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a)¿Cuál de los dos se moverá...
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A través de la ley de la d...
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EJERCICIO 1-3-50

La nave e...
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EJERCICIO 1-3-53 (SELECTIVI...
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Tema 1.  Interaccion Gravitatoria   Problemas
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Tema 1. Interaccion Gravitatoria Problemas

  1. 1. Física 2º bachillerato 1 1.- INTERACCIÓN GRAVITATORIA FORMULACIÓN Ley de Kepler: r3/T2 = constante para cualquier sistema que gira en torno a un mismo cuerpo. Ley de gravitación universal: F = Gm1m2/r2 siendo G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 Constante de Kepler para el sistema solar: r3/T2 = GMS/42 Intensidad del campo gravitatorio: g = Gm/r2 Trabajo de una fuerza: W = F.dr = Ecfinal - Ecinicial , es independiente del tipo de fuerza. Trabajo de una fuerza conservativa: W = Ecfinal - Ecinicial = Epinicial - Epfinal Energía cinética: Ec = ½ mv2 Energía potencial gravitatoria: Epg = - Gm1m2/r Potencial gravitatorio: Vg = - Gm/r Conservación de la energía mecánica: Em = Ecinicial+Epinicial = Ecfinal+Epfinal (fuerzas conservativas) Condición matemática en una órbita gravitatoria: GMm/r2 = mv2/r Fuerza elástica.- Ley de Hooke: F = - kx (k=constante de elasticidad, x=elongación) Energía potencial elástica: Epe = ½ kx2 Fuerza de rozamiento: F = N ( = coeficiente de rozamiento) Conservación de la energía en general: Ecinicial+Epinicial = Ecfinal+Epfinal+Energía disipativa APARTADO 1-1. Leyes de Kepler. Ley de gravitación y campo gravitatorio. EJERCICIO 1-1-1 Suponga que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa. a) ¿Aumentaría la intensidad del campo gravitatorio en su nueva superficie?. b) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?. Justifique las respuestas. a) El campo gravitatorio viene dado por g = GMT/RT2, si el radio se redujera a la mitad, el nuevo campo gravitatorio sería g = GMT/(RT/2)2 = 4 GMT/RT2, por lo que el campo aumentaría cuatro veces. b) La condición que se verifica en la órbita de la Tierra en torno al Sol es: GMSMT/r2 = MT v2/r, siendo r en este caso el radio de la órbita en torno al Sol. El radio terrestre no participa en esta ecuación, por lo que esta órbita no se ve afectada por el tamaño de la Tierra y, ni siquiera, por la masa de la Tierra, ya que en la ecuación anterior la masa terrestre se cancela. EJERCICIO 1-1-2 Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto radio. Interacción gravitatoria
  2. 2. Física 2º bachillerato 2 a)¿Cuál de los dos se moverá a mayor velocidad?. b) ¿Cuál de los dos tendrá mayor energía mecánica?. Razone las respuestas. a) Llamémosles a los satélites A y B. Para el satélite A se verifica: GMT mA / rA2 = mA vA2 / rA Para el satélite B se verifica: GMT mB / rB2 = mB vB2 / rB En ambas ecuaciones se van las masas de los satélites y quedan, simplificando: GMT /rA = vA2 GMT /rB = vB2 Lo cual implica que el que tenga mayor radio tiene menor velocidad b) La energía mecánica del satélite es la suma de su energía cinética y de su energía potencial, por tanto: EmA = ½ mA vA2 - G MT mA / rA Sustituyendo vA2 por la expresión del apartado anterior, queda: EmA = ½ mA GMT / rA - GMT mA / rA = - ½ G MT mA / rA Una ecuación análoga se obtiene para el satélite B. Al ser ambos satélites idénticos, tienen la misma masa, por lo que su energía mecánica solo depende del radio de la órbita. El que tenga mayor radio tendrá menor valor absoluto de energía mecánica, aunque al tener signo negativo implica en realidad mayor energía mecánica. EJERCICIO 1-1-3 a) Explique la influencia que tiene la masa y el radio de un planeta en la aceleración de la gravedad en su superficie y en la energía potencial de una partícula próxima a dicha superficie. b) Imagine que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cuádruple, ¿cuál sería el nuevo valor de g?; ¿y el nuevo periodo de la Luna?. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg ; dT-L = 3,8.105 km a) La aceleración de la gravedad coincide con el valor del campo gravitatorio, ya que, según la ley de la dinámica de Newton: F = mg = ma. Por tanto: a = g = G M/r2; se deduce, pues, que la aceleración es directamente proporcional a la masa del planeta. La energía potencial en la superficie del planeta viene dada por Epo = - G M m / R, siendo M la masa del planeta, m la masa de la partícula, y R el radio del planeta. En un punto a una altura h sobre la superficie del planeta, la energía potencial viene dada por Ep = - G M m / (R+h). Estos son realmente los valores de la energía potencial de la partícula en esos lugares. Cuestión diferente sería si quisiéramos hallar la diferencia de energía potencial entre esos dos puntos: Ep = Ep - Epo = - GMm/(R+h) + GMm/R = GMm 1/R - 1/(R+h); o bien: Ep = GMm h/R(R+h). Si la partícula se encuentra próxima a la superficie del planeta, podemos considerar que h es mucho más pequeña que R, con lo que podemos despreciarla dentro del paréntesis. Lo cual nos lleva a: Ep = GMmh/R2 = m go h, siendo go = GM/R2 el valor del campo gravitatorio en la superficie del planeta. Por tanto, en la expresión de la energía potencial o en la diferencia de energía potencial, estos valores dependen directamente de la masa del planeta, en el primero caso el valor será negativo y en el segundo positivo. Interacción gravitatoria
  3. 3. Física 2º bachillerato 3 b) Sustituyendo los valores indicados en el enunciado será: g = G MT / RT2 = 6,67.10-11 x 4 x 6.1024 / (2 x 6400000)2 = 9,8 N/Kg Es el mismo valor que el de la Tierra con su masa y tamaño actual en su superficie. Por otro lado, la órbita lunar cumple: G MTML = ML v2/r2; lo que implica que la velocidad orbital depende de la raíz cuadrada de la masa terrestre; si ésta se cuadriplica la velocidad se duplicará, con lo que el periodo orbital se reduce a la mitad ya que la distancia Tierra- Luna permanece igual. Efectivamente: al ser v = 2r/T la velocidad y el periodo son inversamente proporcionales. EJERCICIO 1-1-4 Dos satélites idénticos A y B describen órbitas circulares de diferente radio (RA>RB) alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿cuál de los dos tiene mayor energía cinética? b) si los dos satélites estuvieran en la misma órbita (RA=RB) y tuviesen distinta masa (mA<mB), ¿cuál de los dos se movería con mayor velocidad?; ¿cuál de ellos tendría más energía cinética?. a) La condición de la órbita de uno de los dos satélites es: GMm/r2 = m v2/r, siendo M la masa de la Tierra y m la masa del satélite. La expresión se simplifica quedando: GMm/r = mv2, que multiplicada por ½ nos da la energía cinética del satélite: Ec = ½ mv2 = ½ GMm/r; lo cual implica que la energía cinética es inversamente proporcional al radio de la órbita. Así pues, el que tenga mayor radio tendrá menor energía cinética. La respuesta es EcA  EcB. b) Teniendo en cuenta las mismas consideraciones del apartado anterior, y simplificando la ecuación de la órbita, llegamos a v2 = GM/r, por lo que a iguales radios orbitales también iguales velocidades. La respuesta sería vA = vB. Sin embargo, como la energía cinética es ½ mv2, implica que a iguales velocidades, tendrá mayor energía cinética el que tenga mayor masa. La respuesta, pues, sería: EcA  EcB EJERCICIO 1-1-5 A partir de los datos de la Tierra, obtén en unidades del S.I. el valor de la constante que aparece en la tercera ley de Kepler. Utiliza el valor de esta constante para obtener la masa del Sol. Datos: MT = 5,98.1024 kg ; radio de la órbita terrestre = r = 1,496.1011 m ; periodo de la Tierra = 365,25 días. La órbita de la Tierra en torno al Sol cumple: G MS MT / r2 = MT v2 / r = MT (2r/T)2 / r Simplificando nos queda: G MS = 42 r3/T2 o bien: GMS/(42) = r3/T2, que se denomina como constante de Kepler; sustituyendo valores obtenemos el valor: (1,496.1011)3 / (365,25 x 24 x 3600)2 = 3,362.1018 m3/s2 Por otro lado, despejando la masa del Sol de la ecuación anterior y sustituyendo obtenemos: MS = (r3/T2) x (42/G) = 3,362.1018 x (42/6,67.10-11) = 1,99.1030 kg Se puede comprobar como la masa de la Tierra no influye. EJERCICIO 1-1-6 Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: Interacción gravitatoria
  4. 4. Física 2º bachillerato 4 a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de la Tierra sería la mitad de su peso en la superficie de la Tierra. b) El estado de "ingravidez" de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula. a) El peso de un cuerpo en la superficie del planeta viene dada por F = mg = GMm/R2, siendo m la masa del cuerpo, M la masa del planeta y R el radio del planeta. Por tanto, el peso del cuerpo es directamente proporcional a la masa del planeta y la afirmación del apartado a) es verdadera si los radios de ambos planetas coinciden. b) La afirmación es falsa ya que la Tierra ejerce sobre el astronauta una fuerza que viene dada por la ley de gravitación. La sensación de ingravidez aparece como consecuencia de tomar como sistema de referencia la propia nave que está sometida al mismo campo gravitatorio que los astronautas y, por tanto, todos ellos sometidos a la misma aceleración de la gravedad. EJERCICIO 1-1-7 La masa de la Luna es mL = 7,36.1022 kg y su radio RL = 17.105 m, aproximadamente. a) ¿Qué distancia recorrerá en 1 s un cuerpo en caída libre sobre la superficie de la Luna?. b) ¿Cuál será el peso en la Luna de un hombre que en la Tierra pesa 70 kg?. a) Se trata de un movimiento uniformemente acelerado para espacios o tiempos cortos, en los que se recorre un espacio s = ½ at2; al coincidir la aceleración con el valor del campo gravitatorio, será: s = ½ gt2 = ½ (GML/RL2) t2; y sustituyendo valores: s = ½ (6,67.10-11 x 7,36.1022 / (17.105)2) . 12 = 0,849 m b) Podríamos discutir en este apartado la frase "pesa 70 kg" ya que el peso es realmente una fuerza y se mide en Newton. En realidad el peso de ese hombre en la Tierra sería P = 70 x 9,8 = 686 N. La frase correcta es que tiene una masa de 70kg, y como la masa es un valor constante para cualquier punto del espacio, el peso del hombre en la luna sería: P = m gL = 70 x 6,67.10-11 x 7,36.1022/(17.105)2 = 118,9 N. EJERCICIO 1-1-8 a) Explique las analogías y diferencias entre las interacciones gravitatoria y electrostática. b) ¿Qué relación existe entre el periodo y el radio orbital de dos satélites?. a) Analogías: - ambas interacciones suceden a distancia, es decir, los cuerpos se ejercen entre sí fuerzas recíprocas e iguales sin tener que estar en contacto. - en las dos interacciones, la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. - las dos son fuerzas conservativas por lo que tienen asociadas una energía potencial verificándose el principio de conservación de la energía mecánica. Diferencias: - la interacción electrostática es mucho más intensa que la gravitatoria. Mientras que la constante electrostática es del orden de casi diez mil millones (9.109), la constante gravitatoria es inferior a la diez mil millonésima (6,67.10-11). - La interacción gravitatoria es de carácter atractiva mientras que en la electrostática se puede presentar carácter atractivo o repulsivo. - En la interacción gravitatoria participan las masas de los cuerpos mientras que en la electrostática participan las cargas. - La constante electrostática tiene valores diferentes para los distintos medios en que se encuentren las cargas. La constante de gravitación es universal e independiente del medio en que se encuentren las masas. Interacción gravitatoria
