ces
deux vortex longitudinaux issus de l'interaction entre l'écoulement principal et le jet,
caractéristique des écoulements \"jet-un-cros-flow\". Toutefois, comparés aux mesures
expérimentales, ces deux vortex sont plus intenses. Ils ramènent en conséquences plus de gaz
chauds sous le jet et détériorent la protection de la plaque. Très loin du point d’injection les
contours de la vitesse longitudinale montrent bien un retour progressif à une structure de
couche limite.
Sur la figure (V-6) sont représentées les résultats pour la configuration 2RS à deux rangées
d’inclinaison simple. Ici, la position de la deuxième rangée est représentée par un grand
vecteur alors que le petit vecteur représente la position de la première rangée. Comme
précédemment, puisque l’angle d’injection est de type simple dirigé seulement dans la
direction longitudinale de la plaque, les gradients de vitesses maximales sont disposés
exactement entre les trous d’injection avec une nette différence entre les deux rangées sur le
premier plan (x/d=9.4). En conformité avec les mesures expérimentales, les calculs montrent
que le jet issu de la première rangée de trou est plus élevé que celui issu de la deuxième
rangée. Ceci est du principalement à la distance séparant le plan de visualisation du point
d'injection qui est plus grande pour la première rangée que pour la deuxième. Un peu plus
loin, la déformation de l’écoulement est identique aussi bien pour la première rangée que pour
la seconde puisque l’écoulement s’uniformise et tend à retrouver une structure bien
développée de la couche limite. Pour les contours de température on note aussi une nette
différence entre les deux rangées seulement au premier plan. En comparant les contours de
température sur le dernier plan du cas précédent (1RS) et celui ci (2RS), il ressort que dans ce
dernier cas les jets issus des deux rangées se mélangent fortement de façon à ce que le contour
en forme ovale est plus marqué pour le cas précédent (1RS) que pour celui ci (2RS).
La figure (V-7) présente les résultats de la troisième configuration (2RC). La principale
remarque dans cette figure concerne la disparition des deux vortex tournant en sens inverse
l’un par rapport à l’autre. Ils sont remplacés par un seul vortex dévié dans le sens de
108

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
l’injection composée. L’écoulement retrouve rapidement une structure uniforme puisque le
mélange entre les différents jets de la même rangée et des deux rangées est dans ce cas
extrêmement intense. En conséquence, les contours de température ne présentent plus de
zones non couvertes entre les jets comme pour les cas précédents. La protection de la plaque
se trouve nettement améliorée. Là aussi, la comparaison qualitative avec les mesures
expérimentales est parfaite surtout pour les premiers plans de la simulation. L'épaisseur de la
couche limite au dernier plan et en quelques sorte sous estimée.
Sur la figure (V-8) sont rassemblés les contours de la température au premier plan (x/d=9.4)
pour différents taux d’injection et pour les deux derniers cas (2RS et 2RC). L’effet du taux
d’injection est caractérisé sur ces figures par l’élévation de la position des deux vortex par
rapport à la plaque plane. Cette position augmente avec l’accroissement du taux d’injection,
puisque dans ce cas le jet est plus énergétique et pénètre profondément en se décollant de la
plaque. Cette situation et à éviter dans le processus du refroidissement par film puisque la
zone de décollement sera purement est simplement exposée aux gaz chauds. Le jet perçant la
couche limite va se diluer dans l’écoulement principal sans remplir son rôle de protection.
L’intensité des deux vortex contre rotatifs est aussi un élément clé, puisqu'ils contribuent à
ramener les gaz chauds vers la plaque. Leurs positions relatives et par rapport à la paroi sont
aussi déterminantes. Plus les deux vortex sont rapprochés l’un par rapport à l’autre, plus ils
seront énergétiques et détériorent la protection. Leur élévation par rapport à la paroi leur
procure aussi plus d'énergie. Ce qui conduit à la conclusion que si on veut une meilleure
protection de la plaque il faut trouver des techniques pour rapprocher le plus possible les jets
de la plaque et les séparer l'un de l'autre. La technique de l'évasement des bords des trous
d'injection est pratiquer dans ce but. La géométrie du troisième cas 2RC est par conséquent
plus favorable puisqu’elle dilue les deux vortex. Les bas taux d’injection sont aussi meilleurs
que les autres puisque le jet reste attaché à la plaque, comme le montre les figures (V-8).
La figure (V-9) montre les champs des vecteurs vitesse, alors que la figure (V-10) présente la
distribution de l’efficacité de refroidissement sur la plaque pour les trois cas étudiés.
L'examen de la figure (V-9) montre la disparition des deux vortex de part et d'autre du jet
pour l'injection à angle composé. Pour ce cas, il n'existe qu'un seul vortex ramenant du fluide
à haute température sous le jet du coté droit. En conséquence, les contours de l'efficacité sur
la plaque présentés sur la figure (V-10), montrent une zone de faible efficacité de
refroidissement du coté droit des jets.
Sur la figure (V-11) est représentée la distribution longitudinale de l’efficacité latérale
moyenne de refroidissement pour les trois cas 1RS, 2RS et 2RC et pour trois taux d’injection
109

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
M = 0.5, 1.0 et 1.5. La première constatation est qu'hormis le cas 2RC, les autres sont tous
numériquement sous estimés. On pense que ceci est dû principalement au caractère isotrope
du modèle de turbulence k − ε . En effet pour les modèles basés sur le principe de viscosité
turbulente, le transport turbulent est le même dans les trois directions. Ceci est faux puisque,
proche de la paroi, le transport latéral devrait être nettement plus important que dans la
direction normale à la paroi. En conséquence, dans les simulations numériques précédentes le
modèle est incapable de reproduire fidèlement la dispersion latérale du jet sur la plaque, ce
qui se traduit naturellement par une surestimation de l’efficacité sur la ligne centrale du jet et
une sous estimation de la moyenne latérale. Hormis cette défaillance, l’allure générale de
variation de l’ELM est bien reproduite pour les deux premiers cas. Pour le taux d’injection le
plus faible M=0.5, elle est décroissante dans la direction de l’écoulement, alors que pour les
taux d’injection plus forts et spécialement pour le cas 2RS, le décollement du jet est
caractérisé par une chute brusque après le point d’injection. Il est clair aussi que le cas le plus
favorable est celui où M=0.5 puisqu’il permet une protection équilibrée sur une longue
distance de la plaque et plus spécialement après le point d’injection.
La figure (V-12) rassemble les résultats pour les trois cas. Pour permettre une comparaison
rationnelle des différents cas, on a pris M=1.0 pour 1RS et M=0.5 pour les deux autres cas,
puisque dans le premier on ne dispose que d’une seule rangée de trous. La figure (V-12)
montre bien la supériorité du cas 2RC caractérisé par une injection à angle composé. On note
aussi la parfaite concordance des résultats numériques avec les mesures expérimentales. Bien
que ce cas soit géométriquement le plus complexe, il a été le mieux reproduit numériquement.
On pense que ceci est dû au mélange intense entre les différents jets, ce qui rend l’écoulement
plus uniforme que celui où les jets sont isolés les uns par rapport aux autres.
110

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Y (cm) Y (cm)
6.0
6.0
x/d = 85.9
x/d = 85.9
0.01
4.0
4.0
0.05
10 0.075
2.0
2.0 9.5
9
8 00
00
x/d = 42.5
x/d = 42.5
4.0 1
4.0
0.00
01
0.
05
10 2.0
2.0
0.1
0.
0.15
9
7.5 00
00
4.0
4.0 x/d = 9.4
x/d = 9.4
0.01
2.0
2.0
10 0.25
9
65 0.0
0.0
Z (cm) 4.0
Z (cm) 4.0 -12.0 -8.0 -4.0 0.0 8.0
-12.0 -8.0 -4.0 0.0 8.0
( a ) résultats numériques.
U (m/s) : 0. < 5.5 T0-T∞ (°C) : 0. < 0.5
1 5.5 - 6.0 1. 0.5 - 1.0
2 6.0 - 6.5 2. 1.0 - 1.5
3 6.5 - 7.0 3. 1.5 - 2.0
4 7.0 - 7.5 4. 2.0 - 2.5
5 7.5 - 8.0 5. 2.5 - 3.0
6 8.0 - 8.5 6. 3.0 - 3.5
7 8.5 - 9.0 7. 3.5 - 4.0
8 9.0 - 9.5 8. 4.0 - 4.5
9 9.5 - 10.0 9. > 4.5
10 > 10.0
( b ) résultats expérimentaux (Ligrani et al., 1992).
Champs des vitesses moyennes Champs de la température
Figure (V-5) : Contours de la vitesse longitudinale et de la température pour le cas 1RS, M= 1.0.
111

