Laboratorio di tecnologie dell’istruzione e dell’apprendimento IL CALCOLO INFINITESIMALE IL CALCOLO INFINITESIMALE Student...
INDICE <ul><li>Cenni storici </li></ul><ul><li>Il Calcolo differenziale </li></ul><ul><ul><ul><li>Derivata </li></ul></ul>...
INTRODUZIONE <ul><li>Ramo della matematica che ha per oggetto lo studio delle proprietà delle funzioni di una o più variab...
QUADRO STORICO Antica Grecia Democrito Eudosso e Archimede  XVII Secolo Cavalieri e  Torricelli Cartesio e Pierre de Ferma...
Derivata di una funzione reale a variabile reale IL CALCOLO INFINITESIMALE
La derivata di una funzione è uno  dei cardini dell’analisi matematica e del calcolo infinitesimale IL CALCOLO INFINITESIM...
Derivata destra e derivata sinistra Si chiama  derivata destra  di f in x 0  il: Si chiama  derivata sinistra  di f in x 0...
Significato geometrico <ul><li>Il valore della derivata di f(x) </li></ul><ul><li>calcolata in x 0  ha un significato </li...
Teorema di continuità  Il teorema asserisce che se  f ( x ) è derivabile in  x 0  allora  f ( x ) è anche continua in  x 0...
Punti di massimo e minimo di una funzione <ul><li>Teorema di Fermat </li></ul><ul><li>sia f(x) una funzione derivabile, e ...
Osservazioni  E’ indispensabile che  x 0  sia interno al dominio  la funzione deve essere derivabile nel punto  x 0 , altr...
Teorema di Rolle <ul><li>Sia  f ( x ) una funzione continua nell'intervallo chiuso [ a , b ] e derivabile nell'intervallo ...
Teorema di Lagrange <ul><li>Sia  f ( x ) una funzione continua in [ a , b ] e derivabile in ( a , b ), allora esiste almen...
Teorema di Cauchy <ul><li>Siano  f ( x ) e  g ( x ) funzioni continue in [ a , b ] e derivabili in ( a , b ) con  g' ( x )...
Teorema di crescenza e decrescenza <ul><li>Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b).  </li></ul><ul><li>Allora : <...
Derivata di una serie di potenze <ul><li>Una funzione espressa  </li></ul><ul><li>come serie di potenze con raggio di conv...
Regole di derivazione Derivate semplici   Derivate di funzioni IL CALCOLO INFINITESIMALE
E’ possibile rappresentare degli esempi attraverso programmi di programmazione che permettono di vedere, attraverso degli ...
IL CALCOLO INFINITESIMALE ESERCIZI 1. y=x 3  sen 2x 2. y = x 2  e x  + x e 3. y = 4x 2  cos(4x 3 +6x+2) 4. y = 2 arctag e ...
La teoria degli integrali IL CALCOLO INFINITESIMALE
Si dice integrale indefinito di una data funzione f(x) la totalità della primitive della funzione f(x), in simboli: IL CAL...
Metodi di integrazione <ul><li>Integrazione per scomposizione:  </li></ul><ul><li>Integrazione per parti:  </li></ul><ul><...
IL CALCOLO INFINITESIMALE Integrale definito Sia  f  una funzione definita sull'intervallo  I  = [ a ,  b ],  f  : [ a ,  ...
Significato geometrico <ul><li>Se per ogni x Î [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile </li></ul><ul><li>allo...
Proprietà dell’integrale <ul><li>1.  </li></ul><ul><li>2.  </li></ul><ul><li>3.  </li></ul><ul><li>4. </li></ul><ul><li>5....
Teorema del valor medio <ul><li>Sia  f  una funzione continua sull'intervallo [ a ,  b ], allora esiste almeno un punto  c...
Funzione integrale <ul><li>Fissato  x 0  є  [ a ,  b ], per funzione integrale si intende la funzione  F  definita sull'in...
Teorema di Torricelli- Barrow o Teorema fondamentale del calcolo integrale <ul><li>Sia  f  una funzione continua sull'inte...
