Fluid Mechanics Pipe Flow

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Fluid Mechanics Pipe Flow

  1. 1. ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E GESTÃO INDUSTRIAL Mecânica dos Fluidos Escoamentos no interior de condutas Álvaro Aguiar n.º 4253 José Onofre n.º 4458 Rui Portela n.º 4052 5/01/2004
  2. 2. ÍNDICE 1. RESUMO 1 2. INTRODUÇÃO 1 3. DESCRIÇÃO DA INSTALAÇÃO E PROCEDIMENTOS 2 4. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS 3 4.1. Escoamentos interiores 3 4.1.1. Escoamento em regime laminar 4 4.1.2. Escoamento em regime turbulento 5 4.2. Equação de Bernoulli 6 4.3. Análise dimensional de uma conduta 6 5. RESULTADOS 9 5.1. Trajecto 1 9 5.1.1. Determinação da velocidade de escoamento 9 5.1.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta 10 5.1.3. Representação gráfica 11 5.2. Trajecto 2a 12 5.2.1. Determinação da velocidade de escoamento 12 5.2.2. Determinação das perdas localizadas na expansão 12 5.2.2.1. Desprezando as perdas por atrito 12 5.2.2.2. Considerando as perdas de carga por atrito 13 5.2.2.2.1. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de menor diâmetro 14 5.2.2.2.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de maior diâmetro 14 5.2.3. Valores teóricos das perdas localizadas na expansão 15 6. CONCLUSÕES 15 7. NOMENCLATURA 16 8. REFERÊNCIAS 16
  3. 3. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial 1. Resumo Este trabalho tem como objectivo o estudo experimental de escoamentos no interior de condutas. Desta forma, serão aplicados e, consequentemente, demonstrados os conhecimentos adquiridos ao caso prático do escoamento no interior de condutas com diâmetros diferentes e através de alguns acessórios. Para o efeito, recorreu-se a uma bancada hidráulica. Assim, para um dos trajectos considerados, pretende-se determinar a perda de carga por atrito na conduta e representar graficamente os valores obtidos utilizando os grupos adimensionais mais adequados. Para o segundo trajecto em análise, pretende-se determinar as perdas de carga localizadas na expansão, bem como o respectivo coeficiente de perda localizada. 2. Introdução O escoamento em condutas a várias velocidades, de vários fluidos e em vários formatos de condutas, é um problema fulcral da Mecânica dos Fluidos. Sistemas de tubagens são encontrados em quase todos os projectos de engenharia e, por isso, foram e têm sido estudados extensivamente. Contudo, o problema básico das tubagens consiste em saber qual a melhor conjugação de factores necessária para permitir o escoamento, sabendo que depende da geometria dos condutas, dos seus componentes adicionais, do caudal, das propriedades do fluido e das quedas de pressão. Tendo como objectivo o estudo de escoamentos interiores, torna-se importante definir escoamento interior de um fluido como um escoamento interno limitado por paredes, no qual o escoamento propriamente dito é dado pelo movimento das partículas que compõem o fluido. No entanto, não existe uma análise geral que possa ser aplicada ao estudo de escoamentos, mas sim soluções particulares em que se admitem simplificações de equações fundamentais, resultados da simulação numérica e resultados experimentais. A inexistência de soluções gerais deve-se, em grande parte, ao aparecimento de um fenómeno denominado turbulência. Logo, um escoamento nem sempre ocorre de igual forma. Deste modo, ao longo deste trabalho caracterizar-se-ão as diferenças entre os regimes em que poderá ocorrer o escoamento no interior de uma conduta, tendo em conta a forma do perfil de velocidades, a perda de carga e a influência da rugosidade, entre outros factores. Para além disso, deduzir-se-á uma expressão que relaciona a variação de pressão e a perda de carga numa conduta circular, considerando, para tal, a existência de perdas de carga localizadas situadas entre as tomadas de pressão e ainda, o desnível entre as mesmas. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 1