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Y (cm) Y (cm)
6.0 6.0
x/d = 83.9 x/d = 83.9
4.0 4.0
0.01
0.05
10
2.0 2.0
10 0.1
8.5
7.5
00 00
x/d = 43.7 x/d = 43.7
4.0 4.0
1
0.0
0.05
0.1
10
2.0 2.0
5
0.1
0.15
8
6.5
00 00
4.0 4.0
x/d = 9.4 x/d = 9.4
0.01
2.0 2.0 0.1
10
0.3
0.0 0.0
Z (cm)
-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.0 Z (cm)
-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.0
( a ) résultats numériques.
U (m/s) : 0. < 5.5 T0-T∞ (°C) : 0. < 0.5
11 5.5 - 6.0 10. 0.5 - 1.0
12 6.0 - 6.5 11. 1.0 - 1.5
13 6.5 - 7.0 12. 1.5 - 2.0
14 7.0 - 7.5 13. 2.0 - 2.5
15 7.5 - 8.0 14. 2.5 - 3.0
16 8.0 - 8.5 15. 3.0 - 3.5
17 8.5 - 9.0 16. 3.5 - 4.0
18 9.0 - 9.5 17. 4.0 - 4.5
19 9.5 - 10.0 18. > 4.5
20 > 10.0
( b ) résultats expérimentaux (Ligrani et al., 1992).
Champs des vitesses moyennes Champs de la température
Figure 6 : Contours de la vitesse longitudinale et de la température pour le cas 2RS, M= 1.0.
112

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
8.0
8.0
Y (cm) Y (cm)
x/d = 75.3 x/d = 75.3
6.0 6.0
4.0 4.0
0.01
0.05
10
2.0 2.0 0.1
10
9 0.15
8.5
00 00
x/d = 44.3 x/d = 44.3
4.0 4.0
0.01
0.05
10
2.0 0.1
2.0
9 0.15
0.2
8
00 00
4.0 x/d = 9.5 4.0 x/d = 9.5
0.01
2.0 2.0
10
0.05
0.1
4
0.
0.2
0.0 0.0
Z (cm)
-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.0
Z (cm)
-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.0
( a ) résultats numériques.
U (m/s) : 0. < 5.5 T0-T∞ (°C) : 0. < 0.5
21 5.5 - 6.0 19. 0.5 - 1.0
22 6.0 - 6.5 20. 1.0 - 1.5
23 6.5 - 7.0 21. 1.5 - 2.0
24 7.0 - 7.5 22. 2.0 - 2.5
25 7.5 - 8.0 23. 2.5 - 3.0
26 8.0 - 8.5 24. 3.0 - 3.5
27 8.5 - 9.0 25. 3.5 - 4.0
28 9.0 - 9.5 26. 4.0 - 4.5
29 9.5 - 10.0 27. > 4.5
30 > 10.0
( b ) résultats expérimentales [1].
Champs des vitesses moyennes Champs de la température
Figure 7 : Contours de la vitesse longitudinale et de la température pour le cas 2RC, M= 1.0.
113

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Y (cm)
m = 1.5
4.0
0.01
5
0.0
2.0
0.3
0.2
0.4
00
m = 1.0
4.0
0.01
2.0
0.1
0.3 0.4
00
4.0 m = 0.5
2.0 0.01
0.05
0.2
0.3
0.3
0.0
Z (cm)
-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.0
Z
(a)
Y (cm)
m = 1.5
4.0
1
0.0
0.05 0.1
0.3
2.0
4
0.
0.2
3
0.
00
m = 1.0
4.0
0.01
2.0
0.05 0.1 0.3
0.5
0.2
00
4.0 m = 0.5
2.0 0.01
0.05 0.1
0.3 0.2
0.4 0.3
0.0
Z (cm)
-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0
Z
(b)
Figure 8 : Contours de la température pour différents taux d’injection
au plan x d = 9.4 , ( a ) 2RS, ( b ) 2RC.
114

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
x/d = 9.4
x/d = 5
x/d = 5 x/d = 9.4
x/d = 9.5
x/d = 5 2 m/s
Figure 9 : Champs des vecteurs vitesses au plans x d = 5.0 et x d = 9.5 pour les trois
configurations, M = 1.0
115

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Case1; 1RS, m = 1.0
9
1
9 Level T
Case2; 2RS, m = 0.5 9 0.9
8 0.8
7 0.7
6 0.6
3
3 2 5 0.5
1
4 0.4
3 0.3
2 0.2
1 0.1
1
Case3; 2RC, m = 0.5
3 2
1
4
9 1
4 3
Figure 10 : Distribution de l’efficacité de refroidissement adiabatique locale sur la plaque à refroidir,
cas 1RS : M = 1.0 ; cas 2RS et 2RC : M = 0.5
0.30 0.35 m=0.5; exp [1]
m=1.0; exp [1]
m=0.5; exp [1] 0.30
0.25 m=1.5; exp [1]
m=1.0; exp [1]
m=0.5; SKE
m=1.5; exp [1] 0.25
m=1.0; SKE
0.20 m=0.5; SKE
m=1.5; SKE
m=1.0; SKE 0.20
0.15 m=1.5; SKE η
η
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00 0.00
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100
x/d x/d
Figure 11(a ) : Distribution longitudinale de Figure 11(b ) : Distribution longitudinale de
l’efficacité de refroidissement adiabatique latérale l’efficacité de refroidissement adiabatique latérale
moyenne en fonction du taux d’injection, 1RS. moyenne en fonction du taux d’injection, 2RS.
m=0.5; exp [1]
0.35 0.35
1RS; m=1.0; exp[1]
m=1.0; exp [1]
2RS; m=0.5; exp[1]
m=1.5; exp [1]
0.30 0.30
2RC; m=0.5; exp[1]
m=0.5; SKE
1RS; m=1.0; SKE
m=1.0; SKE
0.25 0.25
2RS; m=0.5; SKE
m=1.5; SKE
2RC; m=0.5; SKE
0.20 0.20
η η
0.15 0.15
0.10 0.10
0.05 0.05
0.00 0.00
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100
x/d x/d
Figure 11(c ) : Distribution longitudinale de Figure 12 : Distribution longitudinale de l’efficacité
l’efficacité de refroidissement adiabatique latérale de refroidissement adiabatique latérale moyenne
moyenne en fonction du taux d’injection, 2RC. en fonction du taux d’injection
116

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
5.2 Injection sur une plaque plane avec \"plenum\"
5.2.1 Motivations
Cette seconde configuration se distingue de celle étudiée au paragraphe 5.1 par deux aspects
importants :
• La différence de température entre le fluide de refroidissement et les gaz chauds a pour
conséquence directe un rapport de masses volumiques différent de l’unité. Dans les
situations réelles de fonctionnement des turbines à gaz ce rapport est différent de 1.
• Dans les configurations réelles des Turbines à gaz le rapport entre la longueur des tubes
d’injection et leur diamètre est assez petit : de 2 à 4. Cette géométrie particulière rend
l’application des conditions aux limites à l’entrée des trous d’injection incompatibles avec
la méthode utilisée dans le cas précèdent. Une bonne application des conditions
d’injection nécessite la simulation de l’écoulement dans le plenum lui-même. On note ici
que dans le cas étudié précédemment L d = 7 , ce qui est assez élevé pour ne pas perturber
les résultats de la simulation.
5.2.2 Présentation du problème
La configuration géométrique est identique à celle étudiée expérimentalement par Sinha et al.
(1991) et numériquement par Leylek et Zerkle (1994). Cette configuration correspond à une
seule rangée de trous inclinés d’un angle simple. Elle sera notée cas SINH. Notre apport se
situe dans l’application de la modification anisotropique de Bergeles, la pose des conditions
aux limites suivant une technique bi-couche à bas nombre de Reynolds et enfin le test de
plusieurs variantes de modèles algébriques de type EASM. La modification anisotropique
ainsi que l'approche bi-couche ont été améliorée par l'introduction d'une distribution de la
fluctuation normale de la vitesse tirée directement des calculs DNS.
5.2.3 Domaine de calcul et conditions aux limites
La figure (V-13) et le tableau (V-3) récapitulent tous les paramètres géométriques et hydro-
thermodynamiques du cas simulé. La grille de calcul utilisée comprend 179 × 75 × 23 nœuds
distribués suivant les directions x, y et z avec 88.57% de nœuds actifs. Les trois blocs formant
cette grille sont formés de 108 × 75 × 23 pour le domaine au-dessus de la plaque,
117

