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    Trigonometria Trigonometria Document Transcript

    • TRIGONOMETRIA La palabra “trigonometría” se deriva de dos palabras griegas que se combinan para referirse a la medida de triángulos, es decir, a la medida de los lados y ángulos de un triángulo. Hiparco, un astrónomo nacido en Bitina (región en el Asia Menor) es considerado como el fundador de la trigonometría. La trigonometría tiene sus aplicaciones en la navegación, electrónica, ingeniería, ciencias físicas. Círculo unitario y puntos circulares Las funciones circulares que estudiaremos se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de puntos del círculo unitario. El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) y su ecuación es x2 + y2 = 1. Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, primero asumimos que la recta numérica tiene la misma escala que la del círculo unitario. Luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo. Entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario. En la página 340 del texto puedes observar la forma en que se enrolla la recta al círculo unitario. Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es: C 2r 2 (1) 2. Así que un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son respectivamente:
    • 3 , y . 2 2 De manera que, los puntos circulares correspondientes en los ejes coordenados son: P(0) (1, 0) P (0, 1) 2 P( ) ( 1, 0) 3 P (0, 1) 2 P(2 ) (1, 0) Nota: Observa que las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2 ) son iguales. Ejemplo para discusión: Halla las coordenadas de los siguientes puntos: 5 1) P 2 2) P 2 Ejercicio de práctica: Halla las coordenadas de los puntos: 1) P ( 3 ) 2) P ( ) Otros ejemplos para discusión: Halla las coordenadas de:
    • 1) P 4 2) P 3 3) P 6 En el texto en las páginas 342-345 se explica claramente el proceso para hallar las coordenadas de estos puntos circulares. Tenemos que las coordenadas de los puntos circulares claves en el Cuadrante I son: 31 22 13 P ,; P , ; P , . 6 22 4 22 3 22 Ahora pasaremos a construir (en el salón de clases) el círculo unitario con todos los puntos circulares trabajados anteriormente y sus respectivas coordenadas. Funciones circulares Las seis funciones circulares también llamadas funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x. Definición: Si x es un número real y (a, b) son coordenadas del punto circular P(x), entonces las seis funciones circulares o trigonométricas se definen como: y P(X) = (a,b) x
    • 1 cos x a sec x ,a0 a 1 sen x b csc x ,b0 b b a tan x ,a 0 cot x ,b0 a b Con esta definición podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de los puntos: P0,P ,P ,P ,P 6 4 3 2 Ejemplos para discusión: Evaluar las seis funciones trigonométricas para: 1) P(0) : P(0) = (1, 0), donde a = 1 y b = 0 11 cos 0 a 1 sec 0 1 a1 11 sen 0 b 0 csc 0 no definida b0 b 0 a1 tan 0 0 cot 0 no definida a 1 b0 13 1 3 2) P :P , , donde a ,b 3 3 22 2 2 1 cos a sec 3 3 a 1 sen b csc 3 3 b b a tan cot 3 a 3 b 3) P :P ? 4 4
    • 1 cos a sec 4 4 a 1 sen b csc 4 4 b b a tan cot 4 a 4 b Ejercicio de práctica: Evalúa las seis funciones trigonométricas de: 1) P 2 2) P 6 Identidades básicas: Al observar la definición de las funciones circulares (trigonométricas) que cos x = a y sen x = b se puede obtener las siguientes identidades: 1 1 sec x a cos x 1 1 csc x b sen x sen x b tan x a cos x cos x a cot x b sen x Como (a, b) = (cos x, sen x) está en el círculo unitario x2 + y2 = 1 entonces, (cos x)2 + (sen x)2 = 1, que se escribe usualmente de la forma sen2 x + cos2 x = 1 es otra identidad trigonométrica. Estas cinco ecuaciones se conocen como identidades básicas. Ejemplo para discusión: Usa las identidades básicas para hallar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas, dado que: 2 cos x , x en el Cuadrante IV . 2
    • Ejercicio de práctica: Usa las identidades trigonométricas básicas para hallar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas, dado que: 1 sen x y tan x 0. 2 Medición de ángulos Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus medidas. Un ángulo es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal. lado s terminal P lado inicial r Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales. lado lado inicial terminal lado terminal lado inicial lado inicial ángulo positivo ángulo negativo y ángulos coterminales Nota: ángulo positivo
    • ángulo negativo Figura 1 Figura 2 Figura 3 Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación. lado terminal vértice lado inicial Angulo en posición normal Angulo cuadrantal Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes. Definición: Medición en grados Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados. Definiciones: Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo. ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso
    • ángulo central Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800. Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y). Definición: Medición en radianes Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a en la circunferencia es s, entonces medido en radianes está dado por: s radianes r s r Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo. Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades. Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación: 1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas 2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros
    • Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies? Conversión entre grados y radianes: La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que: 180 grados radianes Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas: Radianes a grados Grados a radianes 0 180 180 0 Ejemplos para discusión: 1) Cambia de radianes a grado: a ) 5 radianes 7 b) 6 5 c) 12 2) Cambia de grados a radianes: a) 750 b) 1500 c) -150 Usando la calculadora También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora. Para cambiar radianes a grados: Ejemplo: 5 radianes a grados Calculadora científica Calculadora gráfica - Seleccionar el modo “radianes” con la - Seleccionar el modo “grados con las tecla [DRG]. teclas [MODE],[ENTER],[Exit]. - Entrar el número 5. - Entrar al menú [Math].
    • - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta - Elegir <Angle>. obtener el modo de “grados”. - Entrar el número 5. - La respuesta es 286.50 - Elegir <r> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es 286.50 Para cambiar grados a radianes: Ejemplo: 750 a radianes Calculadora científica Calculadora gráfica - Seleccionar el modo de “grados” con la - Seleccionar el modo ”radianes” con las tecla [DRG]. teclas [MODE],[ENTER],[EXIT]. - Entrar el número 75. - Entrar al menú [Math] - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta - Elegir <Angle> obtener el modo de “radianes”. - Entrar el número 75. - La respuesta es 1.31 - Elegir <o> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es 1.31 Ejercicio de práctica: 1) Cambia de radianes a grado: a ) 1 radian 17 b) 10 2) Cambia de grados a radianes: a) 2400 b) 2700 3) Completa la tabla a continuación: Radianes Grados 6 4 3 90 120 3 4 5 6
    • 180 210 225 4 3 270 5 3 315 11 6 360 Evaluación de funciones trigonométricas con la calculadora Existen calculadoras programadas para evaluar las funciones trigonométricas. En estas calculadoras encontramos las teclas [SEN], [COS], [TAN]. Estas teclas se usan para evaluar las funciones de coseno, seno y tangente de forma directa. No hay teclas para las funciones cosecante, secante y cotangente. Debido a que: cos x 1 1 csc x ; sec x ; cot x sen x cos x sen x son identidades recíprocas de sen x, cos x, y tan x, respectivamente, se puede usar la tecla de coseno, seno y tangente, luego oprimir la tecla de la función recíproco: 1 1 o x x De esta manera se obtiene csc x, sec x y cot x. La mayoría de las calculadoras tienen tres opciones de modos trigonométricos: grado (decimal), radián y centesimal (el cual no utilizaremos). Debes leer el manual de tu calculadora para determinar cómo poner la calculadora en el modo de grados o radianes. Usando la calculadora en el modo de grado o radianes, se pueden evaluar las funciones trigonométricas directamente para ángulos medidos en grados o radianes sin tener que convertir de grados a radianes. Los siguientes ejemplos ilustran posibles pasos a seguir para manejar la calculadora científica o gráfica en la evaluación de funciones trigonométricas. Calculadora científica Calculadora gráfica 1) sen 2 = 1) sen 2 = (Modo radianes): 2 [SIN] (Modo radianes): [SIN] 2 [ENTER] 2) csc 3.2 = 2) csc 3.2 = (Modo radianes): 3.2 [SIN][1/x] (Modo radianes): [SIN] 3.2 [ENTER] [2nd][x-1][ENTER]
    • 3) sen 500 = 3) sen 500 = (Modo grados): 50 [SIN] (Modo grados): [SIN] 50 [ENTER] 4) cot(-1020) = 4) cot(-1020) = (Modo grados): -102 [TAN][1/x] (Modo grados): [TAN] -102 [ENTER] [2nd] [x-1][ENTER] Ejercicio de práctica: Evalúa con cuatro dígitos usando la calculadora: 1) cos 153 2) cot 10 tan(-750) 3) 4) sec(-8.09) 5) csc (-344.5) 6) tan ( /2) 7) sec (1.605) = Funciones trigonométricas definidas con ángulos Si es un ángulo arbitrario en la posición estándar o normal en un sistema de coordenadas cartesianas y P(a,b) es un punto a r unidades del origen en el lado terminal de , entonces: b P(a,b) r b a a b r sen csc ,b0 r b a r cos sec ,a0 r a b a tan ,a 0 cot ,b0 a b a2 b2 r 0, P(a , b) es un punto arbitrario en el lado ter min al de , (a , b) 0.