Corollario delTeorema di Torricelli- Barrow <ul><li>Sia  f  una funzione continua sull'intervallo [ a ,  b ], sia  G  una ...
Calcolo delle Aree (1) <ul><li>Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b],  </li></ul><ul><li>dopo aver diviso ...
<ul><li>Def. Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’interv...
Integrali Immediati IL CALCOLO INFINITESIMALE Il Puzzle degli Integrali Integrali
<ul><li>Il calcolo infinitesimale trova applicazioni anche nella fisica: </li></ul><ul><li>Introduciamo il concetto di  Ca...
Bibliografia e Fonti <ul><li>http://it.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Calcolo_infinitesimale.html </li></ul><ul><l...
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Calcolo Infinitesimale

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Calcolo Infinitesimale

  1. 1. Laboratorio di tecnologie dell’istruzione e dell’apprendimento IL CALCOLO INFINITESIMALE IL CALCOLO INFINITESIMALE Studentesse: Ciotola Antonella De Biase Giuliana Tomasso Francesca
  2. 2. INDICE <ul><li>Cenni storici </li></ul><ul><li>Il Calcolo differenziale </li></ul><ul><ul><ul><li>Derivata </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Teoremi fondamentali sul calcolo differenziale </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Applicazioni </li></ul></ul></ul><ul><li>Il calcolo integrale </li></ul><ul><ul><ul><li>Integrale Indefinito e Integrale definito </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Teoremi fondamentali sugli integrali </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Applicazioni </li></ul></ul></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  3. 3. INTRODUZIONE <ul><li>Ramo della matematica che ha per oggetto lo studio delle proprietà delle funzioni di una o più variabili. </li></ul><ul><li>Per convenzione, si usa suddividere il calcolo infinitesimale in: </li></ul><ul><li>calcolo differenziale , che approfondisce il comportamento delle funzioni nell’operazione di derivazione, </li></ul><ul><li>calcolo integrale , che studia le proprietà delle funzioni nell’operazione di integrazione. </li></ul><ul><li>Il calcolo infinitesimale è essenziale per la formalizzazione matematica dei fenomeni naturali e viene utilizzato come strumento di lavoro in tutte le discipline di scienze fisiche. </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  4. 4. QUADRO STORICO Antica Grecia Democrito Eudosso e Archimede XVII Secolo Cavalieri e Torricelli Cartesio e Pierre de Fermat Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz XVIII Secolo XIX Secolo XX Secolo Bolzano e Cauchy Cauchy e Riemann Dedekind e Weierstrass <ul><li>volume della piramide e del cono </li></ul><ul><li>area del cerchio </li></ul><ul><li>sviluppo degli infinitesimi </li></ul><ul><li>aree sottese da curve assegnate e tangenti ad esse </li></ul><ul><li>Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale </li></ul><ul><li>Limiti </li></ul><ul><li>Derivate </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  5. 5. Derivata di una funzione reale a variabile reale IL CALCOLO INFINITESIMALE
  6. 6. La derivata di una funzione è uno dei cardini dell’analisi matematica e del calcolo infinitesimale IL CALCOLO INFINITESIMALE
  7. 7. Derivata destra e derivata sinistra Si chiama derivata destra di f in x 0 il: Si chiama derivata sinistra di f in x 0 il: IL CALCOLO INFINITESIMALE
  8. 8. Significato geometrico <ul><li>Il valore della derivata di f(x) </li></ul><ul><li>calcolata in x 0 ha un significato </li></ul><ul><li>geometrico: è il coefficiente angolare </li></ul><ul><li>della retta tangente alla curva </li></ul><ul><li>rappresentata nel grafico nel punto </li></ul><ul><li>di coordinate (x 0 , f(x 0 )). L’equazione </li></ul><ul><li>della retta tangente è </li></ul><ul><li>Se f(x) è derivabile nel punto x0 allora </li></ul><ul><li>esiste una funzione o(|x-x 0 |) definita </li></ul><ul><li>in un intorno di x0 tale che: </li></ul><ul><li>con </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  9. 9. Teorema di continuità Il teorema asserisce che se f ( x ) è derivabile in x 0 allora f ( x ) è anche continua in x 0 . Notiamo che l'opposto non è sempre vero: ad esempio, la funzione f ( x ) = | x | è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra. Dimostrazione La dimostrazione si effettua con l'uguaglianza f ( x ) = f ( x 0 ) + f '( x 0 )( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) da cui: Quindi la funzione è continua in x 0 IL CALCOLO INFINITESIMALE