  4. 4. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial O recurso à análise dimensional reveste-se de um papel fundamental, já que, com esta ferramenta pode proceder-se ao estudo experimental de um escoamento e efectuar extrapolações para um escoamento semelhante. Assim, atendendo às propriedades da conduta, podem obter-se todos os grupos adimensionais importantes para o dimensionamento da mesma. 3. Descrição da instalação e procedimentos Material utilizado: • Água; • Bancada hidráulica; • Reservatório graduado; • Cronómetro. Procedimento experimental: Após um breve contacto com a bancada hidráulica da figura 1, procedeu-se à realização da experiência. Inicialmente, verificou-se se as tubagens se encontravam devidame nte ligadas e se as válvulas de globo estavam fechadas de modo a obter o trajecto desejado. Posteriormente, ligou-se a bomba e, progressivamente, abriu- se a válvula reguladora de modo a obter um determinado caudal. Seguidamente, ligaram-se os manómetros às respectivas tomadas de pressão, tendo o cuidado prévio de abrir as válvulas de purga de ar, situadas na parte superior do manómetro, e de fechar as válvulas de drenagem de água, situadas na parte inferior do manómetro. Para cada trajecto, obteve-se o caudal através da medição do volume debitado (com o auxílio de um reservatório graduado) e do tempo (com o auxílio de um cronómetro). Para o trajecto 1, uma conduta com 17 mm de diâmetro e 800 mm de comprimento, efectuaram-se leituras das variações de pressão para três caudais diferentes. Para o trajecto 2a, efectuaram-se leituras das variações de pressão para três caudais diferentes, sabendo que a distância entre as tomadas de pressão é de 150 mm, o diâmetro menor de 17 mm e o diâmetro maior de 28.6 mm. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 2
  5. 5. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial Figura 1 – Bancada hidráulica. 4. Considerações teóricas 4.1. Escoamentos interiores Nos escoamentos interiores as características hidrodinâmicas do escoamento são controladas pela fronteira exterior do escoamento que é a constituída por paredes. Daqui resulta que o escoamento se dá sobre pressão, isto é, no interior da conduta a pressão não está relacionada com pressão do exterior, porque as suas forças são compensadas pelas forças viscosas. Os escoamentos no interior de condutas podem ocorrer em regime laminar, turbulento ou num terceiro regime dito de transição. A transição do escoamento laminar para escoamento turbulento depende de um parâmetro adimensional que se denomina número de Reynolds (Re): ρ ⋅V ⋅ d Re d = (1.1) µ Para isso, basta apenas saber que a transição de laminar para turbulento verifica-se para Re transição ≈ 2300 . Posto isto, se Re presente < Retransição , então o escoamento é laminar. Se pelo contrário, Re presente > Retransição , então o escoamento é turbulento. Para a realização de um estudo de escoamentos de condutas é necessário saber-se a constituição física da conduta e, para tal, utiliza-se o coeficiente de atrito de Darcy, designado por f, que permite calcular as perdas de carga por atrito ao longo da conduta. Para tal, recorre-se à equação de Darcy-Weisbach que é válida para escoamentos interiores de qualquer secção, aplicando-se quer a escoamentos laminares quer a turbulentos: Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 3