    • Nota: El triángulo rectángulo que se forma al dibujar una perpendicular de P(a,b) al eje horizontal se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo . Ejemplos para discusión: 1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para el ángulo cuyo lado terminal contiene el punto P(-3,-4). 2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo (sin hallar ) dado que es un ángulo en el Cuadrante IV si : 4 sen . 5 Ejercicio de práctica: 1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado terminal de contiene al punto P(-6,-8). 2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo (sin hallar ) dado que es un ángulo en el Cuadrante II si: 3 tan . 4 Triángulo de referencia y ángulo de referencia Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo , se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de al eje horizontal. El ángulo de referencia es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de y el eje horizontal. b a P(a,b)
    • Ejemplos para discusión: Veamos la construcción de los triángulos de referencia y ángulos de referencia correspondiente a los siguientes ángulos: 120 0 1) 450 2) 5 3) 4 7 4) 6 Funciones trigonométricas de ángulos de 450 , 300 y 600 Para hallar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 450, construimos el triángulo rectángulo con el ángulo agudo de 450 en posición normal y los dos lados Recuerda que un triángulo rectángulo contiene un ángulo de 90 0. iguales. Seleccionamos el punto (1, 1) en el lado terminal. Observa la ilustración a continuación. b a Como a = 1 y b = 1 entonces: (1) 2 (1) 2 r 2 Luego al utilizar la definición de funciones trigonométricas definidas con ángulos para = 450 tenemos:
    • b 1 2 r 2 sin 450 csc 450 2 r 2 b 1 2 a 1 2 r 2 cos 450 sec 450 2 r 2 a 1 2 b 1 a 1 tan 450 cot 450 1 1 a 1 b 1 Para hallar las funciones trigonométricas del ángulo de 300, construimos el triángulo rectángulo con los ángulos agudos de 300 y 600 , y la hipotenusa es el doble del largo del lado opuesto al ángulo de 300. Constuimos el ángulo de 300 en posición normal y seleccionamos el punto (a,1) en el lado terminal de manera que la hipotenusa es de longitud 2. Observa la figura a continuación. b (a,1) r=2 1 300 a 0 a De manera que, el valor de y = 1, r = 2 y por el teorema de Pitágoras: (a ) 2 (1) 2 2 2 ( 2) 2 (a ) 2 (1) 2 x2 4 1 x2 3 3 x Como el valor de x en el Cuadrante I es positivo entonces: x 3. Así que las coordenadas del punto en el lado terminal del ángulo de 300 son: 3 ,1 yr 2. = 300 tenemos: Al utilizar la definición de funciones trigonométricas para
    • b 1 r 2 sin 30 0 csc 30 0 2 r 2 b 1 a 3 r 2 23 cos 30 0 sec 30 0 r 2 a 3 3 b 1 3 a 3 tan 30 0 cot 30 0 3 a 3 b 1 3 Al construir el triángulo rectángulo con el ángulo de 600 en la posición normal tenemos que: r 2, a 1, yb 3. b 1, 3 r=2 600 0 1 a b 3 r 2 23 sin 60 0 csc 60 0 r 2 b 3 3 a 1 r 2 cos 60 0 sec 60 0 2 r 2 a 1 b 3 a 1 3 tan 60 0 cot 60 0 3 a 1 b 3 3 Ejemplo para discusión: Evalúa usando los triángulos de referencia apropiados: 7 1) cos 4 2 2) sen 3 3) tan 210 0 240 0 4) sec
    • Ejercicio de práctica: Usa los triángulos de referencia apropiados para evaluar: 2 1) cos 3 2) sen 210 0 3) tan 4 Funciones trigonométricas con triángulos rectángulos Ahora nos concentraremos en otros problemas que tienen que ver con triángulos rectángulos. El propósito será hallar todas las desconocidas de un triángulo rectángulo, dadas las unidades de los lados o la unidad de un ángulo agudo y la de un lado. Las funciones trigonométricas juegan un papel importante en este proceso. Recuerda que un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90 grados. Se localiza el triángulo rectángulo en el Cuadrante I del sistema de coordenadas y utilizamos la definición de las seis funciones trigonométricas que implica los lados de un triángulo, como se ilustra a continuación: Relaciones trigonométricas P(a, b) c b a 00 90 0
    • b c sen csc c b a c cos sec c a b a tan cot a b El lado b se conoce como el lado opuesto de un ángulo , el lado a es el lado adyacente del ángulo y el lado c es la hipotenusa. Funciones del triángulo rectángulo c (hipotenusa) (opuesto) b a (adyacente) 00 90 0 opuest b hipotenusa c sen csc hipotenusa c opuesto b adyacente a hipotenusa c cos sec hipotenusa c adyacente a opuesto b adyacente a tan cot adyacente a opuesto b Ejemplos para discusión: 1) Halla los lados desconocidos de un triángulo rectángulo si el lado b = 4 y el ángulo = 400. b=4 2) Utiliza los datos provistos en la figura a continuación y contesta: c =? b=3
    • a=4 a) Halla las seis relaciones trigonométricas para el ángulo indicado en el triángulo. b) Halla el valor del ángulo indicado en grados y radianes (utilizando la relación coseno). c) Halla el valor del ángulo indicado en grados y radianes (utilizando la relación tangente). Nota: Las teclas [sen-1], [cos-1] y [tan-1] representan relaciones trigonométricas inversas para hallar el ángulo agudo correspondiente, medido en grados o radianes. Ejercicio de práctica: Halla el lado a y el lado b, en un triángulo rectángulo si c = 6.25 y el ángulo = 32.20.