  10. 10. Punti di massimo e minimo di una funzione <ul><li>Teorema di Fermat </li></ul><ul><li>sia f(x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x 0 </li></ul><ul><li>sia x 0 un punto interno al dominio della funzione f </li></ul><ul><li>sia x 0 un punto di massimo o di minimo della funzione f </li></ul><ul><li>allora la derivata della funzione in x 0 è nulla, cioè f '( x 0 ) = 0. </li></ul><ul><li>Questo teorema è molto usato nello studio della funzione dato che definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla. </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  11. 11. Osservazioni E’ indispensabile che x 0 sia interno al dominio la funzione deve essere derivabile nel punto x 0 , altrimenti il teorema non ha senso. Ogni punto in cui la f '( x ) si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di f '( x ). IL CALCOLO INFINITESIMALE
  12. 12. Teorema di Rolle <ul><li>Sia f ( x ) una funzione continua nell'intervallo chiuso [ a , b ] e derivabile nell'intervallo aperto ( a , b ). Se f ( a ) = f ( b ) allora esiste un punto x 0 appartenente all'intervallo aperto ( a , b ) di f' ( x ) dove la derivata prima si annulla. </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  13. 13. Teorema di Lagrange <ul><li>Sia f ( x ) una funzione continua in [ a , b ] e derivabile in ( a , b ), allora esiste almeno un punto x 0 appartenente ad ( a , b ) per cui: </li></ul><ul><li>Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione ( x 0 , f ( x 0 )) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti ( a , f ( a )) e ( b , f ( b )). </li></ul><ul><li>Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f ( a ) è diverso da f ( b ), se invece f ( a ) è uguale a f ( b ) si ricade nel Teorema di Rolle. </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  14. 14. Teorema di Cauchy <ul><li>Siano f ( x ) e g ( x ) funzioni continue in [ a , b ] e derivabili in ( a , b ) con g' ( x ) diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo, allora esiste almeno un punto x 0 appartenente ad ( a , b ) per cui: </li></ul><ul><li>Considerando in particolare la funzione g ( t ) = t , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange. </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  15. 15. Teorema di crescenza e decrescenza <ul><li>Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b). </li></ul><ul><li>Allora : </li></ul><ul><li>Se e solo se la funzione è crescente in (a,b) </li></ul><ul><li>Se se e solo se la funzione è decrescente in (a,b) </li></ul><ul><li>La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente). Il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange. </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  16. 16. Derivata di una serie di potenze <ul><li>Una funzione espressa </li></ul><ul><li>come serie di potenze con raggio di convergenza r è continua e derivabile su tutto l'intervallo (- r , r ). La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente: </li></ul><ul><li>Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo della serie di Taylor e Mc-Laurin. </li></ul>IL CALCOLO INFINITESIMALE
  17. 17. Regole di derivazione Derivate semplici Derivate di funzioni IL CALCOLO INFINITESIMALE
  18. 18. E’ possibile rappresentare degli esempi attraverso programmi di programmazione che permettono di vedere, attraverso degli algoritmi, il grafico delle derivate. Vediamo come, attraverso il programma MATLAB, si sviluppa la funzione: y = 3 sen5x+2 cos5x IL CALCOLO INFINITESIMALE
  19. 19. IL CALCOLO INFINITESIMALE ESERCIZI 1. y=x 3 sen 2x 2. y = x 2 e x + x e 3. y = 4x 2 cos(4x 3 +6x+2) 4. y = 2 arctag e 2x 5. y = sen 3 x 4
  20. 20. La teoria degli integrali IL CALCOLO INFINITESIMALE
  21. 21. Si dice integrale indefinito di una data funzione f(x) la totalità della primitive della funzione f(x), in simboli: IL CALCOLO INFINITESIMALE Si dice che F(x) è una primitiva della funzione f(x) se si verifica che: F'(X) = f(x) Integrale indefinito
  22. 22. Metodi di integrazione <ul><li>Integrazione per scomposizione: </li></ul><ul><li>Integrazione per parti: </li></ul><ul><li>Integrazione per sostituzione: </li></ul>
  23. 23. IL CALCOLO INFINITESIMALE Integrale definito Sia f una funzione definita sull'intervallo I = [ a , b ], f : [ a , b ]  R , limitata su tale intervallo. Si scelgono n + 1 punti nell'intervallo [ a , b ] dei quali il primo coincidente con a e l'ultimo con b : a = x 0 < x 1 < ... < x n = b. Si indica tale suddivisione dell'intervallo [ a , b ] con D. Si pone: m i = inf { f ( x ) : x i  1 < x < x i } e M i = sup {f (x) : x i  1 < x < x i }                                            somma inferiore somma superiore                                                                                                                                    La funzione f si dice integrabile in [a, b] secondo Riemann se:                                                                                                  ed il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di f in [a, b] e si indica                               , [a, b] si dice dominio di integrazione , f   funzione integranda .