  6. 6. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial 2 L V hf = f ⋅ ⋅ (1.2) d 2g Uma rede para escoamento de um fluido não é apenas constituída pela tubagem, também é necessariamente constituída por válvulas, joelhos, reduções, derivações, etc. Estes acessórios produzem perdas de carga por vezes importantes que podem ser calculadas por: 2 V hl = K . (sendo K o coeficiente de perda) (1.3) 2g Uma análise de volume de controlo entre a secção de expansão e o final da zona de separação fornece uma perda teórica. Como a saída é para um tubo de tamanho finito, é chamada de expansão brusca (EB). Vem, então, que: 2  d2  h K EB = 1− 2  = 2 l (1.4)  D  V 2g 4.1.1. Escoamento em regime laminar Um exemplo comum de um escoamento em regime laminar, é o da água à saída de uma torneira: para baixos caudais observa-se um fio de água estável, com uma superfície lisa, em que as partículas do fluido se movem segundo linhas paralelas. Junto às paredes da conduta, num fluido viscoso, origina-se um gradiente de velocidades: a velocidade varia desde o valor nulo na parede até à velocidade não perturbada pelo efeito da parede. Criam-se, assim, duas zonas de escoamento, como mostra a figura 2, uma junto à parede, denominada camada limite, onde existe um gradiente de velocidades e onde se fazem sentir as tensões viscosas; outra camada, exterior, onde o perfil de velocidades é constante e onde as tensões viscosas são nulas, podendo o escoamento ser tratado como invíscido. Num escoamento laminar a troca de quantidade de movimento deve-se às tensões viscosas. Figura 2 – Representação do perfil de velocidades de um regime laminar. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 4
  7. 7. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial O coeficiente de atrito de Darcy em regime laminar é dado por: 64 f = (1.5) Re A rugosidade superficial afecta a resistência ao atrito. Todavia, em escoamentos laminares a perda de carga distribuída não é dependente da rugosidade da parede das condutas, na medida em que, o efeito de atrito, devido exclusivamente ao gradiente de velocidade, está distribuído por toda a secção de escoamento. 4.1.2. Escoamento em regime turbulento Este tipo de regime é caracterizado pelo movimento desordenado das partículas do fluido, ou seja, não se verifica um padrão bem definido no movimento. A troca de quantidade de movimento para um escoamento turbulento deve-se às tensões viscosas e às tensões de Reynolds. Devido a estes factores, neste escoame nto, o perfil de velocidades é mais homogéneo, como mostra a figura 3, encontrando-se o valor da velocidade média e da velocidade máxima mais próximos relativamente ao que acontece em regime laminar. Figura 3 – Representação do perfil de velocidades de um regime turbulento. O coeficiente de atrito de Darcy em regime turbulento pode ser obtido por dois processos: i) Equação de Colebrook –White: 1 ε 2,51  ≈ −2,0 log⋅  d +  (1.6) f  3,7 Re d ⋅ f    ii) Diagrama de Moody. O primeiro processo tem a grande vantagem de apresentar maior veracidade e exactidão nos resultados obtidos, tendo como único senão o facto de ser um processo mais moroso relativamente ao outro processo referido. Pelo diagrama de Moody a obtenção do valor do coeficiente de atrito de Darcy é feito de modo imediato, na medida em que, precisa-se apenas do valor do número de Reynolds e da Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 5
  8. 8. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial rugosidade relativa do tubo. Apesar de ser um processo mais directo é, contudo, menos preciso. Os escoamentos turbulentos são bastante afectados pela rugosidade da parede das condutas, já que, o efeito do gradie nte se encontra muito próximo da parede. Após determinado ponto inicial, o atrito turbulento aumenta monotonamente com a rugosidade relativa ε d . Assim, para qualquer valor de ε d , o factor de atrito torna-se constante (totalmente rugoso) a altos números de Reynolds. 4.2. Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli relaciona pressão, velocidade e cota. Para utilizar correctamente esta equação, devem considerar-se escoamentos em regime permanente, de atrito desprezável, incompressíveis, invíscidos e sem trans ferência de calor ou trabalho. É traduzida por: 2 2 p1 V 1 p V2 + + z1 + hB = 2 + + z2 + hT + ht (1.7) ρ g 2g ρg 2g Onde, tem-se que: ht = h f + ∑ hl Caso não existam bombas ou turbinas na situação em estudo, a equação surge simplificada: 2 2 p1 V 1 p V2 + + z1 = 2 + + z2 + ht (1.8) ρ g 2g ρ g 2g Estando o escoamento desenvolvido nas condições atrás impostas, o seu perfil de velocidade é igual em qualquer secção, ou seja, V 1 = V 2 . Pode então, recorrendo à expressão (1.3), relacionar-se a variação de pressão entre dois pontos de uma secção circular, com a perda de carga, tendo também em conta as perdas localizadas e o desnível entre esses dois pontos: ∆P ht = + ∆z (1.9) ρg 4.3. Análise dimensional de uma conduta O dimensionamento de uma conduta para o transporte de um líquido tem por base as quedas de pressão provocadas por vários factores: o diâmetro da conduta; natureza do fluido escoado Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 6
  9. 9. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial (peso específico, viscosidade); velocidade do escoamento; características da parede (rugosidade); comprimento das condutas e quantidade de conexões e acessórios e regime de escoamento (laminar ou turbulento). Então, a perda de pressão será dada pela seguinte função: ( ∆P = F d , ρ , µ, V , ε , ∆l ) (1.10) A análise dimensional para as perdas de carga vai ser realizada pelo método dos π’s de Buckingham. Como se pode constatar, o nº de variáveis, n, neste caso são 7: d, ?, µ, V , e, ?l e ?P. Sendo o número de dimensões i=3, têm-se k grupos adimensionais ou π’s, traduzindo-se em k = n - i = 7 - 3 = 4. Através do quadro seguinte, vai obter-se uma base para a determinação dos π’s: ∆P V d ∆l ρ µ ε M L-1 T-2 L T-1 L L M L-3 M L-1 T-1 L Tabela 1 – Listagem das dimensões de cada variável. Para a escolha da base é necessário ter em conta que : nela devem constar todas as dimensões presentes; a variável a explicitar não pode pertencer à base e, para além disso, é conveniente que uma das variáveis contenha apenas uma dimensão, de forma a garantir que os elementos da base não formem um grupo adimensional. Portanto, a base escolhida, entre outras possibilidades, é ( d , V , ρ ) . Contudo, há ainda que verificar se a base escolhida não é adimensional, ou seja, que esta apresenta solução trivial: ( MLT ) 0 = ( L) a ( LT −1 ) b ( ML−3 )c 0 = c c = 0    0 = a + b − 3c ⇔ a = 0 , logo a solução é trivial.  0 = −b b = 0   Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 7
  10. 10. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial Determinação dos π’s : b b π 1 = ∆P1 d a V ρ c π 2 = ∆l 1 d a V ρ c ( MLT ) = ( ML−1T −2 ) ( L ) ( LT −1 ) ( ML−3 ) ( MLT )0 = ( L )1 ( L) a ( LT −1 ) ( ML ) 0 1 a b c b −3 c 0 = c c = 0 0 = 1 + c c = − 1     0 = 1 + a + b − 3c ⇔  a = −1 0 = −1 + a + b − 3c ⇔  a = 0 0 = −1b b = 0 0 = −2 − 1b b = − 2     ∆P ∆l π2 = π1 = 2 d ρ ⋅V b b π 3 = µ 1d a V ρ c π 4 = ε 1d a V ρ c ( MLT ) = ( ML−1T −1 ) ( L ) ( LT −1 ) ( ML−3 ) ( MLT ) = ( L ) ( L) ( LT −1 ) ( ML−3 ) 0 1 a b c 0 1 a b c 0 = 1 + c c = − 1 0 = c c = 0      0 = − 1 + a + b − 3c ⇔  a = − 1 0 = 1 + a + b − 3c ⇔  a = −1 0 = −1 − 1b b = − 1 0 = −1b b = 0     µ ε π3 = π4 = ρ ⋅V ⋅ d d Como π 1 = F (π 2 ,π 3 , π 4 ) , inverte-se π3 , obtendo-se: 2∆P  ∆l d ⋅V ⋅ ρ ε  = F , ,  (1.11) µ 2 ρV d d Sabe-se que o comprimento e o diâmetro são constantes para uma dada região da conduta, pelo que, ∆l / d é constante, podendo passar-se para fora da função. Sabe-se ainda que, ρ ⋅V ⋅ D corresponde ao número de Reynolds: µ 2∆ P ∆l  ε = F  Re,  (1.12) ρ ⋅V 2 d  d ε Finalmente, é prático designar a função F  Re,  como factor de atrito, utilizando-se para    d o efeito a notação f. Deste modo, a fórmula final destas considerações dimensionais equivale à expressão (1.2). Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 8