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
16 × 40 × 9 pour le demi- trou d’injection et 53 × 75 × 23 pour le \"plenum\". Toutes les grilles
sont hautement raffinées près des parois solides de telle façon que y + ≈ 1 (modèle bi-couche).
Pour assurer une application assez précise des schémas de convection, le facteur de
raffinement est maintenu proche de l’unité.
Les conditions aux limites sont identiques à celles appliquées au cas 1RS, en plus de celles
appliquées au \"plenum\". Celles de l’écoulement principal seront maintenues constantes pour
toutes les variantes calculées alors que celles appliquées à l’entrée du \"plenum\" seront
ajustées pour chaque cas afin de vérifier le taux d’injection souhaité. La faible compressibilité
de l'écoulement due à la différence des masses volumiques imposée entre le jet et
l'écoulement principal est prise en compte dans les calcul à travers l'équation d'état.
Table (V-3) : Paramètres du cas SINH.
ρc ρ∞
ρ µ δ /d M
U∞ Tu ∞
1.2 Kg/m3 1.8 10-5
20 m/s 2% 1.0 2 0.5 & 1.0
α d p/d l/d Tinj
T∞
35° 12.7 mm 3 1.75 302°K 153°K
118

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
1.5 D
6D
25 D
Y
13 D
Z
4D
X
\"Plenum\"
8D
Figure (V-13). Géométrie du domaine de calcul du cas SINH.
La température de l’écoulement principal est fixée comme dans l’expérience de Sinha à
302°K et celle du fluide refroidissant à 153°K. L’écoulement principal est à 20m/s et 2%
d’intensité de turbulence alors que la dissipation est calculée en fixant une viscosité turbulente
égale à 50 fois la viscosité laminaire. La distribution obtenue après convergence totale du cas
M = 0.5 et SKE est utilisée comme condition initiale pour les autres variantes (taux
d’injection et modèles de turbulence). Une solution est déclarée convergente après que les
résidus de toutes les équations sont diminués de trois niveaux au minimum, que la tolérance
sur le bilan de masse soit inférieure à 1% et qu’aucune différence sur la distribution de
l’efficacité moyenne n’est sensible durant 50 itérations successives. La convergence de
chaque variante a nécessité environ 1500 itérations exécutées sur un PC à 450 Mhz et doté de
512 Mo de RAM, durait environ 24 heures.
5.2.4 Analyse des Résultats
Sur la figure (V-14), sont présentés les contours de l’efficacité sur la plaque calculée par les
différents modèles pour deux taux d’injection (M = 0.5 et 1). L'examen de ces figures montre
que la dispersion latérale de l’efficacité de refroidissement calculée par le modèle
119

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
SKE/Mut(DNS)-2L (dorénavant appelé TLVA) est plus marquée que celle calculée par le
modèle SKE-2L. On note aussi que les valeurs enregistrées sur la ligne centrale sont plus
petites. Ce qui veut dire que la modification anisotropique raccourci la zone de recirculation
en aval du point d'injection. En comparant, les résultats du modèle EASM GS/LT-2L à ceux du
modèle SKE-2L, on remarque que l'amélioration de la dispersion latérale est négligeable, par
contre les valeurs de l'efficacité sur la ligne centrale sont très bien reproduite. Le modèle SZL-
2L ne présente pas d'avantages par rapport au modèle SKE-2L puisque les valeurs sur la ligne
centrale sont quelque peu incorrectes.
A partir de cette première analyse, et en se basant sur la dispersion latérale, il est claire que la
modification anisotropique adaptée pour cet écoulement donne de meilleurs résultats que ceux
apportés par les modèles EASM. D'un autre coté et en comparant les deux taux d’injections,
on comprend bien la supériorité du taux d’injection M = 0.5, qui couvre mieux la plaque. Les
contours de l’efficacité sur un plan longitudinal à z/d=0 (ligne centrale) sont représentés sur la
figure (V-15) pour M=0.5 et sur la figure (V-16) pour M=1.0. La ressemblance du
comportement des deux modèles SKE-2L et GS/LT-2L sur la ligne centrale, (déjà évoque lors
de la discussion de la figure précédente) est clairement visible sur cette figure. La
comparaison des contours des deux taux d'injection (M=0.5 et M=1.0) montre clairement la
pénétration profonde du jet pour le taux d’injection élevé.
TLVA M=0.5
0.1
4
0.3
0.9 0.5
0.7
3
GS/LT M=0.5
0.1
2 0.9 0.3
Z/D
0.5
0.7
SZL M=0.5
1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0
0.7
0.5
0.9
0.3
0.1
TLV M=0.5
-1
-2 0 2 4 6 8
X/D
( a ) M=0.5
120

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
TLVA M=1.0
4
0.1
0.9
0.3
0.4
3
GS/LT M=1.0
0.1
2 0.9
Z/D
0.3
0.4
SZL M=1.0
1
0.1
0.9
0.3
0.4
0 0.4 0.3
0 .9
0.1
TLV M=1.0
-1
-2 0 2 4 6 8
X/D
( b ) M=1.0
Figure (V-14). Efficacité de refroidissement sur la plaque (Y/D=.0).
Le champ des vecteurs vitesses sur les mêmes plans longitudinaux est représenté sur la figure
(V-17) pour les deux taux d’injections. Il est clair à partir de ces deux figures que le champ
des vitesses à l’intérieur des trous d’injection est très perturbé et ne correspond en aucun cas à
l’écoulement pleinement développé à l’intérieur d’une conduite cylindrique.
La cause est bien évidemment la faible longueur du tube d’injection. L’écoulement vient
s'écraser sur la surface arrière du tube comme dans le cas d’un jet pariétal, alors que sur la
partie avant du tube se crée une zone de faible vitesse et même un retour pour le taux
d’injection élevé. Le profil des vitesses sur la plaque et en aval du jet présente un caractère de
relaminarisation. L’intensité de la turbulence est représentée par la figure (V-18), qui montre
bien pour le cas M=0.5 une intensité maximale en aval du jet, alors que pour M=1.0 le
maximum est situé à l’intérieur du tube d’injection. L’explication vient du fait que pour le
premier cas (M=0.5) la différence de la vitesse du jet par rapport à celle de l’écoulement
principal fait que la production de la turbulence se produit dans le jet lui-même, alors que
pour le cas M=1.0, les vitesses sont pratiquement identiques et les grands frottements se
situent dans le tube d’injection.
121

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
0.1
0.3
0.1
0.3
0.5 0.9
0.7
0.9 0.7 0.5
TLV M=0.5 SKE-TLV, M=1.0
0.1
0.3
0.4
0.1
0.7
0.4
0.9
0.5
0.9 0.7
GS/LT-TLV M=0.5 GS/LT-2L, M=1.0
0.1
0.3
0.1 0.5
0.7
0.9
0.3
0.9 0.5
0.7
SKE-2L/Mut(DNS), M=0.5 SKE-2L/Mut(DNS), M=1.0
Figure (V-15). Efficacité de refroidissement sur un Figure (V-16). Efficacité de refroidissement sur un
plan longitudinal (Z/D=.0), M=0.5 plan longitudinal (Z/D=.0), M=1.0
122

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
20 m/s 20 m/s
TLV M=0.5 TLV M=1.0
Figure (V-17). Vecteurs vitesses sur un plan longitudinal (Z/D=.0)
4
3.5
12
3.5 4
5 14
6
6.5 8
16
8
TLV M=0.5 TLV M=1.0
6
2
2
Figure (V-18). Intensité de turbulence sur un plan longitudinal (Z/D=.0).
Sur la figure (V-19) est présentée la distribution longitudinale de l’efficacité de
refroidissement sur la plaque plane à z=0. Les résultats des différentes simulations
numériques sont comparés aux résultats expérimentaux de Sinha et al. (1991). Contrairement,
aux résultats de la procédure loi de paroi SKE-WF (non représentés sur la figure), le modèle
SKE-2L détecte le décollement en aval du point d’injection. Ce défaut est caractérisé par
l’efficacité qui vaut 1 à x/D=1 pour la procédure WF. Le modèle SKE-2L reflète mieux la
valeur de l’efficacité en ce point important et le décollement pour le cas M=1, figure (V-19b)
est mieux capté. Les figures (V-19a) et (V-19b) introduisent les résultats des modèles
quadratiques EASM (voir chapitre II). Il ressort de ces deux figures que le modèle GS/LT
améliore les résultats alors que le SZL-2L produit des résultats moins bons que ceux du SKE-
2L. On note bien que le GS/LT reproduit fidèlement l’allure de la courbe, bien qu’il surestime
quelque peu l’efficacité pour M=0.5. Pour M=1.0, l'efficacité est sous estimer. Sur la figure
(V-19b), les résultats du modèle TLVA, semble être les plus proches des mesures
expérimentales.
La figure (V-20) compare l’efficacité moyenne latérale calculée par les modèles précédents
aux données expérimentales. Ici aussi, la principale constatation est la supériorité absolue du
modèle TLVA sur les autres, figures (V-20a) et (V-20b). On note ici, que ce modèle reproduit
fidèlement la valeur de l'efficacité de refroidissement juste après le point d'injection. La
supériorité de ce modèle est mise en évidence sur la figure (V-21) où sont représentés les
123