  24. 24. Significato geometrico <ul><li>Se per ogni x Î [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile </li></ul><ul><li>allora </li></ul><ul><li>rappresenta l'area dell'insieme: </li></ul><ul><li>{(x, y) : a £ x £ b, 0 £ y £ f(x)} </li></ul>
  25. 25. Proprietà dell’integrale <ul><li>1. </li></ul><ul><li>2. </li></ul><ul><li>3. </li></ul><ul><li>4. </li></ul><ul><li>5. </li></ul>
  26. 26. Teorema del valor medio <ul><li>Sia f una funzione continua sull'intervallo [ a , b ], allora esiste almeno un punto c є Î [ a , b ] tale che </li></ul>
  27. 27. Funzione integrale <ul><li>Fissato x 0 є [ a , b ], per funzione integrale si intende la funzione F definita sull'intervallo [ a , b ]: </li></ul>
  28. 28. Teorema di Torricelli- Barrow o Teorema fondamentale del calcolo integrale <ul><li>Sia f una funzione continua sull'intervallo [ a , b ], allora </li></ul><ul><li>la funzione integrale F ( x ) è derivabile in ( a , b ) </li></ul><ul><li>e si ha: </li></ul><ul><li>F'(x) = f (x) </li></ul>
  29. 29. Corollario delTeorema di Torricelli- Barrow <ul><li>Sia f una funzione continua sull'intervallo [ a , b ], sia G una primitiva di f allora si ha: </li></ul>
  30. 30. Calcolo delle Aree (1) <ul><li>Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], </li></ul><ul><li>dopo aver diviso l’intervallo in n parti, indichiamo con m i = min f(x) e con M i = max f(x) </li></ul><ul><li>nell’intervallino i-esimo di ampiezza h </li></ul>h s n = AreaPluriRett inscr. =  m i  h S n = AreaPluriRett circo. =  M i  h ARett circo. = M i  h ARett inscr. = m i  h B x y C A b a D m i M i i B x y C A b a D
  31. 31. <ul><li>Def. Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite </li></ul>Calcolo delle Aree (2) e si indica con Allora, possiamo dare la seguente definizione:
  32. 32. Integrali Immediati IL CALCOLO INFINITESIMALE Il Puzzle degli Integrali Integrali
  33. 33. <ul><li>Il calcolo infinitesimale trova applicazioni anche nella fisica: </li></ul><ul><li>Introduciamo il concetto di Campo </li></ul>Applicazioni nella Fisica
  34. 34. Bibliografia e Fonti <ul><li>http://it.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Calcolo_infinitesimale.html </li></ul><ul><li>Lamberto Lamberti, Laura Mereu, Augusta Nanni, Nuovo MATEMATICA TRE - Analisi, Etas Libri. </li></ul><ul><li>http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale </li></ul><ul><li>http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/index.html </li></ul>FINE IL CALCOLO INFINITESIMALE

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