  11. 11. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial A introdução do número 2, nas equações anteriores, corresponde à inclusão de um factor de correcção de energia cinética, α , que assume o valor referido para um escoamento laminar totalmente desenvolvido. Refira-se que, para um escoamento turbulento numa conduta o valor do factor de correcção assume valores na gama de 1.4 a 1.11, sendo usualmente aproximado a 1. 5. Resultados 5.1. Trajecto 1 Características da conduta: Propriedades da água ( T = 2 0 º C ): d = 17 mm ρ = 998 kg m3 ε = 0,001 mm µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s ) L = 800 mm V  m3    ∆t [s] h1 [ m] h2 [ m] 1 0,02 35 0,925 0,585 2 0,01 20 0,813 0,624 3 0,004 34 0,692 0,670 Tabela 2 – Dados registados durante o trabalho experimental. 5.1.1. Determinação da velocidade de escoamento O caudal do escoamento obtém-se a partir da equação & V V= (1.13) ∆t A velocidade calcula-se a partir do caudal e da área de secção da conduta, através da relação V& V= (1.14) A π 2 onde A = d . 4 Fazendo-se as devidas substituições, obtêm-se os valores apresentados na tabela 3. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 9
  12. 12. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial & V m 3 s  V [m s]   1 5,71× 10− 4 2,52 2 5,00 × 10−4 2,20 3 1,18× 10−4 0,518 Tabela 3 – Caudais e velocidades dos escoamentos. 5.1.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta Considerando a viscosidade dinâmica da água µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s ) e a massa volúmica ρ = 998 kg m3 , calcula-se o número de Reynolds do escoamento ρVd 998 ⋅ 2,52 ⋅ 17 × 10−3 Re d = = = 42754,3 µ 1, 0 × 10−3 A rugosidade relativa para o PVC ( ε = 0,001 mm ) é ε 0,001 = = 5,88 × 10−5 d 17 Com o número de Reynolds do escoamento e a rugosidade relativa da conduta, retira-se, do diagrama de Moody, um valor para o coeficiente de atrito de Darcy: f ; 0,022 . De outra forma, pode-se determinar o coeficiente de atrito de Darcy pela equação de Colebrook-White (1.6) 1  5,88 × 10−5 2,51  ; −2,0 ⋅ log  +   3,7 42754,3 ⋅ f  f   obtendo-se um coeficiente de atrito de Darcy f ; 0,022 . A perda de carga por atrito de um escoamento calcula-se pela equação (1.2) 800 ×103 2,52 2 h f = 0,022 ⋅ ⋅ ; 0,34 m 17 × 103 2 ⋅ 9,81 Outro método para calcular a perda de carga por atrito, é através da equação (1.9), deduzida a partir da equação de Bernoulli. Considera-se ∆z = 0 , porque a conduta é horizontal, e ht = hf , uma vez que não se consideram as perdas de carga localizadas ∆P ρ ⋅ g ⋅ ( h1 − h2 ) hf = = ρ.g ρ⋅g logo, Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 10
  13. 13. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial h f = ( h1 − h2 ) = ( 0,925 − 0,585) = 0,34 m Efectuam-se os mesmos cálculos para determinar as perdas de carga por atrito para os outros dois escoamentos. Os resultados são apresentados na tabela 4. & V m 3 s  V [m s] Red f h f [ m]   1 5,71× 10− 4 2,52 42754,3 0,0220 0,34 2 5,00 × 10−4 2,20 37325,2 0,0225 0,26 3 1,18× 10−4 0,518 8788,4 0,0320 0,022 Tabela 4 – Resultados obtidos para as perdas de carga por atrito nos escoamentos. 5.1.3. Representação gráfica 0,04 0,035 0,03 0,025 f 0,02 0,015 0,01 0,005 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 Re d Gráfico 1 – Coeficiente de Darcy em função do número de Reynolds para três escoamentos com diferentes caudais. 0,4 0,35 0,3 0,25 h f [ m] 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 V [m s ] Gráfico 2 – Perdas de carga por atrito em função da velocidade de escoamento. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 11
