Do Quinto Postulado De Euclides Ao Nascimento Das

Do Quinto Postulado de Euclides ao Nascimento das Geometrias Não Euclidianas.

As noções elementares de geometria nasceram da necessidade de se medirem as distâncias entre pontos ou localidades, e mesmo as formas e dimensões dos objetos. As civilizações egípcias e assíria, surgidas aproximadamente cinco mil anos antes da era cristã, conheciam as principais figuras geométricas e as noções de ângulo, que utilizavam para medir terras e determinar a posição dos astros no céu. Porém a nossa história começa por volta de 300 anos antes de Cristo na Grécia antiga, com Euclides de Alexandria que sistematizou e ampliou os conhecimentos geométrico da época.

Partindo de noções primitivas de ponto, reta, plano e espaço, desenvolveu um dos primeiros exemplos de uma teoria dedutiva, estabelecendo sob a forma de axioma (proposições aceita sem demonstração), as relações entre essas noções primitivas e suas principais propriedades. Os axiomas e suas conseqüências, os teoremas, demonstráveis a partir dos próprios axiomas, forma reunidos por ele em 13 livro que ficou conhecido como os elementos que sem dúvida constituíram uma das obras de maior influência para o desenvolvimento da matemática e da ciência dedutiva.

No entanto é fácil sentir que Euclides não foi o descobridor, propriamente dito desse material em geral, essencialmente todo o conhecimento acumulado durante século até essa época estava ali, isto sim organizado por Euclides fazendo com que a grande maioria de seus antecessores acabassem no esquecimento. Estava escrita dessa forma, portanto, a primeira fundamentação ( teoria axiomática) da geometria. Tal teoria desenvolvia-se a partir de 23 definições, 5 postulados e 9 axiomas.

Entretanto o grande estimulador de nossa história deve-se ao Quinto Postulado ou Postulado V, tão inigualável se comparado aos outros que este acabou provocando de controvérsias e enorme dedicação de inúmeros matemáticos ao longo de mais de 20 séculos. Este é sem dúvida o nosso limitador de águas, aquele que divide a geometria Euclidiana da Não Euclidiana.

O postulado V ( de Euclides): Se uma reta, ao interceptar duas outras, forma de um mesmo lado ângulos internos cuja soma é menor que dois ângulos retos , então estas duas retas se prolongadas indefinidamente , interceptam-se, fazendo-o exatamente no lado no qual tal soma é menor do que dois retos.

Desta forma a origem das chamadas geometrias Não Euclidianas esta ligada ao questionamento do Quinto Postulado estabelecido por Euclides. Por ter elaboração mais completa que as dos demais, e sobretudo por dar a impressão de redundância, o Quinto Postulado gerou controvérsias praticamente desde que foi divulgado. Mais de dois mil anos depois, a constatação de era possível construir uma nova geometria, contendo os postulados anteriores e a negação do quinto, provou sua independência. Antes mesmo dessa descoberta, o axioma ganhou novas formulações, atribuindo-se a mais conhecida - “por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela a reta dada”.

Na geometria euclidiana a, distância que separa duas semi-reta disposta como na figura2 permanece a mesma nos movemos para direita. No inicio do século passado, porem, foram propostas duas geometrias alternativas nas quais essa distância aumenta, (a geometria hiperbólica )

ou diminui,(a geometria elíptica ) quando nos afastamos das origens das semi-retas, embora no caso hiperbólico elas continuem a ser paralelas. O surgimento das geometria não euclidianas representou

uma revolução devido a uma profunda repercussão nos conceitos de verdade e realidade . Um exemplo disso seria que na geometria euclidiana, por um ponto fora de reta passa uma única reta paralela a reta dada, enquanto que não euclidiana pode passar ate infinitas delas.

A necessidade do quinto postulado esteve envolvida por dúvidas desde que ele foi enunciado, pois acreditava-se que podia ser deduzido dos anteriores. Surgiu então a grande questão,

tão antiga quanto o próprio “os elementos” de Euclides, que só seria definitivamente resolvida no século XIX. O principal objetivo da maioria das obras dos matemáticos relativas à axiomática apresentada no “Os Elementos” de Euclides era provar o postulado V, isto é, mostra que ele seria dependente das outras proposições básicas devendo portanto passar a ser tido como um teorema

(palavra introduzida por Euclides que significa “afirmação que pode ser provada”).

Houve varias tentativas para demonstrar o Quinto Postulado mas o definitivo mérito público quanto a solução final, da questão do Quinto Postulado de Euclides coube ao russo Lobachesvevsky (1793 a 1856)

Lobachevsky conservou as proposições básicas de Euclides (corresponderiam à hoje Geometria Absoluta ), à exceção do Postulado V, que supôs ser falso. Com isso, acabou construindo

um certo sistema lógico, com proposições sempre demonstradas a partir das básicas de Euclides e das anteriores.

Lobachevsky desenvolveu tal sistema lógico-geométrico até leva-lo ao mesmo nível em que se encontrava a geometria euclidiana. E não encontrou contradição alguma, chamou-o de geometria imaginária. Ele sabia, no entanto, que isto não seria suficiente para provar a consistência de sua geometria. Alguma contradição poderia ser obtida em estágio mais avançado. Realizou, então, análise algébrica profunda de sua geometria provando, assim,em medida satisfatória para a sua época, sua consistência.

Estava criada ou descoberta a primeira geometria não euclidiana. Podemos dizer, então a solução final (no século XIX) da questão do Postulado V de Euclides caracteriza-se basicamente por: