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Curso De Estadistica Aplicada 2010
 

Curso De Estadistica Aplicada 2010

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Presentación en Power Point en formato pdf de un curso de estadística descriptiva donde desarrolla los métodos que utiliza, además de regresión y correlación lineal simple. Además se desarrolla ...

Presentación en Power Point en formato pdf de un curso de estadística descriptiva donde desarrolla los métodos que utiliza, además de regresión y correlación lineal simple. Además se desarrolla probabilidades

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    Curso De Estadistica Aplicada 2010 Curso De Estadistica Aplicada 2010 Presentation Transcript

    • UNIVERSIDAD “GABRIEL RENE MORENO” FACULTAD POLITECNICA UNIDAD DE POSTGRADO ESTADISTICA APLICADA Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. Educación Superior martinezsolaris@cotas.com.bo martinezsolaris@hotmail.com
    • ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales Número de Tipo de Anemia Total especies Leve Moderada Severa parásitas n % n % n % n % 1 3 100 0 0 0 0 3 2.61 2 12 70.59 5 29.41 0 0 17 14.78 3 30 69.77 11 25.58 2 4.65 43 37.39 4 21 67.74 9 29.03 1 3.23 31 26.96 5 11 68.75 5 31.25 0 0 16 13.91 6 3 60.00 2 40.00 0 0 5 4.35 69.5 27.8 Total 80 7 32 3 3 2.61 115 100 Moderada Severa 50 Normal Número de estudiantes 17.39% 1.63% 40 37.50% 30 20 10 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Leve Edad (años) de los estudiantes 43.48%
    • ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales ESTADÍSTICA ¿Qué es?... DESCRIPTIVA INFERENCIAL PROPOSITO PROPOSITO METODOS METODO • TABULARES PROBABILISTICO Características • GRAFICOS • NUMERICOS
    • ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales Ciencia encargada de la Recolección, Manipulación, Organización y Presentación de información de manera tal que ésta tenga una Confiabilidad determinada
    • ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales INFERENCIA ESTIMACION Población N Muestra Parámetros Deducción n=? µ, σ2, p, Estadísticos etc Estadígrafos TECNICAS DE MUESTREO
    • ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales Probabilístico MAS, MAP y MAE MUESTREO No Probabilística Probabilístico Azar MUESTRA Tipos No Probabilística Arbitraria
    • ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales POBLACION MUESTRA • Nombre • Definición Atributo • Rango de Valores • Clasificación Cambiar Variable Elementos Cualitativas Categorías Tipos Discretas Cuantitativas Continuas
    • ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales • Nombre Variable Elementos • Definición • Rango de Valores + • Clasificación Nominal Medirse Ordinal Escalas de De Intervalo Medición De Razón
    • ESTADISTICA APLICADA Métodos Tabulares DESCRIPTIVA Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y y1, y2, … yn, valores que toman las variables METODOS X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes. Entonces: TABULARES x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn   n n xi yi Sumatoria i 1 i 1 Propiedades
    • ESTADISTICA APLICADA Propiedades de Sumatoria
    • ESTADISTICA APLICADA Métodos Tabulares/Ordenamiento Edad (años) Edad (años) Valores 17 15 extremos 18 16 18 16 16 17 21 17 15 Ordenándolo 18 17 18 Valores mas 19 18 frecuente Desventaja 20 18 18 19 16 20 Valores 18 21 extremos
    • ESTADISTICA APLICADA Cuadro de Frecuencia Edad fi fr Fia Fra Cuadros de (años) Frecuencia 15 1 8.3 1 8.3 16 2 16.7 3 25.0 17 2 16.7 5 41.7 18 4 33.3 9 75.0 19 1 8.3 10 83.3 20 1 8.3 11 91.7 21 1 8.3 12 100 Total 12 100
    • ESTADISTICA APLICADA Cuadro de Frecuencia Lugar de realización del n % Diplomado Extranjero 19 13.87 Universidad Objeto de Estudio 87 63.50 Otras universidades bolivianas 31 22.63 Total 137 100
    • ESTADISTICA APLICADA Cuadro de Frecuencia 67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2 63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5 64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9 68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9 68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2 La Estadística ofrece otra Cuadro de alternativa Tablas de Frecuencias Frecuencia Absolutas y Relativas