  5. 5. Física 2º bachillerato 5 - En la naturaleza podemos encontrar grandes cantidades de masas por su carácter atractivo; sin embargo no es frecuente encontrar grandes cantidades de cargas, bien porque la existencia de cargas positivas y negativas conducen a la neutralización de las mismas, o porque de encontrarse una cierta cantidad de carga del mismo signo lleva a una situación teóricamente inestable por la repulsión entre ellas. b) La condición de una órbita de un satélite de masa m a una distancia r de un planeta de masa M viene dada por: GMm/r2 = mv2/r = m(2r/T)2/r; simplificando nos queda: r3/T2 = GM/(42); o bien: r3 = T2 x GM/(42) Así pues, a mayor periodo orbital también mayor radio, y viceversa. Si bien debe tenerse en cuenta que no es una proporcionalidad lineal. EJERCICIO 1-1-9 a) Enuncie la ley de gravitación universal y comente el significado físico de las magnitudes que intervienen en ella. b) Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste.¿Por qué no cae más deprisa los cuerpos con mayor masa?. a) La fuerza que se ejercen entre sí dos cuerpos es F = G M m / r2; siendo G la constante de gravitación universal de valor 6,67.10-11 N m2 kg-2; M y m las masas de ambos cuerpos, y r la distancia entre ellos. b) Efectivamente la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo es F = mg, pero teniendo en cuenta la segunda ley de la dinámica: F = mg = ma, lo que implica que a = g. Ambos cuerpos se vería sometidos a la misma aceleración y por tanto recorrerían iguales espacios en iguales tiempos. Téngase en cuenta, como una segunda explicación, que si, por ejemplo, la fuerza sobre uno de los cuerpos fuera el doble por el hecho de tener masa doble, también es cierto que necesita arrastrar justamente esta masa doble lo cual supone una resistencia al movimiento. Efectivamente, de la ley de la dinámica deducimos a = F/m, lo cual implica que la masa influye inversamente proporcional en la aceleración. Es lo que se conoce como masa inercial o "resistencia" que ofrece un cuerpo para alterar su estado de reposo o movimiento. EJERCICIO 1-1-10 a) Determine la densidad media de la Tierra. b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte?. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 ms-2 a) La densidad de la Tierra viene dada por la relación masa/volumen, y siendo el volumen 4/3 R3, vamos a deducir primero la masa de la Tierra. g = GM/R2; M = gR2/G = 10 x (6370000)2/6,67.10-11 = 6,08.1024 kg Así pues: densidad = 6,08.1024 / 4 x  x (6370000)3 /3 = 5618,833 kg/m3 b) Sustituyendo en g = GM/R2: 10/3 = 6,67.10-11 x 6,08.1024/R2; despejando R obtenemos: R = 11029995,47 m Por tanto la altura sobre la superficie es: 11029995,47 - 6370000 = 4659995,47 m EJERCICIO 1-1-11 (SELECTIVIDAD 2005) Interacción gravitatoria
  6. 6. Física 2º bachillerato 6 La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con éxito la cápsula Huygens sobre la superficie de Titán, el mayor satélite de Saturno, más grande que nuestra Luna e incluso más que el planeta Mercurio. a) Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una órbita circular de 1,2.109 m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital. b) ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en la superficie de la Tierra?. G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; MSaturno = 5,7.1026 kg ; MTitán = 1,3.1023 kg ; RTitán = 2,6.106 m ; g = 10 m s-2 2 a) La condición de la órbita es: G MS MT / r = MT v2/ r; v = G MS /r; -11 26 9 v = 6,67.10 x 5,7.10 /1,2.10 = 5628,72 m/s v = 2r/T; T = 2r/v = 2 x 1,2.10 9/5628,72 = 1339526,992 s b) gTitán = G MT/RT2 = 6,67.10 -11 x 1,3.10 23/(2,6.10 6) 2 = 1,283 m s -2 peso en Titán/peso en la Tierra = 1,283/10 = 0,1283 Es decir, el 12,83% del peso en la Tierra. EJERCICIO 1-1-12 (SELECTIVIDAD 2006) La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su diámetro 10 veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol, expresado en años terrestres. g = 10 m s -2 ; radio orbital terrestre = 1,5 · 10 11 m. a) gJ = G MJ/RJ2 = G (300 MT)/(10 RT2) 2 = 3 G MT/RT2 = 3 x10 = 30 m/s2 P = mg = 75 x 30 = 2250 N b) Según la ley de Kepler: rJ 3/ TJ 2 = rT 3/TT 2 (5 x 1,5.10 11) 3/TJ 2 = (1,5.10 11) 3/3652; TJ = 4080, 82 días = 11,18 años terrestres EJERCICIO 1-1-13 (SELECTIVIDAD 2006) a) La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su periodo de traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. Determine razonadamente la masa de la Tierra. b) Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital? G = 6,67 · 10 -11 N m 2 kg -2 a) La condición de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es que la fuerza de atracción gravitatoria coincide con la fuerza centrípeta. Matemáticamente sería: G MT ML /r 2 = ML v2/r. La masa de la Luna se cancela y queda: MT = v2 r/G. Al ser un movimiento circular uniforme se verifica v = 2r/T y sustituyendo en la ecuación anterior nos queda: MT = 4  2r 3/(G T 2), sustituyendo datos: MT = 4  2 (384000000) 3/(6,67.10 -11 x 2354400 2) = 6,05.10 24 kg Hemos pasado previamente la distancia de 384000 km a 384000000 m y los 27 días y 6 horas 235400 segundos. b) Nuevamente aplicamos la condición de la órbita y llegamos a la ecuación: T = 4  2r 3/(G MT) = 4  2x 200000000 3/(6,67.10 -11 x 6,05.10 24 ) = 884676 s aproximadamente o bien 10 días 5 horas y 45 minutos aproximadamente. Interacción gravitatoria
  7. 7. Física 2º bachillerato 7 EJERCICIO 1-1-14 (SELECTIVIDAD 2007) a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita. b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “la gravedad en la superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor obtenido sería el 90% del medido en la Tierra”. a) 1ª) Los planetas describen órbitas elípticas planeta alrededor del Sol siendo el Sol uno de sus focos. Sol 2ª) el radio vector del planeta C B barre áreas iguales en tiempos las zonas rayadas tienen iguales áreas y iguales. el planeta ha tardado el mismo tiempo en recorrer el tramo de la órbita A D 3ª) r3/T2 (siendo r el radio de la órbita y T el periodo) es constante para cada planeta en torno al Sol. Según la 2ª cuando el planeta está en la región del perihelio (la más cercana al Sol) va más lento que cuando está en la zona del afelio (la más alejada del Sol). Efectivamente, las áreas barridas son iguales en tiempos iguales, en el dibujo anterior se puede observar como el arco AB es menor que el arco CD. b) Es falsa. La constante de gravitación G es universal, esto implica que su valor no depende del medio en que nos encontremos ni, por supuesto, de las masas que estén próximas a ese lugar. Lo que si cambia es el valor del campo gravitatorio g ya que al ser g = G M/r2 sus valores dependen de la masa además de la distancia. EJERCICIO 1-1-15 (SELECTIVIDAD 2007) Suponga que la masa de la Tierra se duplicara. a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante. b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál sería el valor de g en la superficie terrestre? G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6 ·1024 kg ; RT = 6370 km ; Rorbital Luna = 3,84.108 m a) La condición de la órbita lunar alrededor de la Tierra es que la fuerza de atracción gravitatoria coincide con la fuerza centrípeta, matemáticamente sería: G MT ML /r2 = ML v2/r, donde la masa de la Luna se cancela y queda G MT = v2r. Al ser un movimiento circular uniforme se verifica v = 2r/T y sustituyendo en la ecuación anterior nos queda: G MT = 4  2r 3/ T2, por tanto T = 4  2r 3/(G MT) = 4  2 x (3,84.108) 3/(6,67.10 -11 x 6.10 24) = 2363405,07 s b) g = GMT/RT2, si sustituimos los valores obtenemos aproximadamente 10 m/s2 pero si fuera g = G 2MT/(2RT) 2 obtendríamos g = ½ GMT/RT2, con lo cual, la gravedad se reduciría a la mitad, aproximadamente 5 m/s2 APARTADO 1-2. Principio de superposición. EJERCICIO 1-2-1 En dos vértices opuestos de un cuadrado, de 6 cm de lado, se colocan las masas m1=100 g y m2 = 300 g. Interacción gravitatoria
  8. 8. Física 2º bachillerato 8 a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa en el centro del cuadrado y calcule la fuerza que actúa sobre una masa m = 10 g situada en dicho punto. b) Calcule el trabajo realizado al desplazar la masa de 10 g desde el centro del cuadrado hasta uno de los vértices no ocupados por las otras dos masas. a) Lo primero que haremos es deducir la distancia de cada masa al centro del cuadrado. Este valor coincide con la mitad de la diagonal: L=0,06 m diagonal = 0,062 + 0,062 = 0,085 m m1=0,1 kg g1 semidiagonal = r = 0,0425 m 0,06 m Calculemos ahora el campo creado por cada masa: g2 r g1 = Gm1/r2 = 6,67.10 -11 x 0,1 / 0,0425 2 = 3,69.10 -9 N/kg g2 = Gm2/r2 = 6,67.10 -11 x 0,3 / 0,0425 2 = 1,108.10 -8 N/kg m2=0,3 kg Podemos calcular el campo total en ese punto restando los dos campos ya que tienen la misma dirección y sentidos contrarios: -8 -9 -9 gT = g2 - g1 = 1,108.10 - 3,69.10 = 7,388.10 N/kg Por tanto, la fuerza sobre una masa de 10 gramos en ese punto será: -9 -11 F = mg = 0,01 x 7,388.10 = 7,388.10 N b) El trabajo lo podemos obtener a través de: W = Epi - Epf, es decir: la diferencia entre la energía potencial inicial (centro del cuadrado) y la energía potencial final (vértice del cuadrado). Teniendo en cuenta además la ecuación Ep = -GMm/r será: W = - 6,67.10 -11 x 0,1 x 0,01 / 0,0425 - 6,67.10 -11 x 0,3 x 0,01 / 0,0425 + + 6,67.10 -11 x 0,1 x 0,01 / 0,06 + 6,67.10 -11 x 0,3 x 0,01 / 0,06 = = 6,67.10 -11 x 0,01 x (0,4/0,06 - 0,4/0,0425) = -1,83.10 -12 J El signo menos significa que hay que ejercer ese trabajo sobre la partícula de 10 g para que se desplace desde el centro hasta el vértice. Es un resultado lógico si tenemos en cuenta que son fuerzas atractivas y estamos alejando dicha partícula de las otras dos. EJERCICIO 1-2-2 Calcular el punto del espacio situado entre la Tierra y la Luna donde el campo gravitatorio es nulo. Datos: MT = 5,98.1024 kg ; ML = 7,36.1022 kg ; distancia T-L: d = 3,84.108 m Tierra Luna gT gL r 3,84.108-r La condición que se debe cumplir es que los campos creados por la Tierra y en la Luna sean iguales en módulo y, como se ve en la figura, de sentidos contrarios. Por tanto: gT = gL  GMT/rT2 = GML/rL2; sustituyendo valores y cancelando G: 5,98.10 24/r2 = 7,36.10 22/(3,84.108-r)2 5,98.10 24/7,36.10 22 = r2/(3,84.108-r)2 5,98.10 24/7,36.10 22 = r/(3,84.108-r) 9,014 = r/(3,84.108-r); 3461376000 - 9,014 r = r; 3461376000 = 10,014 r Interacción gravitatoria
  9. 9. Física 2º bachillerato 9 r = 345653684,8 m Se puede ver como al ser la Tierra más másica que la Luna, el punto de ingravidez está más cerca de ésta. EJERCICIO 1-2-3 Tres masas de 2 kg cada una están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Calcula la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las interacciones de las otras. ¿Cuánto vale la suma de las tres fuerzas?. La fuerza que se ejerce sobre una de las masas como resultado de las interacciones de las otras se obtiene sumando vectorialmente las fuerzas que cada una ejerce sobre ella. Al ser masas iguales e iguales distancias podemos deducir una de las fuerzas elementales: F = G m m/r2 = 6,67.10 -11 x 2 x 2 /12 = 2,668.10 -10 N Aplicando el teorema del coseno, deducimos la fuerza total sobre una de ellas: FT = (2,668.10 -10)2 + (2,668.10 -10)2 + 2x2,668.10 -10x2,668.10 -10xcos 60º FT = 4,62.10 -10 N Sobre cada una de ellas se ejerce esta fuerza lo que da globalmente una fuerza cero para todo el sistema. Téngase en cuenta que dos masas se ejercen entre sí fuerzas iguales y de sentidos contrarios con lo que el resultado global de ambas sería cero. EJERCICIO 1-2-4 (SELECTIVIDAD 2005) a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84.108 m. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo?. G = 6,67.10-11 N m2 kg-2; MT = 5,98.1024 kg; ML = 7,35.1022 kg a) MT F1 m F2 ML Fresultante F1 = 6,67.10 -11 x 5,98.10 24 x 1000/(3,84.10 8/2) 2 = 10,82 N F2 = 6,67.10 -11 x 7,35.10 22 x 1000/(3,84.10 8/2) 2 = 0,13 N F resultante = 10,82 - 0,13 = 10,69 N hacia la Tierra b) MT gT gL ML r = 345653684,8 m . Ver ejercicio 1-2-2 EJERCICIO 1-2-5 (SELECTIVIDAD 2007) a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) ¿Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las proximidades de las dos masas se coloca una tercera masa, también puntual? Haga un esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa. a) Según la ley de gravitación de Newton F = G m1 m2 /r2 siendo G la constante de gravitación universal cuyo valor es 6,67.10 -11 N m 2 kg -2 es independiente del medio en que se encuentren las cargas. m1 y m2 son las masas expresadas en kg y r la distancia expresada en metros entre los centros geométricos de las dos masas. La fuerza es por tanto Interacción gravitatoria
  10. 10. Física 2º bachillerato 10 proporcional a cada una de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Esto último implica que si multiplicamos la distancia por 2, 3, 4, ... la fuerza se reduce a un cuarto, un noveno, un dieciseisavos, ... de su valor. Son fuerzas atractivas siempre. b) El principio de superposición nos dice que la fuerza resultante sobre una masa en presencia de otras es la suma vectorial de cada una de las fuerzas que cada una de las otras masas ejerce sobre ella, de manera que para cada una de ellas, podríamos mentalmente aislar cada pareja. m2 Sean tres masas tal como indica la figura: m1 La fuerza sobre la masa m3 sería: F = F13 + F23 siendo F F13 = Gm1m3/r132 y F23 = Gm2m3/r232 Por tanto se podría calcular cada una de ellas independientemente de la otra y después sumarlas r13 F13 r23 vectorialmente. F23 m3 APARTADO 1-3. Trabajo. Energía cinética y energía potencial. Principio de conservación de energía. EJERCICIO 1-3-1 Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba, por una rampa rugosa ( = 0,2) que forma un ángulo de 30º con la horizontal, con una velocidad de 6 m/s. a) Explique como varían las energía cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante la subida. b) Calcule la longitud máxima recorrida por el bloque en el ascenso. g = 10 ms-2 a) La energía cinética vale inicialmente ½ mvo2 y al final se anula al pararse. Por tanto pierde una energía cinética de valor ½ x 2 x 6 2 = 36 J. Su energía potencial inicial se considera nula y la final es mgh = 2x10h = 20h vf = 0 La pérdida de energía cinética no se transforma íntegramente en energía potencial ya que una parte se gasta en el trabajo de rozamiento mientras asciende. Este trabajo se calcula mediante: WR = FR s vo h m Ep=0 =  mg cos  s = 0,2x2x10xcos30ºxs = 3,464 s J. Este valor es justamente lo que se pierde en energía  mecánica. Dicho de otra forma: los 36 J iniciales en forma de energía cinética se invierten en 20h de energía potencial y en 3,464s J de trabajo de rozamiento. b) Igualando lo indicado en el apartado anterior: 36 = 20 h + 3,464 s, y teniendo en cuenta la relación trigonométrica h = s x sen 30º = s/2: 36 = 10 s + 3,464 s = 13,464 s, con lo que el espacio máximo recorrido es 2,67 m. EJERCICIO 1-3-2 Interacción gravitatoria
  11. 11. Física 2º bachillerato 11 Por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal asciende con velocidad constante, un bloque de 100 kg por acción de una fuerza paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique las transformaciones energéticas que tienen lugar en su deslizamiento. b) Calcule la fuerza paralela que produce el desplazamiento, así como el aumento de energía potencial del bloque en un desplazamiento de 20 m. g = 10 ms-2 N F a) mg es el peso del cuerpo cuyas componentes valen: mgsen mgsen = 100x10xsen30º = 500 N mgcos = 100x10xcos30º = 866 N FR mgcos  N es la normal que coincide con la componente mgcos, es decir: N = 866 N mg FR es la fuerza de rozamiento: FR = N = 0,2x866 = 173,2 N F es la fuerza paralela al plano y que hace ascender al bloque. Cuando el cuerpo asciende a velocidad constante, su energía cinética permanece constante por lo que no hay pérdida ni ganancia de la misma. Su energía potencial en cambio va aumentando desde un valor cero (por convenio) hasta Ep = mgh siendo h la altura adquirida desde el origen. Este aumento de la energía potencial se obtiene a partir del trabajo que realiza la fuerza F, cuyo valor es W = Fs, siendo s el espacio recorrido por la superficie inclinada. También hay una parte de este trabajo que se invierte en trabajo de rozamiento de valor FRs. Por tanto se verifica el siguiente balance energético: Fs = mgh + FRs. b) Cuando el cuerpo recorre un espacio s = 20 m adquiere una altura desde el origen h = 20 sen 30º = 10 m. Aplicando el balance energético será: 20 Fx20 = 100x10x10 + 173,2x20  F = 673,2 N 10 30º El aumento de energía potencial es 10000 J EJERCICIO 1-3-3 Un bloque de 0,2 kg, inicialmente en reposo, se deja deslizar por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Tras recorrer 2 m, queda unido al extremo libre de un resorte, de constante elástica 200 N/m, paralelo al plano y fijo por el otro extremo. El coeficiente de rozamiento del bloque con el plano es 0,2. a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando comienza el descenso e indique el valor de cada una de ellas. ¿Con qué aceleración desciendo el bloque?. b) Explique los cambios de energía del bloque desde que inicia el descenso hasta que comprime el resorte y calcule la máxima compresión de éste. g = 10 ms-2 N a) mg es el peso del cuerpo cuyas componentes valen: mgsen = 0,2x10xsen30º = 1 N mgsen FR mgcos = 0,2x10xcos30º = 1,732 N  mgcos N es la normal que coincide con la componente mgcos, es decir: N = 1,732 N mg FR es la fuerza de rozamiento: FR = N = 0,2x1,732 = 0,346 N Interacción gravitatoria
  12. 12. Física 2º bachillerato 12 A través de la ley de la dinámica F = ma deducimos la aceleración a = F/m = (mgsen- FR)/m = (1-0,346)/0,2 = 3,27 m s-2 b) Al principio el bloque está en reposo por lo que no tiene energía cinética, al final acabará comprimiendo al muelle y se detendrá, por lo que su energía cinética final también es cero. En cuanto a la energía potencial gravitatoria: si suponemos que al final la energía potencial es cero por convenio, su energía potencial inicial será mgh, siendo h la altura al principio. Esta energía potencial gravitatoria se ha invertido en: - trabajo de rozamiento que viene dado por WR = FRs = 0,346s, siendo s el espacio total recorrido por el bloque. - energía potencial elástica que viene dada por Epel = ½ kx2 = ½ 200 x2 = 100 x2, siendo x la compresión del muelle. El espacio total s tiene que ser la suma de los 2 metros que separaban al cuerpo del muelle más la distancia x de compresión del muelle, es decir: s = 2 + x. (*) Si tenemos en cuenta el balance energético explicado: Energía potencial gravitatoria = trabajo de rozamiento + energía potencial elástica mgh = WR + Epel  0,2x10xh = 0,346 s + 100 x2 Teniendo en cuenta la ecuación (*) y la razón trigonométrica h = s x sen 30º = (2+x)/2 será: 2 + x = 0,346 (2 + x) + 100 x2, simplificando queda: 100 x2 - 0,654 x - 1,308 = 0; 0,118 m 2 0,654  0,654 + 4x100x1,308 x= 2x100 - 0,111 m EJERCICIO 1-3-4 Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si la partícula se acerca o se aleja de M. b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento indicado y escriba su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectilínea?. a) El potencial gravitatorio de una masa m viene dado por V = - Gm/r, por tanto, si se cumple que VB  VA, será: - Gm/rB  - Gm/rA, de donde Gm/rB  Gm/rA  1/rB  1/rA por lo tanto: rB es mayor que rA. En definitiva la masa m se aleja de M. b) Dado que VB es mayor que VA, lo mismo ocurrirá con la energía potencial ya que Ep = mV; y puesto que se trata de una fuerza conservativa, se cumple que la energía cinética en B es menor que en A. En definitiva, si va desde A hasta B, su energía cinética disminuye mientras que su energía potencial aumenta. El hecho de que siga una trayectoria u otra no influye en el balance energético ya que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente del camino seguido. EJERCICIO 1-3-5 Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Si la energía mecánica de una partícula permanece constante, ¿puede asegurarse que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas?. b) Si la energía potencial de una partícula disminuye, ¿tiene que aumentar su energía cinética?. Interacción gravitatoria