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
profils de l’efficacité sur des lignes latérales à différentes positions longitudinales (x/d=1, 3, 6
et 10) et pour un taux d'injection M=0.5. Le modèle SKE-2L sous estime largement l'efficacité
pour z/d>0.4, alors qu'il produit une nette surestimation pour z/d<0.4, exception faite pour le
premier plan. Le modèle SZL-2L reproduit les plus mauvais résultats en exagérant la valeur de
l'efficacité au niveau du vortex. Les résultats du modèle GS/LT-2L sont comparables à ceux
du modèle SKE-2L avec une nette amélioration au environ de z/d=0 pour le dernier plan.
Enfin, le modèle TLVA, donne les meilleurs résultats en améliorant sensiblement la
dispersioin latèrale. On voit bien qu’à la position z/d=1.5 (exactement entre deux orifices de
la même rangée), l’efficacité calculée par tous les modèles (excepté le TLVA) est
pratiquement nulle, alors qu’expérimentalement la dispersion latérale est marquée par une
efficacité non nulle pour x/d = 6 et 10. Cette valeur n’est détectée que par le modèle TLVA.
M = 0.5 M = 1.0
1 1
0.9 0.9
Exp. Sinha et al. Exp. Sinha et al.
TLV TLV
0.8 0.8
SZL-TLV SZL-TLV
TLVA TLVA
0.7 0.7
GS/LT-TLV GS/LT-TLV
0.6 0.6
0.5 0.5
η
η
0.4 0.4
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25
X/D X/D
( a ) M=0.5, SKE-WF et SKE-2L ( b ) M=1.0, SKE-WF et SKE-2L
Figure (V-19). Efficacité de refroidissement sur la ligne centrale.
M = 0.5 M = 1.0
0.5 0.5
Exp. Sinha et al. Exp. Sinha et al.
TLV TLV
0.4 0.4
SZL-TLV SZL-TLV
TLVA TLVA
GS/LT-TLV GS/LT-TLV
0.3 0.3
<η>
<η>
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25
X/D X/D
( c ) M=0.5, SKE-2L, SZL-2L et GS/LT-2L ( d ) M=1.0, SKE-2L, SZL-2L et GS/LT-2L
Figure (V-20). Efficacité moyenne latérale de refroidissement
124

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
X/D=1, M = 0.5 X/D=3, M = 0.5
1 1
0.9 0.9
Exp. Sinha et al. Exp. Sinha et al.
TLV TLV
0.8 0.8
SZL-TLV SZL-TLV
TLVA TLVA
0.7 0.7
GS/LT-TLV GS/LT-TLV
0.6 0.6
0.5 0.5
η
η
0.4 0.4
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5
Z/D Z/D
X/D=6, M = 0.5 X/D=10, M = 0.5
1 1
0.9 0.9
Exp. Sinha et al. Exp. Sinha et al.
TLV TLV
0.8 0.8
SZL-TLV SZL-TLV
TLVA TLVA
0.7 0.7
GS/LT-TLV GS/LT-TLV
0.6 0.6
0.5 0.5
η
η
0.4 0.4
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5
Z/D Z/D
Figure (V-21). Efficacité de refroidissement latérale sur trois positions longitudinales
125

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
5.3 Refroidissement d'une aube de turbine symétrique
5.3.1 Motivations
Comme évoquée au chapitre I au sujet du refroidissement par film, la zone la plus critique
d’une aube de turbine à gaz est son bord d’attaque. Cette partie de l’aube est exposée
directement aux gaz chauds et nécessite une attention particulière pour son refroidissement.
Les jets pratiqués dans cet endroit sont aussi les plus perturbés puisqu’ils sont dirigés en sens
contraire à l’écoulement principal des gaz chauds. Ainsi nous avons tenu à compléter cette
étude par la considération d’un cas de ce type. Notre choix c'est porté sur l'aube symétrique
étudiée expérimentalement par Haslinger et Hennecke (1997) à l'Université de Darmstadt,
Allemagne. Le chois de ce modèle d'aube est motivé par sa ressemblance avec une aube de
turbine réelle et par la disponibilité des mesures expérimentales pour la validation des calculs.
5.3.2 Présentation du problème
La géométrie du modèle expérimental est représentée sur la figure (V-22). Elle présente une
forme symétrique de longueur 515 mm et une largeur maximale de 72 mm. La partie bord
d'attaque du modèle est identique à une aube réelle à haute pression appelée AGTB. Les trous
d’injection sont disposés sur deux rangées symétriques, où les orifices sont espacés d’une
distance de 5 fois le diamètre nominal des trous (d=4 mm). En raison de nos moyens de
calcul assez limités, nous nous sommes limités au seul cas de l'injection longitudinale et nous
n'avons utilisé que la technique loi de paroi. La vitesse de l'écoulement principale est de
l'ordre de 30 m/s et le fluide est considéré incompressible. Le niveau de turbulence est de
l'ordre de 0.5%, et le nombre de Reynolds basé sur la vitesse de l'écoulement principal et le
diamètre du trou d'injection est de l'ordre de 7950. Trois niveaux du taux d'injections ont été
considérés lors de cette étude, à savoir M=0.3, 0.7 et 1.1.
5.3.3 Domaine de calcul et conditions aux limites
En raison de la symétrie de l'aube et d’une injection à inclinaison simple (seulement dans la
direction de l’écoulement), le domaine de calcul est limité par deux plans de symétrie dans la
direction \"z\". le premier passe par le plan médian du trou d'injection (z/d=.0) et le deuxième
passe exactement au milieu de la distance entre deux trous de la même rangée (z/d=2.5). La
distance entre l'axe de symétrie et la limite haute (direction \"y\") du domaine de calcul est
125

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
fixée à 180 mm où une condition de paroi solide est appliquée pour refléter exactement les
dimensions de la veine d'essai de la soufflerie. L'entrée du domaine de calcul est fixée à
360mm du point de stagnation sur le bord d'attaque et la sortie à 385 mm du point limite sur le
bord de fuite. La grille de calcul est constituée de trois blocs. Le premier bloc couvre la
première partie du domine de calcul jusqu'au point d'injection, le second est situé du point
d'injection jusqu'à la sortie de l'écoulement et le dernier bloc représente l'intérieur du trou
d'injection, figure (V-23). La taille de la grille globale de calcul obtenue après une étude de
sensibilité se compose de 152 × 68 × 16 dans les directions x, y, et z, respectivement, (Lakehal
et al. 2001). Le trou d'injection qui a une longueur de 5d, est discrétisé par 16 × 8 × 6 points.
Le niveau de turbulence adopté est de l'ordre de 0.5%, et le rapport µ t µ = 30 . Au niveau de
l'injection, on a adopté une vitesse uniforme vérifiant le taux d'injection, un niveau de
turbulence de l'ordre de 3% et une échelle de longueur k 3 2 ε = 0.3 d . Enfin, toutes les parois
solides sont adiabatiques.
En raison de nos moyens de calcul assez limité, Ce test a été conduit seulement, suivant
l'approche \"loi de paroi\" et les modèles appliqués sont respectivement : SKE-WF, S93-WF,
GS/LT-WF et CLS-WF. A la lumière des conclusions du test précèdent qui indiquent
clairement que seul une procédure \"bas nombre\" de Reynolds peut fournir des détails sur
l'écoulement proche de la paroi, toute conclusion issue de ce test reste tentative.
Figure V-22 : Géométrie du modèle expérimental de l'aube (Haslinger et Hennecke, 1997).
126