    • ESTADISTICA APLICADA Tabla de Frecuencia Procedimiento Definir el Número de ≥ 5 ó ≤ 20 ó 25 Intervalos Sturges Ac = A/k A = Valor Máx.- Valor Mín. K = 1 + 3.33* log n Tipo de Intervalos (Li - LS] Ac = Ajustada RI = Ac*K > A MD = (RI – A)/2
    • ESTADISTICA APLICADA Tabla de Frecuencia Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra 37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27 42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37 48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50 53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57 59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70 64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1 30 1
    • ESTADISTICA APLICADA Métodos Gráficos Diagrama de Puntos Histograma Métodos Gráficos Clásicos Polígono de Frecuencias Ojiva Diagrama de Sectores
    • ESTADISTICA APLICADA Diagrama de Puntos 15 16 17 18 19 20 21 Edad (años)
    • ESTADISTICA APLICADA Histograma Histograma de Frecuencias Absolutas 10 9 8 7 6 5 fi 4 3 2 1 0 Intervalos de clases
    • ESTADISTICA APLICADA Polígono de Frecuencias Polígono de Freecuencia Absoluta 10 9 8 7 6 5 fi 4 3 2 1 0 34.35 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85 Puntos Medios de Ckases
    • ESTADISTICA APLICADA Ojiva Ojiva o Polígono de Frecuencias Acumuladas (menor que) 35 30 25 20 Fia 15 10 5 0 37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1 Tiempo (minutos)
    • ESTADISTICA APLICADA Diagrama de Sectores (19*360) 137-------360 X= = 49.9 19 ------- x 137 Lugar de realización de n Grados estudios Postgraduales Extranjero 19 49.927 Universidad de Interés 87 228.613 Otras universidades bolivianas 31 81.460 Total 137 360
    • ESTADISTICA APLICADA Diagrama de Sectores Otras universidades Diagrama de Sectores bolivianas , Extranjero , 81.45985 49.92701 Universidad de Interés , 228.61314
    • ESTADISTICA APLICADA Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central) Cuando se desea comparar dos o más poblaciones o bien muestras, y si las variables de interés son de carácter numérico … Los métodos tabulares no son los más recomendables La Estadística oferta otra herramienta llamada Métodos Numéricos
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Localizan el centro de una base de datos numéricas Medidas de Tendencia Central Cuantifican cuánto se dispersan los datos de una Métodos Numéricos medida de tendencia central Medidas de Dispersión
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Promedio Media Ponderada Medidas de Tendencia Central Mediana Moda
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central/Promedio Media µ Población Poblacional Es la sumatoria de las observaciones que Promedio toma una variable dividido entre el total de éstas Media Muestra x Muestral Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Tiempo Desviaciones (minutos) xi  x 52.6 -4.15 38.9 -17.85 68.3 11.55 67.2 10.45 63.9 7.15 64.9  xi  x   0 n 8.15 Propiedad 68.3 i 1 11.55 39.2 -17.55 42.3 -14.45 61.9 Suma 5.15 567.5 Suma 0 56.75 Promedio
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Media en datos tabulados Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente: • PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos. • PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Intervalos PMC*fi PMC fi de Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 318.8 42.6 a 48.1 45.35 3 136.05 48.1 a 53.6 50.85 4 203.4 1624.5 53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 x= 30 = 54.15 59.1 a 64.6 61.85 4 247.4 64.6 a 70.1 67.35 9 606.15 30 1624.5
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la base de datos, si desea obtener el promedio, la media aritmética no es la más indicada Cargo fi Salario Rector 1 2000 Asesores 2 1200 Vic. Académico 1 1150 Vic. Administrativo 1 1250 Jefe de Carrera C.S 2 1000 Jefe de Carrera 5 800 Administrativo 2 600 Secretarias 9 120