  13. 13. Física 2º bachillerato 13 a) No puede asegurarse. Podemos afirmar que si las fuerzas que actúan son conservativas la energía mecánica permanece constante pero no al revés. Puede haber alguna fuerza no conservativa que compensara una posible pérdida de energía mecánica debida al rozamiento por ejemplo. b) La afirmación es cierta si la fuerza que actúa es conservativa ya que al permanecer constante la energía mecánica existe una compensación entre la cinética y la potencial. EJERCICIO 1-3-6 Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) una partícula sobre la que actúa una fuerza efectúa un desplazamiento.¿Puede asegurarse que realiza un trabajo?. b) Una partícula, inicialmente en reposo, se desplaza bajo la acción de una fuerza conservativa. ¿Aumenta o disminuye su energía potencial?. a) La afirmación no es cierta. Efectivamente el trabajo viene dado por un producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento. Ello implica que debe no ser nula ni la fuerza ni el desplazamiento ni que formen un ángulo de 90º (cos 90º = 0) para que haya un trabajo. Pudiera ocurrir que el ángulo sea de 90º con lo que el trabajo de dicha fuerza sería nulo. b) Si estaba en reposo no tenía energía cinética inicial, la cual aumenta al desplazarse, por lo que su energía potencial debe disminuir ya que la energía mecánica debe permanecer constante. EJERCICIO 1-3-7 Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le imprime la velocidad necesaria. Se desprecia la fricción con el aire. a) Explique los cambios energéticos del objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza una altura h y calcule su energía mecánica a una altura de 1000 m. b) ¿Qué velocidad inicial sería necesaria para que alcanzara dicha altura?. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg a) Inicialmente se le aporta energía cinética que se anula cuando alcanza la altura máxima. Esta disminución de la energía cinética supone una ganancia de igual cantidad en la energía potencial, de manera que la energía mecánica permanece constante. Así pues, la energía mecánica en su máximo de altura coincide con su energía potencial en ese lugar, es decir: Em = Epf = - GMm/(RT+h) = - 6,67x10 -11x6x1024x500/(6400000+1000) = -3,126.1010 J b) Se resuelve aplicando el principio de conservación de la energía mecánica: Emi = Emf  Eci + Epi = Ecf + Epf  ½ 500 vi2 - 6,67x10 -11x6x1024x500/6400000 = = -3,126.1010 J  vi = 150 m/s EJERCICIO 1-3-8 La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre. Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800 N cae desde una altura de 50 m sobre la superficie lunar. a) Realice el balance de energía en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuerpo llega a la superficie. b) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna. g =10 ms-2 a) Por los datos del problema se entiende que el cuerpo parte del reposo y cae, por tanto su energía cinética inicial el cero y aumenta hasta el máximo cuando alcanza el suelo. Este Interacción gravitatoria
  14. 14. Física 2º bachillerato 14 aumento de la energía cinética supone una disminución de la energía potencial manteniéndose la energía mecánica constante. Por tanto Epi = Epf + Ecf. Por otro lado y dado que hablamos de una distancia de caída muy corta en relación al radio del planeta o satélite podemos tomar valor cero para la energía potencial en la superficie y valor mgh para una cierta altura, con lo que el balance energético se traduce en: mgh = ½ mvf2, o bien: vf = 2gh. El campo gravitatorio terrestre en la superficie es: gT = GMT/RT2 El campo gravitatorio lunar en la superficie es: gL = GML/RL2 gT MT RL2 Dividiendo ambas nos queda: = gL ML RT2 2 Sustituyendo: 10/gL = (MT x 0,25 RT2) / (0,01 MT x RT2) = 6.25  gL = 1,6 ms-2 Por lo tanto: vf =  2 x 1,6 x 50 = 12,65 m s-1 b) A partir del peso en la Tierra hallaremos la masa: m = F/g = 800/10 = 80 kg Esta masa es invariable, es decir, es la misma en la Luna. El peso en la Luna es: F = mg = 80 x 1,6 = 128 N EJERCICIO 1-3-9 a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Si consideramos la presencia de la atmósfera, ¿Qué ocurriría si lanzásemos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la velocidad de escape?. Razone la respuesta. a) La velocidad de escape es la que hay que imprimirle a un cuerpo para que escape de la interacción de otro, por ejemplo de un planeta. En realidad significa llevarlo al infinito (=lugar hipotético donde el campo gravitatorio se ha anulado). Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica tenemos: Eci + Epi = Ecf + Epf  ½ mve2 - GMm/R = 0 Donde hemos supuesto que en el infinito la velocidad es cero. Por tanto nos queda la expresión: ve =  2GM/R. b) Al considerar la presencia de la atmósfera, hay un consumo energético en el rozamiento del cuerpo que queremos lanzar con la misma, por lo que la velocidad de escape debería ser mayor que la deducida anteriormente. O dicho de otra forma, no sería suficiente la anterior por lo que no escaparía y volvería a caer en el planeta. EJERCICIO 1-3-10 a) Suponga que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra y de la Luna. Explique por qué los tiempos de caída serían distintos y calcule su relación. b) Calcule la altura que alcanzará un cuerpo que es lanzado verticalmente en la superficie lunar con una velocidad de 40 m/s. MT = 81 ML ; RT = (11/3)RL ; g =10 ms-2 a) La razón ha sido explicada en el apartado a) del ejercicio 1-3-8. Al ser distinta la gravedad también será distinta la aceleración de caída y por tanto el tiempo. Dado que el tiempo se relaciona con la altura por la ecuación del movimiento uniformemente acelerado: h = ½ gt2, será t2 = 2h/g, por lo que tT2/tL2 = (2h/gT)/(2h/gL) = gL/gT = 1,6/10 = 0,16, de donde tT/tL = 0,4. El tiempo de caída en la Tierra, como se ve, es menor que en la Luna. El valor de 1,6 se ha deducido en el ejercicio 1-3-8. Interacción gravitatoria
  15. 15. Física 2º bachillerato 15 b) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica será: ½ m 402 + 0 = 0 + m x 1,6 x h, de donde h = 500 m Donde hemos supuesto energía potencial cero en la superficie lunar y energía cinética cero en la máxima altura ya que se para. Como el recorrido es despreciable frente el radio lunar hemos aplicado la fórmula mgh para la energía potencial. EJERCICIO 1-3-11 Explique y razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula cuando se traslada desde un punto a otro es igual a la variación de su energía cinética. b) el trabajo realizado por todas las fuerzas conservativas que actúan sobre una partícula cuando se traslada desde un punto a otro es menor que la variación de su energía potencial. a) Es cierto, se conoce como el teorema de variación de la energía cinética. Efectivamente y sin importar los tipos de fuerzas que intervienen, el trabajo se obtiene a partir de la diferencia entre las energía cinéticas final e inicial. b) No es cierto. Si las fuerzas son conservativas, el trabajo coincide con la diferencia de la energía potencial y además es independiente del camino seguido. EJERCICIO 1-3-12 Un bloque de 10 kg desliza hacia abajo por un plano inclinado 30º sobre la horizontal y de longitud 2 m. El bloque parte del reposo y experimenta una fuerza de rozamiento con el plano de 15 N. a) Analice las variaciones de energía que tienen lugar durante el descenso del bloque. b) Calcule la velocidad del bloque al llegar al extremo inferior del plano inclinado. g =10 ms-2 a) Se supone que parte del reposo por lo que su energía cinética inicial es cero. Su energía potencial inicial es mgh siendo h la altura sobre la base del plano inclinado. Por tanto su energía mecánica inicial es también mgh. Esta energía se transforma en energía cinética final ya que tiene una velocidad y en un trabajo de rozamiento. La energía potencial final se ha considerado nula. En definitiva aumenta su energía cinética desde cero hasta ½ mvf2 y su energía potencial disminuye desde mgh hasta cero. En definitiva: la energía potencial inicial se ha transformado en energía cinética final y en trabajo de rozamiento (WR = FR s, siendo s el espacio recorrido). b) Con las consideraciones del apartado a) será: mgh = ½mvf2 + FR x s (ver ejercicio 1-3-3. Sustituyendo tenemos: 10 x 10 x 2 x cos 30º = ½ x 10 vf2 + 15 x 2 De donde: vf = 5,35 m s-1 EJERCICIO 1-3-13 Comente las siguientes afirmaciones: a) Un móvil mantiene constante su energía cinética mientras actúa sobre él: i) una fuerza; ii) varias fuerzas. b) Un móvil aumenta su energía potencial mientras actúa sobre él una fuerza. a) El trabajo realizado por una fuerza viene dado por W =  F . dr = Ecf - Eci Para que se mantenga la energía cinética constante, el trabajo debe ser nulo, lo cual sucede cuando la fuerza sea perpendicular al desplazamiento. También podría ser nulo en una trayectoria cíclica como podría ser el ascenso y caída de un cuerpo sometido a la gravedad por ejemplo, ya que hay una parte donde el trabajo es a favor del objeto y otra donde es en contra anulándose ambos. El hecho de que sea una sola fuerza o varias solo supone un añadido a una situación especial en la cual la resultante de esas fuerzas fuera nula con lo que el trabajo también lo sería y, en consecuencia, la energía cinética permanece invariable. Interacción gravitatoria