  14. 14. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial 5.2. Trajecto 2a Características da conduta: Propriedades da água ( T = 2 0 º C ): d = 17 mm ρ = 998 kg m3 D = 28,6 mm µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s ) ε = 0,001 mm L = 150 mm V  m3    ∆t [s] h1 [ m] h2 [ m] 1 0,01 19 0,805 0,774 2 0,01 25 0,750 0,738 3 0,003 39 0,717 0,716 Tabela 5 – Dados registados durante o trabalho experimental. 5.2.1. Determinação da velocidade de escoamento A partir da equação (1.13) calcula-se o caudal. Com o valor do caudal determina-se a velocidade para cada um dos diâmetros da expansão, através da equação (1.14); obtêm-se os valores apresentados na tabela 6. & V m 3 s  Vd [m s] VD [ m s ]   1 5,26 × 10− 4 2,32 0,82 2 4,00 × 10−4 1,76 0,62 3 7,69 × 10−5 0,34 0,12 Tabela 6 – Caudais e velocidades dos escoamentos. 5.2.2. Determinação das perdas localizadas na expansão 5.2.2.1. Desprezando as perdas por atrito Pela equação de Bernoulli determina-se a perda de carga total do sistema (considera- se ∆z = 0 , porque a conduta é horizontal) 2 2 p1 V 1 p V2 + + z1 = 2 + + z2 + ht ρ g 2g ρ g 2g Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 12
  15. 15. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial Sabendo que V1 = Vd e V2 = VD , vem ρ g ( h1 − h2 ) Vd2 − VD 2 ht = + ρg 2g logo Vd2 − VD 2 ht = ( h1 − h2 ) + (1.15) 2g Fazendo-se as devidas substituições, calcula-se a perda localizada na expansão 2,322 − 0,822 ht = ( 0,805 − 0,774 ) + = 0,27 m 2 ⋅ 9,81 Como se desprezam as perdas de carga por atrito, ht = hl . Assim pela equação (1.3), vem o coeficiente de perda localizada hl 0,27 K= = = 0,98 V 2 g 2,32 2 ⋅ 9,81 2 2 Efectuam-se os mesmos cálculos para determinar as perdas de carga localizadas para os outros dois escoamentos. Os resultados são apresentados na tabela 7. & V m 3 s  Vd [m s] VD [ m s ] hl [ m] K   1 5,26 × 10− 4 2,32 0,82 0,27 0,98 2 4,00 × 10−4 1,76 0,62 0,15 0,95 3 7,69 × 10−5 0,34 0,12 0,0061 1,03 Tabela 7 – Resultados obtidos para as perdas de carga localizadas nos três escoamentos. 5.2.2.2. Considerando as perdas de carga por atrito Nesta situação, a perda de carga total do sistema vai depender, para além das perdas localizadas na expansão, das perdas de carga por atrito na conduta de menor diâmetro e na conduta de maior diâmetro. Assim ht = h fd + h fD + hl (1.16) A distância entre as tomadas de pressão é L = 150 mm . Considerando que a expansão se localiza a uma distância L 2 das tomadas de pressão, o comprimento da conduta de menor diâmetro será Ld = 75 mm e o comprimento da conduta de maior diâmetro será LD = 75 mm . Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 13
  16. 16. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial 5.2.2.2.1. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de menor diâmetro Considerando a viscosidade dinâmica da água µ = 1, 0 × 10−3 kg ( m ⋅ s ) e a massa volúmica ρ = 998 kg m3 , calcula-se o número de Reynolds do escoamento ρVd 998 ⋅ 2,32 ⋅17 ×10−3 Re d = = = 39361,12 µ 1, 0 ×10−3 A rugosidade relativa para o PVC ( ε = 0,001 mm ) é ε 0,001 = = 5,88 × 10−5 d 17 Determina-se o coeficiente de atrito de Darcy pela equação de Colebrook-White: 1  5,88 ×10−5 2,51  ; −2,0 ⋅ log  +   3,7 39361,12 ⋅ f  f   Obtém-se, um coeficiente de atrito de Darcy f ; 0,022 . A perda de carga por atrito de um escoamento calcula-se pela equação (1.2), sendo L = Ld = 75 mm 75 ×103 2,32 2 h fd = 0,022 ⋅ ⋅ ; 0,027 m 17 × 103 2 ⋅ 9,81 5.2.2.2.2. Determinação da perda de carga por atrito na conduta de maior diâmetro Calcula-se da mesma forma que o anterior, para D = 28,6 mm , V = VD = 0,82 m s e L = LD = 75 mm . Obtém-se uma perda de carga por atrito h f D = 0,0025 m . Assim, pela equação (1.16), determina-se a perda localizada na expansão hl = 0,27 − ( 0,027 + 0,0025 ) = 0,24 m e consequentemente, através da equação (1.3) calcula-se o coeficiente de perda localizada hl 0,24 K= = = 0,87 V 2 g 2,32 2 ⋅ 9,81 2 2 Efectuam-se os mesmos cálculos para determinar as perdas de carga localizadas para os outros dois escoamentos. Os resultados são apresentados na tabela 7. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 14