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Salario Xiwi Cargo fi (wi) (xi) Rector 1 2000 2000 Asesores 2 1200 2400 Vic. Académico 1 1150 1150 15080 Vic. Administrativo 1 1250 1250 xw = = 655.65 23 Jefe de Carrera C.S 2 1000 2000 Jefe de Carrera 5 800 4000 Administrativo 2 600 1200 Secretarias 9 120 1080 15080
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Si los datos no se distribuyen simétricamente (curva simétrica) el promedio no es la mejor medida para localizar el centro de los mismos •Ordenar Impar n Me = xn/2 + 0.5 Datos sin tabular Par Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2 Mediana (Me) (b-a)(0.5- c) Datos tabulados Me = a + d
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Tiempo Tiempo (minutos) (minutos) 38.9 38.9 39.2 Me = xn/2 + 0.5 39.2 42.3 42.3 52.6 n es impar 52.6 61.9 61.9 63.9 Me 63.9 64.9 64.9 67.2 67.2 68.3 68.3
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Tiempo Tiempo (minutos) (minutos) 38.9 38.9 Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2 39.2 39.2 42.3 42.3 61.9 + 63.9 n es par 52.6 52.6 Me = = 62.9 61.9 61.9 2 62.9 63.9 63.9 64.9 64.9 67.2 67.2 Mediana es aquella medida 68.3 68.3 de tendencia central que antes y después de ella no 68.3 68.3 existe más del 50% de la información
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central (b-a)(0.5- c) Me = a + d Clase de la Mediana a = Límite inferior de la • Complete la columna Fia clase de la Me • Localice la menor Fia > b = Límite superior de la n/2 clase de la Me • La clase a la que c = Fra una clase antes de pertenece esta frecuencia la clase de la Me (Nj-1) es la clase de la mediana (Nj) d = fr de la clase de la Me • La Clase antes de Nj es Nj -1
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central (b-a)(0.5- c) a = Límite inferior de la Me = a + clase de la Me d b = Límite superior de la clase de la Me (59.1-53.6)(0.5- 0.5) c = Fra una clase antes de la Me = 53.6 + = 53.6 clase de la Me (Nj-1) 0.07 d = fr de la clase de la Me Intervalos PMC fi fr Fia Fra de Clases Ubicación de la 37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27 clase de la Me 42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37 n = 30 48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50 n/2 = 15 53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57 Nj = 17… (53.6 – 59.1) 59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70 Nj- 1 = (48.1 – 53.6) 64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central Connotancia de Moda Tiempo (Mo) en Estadística (minutos) 38.9 39.2 En caso de existir es la 42.3 (s) observación (nes) 52.6 que más se repiten en 61.9 una base de datos 63.9 64.9 Distribuciones: 67.2 68.3 Unimodales 68.3 Mo Bimodales Etc.
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central (ficmo- ficpremo) Mo = Licmo + Acmo (ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo) Donde: Licmo: Límite inferior de la Clase Modal Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central (ficmo- ficpremo) Mo = Licmo + Acmo (ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo) Intervalos PMC fi de Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 (9 - 4) 42.6 a 48.1 45.35 3 Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56 48.1 a 53.6 50.85 4 (9 - 4) + (9 – 0) 53.6 a 59.1 56.35 2 59.1 a 64.6 61.85 4 64.6 a 70.1 67.35 9
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión Una medida de tendencia central por si sola no es tan importante. Por esta razón debe estar acompañada de una medida de dispersión Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido Varianza (Variancia) Medidas de Dispersión Desviación Típica o Estándar Coeficiente de Variación
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo  xi    N 2 Población ( σ²)  2  i 1 N Es el promedio de las desviaciones al Varianza cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media Muestra (S²)
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión xi (Desviaciones)2 52.6 17.2225 38.9 318.6225 1372.725 68.3 133.4025 S² = = 152.525mi²/est² 67.2 109.2025 63.9 51.1225 10 - 1 64.9 66.4225 Desventaja 68.3 133.4025 39.2 308.0025 Desviación Típica S = √S² 42.3 208.8025 61.9 26.5225 S = √152.525 = 12.35 min/est Sumatoria 567.5 1372.725 Promedio 56.75 Interpretación x±S 56.75 ± 12.35 min/est.