  16. 16. Física 2º bachillerato 16 b) Si se supone que la fuerza ejerce un trabajo aportándole energía, ésta se distribuye entre la cinética y la potencial por lo que no puede asegurarse un aumento de ésta última. EJERCICIO 1-3-14 a) ¿Qué trabajo se realiza al sostener un cuerpo durante un tiempo t? b) ¿Qué trabajo realiza la fuerza peso de un cuerpo si éste se desplaza una distancia d por una superficie horizontal?. Razone las respuestas a) Al decirse "sostener" se supone en reposo, por lo que no hay desplazamiento y, por tanto, tampoco trabajo mecánico (ver apartado a) del ejercicio 1-3-13). Podría surgir la paradoja de que entonces no habría consumo energético si una persona sostuviera durante un tiempo más o menos prolongado un cuerpo cuando en realidad sabemos que sí hay un cansancio. Lo cierto es que sí hay un desplazamiento pero en los "músculos" de esa persona que se tensan para ejercer la fuerza. b) En este caso la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares por lo que el producto escalar de ambos es cero, así que el trabajo es nulo. EJERCICIO Nº 1-3-15 Un automóvil arranca sobre una carretera recta y horizontal, alcanza una cierta velocidad que mantiene constante durante un cierto tiempo y, finalmente, disminuye su velocidad hasta detenerse. a) Explique los cambios de energía que tienen lugar a lo largo del recorrido. b) El automóvil circula después por un tramo pendiente hacia abajo con el freno accionado y mantiene constante su velocidad. Razone los cambios energéticos que se producen. a) Como parte del reposo no tiene energía cinética inicial. Su energía potencial es constante ya que mantiene la misma altura y por tanto la misma distancia al centro de la Tierra. La única energía que se le proporciona es la debida al trabajo que efectúa el motor del automóvil. Esta energía se transforma en energía cinética ya que adquiere una velocidad y en trabajo de rozamiento no solo de las ruedas con la carretera sino el debido al propio mecanismo interior del automóvil además del rozamiento con el aire. En el trayecto que mantiene la velocidad constante su energía cinética no cambia por lo que todo el aporte del trabajo del motor se invierte en rozamiento. Finalmente va perdiendo velocidad y por tanto energía cinética que también se transforma en rozamiento. b) Cuando desciende por el plano inclinado a velocidad constante mantiene su energía cinética invariable mientras que va perdiendo energía potencial que se transforma en trabajo de rozamiento independientemente de la energía que pueda seguir aportando el motor. EJERCICIO 1-3-16 a) Explique cualitativamente la variación del campo gravitatorio terrestre con la altura y haga una representación gráfica aproximada de dicha variación. b) Calcule la velocidad mínima con la que habrá que lanzar un cuerpo desde la superficie de la Tierra para que ascienda hasta una altura de 4000 km. RT = 6370 km ; g =10 ms-2 a) El campo gravitatorio viene dado por g g = GM/r2, se trata de una curva exponencial. El campo gravitatorio parte de un valor 9.8 máximo en la superficie terrestre (=9,8 N/kg) para ir disminuyendo r Interacción gravitatoria
  17. 17. Física 2º bachillerato 17 exponencialmente con la distancia hasta el valor cero que sucede en el infinito. b) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica: Eci + Epi = Ecf + Epf  ½ m vi2 - 6,67.10 -11x MT m/6370000 = = 0 - 6,67.10 -11x MT m/10370000 La masa de la Tierra la calculamos a través del campo g = GMT/RT2 MT = gRT2/G = 10 x 6370000 2 / 6,67.10 -11 = 6.1024 kg Sustituyendo y despejando en la ecuación anterior: vi = 6961,8 m/s EJERCICIO 1-3-17 Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elástico de constante k = 4000 N/m, vertical y sujeto al suelo. La altura a la que se suelta el cuerpo, medida sobre el extremo superior del resorte, es de 2 m. a) Explique los cambios energéticos durante la caída y la compresión del resorte. b) Determine la deformación máxima del resorte. g = 10 ms-2 a) Se supone que el cuerpo parte del reposo por lo que su energía cinética inicial es cero, en cambio tiene una energía potencial gravitatoria inicial mgh siendo h la altura del cuerpo medida desde el lugar donde ha comprimido al máximo al muelle. Su energía cinética final es cero ya que se para y la potencial gravitatoria también por convenio. Por tanto toda la energía potencial gravitatoria inicial se transforma en energía potencial elástica ½ kx2 siendo x la compresión del muelle. b) Teniendo en cuenta el apartado a) será mgh = ½ kx2  2 x 10 x (2+x) = ½ x 4000 x2 2000 x2 - 20 x - 40 = 0 2m h 0,147 m 20  20 2 + 4 x 2000 x 40 x= h=0 x 4000 - 0,137 m EJERCICIO 1-3-18 Una partícula se mueve bajo la acción de una sola fuerza conservativa. El módulo de su velocidad decrece inicialmente, pasa por cero momentáneamente y más tarde crece. a) Ponga un ejemplo real en el que se observe este comportamiento. b) Describa la variación de energía potencial y la de la energía mecánica de la partícula durante ese movimiento. a) El ascenso de un cuerpo sometido a la gravedad. Mientras asciende su velocidad va disminuyendo al actuar la aceleración de la gravedad en contra, se parará en su altura máxima y comenzará a caer aumentando su velocidad al tener la aceleración de la gravedad a favor. b) Mientras asciende su energía potencial va aumentando con la altura, llegará al máximo en la máxima altura y disminuirá cuando descienda. En cambio su energía mecánica permanece en todo el tiempo constante al ser una fuerza conservativa. EJERCICIO 1-3-19 Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?. Interacción gravitatoria
  18. 18. Física 2º bachillerato 18 b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida?. Razone las respuestas. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg a) El peso de meteorito será F = mg = mGMT/r 2 F = 1000 x 6,67.10 -11 x 6.1024 / (7 x 6400000) 2 = 199,4 N b) Al perder la energía cinética, toda su energía mecánica está en forma de energía potencial, parte de ella se transforma en energía cinética al llegar a la superficie terrestre donde tiene también una energía potencial residual. Por tanto : Epi = Ecf + Epf  - GMTm/(RT+h) = ½ mvf2 - GMTm/RT, que, finalmente nos lleva a la fórmula: vf = 2GMT(1/RT - 1/(RT+h), sustituyendo: vf = 2 x 6,67.10 -11 x 6.1024 (1/6400000 - 1/(7 x 6400000) = 10353,6 m/s Al ser una fuerza conservativa no depende de la trayectoria seguida. EJERCICIO 1-3-20 a) Defina los términos "fuerza conservativa" y "energía potencia" y explique la relación entre ambos. b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa, ¿cuántos términos de energía potencial hay en la ecuación de conservación de la energía mecánica de esa partícula? ¿Cómo aparece en dicha ecuación la contribución de la fuerza no conservativa?. Razone las respuestas. a) Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo no depende del camino seguido, tan solo depende de su estado inicial y su estado final, de manera que si ambos coincidieran, el trabajo sería cero como sucede en un proceso cíclico. El término relacionado con el estado inicial o final se denomina energía potencial, es una energía cuya diferencia entre ambos estados coincide con el trabajo de la fuerza conservativa. También podemos establecer una relación íntima entre la energía potencial y el lugar donde se encuentre un cuerpo dentro de un campo de fuerza. b) Hay tantos términos de energía potencial como fuerzas conservativas, en este caso serán tres. La fuerza no conservativa no se asocia a una energía potencial pero sí a un trabajo llamado disipativo que disminuye la energía mecánica global del sistema. Podemos establecer que la energía mecánica inicial es igual a la final más el trabajo disipativo. EJERCICIO 1-3-21 Comente las siguientes afirmaciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) existe una función energía potencial asociada a cualquier fuerza; b) el trabajo de una fuerza conservativa sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor si el desplazamiento se realiza a lo largo de la recta que los une. a) Es cierta la afirmación. (Ver apartado a) del ejercicio 1-3-20) b) No es cierto, el trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido. EJERCICIO 1-3-22 Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 ms-1 por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de un resorte horizontal de constante elástica 200 N/m, fijo al otro extremo. a) Analice las variaciones de energía que tienen lugar a partir del instante anterior al impacto con el resorte y calcule la máxima compresión del resorte. b) Discuta en términos energéticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera rozamiento. Interacción gravitatoria
  19. 19. Física 2º bachillerato 19 a) Cuando dice superficie lisa entendemos que no hay rozamiento, por lo tanto en todo momento su energía cinética permanece constante hasta que alcanza al muelle. La energía potencial gravitatoria permanece constante en todo momento al mantenerse el cuerpo a la misma altura. Por tanto toda la energía cinética se transforma en energía potencial elástica al comprimirse el muelle. Es decir: ½ mv2 = ½ kx2, o bien: 10 x 30 2 = 200 x2  x = 6,7 m b) Al tener rozamiento parte de la energía cinética se transforma en trabajo de rozamiento por lo que adquiere menos energía potencial elástica y el muelle se comprime menos que en el apartado a). EJERCICIO 1-3-23 Razone las respuestas a las siguientes preguntas: a) si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál será el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra?; b) ¿puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?; ¿puede ser negativa la energía potencial gravitatoria? a) Realmente lo importante es la diferencia. Por la fórmula Ep = -GMm/r se supone cero la energía potencial en el infinito mientras que en la superficie terrestre vale Epo = - GMm/RT. La diferencia es Ep - Epo = GMm/RT. Supuesto que Epo fuera cero, entonces Ep = G Mm/RT. b) Cuando la fuerza gravitatoria actúa vectorialmente en contra del desplazamiento, el trabajo resulta negativo. Por la fórmula Ep = -GMm/r se deduce que la energía potencial siempre adquiere valores negativos. EJERCICIO 1-3-24 Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética. b) la energía necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del origen de energía potencial. a) Es verdadera. Ver apartado a) del ejercicio 1-3-11. b) No es cierta la afirmación, lo que realmente importa es la diferencia de energía potencial y este valor no depende del origen elegido. EJERCICIO 1-3-25 Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x1 hasta otro punto x2, realizando un trabajo de 50 J. a) Determine la variación de energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la energía potencial de esa partícula es cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2?. b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza partiendo del reposo en x1, ¿cuál será la velocidad en x2?; ¿cuál será la variación de su energía mecánica?. a) W = Ep1 - Ep2 = 50 J; si Ep1 = 0 entonces Ep2 = - 50 J b) W = Ec2 - Ec1 = 0; ½ x 0,005 v22 - 0 = 50 J; v2 = 141,42 m/s La energía mecánica permanece constante ya que es una fuerza conservativa. Efectivamente: Em1 = Em2  Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2  0 + 0 = 50 - 50 EJERCICIO 1-3-26 Interacción gravitatoria