  17. 17. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial & V m 3 s  Vd [m s] VD [ m s ] hfd [ m] h f D [ m] hl [ m] K   1 5,26 × 10− 4 2,32 0,82 0,027 0,0025 0,24 0,87 2 4,00 × 10−4 1,76 0,62 0,017 0,0014 0,13 0,82 3 7,69 × 10−5 0,34 0,12 9,36 × 10−4 8,1× 10− 5 0,0051 0,87 Tabela 8 – Resultados obtidos para as perdas de carga localizadas nos três escoamentos. 5.2.3. Valores teóricos das perdas localizadas na expansão Os valores teóricos para as perdas localizadas numa expansão são calculados pela equação (1.4). & V m 3 s  V [m s ] hl [ m] K   1 5,26 × 10− 4 2,32 0,12 0,42 2 4,00 × 10−4 1,76 0,066 0,42 3 7,69 × 10−5 0,34 0,0025 0,42 Tabela 9 – Valores teóricos das perdas localizadas. 6. Conclusões No trajecto 1 determinaram-se as perdas de carga por atrito numa conduta, para três caudais diferentes. Verifica-se que as perdas de carga diminuem à medida que o caudal é reduzido. Comprova-se assim, que as perdas de carga por atrito, para uma conduta com comprimento, rugosidade e diâmetro constantes, dependem apenas da velocidade, e são tanto maiores quanto maior a velocidade. Verifica-se também que o coeficie nte de atrito de Darcy não varia significativamente com o número de Reynolds, uma vez que se tratam de escoamentos em regime turbulento. No trajecto 2a determinaram-se as perdas de carga localizadas na expansão. As perdas localizadas dependem, de igual forma, da velocidade. As perdas localizadas na expansão são muito superiores às perdas de carga devidas ao atrito. Por isso, os resultados obtidos, com perdas por atrito e sem perdas por atrito, não são muito diferentes. Quando se desprezam as perdas devidas ao atrito, o coeficiente de perda localizada é um pouco mais elevado, uma vez que todas as perdas na expansão são contabilizadas como sendo localizadas. Na prática os valores obtidos para as perdas localizadas são maiores que os valores teóricos, calculados a partir de uma relação entre os diâmetros das condutas. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 15
  18. 18. Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politécnico de Viseu DEMGi – Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão industrial 7. Nomenclatura A Área, m 2 d Diâmetro menor, m D Diâmetro maior, m f Coeficiente de atrito de Darcy, adimensional g Aceleração da gravidade, m s 2 h Altura manométrica, m hB Perda de carga na bomba, m hf Perda de carga por atrito, m hl Perda de carga localizada, m ht Perda de carga total, m hT Perda de carga na turbina, m K Coeficiente de perda de carga localizada, adimensional L Comprimento, m p Pressão, Pa Re Número de Reynolds, adimensional V Volume, m 3 V& Caudal volúmico, m3 s V Velocidade, m s z Cota, m Alfabeto grego α Factor de correcção de energia cinética, adimensional ε Rugosidade, m µ Viscosidade dinâmica, kg ⋅ m −1 ⋅ s −1 ρ Massa volúmica, kg m3 8. Referências [1] White, Frank M., Mecânica dos Fluidos, 4ª Edição, McGraw-Hill, 2002; [ 2] Potter, Merle C. & Wiggert, David C., Mechanics of Fluids, Second Edition, Prentice Hall, 1997; [ 3] Shames, Irving H., Mechanics of Fluids, Third Edition, McGraw-Hill, 1992. Campus Politécnico, 3501 Repeses – tel nr +351.232480543/7 – fax nr +351.232424651 – email demgi@mail.estv.ipv.pt 16

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