    • ESTADISTICA APLICADA Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la varianza de la siguiente forma: Intervalos de PMC fi Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 42.6 a 48.1 45.35 3 48.1 a 53.6 50.85 4 53.6 a 59.1 56.35 2 59.1 a 64.6 61.85 4 64.6 a 70.1 67.35 9
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión 91693.475  1624.5 2 S2  30  124.774 30  1 Intervalos de PMC*fi PMC2*fi PMC fi S  124.774 11.70 Clases 37.1 a 42.6 39.85 8 318.8 12704.18 42.6 a 48.1 45.35 3 136.05 6169.8675 48.1 a 53.6 50.85 4 203.4 10342.89 53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 6350.645 59.1 a 64.6 61.85 4 247.4 15301.69 64.6 a 70.1 67.35 9 606.15 40824.203 1624.5 91693.475
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables) Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa S S C.V    C.V    *100 x x
    • ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se distribuyen simétricamente. Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que tratan de las deformación de curvas tanto de forma horizontal como vertical
    • ESTADISTICA APLICADA Deformación de Curvas Unimodales Asimetría Positiva x > Me > Mo Curvas Simétricas x = Me = Mo Asimetría Asimetría Negativa x < Me < Mo
    • ESTADISTICA APLICADA Deformación de Curvas Unimodales
    • ESTADISTICA APLICADA Deformación de Curvas Unimodales Curva Leptocúrtica Kur > 3 Curva Mesocúrtica Kur = 3 Curtosis Curva Platicúrtica Kur < 3
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple En el desarrollo de los eventos, X1 puede ser que una variable sea Y X2 afectada por el comportamiento de . otra (s) variable (s) . . Es de interés poder cuantificar Xi este tipo de relación de manera que se pueda predecir una variable en función de otra Y: Variable Dependiente En Regresión Lineal Simple es de X: Variable Independiente interés cuando una variable afecta el comportamiento de otra variable Y = f(X) Propósito de la R.L.S: Predicción
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos que describen la relación entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir. Por Regresión Lineal Simple se entiende … “Y” es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende de “X” Supuestos del Análisis Modelo de la Línea Recta de Regresión Lineal Homogeneidad de Varianza Simple Normalidad Independencia
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”. Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de coordenadas (bidimensional) Y (x, y) X
    • Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y) 11 18 10 17 8 29 5 36 9 11 9 26 7 28 3 35 11 14 8 20 7 32 2 39 9 16 8 26 6 31 3 40
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión 45 40 35 30 Inasistencia 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 Rango de Salario
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en una ecuación de la siguiente forma: Parámetros Estimación De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguiente naturaleza:
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados Uso de la Técnica de Mínimos Cuadrados (Carl Gauss) A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :
    • Y X
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir. Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación Validación Cálculo de Coeficiente Análisis de Varianza de Determinación R² de la Regresión “ANARE” Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X” R² ≥ 70%
    • ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación/ANARE Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal: xi= Variación debida a Regresión εi = Variación debida al Error FV gl SC CM Fc Ft (Pr>F) CMRegresión Regresión 1 SCRegresión CMRegresión /CMError Error n-2 SCError CMError Total n.1 SCTotales Regla de Decisión NRHo : Fc ≤ Ft RHo : Fc > Ft
    • ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una variable dependiente por un único cambio de la variable independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación lineal entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación Lineal Simple que se exprese como el coeficiente de correlación (r) Este coeficiente indica el sentido de la asociación como también la magnitud de ésta, partiendo del hecho que el coeficiente de correlación lineal simple toma valores en el rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1. Entre más se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociación entre dichas variables.
    • ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple -1 ≤ r < -0.8 Asociación 0 ≤ r < 0.4 No hay fuerte y asociación negativa -0.8 ≤ r < -0.4 Asociación 0.4 ≤ r < 0.8 Asociación débil y débil y negativa positiva -0.4 ≤ r ≤ 0 No hay 0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación asociación fuerte y positiva
    • ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple
    • ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple Mide la cantidad de cambios en “Y” Mide asociación lineal por un único cambio en “X”. entre dos variables Existe una variable dependiente y Es indistinto x, y ó y, x otra independiente β1 puede tomar cualquier valor en la El coeficiente de recta numérica correlación toma valores en el intervalo -1 ≤ r ≤ 1
    • PROBABILIDADES Experimentos Aleatorios Espacio Muestral,Eventos y Sucesos Tipos de Experimentos Aleatorios Probabilidad Relaciones entre Eventos Enfoques de Probabilidad/Teoremas Básicos de Probabilidad Eventos Dependientes/Independientes Probabilidad Total/Teorema de Bayes