  20. 20. Física 2º bachillerato 20 a) ¿Se cumple siempre que el aumento o disminución de la energía cinética de una partícula es igual a la disminución o aumento, respectivamente, de su energía potencial?. Justifique la respuesta. b) Un satélite está en órbita circular alrededor de la Tierra. Razone si la energía potencial, la energía cinética y la energía total del satélite son mayor, menor o igual que las de otros satélites que siguen una órbita, también circular, pero de menor radio. a) Se cumple cuando una fuerza es conservativa ya que al ser la energía mecánica constante supone que una variación de la energía cinética supone la misma variación pero con sentido contrario en la variación de la energía potencial. Si una aumenta, la otra disminuye en igual cantidad. b) Ver ejercicio 1-1-2. El satélite de menor radio tiene más energía cinética pero menos energía potencial. Globalmente el que tenga mayor radio tendrá menos energía mecánica en cuanto a valor absoluto pero al ser ésta negativa, en realidad la tiene mayor. EJERCICIO 1-3-27 La velocidad de escape de un satélite, lanzado desde la superficie de la Luna, es de 2,37.103 m/s. a) Explique el significado de la velocidad de escape y calcule el radio de la Luna. b) Determine la intensidad del campo gravitatorio lunar en un punto de su superficie. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; ML = 7,4.1022 kg a) La velocidad de escape es la que hay que darle al cuerpo para que escape hasta el infinito. Ver apartado a) del ejercicio 1-3-9. ve = 2GM/R = 2 x 6,67.10 -11 x 7,4.10 22 / R = 2,37.10 3  R = 1757482 m b) g = GM/R2 = 6,67.10 -11 x 7,4.10 22 / (1757482) 2 = 1,6 N/kg EJERCICIO 1-3-28 Un bloque de 0,5 kg está colocado sobre el extremo superior de un resorte vertical que está comprimido 10 cm y, al liberar el resorte, el bloque sale despedido hacia arriba verticalmente. La constante elástica del resorte es 200 N/m. a) Explique los cambios energéticos que tienen lugar desde que se libera el resorte hasta que el cuerpo cae y calcule la máxima altura que alcanza el bloque. b) ¿Con qué velocidad llegará el bloque al extremo del resorte en su caída?. g = 10 ms-2 a) El sistema tiene al principio energía potencial elástica ½ kx2. No tiene energía cinética ya que está en reposo y tampoco energía potencial gravitatoria por convenio. Cuando se libera el sistema, el muelle lanza al cuerpo hacia arriba comunicándole energía cinética (1/2 mv2) y energía potencial gravitatoria (mg x 0,1) a costa de la energía potencial elástica. Dicha energía cinética va disminuyendo con la altura hasta ser cero en la altura máxima, transformándose en energía potencial gravitatoria (mgh). Cuando comienza a caer, la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética hasta que llega a contactar de nuevo con el muelle para comprimirlo de nuevo y pasar toda la energía de nuevo a energía potencial elástica. En ausencia de rozamiento el muelle se comprime de la misma forma que al principio. ½ kx2 = mgh; ½ x 200 x 0,1 2 = 0,5 x 10 h; h = 0,2 m b) Como hemos dicho antes, al descomprimirse el muelle, su energía potencial elástica se transforma en energía cinética y en energía potencial gravitatoria por los 10 cm que asciende. Por tanto: ½ x 200 x 0,1 2 = ½ x 0,5 x v2 + 0,5 x 10 x 0,1; v = 1,41 m/s Interacción gravitatoria
  21. 21. Física 2º bachillerato 21 EJERCICIO 1-3-29 Sobre una partícula solo actúan fuerzas conservativas. a) ¿Se mantiene constante su energía mecánica?. Razone la respuesta b) Si sobre la partícula actúan además fuerzas de rozamiento, ¿cómo afectarían a la energía mecánica?. a) Sí se mantiene su energía mecánica. Es una de las características fundamentales de las fuerzas conservativas. Supone como hemos visto en ejercicios anteriores una transformación de energía cinética en energía potencial. b) Disminuye la energía mecánica si aparece una fuerza de rozamiento o disipativa ya que este tipo de fuerzas no son conservativas. EJERCICIO 1-3-30 Se deja caer un cuerpo de 0,5 kg desde lo alto de una rampa de 2 m, inclinada 30º con la horizontal, siendo el valor de la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la rampa de 0,8 N. Determine: a) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, al trasladarse éste desde la posición inicial hasta el final de la rampa. b) La variación que experimentan las energías potencial, cinética y mecánica del cuerpo en la caída a lo largo de toda la rampa. g = 10 ms-2 N a) W1 = mgsen s cos=0,5x10xsen30ºx2 xcos0º = 5 J W2 = mg cos s cos90º = 0 mgsen FR WR = FR s cos180º = 0,8x2x(-1) = -1,6 J b) Ep = 0 - mgh = - 0,5x10x2sen30º = - 5 J  mgcos Esta pérdida de energía potencial se transforma en ganancia de energía cinética más el trabajo consumido mg en el rozamiento, por tanto: 5 = Ec + 1,6, de donde Ec = 5 - 1,6 = 3,4 J La energía mecánica ha experimentado una pérdida de 1,6 J debido al rozamiento. EJERCICIO 1-3-31 a) Al desplazarse un cuerpo desde una posición A hasta otra B, su energía potencial disminuye. ¿Puede asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A?. Razone la respuesta. b) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre la superficie terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes: mgh ó - (GMTm)/(RT+h). Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qué corresponden a diferentes valores y signos. a) Se puede asegurar ese trasvase de energía potencial íntegramente en cinética si la fuerza es conservativa. b) El segundo término es rigurosamente el que corresponde a la energía potencial de un cuerpo a una cierta altura sobre la superficie terrestre. El primer término representa en realidad una variación de la energía potencial del cuerpo a una altura determinada en relación con la que tiene en la superficie. Dicha expresión se ha obtenido suponiendo despreciable la altura h frente al radio terrestre. EJERCICIO 1-3-32 Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se encuentra un bloque de 0,5 kg adosado al extremo superior de un resorte, de constante elástica 200 Interacción gravitatoria
  22. 22. Física 2º bachillerato 22 N/m, paralelo al plano y comprimido 10 cm. Al liberar el resorte, el bloque asciende por el plano hasta detenerse y, posteriormente, desciende. El coeficiente de rozamiento es 0,1. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando asciende por el plano y calcule la aceleración del bloque. b) Determine la velocidad con la que el bloque es lanzado hacia arriba al liberarse el resorte y la distancia que recorre el bloque por el plano hasta detenerse. g = 10 ms-2 N a) a = (-mgsen - mgcos)/m = (-0,5x10sen30º-0,1x0,5x10cos30º)/0,5 = -5,87 m s-2 mgsen b) ½ kx2 = ½ mv2 + mgh + FRx FR mgcos ½x200x0,12= ½x0,5v2+0,5x10x0,1sen30º+  +0,1x0,5x10cos30ºx0,1; v = 1,681 m/s mg ½ kx2 = mgh + FRx; ½x200x0,12= 0,5x10x xsen30º+ 0,1x0,5x10cos30º x; x = 0,34 m EJERCICIO 1-3-33 a) ¿Qué se entiende por fuerza conservativa?. Explique la relación entre fuerza y energía potencial. b) Sobre un bloque actúa una fuerza conservativa. ¿Cómo varía su energía potencial al desplazarse en la dirección y sentido de la fuerza? ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo al desplazarse desde un punto A hasta otro B?. Razone las respuestas a) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-20. b) Si sobre el bloque actúa una fuerza conservativa debe aumentar su energía cinética por lo que debe disminuir su energía potencial. La variación de la energía potencial mide el trabajo realizado con signo cambiado en base al apartado a). EJERCICIO 1-3-34 Un trineo de 100 kg desliza por una pista horizontal al tirar de él con una fuerza F, cuya dirección forma un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es 0,1. a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el trineo y calcule el valor de F para que el trineo deslice con movimiento uniforme. b) Haga un análisis energético del problema y calcule el trabajo realizado por la fuerza F en un desplazamiento de 200 m del trineo. g = 10 ms-2 N Fy F a) Fx - FR = 0; Fx - N= 0; Fx - (mg-Fy) = 0 Fcos30º - 0,1(100x10-Fsen30º) = 0 F = 273,2 N Fx FR mg b) La fuerza F es la que proporciona la energía al sistema. Ya que éste mantiene la misma velocidad y la misma altura, sus energías cinética y potencial no varían. Por tanto, el trabajo de la fuerza F se invierte completamente en trabajo de rozamiento. W = Fscos30º = 273,2 x 200 = 54641 J EJERCICIO 1-3-35 a) Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo de fuerzas puede definirse? ¿Por qué?. Interacción gravitatoria