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Bloc 2
Bloc 1
Y
Bloc 3
Z X
Figure V-23: Grille de calcul (multi blocs).
5.3.4 Analyse des Résultats
Les champs de vitesse et de température sur le plan médian passant par le trou d'injection sont
présentés sur la figure (V-24). Les contours se rapportent aux trois taux d'injection calculés
par le modèle standard à haut nombre de Reynolds. Ces figures montrent l'interaction entre le
jet et l'écoulement principal sous forme de vues élargies près du bord d'attaque. Pour le plus
faible taux d'injection (M=0.3), le jet est dévié énergiquement dans le sens de l'écoulement
principal et la zone de recirculation formée est de taille assez petite. Cette zone est
caractérisée par de faibles niveaux de quantité de mouvement et sous certaines conditions par
un écoulement de retour. Sa taille est proportionnelle au taux d'injection. Pour M=1.1 le jet
réussit à pénétrer profondément et contribue à la formation d'une zone de haut niveau de
turbulence en raison de la différence entre l'amplitude et la direction des vitesses du jet et
celles de l'écoulement principal. Les qualités protectrices du plus faible taux d'injection sont
largement mises en évidence par les contours de l'efficacité qui caractérisent une pénétration
profonde du jet pour les taux d'injection les plus élevés. Pour M=1.1, on remarque l'existence
d'une zone de haute température sous le jet. On note ici que les calculs conduits par Lakehal et
al. (2001) suivant une procédure bi-couche ont montrés l'existence d'une petite zone de
recirculation au niveau du bord amont de l'orifice d'injection. Ce détail n'est pas reproduit par
la procédure loi de paroi en raison de la légèreté de la grille de calcul.
Sur la figure (V-25) on a présenté une vue rapprochée en perspective du voisinage du point
d'injection. La complexité du phénomène est mise en évidence par le tracé des lignes de
courant formé simultanément par la trajectoire des particules fluides issues du trou d'injection
et de l'écoulement principal. L'allure des contours de température sur des plans
perpendiculaires à la surface de l'aube est visualisée par la figure (V-26). La structure
127

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
tridimensionnelle du jet est mise en évidence par la forme \"kidney shape\" caractéristique du
\"jet-in-cross-flow\".
Sur la figure (V-27) sont présentés les distributions de l'efficacité moyenne latérale pour les
taux d'injections M=0.3, 0.7 et 1.1. L'allure expérimentale montre que pour le plus faible taux
d'injection (M=0.3), le jet reste attaché à la paroi ce qui se traduit par une très grande valeur
pour l'efficacité près de l'injection. Plus loin, et à cause de la dilution du jet dans l'écoulement
principal on remarque une décroissance régulière de l'efficacité de refroidissement. Cette
allure est bien reproduite par le modèle k − ε à haut nombre de Reynolds et par le modèle
GS/LT avec une sous estimation flagrante. Par contre les deux autres modèles et plus
spécialement le modèle CLS reproduit une augmentation de l'efficacité après s/d =10, comme
si le jet se réattache après un décollement.
Pour les taux d'injection plus élevés (M=0.7 et 1.1), les mesures expérimentales montrent que
le jet se réattache après un décollement, ce qui est traduit sur la figure par une plus faible
valeur de l'efficacité juste après le point d'injection, une diminution brusque et ensuite une
augmentation de l'efficacité. Du coté calcul, l'efficacité de refroidissement après l'injection est
toujours surestimée, probablement due au fait que le décollement n'est pas capturer par la
procédure loi de paroi adoptée. L'augmentation de l'efficacité est reproduite sauf pour le taux
d'injection M=1.1 et le modèle CLS.
5.4 Conclusion des trois simulations
Les trois configurations présentées lors de cette étude sont caractérisées par une géométrie
tridimensionnelle assez complexe associée à une forte interaction aussi bien entre les jets issus
des trous d'injection et l'écoulement principal qu'entre les jets eux-mêmes. Les simulations
numériques présentées dans ce chapitre ont montré que la structure calculée de l'écoulement
reflète assez fidèlement les observations expérimentales, telles que l'existence des deux
vortex contre rotatifs le long du jet, sa profonde pénétration en fonction du taux d'injection et
la structure assez complexe de l'écoulement à l'intérieur des trous d'injection. Il ressort des
calculs ci-dessus, qu'une bonne modélisation passe par une juste estimation de l'intensité et la
position des deux vortex contre rotatifs du jet. Plus ils sont mal capturés par le modèle (un peu
élevés de la surface), plus ils rament de fluide chaud en dessous, ce qui joue en défaveur de
l'efficacité de refroidissement. L'intégration du trou d'injection et du plenum (dans la
deuxième configuration en raison du faible rapport longueur/diamètre) dans le domaine de
calcul est plus que nécessaire et contribue à rapprocher le modèle numérique des conditions
128

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
expérimentales. Les différents essais numériques conduits lors de cette étude ont confirmé la
supériorité de l'injection à angle composé et à faible taux d'injection par rapport à l'injection
longitudinale et à taux d'injection élevé.
A travers l'étude comparative des différents modèles de turbulence, il a été montré que le
meilleur modèle capable de prédire raisonnablement la distribution de l'efficacité moyenne
latérale est celui utilisant la modification anisotropique. L'approche bi-couche à bas nombre
de Reynolds a été trouvée plus que nécessaire si on veut prédire assez raisonnablement le
champ thermique. L'application de ces deux techniques renforcée par des distributions de
variables inspirées des calculs DNS présente une alternative assez prometteuse pour la
simulation de ce type d'écoulement. Néanmoins, l'utilisation des résultats DNS d'un
écoulement attaché, alors que dans notre cas nous avons toujours des zones de recirculation
semble être en défaveur pour la méthode.
Bien que l'application des modèles EASM aux tests que nous avons utilisés pour la validation
était satisfaisante, notre expérience avec les situations tri-dimensionnelles et complexes du
refroidissement par film n'a pas été très encourageante.
129

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
SKE-WF M=0.3
30 m/sec
SKE-WF M=0.7
30 m/sec
SKE-WF M=1.1
30 m/sec
Figure (V-24) : Vecteurs vitesse et efficacité de refroidissement sur un plan longitudinal passant par le
milieu du trou d'injection, M=0.3, 0.7 et 1.1.
130

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
Y
X
Z
Figure (V-25) : Lignes de courant, \"Streamlines\" en 3D, M = 1.1
eta
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0.05
0.02
0.01
X
Z
Figure (V-26) : Plans 3D de l'efficacité de refroidissement, M = 1.1
131

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film
0,35
0,30 M = 0.3 Measurements
SKE-WF
0,25
S93-WF
GS/LT-WF
eta ave
0,20
CLS-WF
0,15
0,10
0,05
0,00
0 5 10 15 20 25 30 35
s/D
0,35
M = 0.7
Measurements
0,30
SKE-WF
S93-WF
0,25
GS/LT-WF
CLS-WF
0,20
eta ave
0,15
0,10
0,05
0,00
0 5 10 15 20 25 30 35
s/D
0,35
0,30
M = 1.1 Measurements
SKE-WF
0,25
S93-WF
GS/LT-WF
0,20
eta ave
CLS-WF
0,15
0,10
0,05
0,00
0 5 10 15 20 25 30 35
s/D
Figure (V-27) : Distribution de l'efficacité moyenne latérale pour M = 0.3, 0.7 et 1.1
132

CHAPITRE IV. Conclusions et perspectives
Conclusions et perspectives
Les travaux effectués lors de cette thèse présentent une contribution à la compréhension des
phénomènes physiques associés au refroidissement par film des aubes de turbines à gaz. Afin
d'atteindre ce but, nous avons conduit une étude numérique tout en apportant des
améliorations successives au modèle de calcul initial. Le but visé par l'étude est de se
rapprocher le mieux des conditions réelles d'utilisation des turbines à gaz et refléter avec plus
de précision la structure de l'écoulement et du champ thermique.
Notre intérêt a porté en premier sur la compréhension du comportement thermique d'une aube
de turbine à gaz exposée aux gaz émanant de la chambre de combustion. Nous avons mis en
évidence, à la lumière d'une revue bibliographique des travaux théoriques, expérimentaux et
numériques, l'intérêt apporté par l'utilisation d'un dispositif de refroidissement par film, tout
en mettant le point sur les différents paramètres qui influencent son efficacité. Ces paramètres
ont été classés en deux grandes catégories : les paramètres thermo- et hydrodynamique et les
paramètres géométriques. Dans la première catégorie nous avons mis le points sur le taux
d'injection et le taux de la quantité de mouvement et dans la seconde nous nous sommes
intéressés au nombre de rangées d'orifices d'injection, leurs espacements, leurs inclinaisons et
la longueur des trous d'injections eux-mêmes. L'étude a été clôturée par la considération d'une
aube à géométrie réelle.
Pour mener à bien cette étude nous nous sommes longuement attardés sur la formulation
mathématique du problème et plus spécialement sur la modélisation numérique de la
turbulence. Le problème étudié est à caractère fortement tridimensionnel, présentant un
décollement et un rattachent de la couche limite avec formation d'un ensemble de vortex
secondaires. La complexité de la modélisation numérique de ce type de problème est
accentuée par l'existence d'un mélange intense et une interaction directe de deux écoulements
ayants des caractéristiques thermiques assez différentes (température, masse volumique et
direction de l'écoulement).
Au cours de cette étude, nous avons montré que le modèle de turbulence k − ε , sous la forme
standard peut donner un aperçu qualitatif du champs hydrodynamique et thermique du
phénomène tout en étant incapable de restituer quantitativement la distribution de l'efficacité
adiabatique moyenne latérale. Ce défaut est lié à son incapacité de prendre en considération le
caractère anisotropique du jet, d'où une sous estimation systématique de la dispersion latérale
133