    • PROBABILIDADES Sus resultados se conocen con Determinísticos anticipación sin necesidad de realizar el experimento Experimentos Sus resultados se conocen una vez que el experimento ha finalizado No Determinísticos Se pueden describir los Es un proceso planificado a posibles resultados pero no se través del cual se obtiene puede decir cuál de ellos una observación (o una ocurrirá medición) de un fenómeno Son experimentos no Experimentos Aleatorios determinísticos cuyos resultados están regidos por el azar
    • PROBABILIDADES Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama “Cara” a la otra “Sol” entonces: ={CC, CS, SC, SS} Experimentos Supóngase ahora que se lanza un Aleatorios dado legal. Entonces: ={1, 2, 3, 4, 5, 6,} Son aquellos experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por la casualidad (azar)
    • PROBABILIDADES Retomando el caso del lanzamiento de las dos monedas, ¿hay otro posible resultado en este experimento?. O bien en el caso del lanzamiento del dado Espacio Muestral M = {CC, CS, SC, SS} Son todos los resultados M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,} que están asociados a un experimento aleatorio Supóngase que el lanzamiento del Es subconjunto del espacio dado se está interesado en la muestral, es decir, sus ocurrencia de una cara impar resultados pertenecen al espacio muestral A = {1,3,5} Evento
    • PROBABILIDADES Espacio Muestral M 2 A Evento 1 3 5 Suceso (wi) Letras 4 6 Mayúsculas del Alfabeto A= (wiεA /wi ε M
    • PROBABILIDADES Simples Un solo experimento aleatorio Experimentos Cuando ocurren dos o más Aleatorios experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del Compuestos otro Unidos por la Unidos por la partícula “ó” (v) partícula “y” (  ) Los experimentos simples que Los experimentos simples que lo componen ocurren de lo componen ocurren al mismo forma sucesiva tiempo M = {M1UM2U…Mi} M = {M1∩M2…Mi}
    • PROBABILIDADES Simples Un solo experimento aleatorio Experimentos M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,} Aleatorios Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo Compuestos tiempo o bien uno después del otro M = {CC, CS, SC, SS}
    • PROBABILIDADES Experimentos compuestos El espacio muestral es el unidos por la partícula “y” producto cartesiano de los espacios muestrales simples que lo conforman M3 M2 M1*M2 C S M1 C S CC CCC CCS C CC CS CS CSC CSS S SC SS SC SCC SCS SS SSC SSS
    • PROBABILIDADES 3era Moneda Experimentos compuestos 2da Moneda C CCC unidos por la partícula “y” C Diagrama del Árbol 1ra Moneda S CCS Diagrama de Senderos C CSC C S S C CSS M C S SCC S SCS C SSC S S SSS
    • PROBABILIDADES De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden establecer algunas relaciones entre ellos tales como: A B M A B M AUB AUB A B M M A´ A AΠB
    • PROBABILIDADES Probabilidad A priori. Llamada Clásico También Probabilidad de Laplace Enfoques de Subjetivo Probabilidades Frecuencia Probabilidad A posteriore Relativa
    • PROBABILIDADES Todos los sucesos de un Supuesto experimento aleatorio tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces: Probabilidad Subjetivo P A  na Clásica M 0  PA  1 Frecuencia Probabilidad A posteriore Relativa Si en la realización de experimento aleatorio aparece P A  n un evento A “n veces ≤ N N”,entonces:
    • PROBABILIDADES P[AUB] = P [A] + P [B] P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB] Teoremas Básicos de P[Ø] = 0 Probabilidades P[M] = 1   P Ac  1  PA 0  P A  1 / 0  P A  100%
    • PROBABILIDADES Eventos Dependientes Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro evento, se dice que éste es dependiente. Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento dependiente de B sí;   P A  P A ; PB  0 B o bien:   P B  P B ; PA  0 A  B PPB  PA; PB  0 PA A B  A PPA  PB; PA  0 PB B A Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas: • Respecto al espacio muestral original • Respecto al espacio muestral del evento condicionante
    • PROBABILIDADES En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar: a. Que sea mujer b. Que sea soltero (a) c. Que sea un hombre y esté casado (a) d. Que sea una mujer divorciada e. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad que sea hombre? f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad que sea casado?
    • PROBABILIDADES En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad que: a. Sea mujer b. Se estudiante varón dado si es de Ciencias c. Sea estudiante de Ciencias dado que es varón d. Sea estudiante de Ciencias y varón.
    • PROBABILIDADES Eventos Independientes Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes. Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:  B PPB  PA; PB  0 PA A B  A PPA  PB; PA  0 PB B A PA  B  PA* PB
    • PROBABILIDADES Probabilidad Total Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak] son probabilidades conocidas entonces: PB  PA1PB / A1  P[ A2]P[ B / A2]  ...P[ Ak ]P[ B / Ak ] Probabilidad Total = PB  i 1 PAk PB / Ak  k
    • PROBABILIDADES Teorema de Bayes Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los eventos que forman la partición muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes  B  PAk P B  Ak  PAk PB  P Ak  k i 1 Ak