PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALES

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PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALES

  1. 1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARÍTMICAS PROF. HÉCTOR GALICIA MUÑOZ EJEMPLO. LA VIDA MEDIA DEL ESTRONCIO 90, ES DE 25 AÑOS. ESTO SIGNIFICA QUE LA MITAD DE CUALQUIER CANTIDAD DADA DE ESTRONCIO 90 SE DESINTEGRARÁ EN 25 AÑOS. A) SI UNA MUESTRA DE ESTRONCIO 90 TIENE UNA MASA DE 24 mg, ENCUENTRE UNA EXORESIÓN PARA LA MASA m(t) QUE QUEDA DESPUÉS DE t AÑOS. B)ENCUENTRE LA MASA RESTANTE DESPUÉS DE 40 AÑOS. SOLUCIÓN: −t A) m( t ) = 24 • 2 25 −40 B) m( 40) = 24 • 2 25 = 7.92 mg EJEMPLO. EN CONDICIONES IDEALES, SE SABE QUE CIERTA POBLACIÓN DE BACTERIAS SE DUPLICA CADA 3 HORAS. SUPONGA QUE PRIMERO HAY 100 BACTERIAS. A) ¿CUÁL ES EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DEPUÉS DE 15 HORAS? B) ¿CUÁL ES EL TAMAÑO DESPUÉS DE t HORAS? C) ESTIME EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DESPUÉS DE 20 HORAS SOLUCIÓN: 15 N ( 15) = 100 • 2 3 A) N (15) = 100 • 25 N (15) = 3200 BACTERIAS t B) N ( t ) = 100 • 2 3 20 ( ) C) N 20 = 100 • 2 3 N (20) = 10159 BACTERIAS
  2. 2. EJEMPLO SI UNA POBLACIÓN DE BACTERIAS COMENZÓ CON 100 Y SE DUPLICA CADA TRES HORAS, LA CANTIDAD DE EJEMPLARES DESPUÉS DE t t HORAS ES N = f ( t ) = 100 • 2 3 A) ¿CUÁNDO HABRÁ 50000 EJEMPLARES? SOLUCIÓN: t 50000 = 100 • 2 3 t ln 50000 = ln 100 • 2 3 t ln 50000 = ln 100 + ln 2 3  ln 50000 − ln 100  t = 3   ln 2  t = 26.897 hrs. EJEMPLO: EN ENERO DEL 2000 ADQUIRISTE UN AUTO EN $100000. SI CADA AÑO DISMINUYE 13% SU VALOR INICIAL, ¿CUÁNTO VALDRÁ EN EL AÑO 2009? SOLUCIÓN: v( t ) = 100000 • ( 0.87) t v( 9) = 100000 • ( 0.87) 9 v( 9) = $28554.4 EJEMPLO: SI INVIERTES $1500 EN UNA CUENTA BANCARIA QUE PROPORCIONA 23% DE INTERÉS ANUAL A PLAZO FIJO DE 5 AÑOS. ¿CUÁL ES EL MONTO QUE RECIBIRÁS AL CONCLUIR EL PLAZO DEL DEPÓSITO? SOLUCIÓN: v( t ) = 1500(1 + i ) t v( 5) = 1500( 123) 5 . v( 5) = $4222.96
  3. 3. EJEMPLO: UN ALMACÉN DE APARATOS ELECTRODOMÉSTICOS LIQUIDA MERCANCÍA DE EXHIBICIÓN CON LIGEROS DETERIOROS, MEDIANTE EL SISTEMA DE REDUCIR CADA AÑO 35% EL PRECIO DE ESTA MERCANCÍA QUE VA QUEDANDO ALMACENADA. SI COMPRAS UN REFRIGERADOR ALMACENADO TRES AÑOS, CON UN PRECIO INICIAL DE $12455, ¿CUÁNTO PAGARÁS POR ÉL? SOLUCIÓN: v( t ) = 12445 • ( 1 − 0.35) t v( t ) = 12445 • ( 0.65) t v( 3) = 12445 • ( 0.65) 3 v( 3) = $3417.70 EJEMPLO: SI UN CUARTO DE JUGO DE NARANJA CONTIENE 200 mg DE VITAMINA C Y ÉSTA SE OXIDA A RAZÓN DE 12.5 mg CADA MINUTO, ¿CUÁNTOS mg DE VITAMINA HABRÁ EN EL JUGO SI LO CONSUMES DESPUÉS DE TRANSCURRIDOS 35 MINUTOS DESDE SU ELABORACIÓN? SOLUCIÓN: t  12.5  O( t ) = 200 • 1 −   200  O( t ) = 200 • ( 0.9375) t O( 35) = 200 • ( 0.9375) 35 O( 35) = 20.89 mg EJEMPLO: EN UNA CIUDAD, DE 9000 HABITANTES SE ESPARCE UN RUMOR DE MODO QUE CADA HORA SE DUPLICA LA CANTIDAD DE PERSONAS QUE SE ENTERAN DEL MISMO. ¿CUÁNTAS PERSONAS CONOCERÁN EL RUMOR AL CABO DE 12 HORAS? SOLUCIÓN: N ( t ) = 2t N ( t ) = 212 N ( t ) = 4096 PERSONAS
  4. 4. EJEMPLO: SI DEPOSITAS $100000 EN UNA CUENTA BANCARIA QUE TE PRODUCE INTERESES COMPUESTOS A 15% ANUAL. CALCULA EL SALDO EN TU CUENTA AL CABO DE TRES AÑOS, SI LOS INTERESES SE CAPITALIZAN CONTINUAMENTE. SOLUCIÓN: v( t ) = 100000 • e 0.15( t ) v( 3) = 100000 • e 0.15( 3) v( 3) = $156831.22 EJEMPLO: ¿CUÁNTO TIEMPO DEBES DEJAR $25000 EN UNA CUENTA QUE CAPITALIZA CONTINUAMENTE INTERESES A 18% ANUAL, PARA OBTENER $50000? SOLUCIÓN: 50000 = 25000 • e 0.18t ln 50000 = ln 25000 • e 0.18t ln 50000 = ln 25000 + ln e 0.18 t ln 50000 = ln 25000 + 018t ln e . ln 50000 − ln 25000 t= 018 . t = 385 .

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