CHAPITRE IV. Conclusions et perspectives
de celui-ci. La modification anisotropique de Bergeles consistant à multiplier les composantes
latérales des contraintes de Reynolds ainsi que les composantes du flux thermique turbulent
par un coefficient obtenu des mesures expérimentales semble apporter la solution à ce défaut.
Toutefois, l'approche de la pose des conditions aux limites des parois solides selon la \"loi de
paroi\" semble être aussi un important obstacle à restituer le champ thermique. La non-
résolution de la sous couche visqueuse imposée par cette technique ne permet pas de capter
les zones de décollement de la couche limite existant en aval du point d'injection. Le
développement de cette zone a un effet déterminant sur l'évolution de l'efficacité de
refroidissement. Pour contourner l'utilisation assez lourde d'un modèle à bas nombre de
Reynolds, nous avons opter pour un modèle bi-couche utilisant un modèle à une équation
dans la sous couche visqueuse et le modèle standard loin de la paroi solide. Une version
améliorée de ce modèle consistant à utiliser la fluctuation normale de la vitesse au lieu de
l'énergie cinétique turbulente pour le calcul de la dissipation de la turbulence par le biais d'une
relation algébrique a aussi été testée et c'est avérée plus performante lors des tests effectués
sur l'écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles. Le modèle utilise une
distribution de la fluctuation de la vitesse normale inspirée des calculs DNS. La combinaison
de ce type d'approche avec la modification anisotropique de Bergles citée un peu plus hauts a
été réalisé par la substitution du coefficient expérimental d'amplification par une distribution
inspirée elle aussi des calculs DNS. Cette dernière variante a été trouve la mieux adaptée pour
refléter une distribution raisonnable de l'efficacité vis a vis des mesures expérimentales.
Enfin une tentative (à notre connaissance, faite pour la première fois) d'appliquer des modèles
algébriques quadratiques et cubiques en combinaison avec l'approche bi-couche basée sur les
calculs DNS, aux cas extrêmement complexe étudiés (refroidissement par film sur une plaque
tridimensionnel et sur une aube symétrique) a été initiée. Nous pensons qu'avec la disposition
de plus de moyens informatiques, les résultats de cette approche ne peuvent qu'être plus
probants. Ce type de modèles a le grand avantage de tenir des modèles de premier ordre leur
légèreté et des modèles de second ordre leur caractère anisotropique.
A la lumière des observations faites au cours de ce travail, un effort considérable reste à faire
aussi bien dans la modélisation de la turbulence que dans l'approche numérique elle-même.
Ceci ne fait que confirmer ce que d'autres chercheurs ont déjà remarqué : il n'existe pas de
modèle qui soit universel pour ce type d'écoulements, encore moins pour de forts taux
d’injection (M > 1) . Nous pensons alors que l'approche consistant à introduire une viscosité
turbulente anisotropique, combinée avec un modèle à une équation pour la sous-couche
134

CHAPITRE IV. Conclusions et perspectives
dominée par les effets visqueux est la mieux adaptée à ce type d'écoulements, pour sa
robustesse et sa prise en compte des éléments physiques les plus pertinents. Toutefois, le fait
que les résultats DNS ayant servi au développement du modèle sont ceux d'écoulements
attachés (couche limite et canal) pose des questions quant à la validité de l'approche en
présence de fortes recirculations. Aussi, d'autres volets permettant d'améliorer la prévision du
champ thermique sont à investir, tels que le gradient de température généralisé ou d'autres
formulations anisotropiques pour le nombre de Prandtl turbulent.
En ce qui concerne la méthode numérique, nous avons mis le point sur l'importance de la
nature de la grille de calcul sur la précision des prédictions numériques. Nous avons montré
par la conduite d'un cas test (Lid driven case) que l'adoption d'un maillage non uniforme
aboutit à des résultats moins précis que ceux obtenus par le biais d'un maillage uniforme.
Nous avons conclu que le taux de raffinement des maillages doit impérativement être le plus
proche possible de l'unité. Une étude assez détaillée appliquée à des cas test ayant des
solutions analytiques et utilisant des schémas de convection de différent ordre, a renforcé
notre conviction à n'utiliser que des schémas de second ordre y compris pour les équations du
modèle de turbulence. Cette dernière application a été possible par l'adoption d'une technique
assez récente qui consiste à utiliser des limiteurs empêchant l'apparition des oscillations
accompagnant les schémas à haute précision.
Le mode colocatif de stockage des variables utilisé dans cette étude est bien adapté à la
complexité géométrique des écoulements considérés. Il présente l'avantage d'une économie
non négligeable de la taille mémoire, puisque les calculs sont limités à un seul volume de
contrôle pour l'ensemble des variables. Cette technique simplifie également la pose des
conditions aux limites.
La complexité de la configuration géométrique a été maîtrisée par l'adoption d'une technique
de génération des grilles de calcul de type multi-bloc. Cette technique est parfaitement
adaptée aux domaines de calcul formant des jonctions tridimensionnelles et permet un gain
d'espace mémoire important. Des zones de connectivité communes aux parties adjacentes
permettent de transmettre l'information entre les différents blocs.
Sur le plan de la validation de l'outil de calcul, la méthode numérique développée lors de cette
étude a été appliquée avec succès à différents cas test. Nous avons présenté dans ce rapport
trois d'entre elles, l'écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles, la cavité
carré avec translation du coté haut et la marche descendante.
135

CHAPITRE IV. Conclusions et perspectives
L'étude paramétrique menée lors de cette thèse a porté sur :
• Une configuration bidimensionnelle assez simple de type fente (non présentée dans ce
rapport).
• Une configuration de type plaque plane tridimensionnelle sans tubes d'injection (encore
non présentée dans ce rapport). (Azzi et Abidat, 1999)
• Une plaque plane tridimensionnelle incluant les tubes d'injection, (Azzi et al., 1998a,
1998b et 2001a).
• Une plaque plane tridimensionnelle incluant le tube d'injection et le plenum, (Azzi and
Lakehal, 2001b) (Azzi et al., 2001c et 2001e).
• Une injection près du bord d'attaque de l'aube, (non présentée dans ce rapport), (Azzi et
Abidat, 2000 et 2001d)
• Enfin une aube réelle de turbine à gaz à haute pression, (Azzi et Lakehal, 2000b).
Durant ces différentes études, les tubes d'injection sont disposés en une et deux rangées et leur
inclinaison est simple ou composée. Le rapport des masses volumiques et la longueur des
tubes d'injection ont été adaptés dans les dernières simulations selon des valeurs comparables
avec les situations réelles des turbines à gaz modernes.
Durant cette étude on s'est efforcé de respecter et d'améliorer la structure originale du code de
calcul (FAST3D) pour qu'il garde un aspect pratique permettant de basculer d'une application
à une autre par un nombre d'opérations assez limité. Nous disposons ainsi, d'un outil robuste
capable de prédire l'écoulement turbulent et le champ thermique du fluide incompressible
dans des géométries complexes et tridimensionnelles.
La grande difficulté rencontrée lors de cette étude réside dans le temps excessivement long
nécessaire à l'obtention d'une solution convergente. Ceci a rendu la conduite des calculs
fastidieuse. Par ailleurs, la limite de la taille mémoire de stockage dont nous disposons a
rendu la tache d'optimisation des grilles de calcul assez lourde.
A l'issue de ce travail, nous pensons qu'il est intéressant de revoir quelques aspects dans le but
d'améliorer les possibilités de la simulation numérique de ce type d’écoulements.
136

CHAPITRE IV. Conclusions et perspectives
Pour remédier à la lourdeur de la conduite des calculs, nous pensons qu'à défaut de disposer
d'une machine vectorielle, il faut adopter des techniques permettant l'économie de l'espace
mémoire de stockage et le temps de calcul. Nous pensons dans ce contexte au maillage de
type non structuré et aux techniques de l'adaptation des grilles de calcul ainsi qu'à la méthode
multigrid.
La disponibilité des résultats expérimentaux (éventuellement LES ou DNS) détaillés des
champs dynamique et thermique de cas types de refroidissement par film bien définis en
géométrie et conditions aux limites est un besoin plus qu'indispensable pour la validation des
codes de calculs élaborés.
Pour suivre la tendance actuelle du refroidissement par film, il faut passer à la simulation des
trous d'injections à géométrie complexes, (connue sous le nom de shaped holes), introduire
l'effet de la compressibilité et aussi la rotation.
137