  23. 23. Física 2º bachillerato 23 b) ¿Un satélite de masa m describe una órbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M. Determine la energía mecánica del satélite explicando el razonamiento seguido. a) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-20. b) Ver ejercicio 1-1-2. EJERCICIO 1-3-36 Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule: a) A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre es de 2 m s-2. b) Con qué velocidad debe lanzarse verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 ms-2 a) A partir de la fórmula para el campo gravitatorio g = GM/r2 2 = GM /r2 10 = GM/63700002 Dividiendo ambas: 0,2 = 63700002/r2; r = 14243753 m h = 14243753 - 6370000 = 7873753 m b) ½ mv2 - 6,67.10 -11 Mm/6370000 = 0 - 6,67.10 -11 Mm/6870000 Hallamos M a partir de 10 = 6,67.10 -11 M/6370000 2 ; M = 6.1024 kg, y sustituyendo en la anterior obtenemos: v = 3024 m/s. EJERCICIO 1-3-37 a) El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta tome valores negativos. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh?. b) Discuta la siguiente afirmación: "Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con la altura sobre el suelo". a) Efectivamente la energía potencial viene dada por Ep = - GMm/r por lo que toma valores negativos en cualquier lugar del espacio. El valor mgh representa en realidad una variación de la energía potencial Ep-Epo siendo Epo la energía potencial en la superficie terrestre (su valor real es -GMm/RT), pero si convenimos que este valor es cero, entonces Ep a una cierta altura sería mgh y sería positivo. Téngase en cuenta que el valor absoluto de GMm/r disminuye con la distancia pero al tener la energía potencial signo negativo, en realidad va aumentando con la altura. b) No es rigurosamente cierto, el valor de g en la expresión mgh es el que corresponde al campo gravitatorio en la superficie y se supone de valor constante para todo el tramo de altura. Esto se puede hacer siempre que h sea despreciable frente al radio terrestre. EJERCICIO 1-3-38 Un bloque de 0,2 kg está apoyado sobre el extremo superior de un resorte vertical, de constante 500 N/m, comprimido 20 cm. Al liberar el resorte, el bloque sale lanzado hacia arriba. a) Explique las transformaciones energéticas a lo largo de la trayectoria del bloque y calcule la altura máxima que alcanza. b) ¿Qué altura alcanzaría el bloque si la experiencia se realizara en la superficie de la Luna?. gT = 10 m s-2 ; MT = 102 ML ; RT = 4 RL Interacción gravitatoria
  24. 24. Física 2º bachillerato 24 a) Al principio solo tiene energía potencial elástica (½kx2) h ya que su energía cinética es cero al estar en reposo y la energía potencial gravitatoria es cero por convenio. Esta h=0 x energía se convierte en energía potencial gravitatoria (mgh) siendo la cinética también cero cuando adquiere la altura máxima. Por tanto: ½ kx2 = mgh ½ x 500 x 0,2 2 = 0,2 x 10 h; h = 5 m b) Primero tenemos que calcular el valor de g en la superficie lunar, para ello: ecuación de g en la superficie terrestre: 10 = G MT/RT2 = G x 10 2ML/(16RL2) = 6,25 G ML/RL2 = 6,25 gL por tanto gL = 10/6,25 = 1,6 N/kg 2 y sustituyendo en la ecuación del apartado a): ½ x 500 x 0,2 = 0,2 x 1,6 h; h = 31,25 m EJERCICIO 1-3-39 a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m' depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué?. b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desde una posición A hasta otra B?. Razone la respuesta. a) La energía potencial entre ambos cuerpos viene dada por - Gmm'/r. Esto implica que el valor absoluto disminuye al aumentar la distancia pero al tener signo negativo en realidad aumenta. b) Representa el trabajo con signo cambiado, es decir si aumenta la energía potencial es necesario ejercer sobre el cuerpo un trabajo, y viceversa. Téngase en cuenta la ecuación W = EpA - EpB. EJERCICIO 1-3-40 Un satélite artificial de 500 kg gira alrededor de la Luna en una órbita circular situada a 120 km sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. a) Con los datos del problema, ¿se podría calcular la masa de la Luna?. Explique como lo haría. b) Determine la energía potencial del satélite cuando se encuentra en la órbita citada. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RL = 1740 km a) La condición que se cumple en la órbita es fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta, es decir: GMm/r2 = mv2/r, simplificando queda: GM = v2r = (2r/T)2r = 42r3/T2. Al disponer de los datos G, r y T, podemos deducir la masa de la Luna: M = (42r3/T2)/G = (42 x 1860000 3/ 7200 2)/6,67.10 -11 = 7,3.10 22 kg. b) Ep = - GMm/r = - 6,67.10 -11 x 7,3.10 22 x 500 / 1860000 = - 1,31.10 9 J EJERCICIO 1-3-41 El satélite de investigación europeo (ERS-2) sobre vuela la Tierra a 800 km de altura. Suponga su trayectoria circular y su masa de 1000 kg. a) Calcule de forma razonada la velocidad orbital del satélite. b) Si suponemos que el satélite se encuentra sometido únicamente a la fuerza de gravitación debida a la Tierra, ¿por qué no cae sobre la superficie terrestre?. Razone la respuesta. Interacción gravitatoria
  25. 25. Física 2º bachillerato 25 RT = 6370 km ; g =10 ms-2 a) Teniendo en cuenta la condición indicada en el apartado a) del ejercicio 1-3-40 será: GM = v2r; v = GM/r = 6,67.10 -11 x M/7170000 Vamos a calcular la masa de la Tierra a partir del valor del campo g = GM/R2 M = gR2/G = 10 x 6370000 2/6,67.10 -11 = 6.10 24 kg sustituyendo en la ecuación anterior resulta v = 7471 m/s b) Podemos interpretar este hecho de varias formas. Podríamos decir que en realidad sí cae, de hecho describe una curva de caída cuya trayectoria es circular y paralela a la superficie terrestre por lo que mantiene su altura. Por tanto, si se entiende la palabra "cae" como acercamiento hacia el centro de la Tierra entonces sí podemos decir que efectivamente no cae. No es riguroso decir que no cae porque se produce un equilibrio entre la fuerza de gravitación y la fuerza centrífuga cuyo sentido es de alejamiento de la Tierra ya que esta fuerza no es real. EJERCICIO 1-3-42 Un satélite artificial en órbita geoestacionaria es aquél que, al girar con la misma velocidad angular de rotación que la Tierra, se mantiene sobre la misma vertical. a) Explique las características de esa órbita y calcule su altura respecto a la superficie de la Tierra. b) Razone qué valores obtendría para la masa y el peso de un cuerpo situado en dicho satélite sabiendo que su masa en la Tierra es de 20 kg. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg a) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-40. Aplicando la condición GM = v2r = (2r/T)2r = 42r3/T2 El periodo es de 86400 s ya que tiene que coincidir con un día que es el periodo de rotación de la Tierra en torno a su eje. Por tanto r = 3GMT2/(42) = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 86400 2/(42) = 4,23.10 7 m 3 b) La masa del cuerpo es un valor constante y, por tanto, sigue siendo de 20 kg. El peso sería F = GMm/r2 = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 20 /(4,23.10 7)2 = 4,47 N EJERCICIO 1-3-43 Un satélite artificial de 1000 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 12800 km de radio. a) Explique las variaciones de energía cinética y potencial del satélite desde su lanzamiento en la superficie terrestre hasta que alcanzó su órbita y calcule el trabajo realizado. b) ¿Qué variación ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie terrestre? G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg a) Se le imprimió una energía cinética inicial ½ mv12 que ha ido disminuyendo hasta ½mv22 siendo v2 su velocidad en la órbita. Inicialmente tenía también una energía potencial Ep1 = - GMm/RT para ir aumentando hasta Ep2 = - GMm/r siendo r el radio de la órbita. Se cumple el principio de conservación de la energía mecánica, es decir, la suma de las energías cinética y potencial es constante. El trabajo podemos deducirlo a partir de W = Ep1 - Ep2 = - GMm/RT + GMm/r = GMm(1/r - 1/RT) = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 1000 (1/12800000 - 1/6400000) = -3,12.10 10 J El valor negativo nos indica que se ha tenido que ejercer un trabajo a favor del cuerpo. b) El peso en la superficie terrestre es: F1 = GMm/RT2 F1 = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 1000 /6400000 2 = 9770 N Interacción gravitatoria
  26. 26. Física 2º bachillerato 26 y en la órbita: F2 = GMm/r2 = 6,67.10 -11 x 6.10 24 x 1000 /12800000 2 = 2442,6 N El porcentaje de disminución del peso ha sido: (9770-2442,6)x100/9770 = 75% EJERCICIO 1-3-44 Los transbordadores espaciales orbitan en torno a la Tierra a una altura aproximada de 300 km, siendo de todos conocidos las imágenes de astronautas flotando en su interior. a) Determine la intensidad del campo gravitatorio a 300 km de altura sobre la superficie terrestre y comente la situación de ingravidez de los astronautas. b) Calcule el periodo orbital del transbordador. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6.1024 kg a) g = GM/r2 = 6,67.10 -11 x 6.10 24 / 67000002 = 8,915 m/s2 Con respecto a la situación de ingravidez ver apartado b) del ejercicio 1-6. b) Ver apartado a) del ejercicio 1-52. T = 42r3/(GM) = 42 x 6700000 3 /(6,67.10 -11 x 6.10 24 ) = 5446,95 s EJERCICIO 1-3-45 a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, determine la velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria, ¿con qué periodo de revolución y a qué altura debe hacerlo?. a) Para que salga de la influencia del planeta hay que llevarlo desde la superficie hasta el infinito. Se le debe imprimir una energía cinética ½ mve2 siendo ve la velocidad de escape. Además tiene una energía potencial inicial - GMm/R siendo R el radio del planeta. La energía cinética final es cero ya que no tendría sentido suponerle alguna velocidad en el infinito y la energía potencial final es cero al ser la distancia infinita. Por tanto y aplicando el principio de conservación de la energía mecánica será: ½ mve2 - GMm/R = 0, de donde ve = 2GM/R. b) Ver ejercicio 1-3-42. El periodo de revolución debe ser el de rotación del planeta en torno a su eje. El radio será r = GMT2/(42) 3 EJERCICIO 1-3-46 Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. a) Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca razonadamente su expresión. b) Conociendo el radio de la órbita y su periodo, ¿podemos determinar las masas de la Tierra y del satélite?. Razone la respuesta. a) Velocidad orbital es la que tiene justamente en esa órbita y debe verificar la ecuación GMm/r2 = mv2/r de donde v = GM/r. b) Como v = 2r/T, podemos deducir v conociendo r y T, y sustituyendo en la ecuación de la velocidad anterior podemos calcular M conociendo además G. Lo que no podemos determinar es la masa del cuerpo m ya que se suprime en la ecuación de la órbita. EJERCICIO 1-3-47 Un satélite de 200 kg describe una órbita circular, de radio R = 4.106 m, en torno a Marte. a) Calcule la velocidad orbital y el periodo de revolución del satélite. Interacción gravitatoria
  27. 27. Física 2º bachillerato 27 b) Explique cómo cambiarían las energías cinética y potencial del satélite si el radio de la órbita fuera 2R. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ; MMarte = 6,4.1023 kg a) Teniendo en cuenta lo dicho en el ejercicio 1-3-46: v = 6,67.10 -11 x 6,4.10 23 /4.10 6 = 3266,8 m/s T = 2r/v = 2 x 4.10 6 / 3266,8 = 7693,38 s b) Al ser Ep = - GMm/r y al doblarse el radio la energía potencial tendrá la mitad del valor absoluto pero en realidad aumenta por el signo negativo. Elevando al cuadrado la ecuación de la velocidad del apartado anterior tenemos v2 = GM/r y siendo Ec = ½ mv2, significa que al aumentar el radio al doble disminuirá v2 a la mitad y, por tanto, también la energía cinética. EJERCICIO 1-3-48 Demuestre, razonadamente, las siguientes afirmaciones: a) a una órbita de radio R de un satélite le corresponde una velocidad orbital y característica. b) la masa M de un planeta puede calcularse a partir de la masa m y del radio orbital R de uno de sus satélites. a) Ver ejercicio 1-3-46. Efectivamente hay una relación entre ambas magnitudes: GMm/r2 = mv2/r. b) Teniendo en cuenta la ecuación anterior y v = 2r/T se necesita el periodo y el valor de la constante G. La masa m del satélite no influye ya que se suprime en la condición de la órbita. EJERCICIO 1-3-49 Un satélite artificial de 400 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. A dicha altura el valor de la gravedad es la tercera parte del valor en la superficie de la Tierra. a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en órbita y calcule su energía mecánica. b) determine el periodo de la órbita. g = 10 ms-2 ; RT = 6,4.106 m a) No hay que realizar ningún trabajo ya que éste es la diferencia de la energía potencial entre dos puntos cualesquiera de la órbita y como la distancia permanece constante ambas energías potenciales son iguales por lo que su variación es nula y, consecuentemente, también el trabajo. La energía mecánica sería: Em = ½ mv2 - GMm/r, pero al cumplirse GMm/r2 = mv2/r o bien GMm/r = mv2 y sustituyendo en la primera ecuación será: Em = - ½ GMm/r o bien Em = - ½ mv2. b) Ver apartado a) del ejercicio 1-3-44. T = 42r3/(GM) = 42 x (6,4.10 6 + h)3/(GM) Por otro lado y teniendo en cuenta la fórmula para el campo: g = GM/r2 en la superficie terrestre: 10 = GM/(6,4.106)2 (ecuación *) y a una altura h: 10/3 = GM/(6,4.106 + h)2 Dividiendo ambas ecuaciones: 3 = (6,4.106 + h)2 / (6,4.106)2, de donde h = 4,685.106 m De la ecuación * deducimos GM = 4,096.10 14 T = 42 x (6,4.10 6 +4,685.10 6)3/(4,096.1014) = 11457,86 s. Interacción gravitatoria
  28. 28. Física 2º bachillerato 28 EJERCICIO 1-3-50 La nave espacial Apolo 11 orbitó alrededor de la Luna con un periodo de 119 minutos y a una distancia media del centro de la Luna de 1,8.106 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme: a) determine la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave. b) ¿cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el doble?. Razone la respuesta. G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 a) GMm/r2 = mv2/r; GM = v2r = 42r3/T2 6,67.10 -11 M = 42 x (1,8.106)3/(119x60)2, de donde M = 6,77.10 22 kg v = 2r/T = 2 x 1,8.10 6/7140 = 1584 m/s b) Como se ve en la ecuación anterior, la masa m del satélite se suprime por lo que no afecta. EJERCICIO 1-3-51 (SELECTIVIDAD 2005) Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de atracción hacia la Tierra a lo largo de media órbita?. c) Si la órbita fuera elíptica, ¿cuál sería el trabajo de esa fuerza a lo largo de una órbita completa?. f a) Al ser el trabajo W = i F.dr, como la fuerza es perpendicular al desplazamiento será W = f F.dr.cos90º = 0. i También podríamos razonarlo a partir de W = Epi - Epf siendo ambas iguales a F dr –GMTm/r. b) Al ser una fuerza conservativa, el trabajo en un ciclo cerrado es cero. Es lógico ya que la energía potencial inicial y final coinciden. EJERCICIO 1-3-52 (SELECTIVIDAD 2005) Con un arco se lanza una flecha de 20 g, verticalmente hacia arriba, desde una altura de 2 m y alcanza una altura máxima de 50 m, ambas sobre el suelo. Al caer, se clava en el suelo una profundidad de 5 cm. a) Analice las energías que intervienen en el proceso y sus transformaciones. b) Calcule la constante elástica del arco (que se comporta como un muelle ideal), si el lanzador tuvo que estirar su brazo 40 cm, así como, la fuerza entre el suelo y la flecha al clavarse. g = 10 m s -2 a) Vamos a suponer que la energía potencial gravitatoria fuera cero en el suelo. La flecha tiene inicialmente una energía potencial gravitatoria (mgho) y una energía potencial elástica ( ½ kx2), la suma de las dos sería la energía mecánica inicial. Cuando llega a su altura máxima solo tiene energía potencial gravitatoria (mghmax) de manera que mgho + ½ kx2 = mghmax (ecuación *). Cuando se clava en el suelo tiene solo una energía potencial gravitatoria (mghf) siendo hf negativa y ha habido una pérdida de energía en forma de trabajo de rozamiento (FRs) siendo s la profundidad con que se ha clavado. O sea: Emi = mghf + FRs (ecuación **). b) ecuación *: 0,02 x 10 x 2 + ½ k x 0,42 = 0,02 x 10 x 50 = 10 = Emi de donde sale: k = 120 N/m ecuación **: 10 = 0,02 x 10 x (-0,05) + FR x 0,05; FR = 200,2 N Interacción gravitatoria
  29. 29. Física 2º bachillerato 29 EJERCICIO 1-3-53 (SELECTIVIDAD 2005) Un bloque de 1 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal y choca contra el extremo de un muelle horizontal, de constante elástica 200 N m-1, comprimiéndolo. a) ¿Cuál ha de ser la velocidad del bloque para comprimir el muelle 40 cm?. b) Explique cualitativamente cómo variarían las energías cinética y potencial elástica del sistema bloque-muelle, en presencia del rozamiento. g = 10 m s-2 v a) Emi = Emf inicial Eci + Epi = Ecf + Epf Epg = 0 ½ mvi2 + 0 = 0 + ½ kx2 mvi2 = kx2 x 1 x vi2 = 200 x 0,4 2 vi = 5,66 m/s final Epg = 0 b) Al existir rozamiento, parte de la energía cinética inicial se gasta en el trabajo de rozamiento. Esto significa que si se quiere comprimir el muelle 40 cm se requiere una energía cinética mayor que en el apartado a) y, en consecuencia, una velocidad también mayor. En otras palabras, que si el aumento de la energía potencial elástica es el mismo, la disminución de la energía cinética es mayor; o si la disminución de la energía cinética es la misma, el aumento de la energía potencial elástica es menor. EJERCICIO 1-3-54 (SELECTIVIDAD 2005) a) Defina energía potencial a partir del concepto de fuerza conservativa. b) Explique por qué, en lugar de energía potencial en un punto, deberíamos hablar de energía potencial entre dos puntos. Ilustre su respuesta con algunos ejemplos. a) Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo coincide con la menos variación de la energía potencial siendo independiente del camino seguido. Ver ejercicio 1-3-20. b) Justamente por lo indicado en el apartado a), la energía potencial entre dos puntos representa el trabajo para desplazar un cuerpo entre ellos. Cuando decimos por ejemplo que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo a una distancia de la Tierra r es – GMTm/r, estamos indicando que éste es el valor para llevar un cuerpo desde ese lugar hasta el infinito. Cuando decimos que la energía potencial de un cuerpo en las proximidades de la superficie terrestre es mgh estamos indicando que esa es la energía que deberíamos comunicarle para elevarlo una altura h. Siempre está referida a la energía o, mejor dicho, diferencia de energía potencial entre dos puntos. EJERCICIO 1-3-55 (SELECTIVIDAD 2005) Dibuje en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M. a) Si una masa m está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Por qué? b) Si una masa m está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, ¿aumenta o disminuye la energía potencial? Razone la respuesta. a) Se puede explicar de dos formas: Interacción gravitatoria
  30. 30. Física 2º bachillerato 30 - la energía potencial de un cuerpo m situado a una distancia r del cuerpo M es Ep = - GMm/r, por tanto, si r disminuye, el valor absoluto de Ep aumenta pero al tener signo negativo en realidad disminuye. - si un cuerpo m se abandonara en el punto A se aceleraría hacia B debido a la atracción gravitatoria del M cuerpo M, por tanto aumenta su velocidad y su energía cinética. Al ser una fuerza conservativa, implica que su energía potencial disminuye. B A M b) Si la distancia a M es la misma, la energía potencial no cambia por la propia definición matemática Ep = - GMm/r. Los puntos A y C pertenecen a lo que se denomina superficie equipotencial. EJERCICIO 1-3-56 (SELECTIVIDAD 2005) Una partícula parte de un punto sobre un plano inclinado con una cierta velocidad y asciende, deslizándose por dicho plano inclinado sin rozamiento, hasta que se detiene y vuelve a descender hasta la posición de partida. a) Explique las variaciones de energía cinética, de energía potencial y de energía mecánica de la partícula a lo largo del desplazamiento. b) Repita el apartado anterior suponiendo que hay rozamiento. a) Inicialmente tiene una energía cinética que va disminuyendo hasta anularse cuando adquiere su máxima altura. Esta energía se va transformando en una ganancia de energía potencial gravitatoria mientras asciende. Cuando desciende, la energía potencial gravitatoria disminuye y se transforma en una ganancia de energía cinética. Cuando el cuerpo pasa por el punto de salida la energía cinética inicial se ha recuperado. b) Si hay rozamiento se produce una pérdida energética tanto en el ascenso como en el descenso en forma de trabajo de rozamiento. Esto implica que la ganancia de energía potencial cuando asciende es menor y la recuperación en forma de energía cinética cuando desciende también es menor que en el apartado a) por lo que pasará por el punto de partida con una energía cinética menor que la inicial y, en consecuencia, también menor velocidad. EJERCICIO 1-3-57 (SELECTIVIDAD 2005) Un bloque de 500 kg asciende a velocidad constante por un plano inclinado de pendiente 30º, arrastrado por un tractor mediante una cuerda paralela a la pendiente. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre el bloque y calcule la tensión de la cuerda. b) Calcule el trabajo que el tractor realiza para que el bloque recorra una distancia de 100 m sobre la pendiente. ¿Cuál es la variación de energía potencial del bloque?. g = 10 m s-2 N a) Según la ley de Newton: T = Px + FR = mgsen + mgcos = T = mg(sen + cos) = = 500 x 10 (sen30º + 0,2 cos30º) = Px = 3366 N b) W = T s = 3366 x 100 = 336600 J FR Py P Interacción gravitatoria

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