Áreas de Polígonos
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Áreas de Polígonos

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Apresentação de demosntração das áreas de alguns polígonos.

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Áreas de Polígonos Áreas de Polígonos Presentation Transcript

  • Áreas de polígonos Demonstrações de suas fórmulas
  • Antes mesmo de falarmos em áreas devemos saber qual sua unidade de medida,não acha?
    • Unidade de área
    • Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
    • Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
  • Área do Retângulo
    • A figura abaixo mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
    • Assim:
    • A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
    • O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
  • Área do Quadrado
    • Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
    • Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
    • Sendo então : A = x²
  • Área do Paralelogramo
    • Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
    • No paralelogramo ABCD, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
    • No paralelogramo RSTV, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
    • A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h.
    • Pelo desenho :
  • Demonstração da fórmula para a área do paralelogramo
    • Construímos o paralelogramo ABCD com base AB e altura BX. Pelos pontos A e B traçamos duas retas perpendiculares a AB até encontrarem CD, formando o retângulo ABXY de área A=bh.
    • Os triângulos ADY e BCX são congruentes, pois são triângulos retângulos, possuem hipotenusas congruentes, pois são lados opostos de um paralelogramo (AD e BC) e um dos catetos congruentes pois (AY=BX) por serem paralelas compreendidas entre paralelas. Portanto, a área do retângulo ABXY é b.h e é igual à área do paralelogramo ABCD.
  • Área do triângulo
    • A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.
  • Demonstração da fórmula para a área do triângulo
    • Construímos o triângulo ABC com base AB e altura XC. Traçamos uma reta paralela ao segmento AB que passa pelo ponto C e uma reta paralela ao segmento AC que passa pelo ponto B e dessa forma construímos o paralelogramo ABYC cuja área é o dobro da área do triângulo ABC.
    • Observando a figura:
    • Assim podemos concluir que a área do triangulo será a metade da paralelogramo.
    • A=b.h/2.
  • Área do losango
    • O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.
    • A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d 1 ×d 2 )/2.
  • Demonstração da fórmula para a área do losango
    • Seja o losango ABCD cujas diagonais AC e BD são tais que m(AC)=d1 e m(BD)=d2. Se traçarmos paralelas às diagonais pelos vértices formamos o retângulo MNOP cuja área é o dobro da área do losango. Como a área do retângulo é d1×d2, então a área do losango é dada por A=½(d1×d2).
  • Área do Trapézio
    • Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.
    • A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.
  • Demonstração da fórmula para a área do trapézio  
    • A área do paralelogramo formado por 2 trapézios iguais está conforme figura abaixo:
    • A área deste paralelogramo é a altura vezes a soma das bases b e B.Visto que o paralelogramo pode ser formado por 2 trapézios iguais, então a área do trapézio é a metade da área do paralelogramo, conforme a fórmula A=(b1+b2).h/2.
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