Annexes
ANNEXE A
Développement des équations de transport
L’équation (III-4) écrite pour la composante vitesse φ = u donne :
∂
(C1u + D1u ) + ∂ (C 2 u + D2u ) + ∂ (C3u + D3u ) = J S u (A-1)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
Les termes de diffusion s’écrivent :
µ ⎛ 1 ∂u 1 3⎞
1 ∂u 1 ∂u
⎜ B1
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω 1 + β 2ω 1 + β 3ω 1 ⎟
D1u = − 11 12
(A-2)
⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
µ⎛ 2 3⎞
∂u 2 ∂u 2 ∂u
⎜ B12
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω 1 + β 2 ω 1 + β 3 ω 1 ⎟
D2 u = − 21 22
(A-3)
⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
µ ⎛ 3 ∂u 3 3⎞
3 ∂u 3 ∂u
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω1 + β 2 ω 1 + β 3 ω 1 ⎟
⎜ B1
D3 u = − 31 32
(A-4)
⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
et le terme source :
1⎡∂ ⎤
∂ ∂
( ) ( ) ( )
p β 11 + p β 12 + p β 13 ⎥
Su = − ⎢ (A-5)
Vol ⎣ ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ⎦
où :
∂u
B ij = β n β nj
ω ij = β n i , i
(A-6)
∂ xn
j
qui se développent comme suit :
∂u ∂u ∂u
ω ij = β 1 i + β 2 i + β 3 i (A-7)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
j j j
B ij = β 1i β 1j + β 2 β 2j + β 3i β 3j
i
(A-8)
Dans le code de calcul utilisé, l’équation (A-2) est décomposée en :
µ 1 ∂u
D1u = − B1 calculée par la subroutine coeff.f, et comptabilisée avec la convection
∂ x1
Vol
dans la matrice principale.
µ ⎛ 1 ∂u 1 ∂u ⎞
⎜ B2 ⎟ est calculé par la subroutine cdflux.f et comptabilisé comme
− + B3
Vol ⎜ ∂ x 2 ∂ x3 ⎟
⎝ ⎠
terme source.
µ
(β ω )
+ β 2ω 12 + β 3ω 13 est calculé par la subroutine pdtst.f avec le terme source
− 1 1 1 1
1 1
Vol
relatif au gradient de pression.
Les équations relatives aux autres variables seront écrites et développées comme suit :
φ =v
139

Annexes
∂
(C1v + D1v ) + ∂ (C 2 v + D2v ) + ∂ (C3 v + D3v ) = J S v (A-9)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
µ⎛ 1 3⎞
1 ∂v 1 ∂v 1 ∂v
⎜ B1
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω 2 + β 2ω 2 + β 3ω 2 ⎟
D1v = − 11 12
(A-10)
⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
µ ⎛ 2 ∂v 2 3⎞
2 ∂v 2 ∂v
⎜ B1
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω 2 + β 2 ω 2 + β 3 ω 2 ⎟
=− 21 22
(A-11)
D2 v ⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
µ⎛ 3⎞
∂v 3 ∂v 3 ∂v
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω 2
⎜ B13 + β 2 ω 2 + β 33ω 2 ⎟
D3 u = − 31 32
(A-12)
⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
1⎡∂ ⎤
∂ ∂
( ) ( ) ( )
p β2 + p β 22 + p β2
Su = − 1 3
⎢ ⎥ (A-13)
Vol ⎣ ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ⎦
φ=w
∂
(C1 w + D1w ) + ∂ (C 2 w + D2 w ) + ∂ (C3 w + D3w ) = J S w (A-14)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
µ⎛ 1 3⎞
1 ∂w 1 ∂w 1 ∂w
⎜ B1 + β 11ω 3 + β 2ω 3 + β 3ω 3 ⎟
D1w = − + B2 + B3 1 12
(A-15)
Vol ⎜ ∂ x1 ⎟
∂ x2 ∂ x3
⎝ ⎠
µ ⎛ 2 ∂w 2 3⎞
2 ∂w 2 ∂w
⎜ B1
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω 3 + β 2 ω 3 + β 3 ω 3 ⎟
=− 21 22
(A-16)
D2 w ⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
µ⎛ 3 3⎞
∂w 3 ∂w 3 ∂w
⎜ B13
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x + β 1 ω 3 + β 2 ω 3 + β 3 ω 3 ⎟
D3 w = − 31 32
(A-17)
⎟
Vol ⎝ ⎠
1 2 3
1⎡∂ ⎤
∂ ∂
( ) ( ) ( )
p β3 + p β 32 + p β 33 ⎥
Su = − 1
⎢ (A-18)
Vol ⎣ ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ⎦
φ =T
∂
(C1T + D1T ) + ∂ (C 2T + D2T ) + ∂ (C3T + D3T ) = J ST (A-19)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
⎛ 1 ∂T 1 ∂T ⎞
µ 1 ∂T
⎜ B1
⎜ ∂ x + B2 ∂ x + B3 ∂ x ⎟
D1T = − (A-20)
⎟
Vol.σ T⎝ 3⎠
1 2
µ ⎛ 2 ∂T ∂T ⎞
2 ∂T
⎜ B1 ⎟
=− + B2 + B32 (A-21)
D 2T
Vol.σ T ⎜ ∂ x1 ∂ x3 ⎟
∂ x2
⎝ ⎠
⎛ 3 ∂T 3 ∂T ⎞
µ 3 ∂T
⎜ B1
⎜ ∂ x + B 2 ∂ x + B3 ∂ x ⎟
D3T = − (A-22)
⎟
Vol.σ T ⎝ 3⎠
1 2
S T = .0 (A-23)
φ =1
∂
(C1 + D1 ) + ∂ (C 2 + D2 ) + ∂ (C3 + D3 ) = J S (A-24)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
D1 = .0 (A-25)
D 2 = .0 (A-26)
140

Annexes
D3 = .0 (A-27)
S = .0 (A-28)
φ =k
∂
(C1k + D1k ) + ∂ (C 2 k + D2 k ) + ∂ (C3 k + D3k ) = J S k (A-29)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
⎛ 1 ∂k 1 ∂k ⎞
µ 1 ∂k
⎜ B1 ⎟
D1k = − + B2 + B3 (A-30)
⎜ ∂x ∂ x3 ⎟
Vol.σ k ∂ x2
⎝ ⎠
1
µ ⎛ 2 ∂k 2 ∂k ⎞
2 ∂k
⎜ ∂ x + B 2 ∂ x + B3 ∂ x ⎟
⎜ B1
=− (A-31)
D2 k ⎟
Vol.σ k ⎝ 3⎠
1 2
⎛ 3 ∂k 3 ∂k ⎞
µ 3 ∂k
⎜ B1 ⎟
D3k = − + B2 + B3 (A-32)
⎜ ∂x ∂ x3 ⎟
Vol.σ k ∂ x2
⎝ ⎠
1
ST = G − ρ ε (A-33)
φ =ε
∂
(C1ε + D1ε ) + ∂ (C 2ε + D2ε ) + ∂ (C3ε + D3ε ) = J S ε (A-34)
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
⎛ 1 ∂ε 1 ∂ε 1 ∂ε ⎞
µ
⎜ B1 ⎟
D1ε = − + B2 + B3 (A-35)
⎜ ∂x ∂ x3 ⎟
Vol.σ ε ∂ x2
⎝ ⎠
1
µ ⎛ 2 ∂ε 2 ∂ε 2 ∂ε ⎞
⎜ B1
⎜ ∂ x + B 2 ∂ x + B3 ∂ x ⎟
=− (A-36)
D2ε ⎟
Vol.σ ε ⎝ 3⎠
1 2
⎛ 3 ∂ε 3 ∂ε 3 ∂ε ⎞
µ
⎜ B1 ⎟
D3ε = − + B2 + B3 (A-37)
⎜ ∂x ∂ x3 ⎟
Vol.σ ε ∂ x2
⎝ ⎠
1
ε
S ε = (C1ε G − C 2ε ρε ) (A-38)
k
∂uj
2
µ t ⎛ ∂ ui ⎞
⎜ β⎟
β+
G= n n
(A-39)
2⎜ ⎟
2. J ⎝ ∂ x n ∂ xn
j i
⎠
µt = ρ Cµ k ε
2
(A-40)
C1ε = 1.44 C 2ε = 1.92 σ k = 1.0 σ ε = 1.3 σ T = 0.9
C µ = 0.09
141

Annexes
ANNEXE B
Développement des termes des tensions de turbulence des
modèles EASM
1 ⎛ ∂U i ∂U j
⎞
⎜ ⎟
S ij = + (B-1)
2 ⎜ ∂ x j ∂ xi
⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ∂U i ∂U j ⎞
Ω ij = ⎜ ⎟
− (B-2)
2 ⎜ ∂ x j ∂ xi ⎟
⎝ ⎠
c’est à dire :
∂U
S11 = (B-3)
∂x
∂V
S 22 = (B-4)
∂y
∂W
S 33 = (B-5)
∂z
1 ⎛ ∂U ∂V ⎞
⎜ ⎟
S12 = S 21 = + (B-6)
2⎜ ∂ y ∂x ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ∂U ∂W ⎞
=⎜ ⎟
S13 = S 31 + (B-7)
2⎜ ∂z ∂x ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ∂V ∂W ⎞
⎜ ⎟
S 23 = S 32 = + (B-8)
2⎜ ∂z ∂ y ⎟
⎝ ⎠
Ω11 = Ω 22 = Ω 33 = 0 (B-9)
1 ⎛ ∂U ∂V ⎞
⎜ ⎟
Ω12 = − Ω 21 = − (B-10)
2⎜ ∂ y ∂x ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ∂U ∂W ⎞
=⎜ ⎟
Ω13 = − Ω 31 − (B-11)
2⎜ ∂z ∂x ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ∂V ∂W ⎞
⎜ ⎟
Ω 23 = − Ω 32 = − (B-12)
2⎜ ∂z ∂ y ⎟
⎝ ⎠
Pour développer les termes intervenant dans l’expression des contraintes de Reynolds et en
tenant compte de l’égalité suivante : S11 + S 22 + S 33 = .0 , nous définissons les opérateurs
suivants :
3
S ik S jk ≡ ∑ S ik S jk
k =1
142

Annexes
SS11 = S1k S1k = S11 S11 + S12 S12 + S13 S13 = S11 + S12 + S13
2 2 2
(B-13)
SS 22 = S 2 k S 2 k = S 21 S 21 + S 22 S 22 + S 23 S 23 = S12 + S 22 + S 23
2 2 2
(B-14)
SS 33 = S 3k S 3k = S 31 S 31 + S 32 S 32 + S 33 S 33 = S13 + S 23 + S 33
2 2 2
(B-15)
SS12 = S1k S 2 k = S11 S 21 + S12 S 22 + S13 S 23 = S13 S 23 − S 33 S12 (B-16)
SS13 = S1k S 3k = S11 S 31 + S12 S 32 + S13 S 33 = S12 S 23 − S 22 S13 (B-17)
SS 23 = S 2 k S 3k = S 21 S 31 + S 22 S 32 + S 23 S 33 = S12 S13 − S11 S 23 (B-18)
3
Ω ik S jk = ∑ Ω ik S jk
k =1
OS11 = Ω1k S1k = Ω11 S11 + Ω12 S12 + Ω13 S13 = Ω12 S12 + Ω13 S13 (B-19)
OS 22 = Ω 2 k S 2 k = Ω 21 S 21 + Ω 22 S 22 + Ω 23 S 23 = −Ω12 S12 + Ω 23 S 23 (B-20)
OS 33 = Ω 3k S 3k = Ω 31 S 31 + Ω 32 S 32 + Ω 33 S 33 = −Ω13 S13 − Ω 23 S 23 (B-21)
OS12 = Ω1k S 2 k = Ω11 S 21 + Ω12 S 22 + Ω13 S 23 = Ω12 S 22 + Ω13 S 23 (B-22)
OS 21 = Ω 2 k S1k = Ω 21 S11 + Ω 22 S12 + Ω 23 S13 = −Ω12 S11 + Ω 23 S13 (B-23)
OS13 = Ω1k S 3k = Ω11 S 31 + Ω12 S 32 + Ω13 S 33 = Ω12 S 23 + Ω13 S 33 (B-24)
OS 31 = Ω 3k S1k = Ω 31 S11 + Ω 32 S12 + Ω 33 S13 = −Ω13 S11 − Ω 23 S12 (B-25)
OS 23 = Ω 2 k S 3k = Ω 21 S 31 + Ω 22 S 32 + Ω 23 S 33 = −Ω12 S13 + Ω 23 S 33 (B-26)
OS 32 = Ω 3k S 2 k = Ω 31 S 21 + Ω 32 S 22 + Ω 33 S 23 = −Ω13 S12 − Ω 23 S 22 (B-27)
SO11 = − S12 Ω12 − S13 Ω13 (B-28)
SO 22 = S12 Ω12 − S 23 Ω 23 (B-29)
SO33 = S13 Ω13 + S 23 Ω 23 (B-30)
SO 21 = − S 22 Ω12 − S 23 Ω13 (B-31)
SO12 = S11Ω12 − S13 Ω 23 (B-31)
SO31 = − S 23 Ω12 − S 33 Ω13 (B-33)
SO13 = S11Ω13 + S12 Ω 23 (B-34)
SO32 = S13 Ω12 − S 33 Ω 23 (B-35)
SO 23 = S12 Ω13 + S 22 Ω 23 (B-36)
143

Annexes
3
Ω ik Ω jk = ∑ Ω ik Ω jk
k =1
OO11 = Ω1k Ω1k = Ω12 Ω12 + Ω13 Ω13 = Ω12 + Ω13
2 2
(B-37)
OO 22 = Ω 2 k Ω 2 k = Ω 21Ω 21 + Ω 23 Ω 23 = Ω12 + Ω 2
2
(B-38)
23
OO33 = Ω 3k Ω 3k = Ω 31Ω 31 + Ω 32 Ω 32 = Ω13 + Ω 2
2
(B-39)
23
OO12 = Ω1k Ω 2 k = Ω12 Ω 22 + Ω13 Ω 23 = Ω13 Ω 23 (B-40)
OO13 = Ω1k Ω 3k = Ω12 Ω 32 + Ω13 Ω 33 = −Ω12 Ω 23 (B-41)
OO 23 = Ω 2 k Ω 3k = Ω 21Ω 31 + Ω 22 Ω 32 = Ω12 Ω13 (B-42)
⎛3 ⎞
3
S mn S mn = ∑ ⎜ ∑ S mn S mn ⎟
n =1 ⎝ m =1 ⎠
( )
SKK = S ij S ij = S11 + S 22 + S 33 + 2 S12 + S13 + S 23
2 2 2 2 2 2
(B-43)
⎛3 ⎞
3
Ω mn Ω mn = ∑ ⎜ ∑ Ω mn Ω mn ⎟
n =1 ⎝ m =1 ⎠
( )
SOO = Ω ij Ω ij = 2 Ω12 + Ω13 + Ω 2
2 2
(B-44)
23
SSS = S 3 = S11 + S 22 + S 33 + 3 S12 (S11 + S 22 )
2 2 2 2
+ 3 S13 (S11 + S 33 ) + 3 S 23 (S 33 + S 22 ) + 6 S12 S 23 S13
2 2
(B-45)
1
Tij1 = S ik S jk − S kl S kl δ ij
3
1
T11 = SS11 − SKK
1
(B-46)
3
1
T22 = SS 22 − SKK
1
(B-47)
3
1
T33 = SS 33 − SKK
1
(B-48)
3
T12 = SS12 T13 = SS13 T23 = SS 23
1 1
1
(B-49)
Tij2 = Ω ik S jk + Ω jk S ik
144

Annexes
T11 = OS11 + OS11 = −2.SO11
2
(B-50)
T22 = OS 22 + OS 22 = −2.SO 22
2
(B-51)
T33 = OS 33 + OS 33 = −2.SO33
2
(B-52)
T12 = OS12 + OS 21 = − SO 21 − SO12
2
(B-53)
T13 = OS13 + OS 31 = − SO31 − SO13
2
(B-54)
T23 = OS 23 + OS 32 = − SO32 − SO 23
2
(B-55)
1
Tij3 = Ω ik Ω jk − Ω kl Ω kl δ ij
3
1
T11 = OO11 − SOO
3
(B-56)
3
1
T22 = OO 22 − SOO
3
(B-57)
3
1
T33 = OO33 − SOO
3
(B-58)
3
T12 = OO12 T13 = OO13 T23 = OO 23
3 3 3
(B-59)
Tij4 = S ki Ω lj + S kj Ω li
2
S lm Ω mn Ω nl δ ij
Tij5 = Ω il Ω lm S mj + S il Ω lm Ω mj −
3
puisque le coefficient C 5 est nul, on n’a pas besoin de développer ce terme.
Tij6 = S ij S kl S kl
T11 = S11 .SKK T22 = S 22 .SKK T33 = S 33 .SKK
6 6 6
(B-60)
1 1 1
T12 = T13 = T23 =
6 6 6
S12 .SKK S13 .SKK S 23 .SKK (B-61)
2 2 2
Tij7 = S ij Ω kl Ω kl
T11 = Ω11 .SOO T22 = Ω 22 .SOO T33 = Ω 33 .SOO
7 7 7
(B-62)
1 1 1
T12 = Ω12 .SOO T13 = Ω13 .SOO T23 = Ω 23 .SOO
7 7 7
(B-63)
2 2 2
145

Annexes
146

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