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  • 1. Centro de Comptência CRIE Escola Superior de Educação de Setúbal G EOGEBRA – UM PERCURSO INICIAL João Torres jtorres@ese.ips.pt José Duarte jaduarte@ese.ips.pt Fevereiro de 2008
  • 2. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -1- Conteúdo 1 Sobre este documento 2 2 Soma dos ângulos internos de um triângulo 3 3 Construção de polígonos regulares 6 3.1 Construção de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpendiculares 6 3.2 Construção de um quadrado utilizando rotações . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Valor de π 11 5 Teorema de Pitágoras 12 6 Relações geométricas em triângulos (a ilha Triangular) 14 7 Estudo de famílias de funções 16 Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 3. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -2- 1 Sobre este documento Este documento não pretende ser um guia exaustivo do programa. Trata-se ape- nas de uma compilação da resolução passo-a-passo de desafios elementares de modo a explorar algumas das potencialidades e ferramentas do programa. Destina-se essen- cialmente a professores que nunca tenham utilizado nenhum programa de geometria dinâmica ou que, conhecendo outros, queiram testar o Geogebra. A passagem pelos desafios propostos deveria permitir descobrir algumas das fun- cionalidades do programa autonomamente, de modo a possibilitar a compreensão e elaboração de desafios mais arrojados. Cada vez que seja utilizada uma ferramenta, ou procedimento, pela primeira vez o processo será ilustrado por uma figura. Sempre que esse procedimento, ou algum muito parecido, já tenha sido ilustrado partiremos do principio que não há necessi- dade de o voltar a ser e apontaremos apenas para a figura onde foi o procedimento foi utilizado pela primeira vez, mesmo que se trate de uma resolução anterior. Assim aconselha-se que a resolução sequencial dos desafios propostos. Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 4. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -3- 2 Soma dos ângulos internos de um triângulo 1. Esconda o sistema de eixos Fig. 1 ; 2. defina um triângulo traçando três segmentos de recta Fig. 2 ; 3. peça as medidas dos ângulos internos do triângulo Fig. 3 . O Geogebra atribui automaticamente uma letra grega a cada um dos ângulos. 4. calcule a soma dos três ângulos Fig. 4 . Pode ver agora a variável soma na barra de álgebra Fig. 5 . 5. represente no ecrã, junto ao triângulo a soma dos ângulos internos Fig. 6 . 6. arraste os pontos, alterando o triângulo. Verifique que a soma dos ângulos inter- nos se mantém. Figura 1: Esconder Eixos de coordenadas – desactive a opção real- Figura 2: Para traçar um segmento de recta escolha a ferramenta çada na figura. Neste menu pode ainda definir se pretende evidenciada e faça clique no ecrã para definir um ponto, ver ou um fundo quadriculado, a janela de álgebra, etc arraste e faça um segundo clique. Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 5. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -4- Figura 3: Seleccione a ferramenta em destaque e aponte para os 3 Figura 4: Para definir uma variável (soma) que escreva na linha de pontos que definem o ângulo entrada soma=α + β + γ. Para obter as letras gregas utilize a caixa assinalada na figura. Figura 5: Em destaque a o resultado da soma Figura 6: Utilize a ferramenta em destaque para inserir texto na janela do Geogebra. Pode juntar várias cadeias de texto separando-as pelo sinal de “+”. Neste caso “Soma=α + β + γ =” será texto enquanto que a segunda vez que apa- rece a palavra soma será substituída pelo valor da variável definida anteriormente, uma vez que não se encontra entre ” “. Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 6. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -5- Figura 7: Para arrastar os pontos deve seleccionar a ferramenta em destaque (seta). Caso contrário, continuará a utilizar a última ferramenta que tinha utilizado Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 7. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -6- 3 Construção de polígonos regulares O Geogebra tem uma ferramenta que permite construir polígonos regulares, que utilizaremos adiante, bastando definir um dos lados e indicar qual o número de lados do polígono. Pode, no entanto, ser interessante pedir aos alunos que construam esses polígonos obedecendo às suas propriedades. 3.1 Construção de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpen- diculares 1. Esconda os de eixos Fig. 1 ; 2. defina um segmento de recta AB Fig. 2 3. trace uma recta perpendicular ao segmento de recta que passe pelo ponta A Fig. 8 ; 4. construa uma circunferência, de centro A, que passe pelo ponto B Fig. 9 ; 5. marque um dos pontos (C) de intersecção da circunferência com a recta Fig. 10 ; 6. trace uma recta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a [AB] que passe por B; 7. marque o ponto de intersecção das rectas traçadas no ponto anterior e defina os segmentos BC, CD e DA Fig. 10 ; 8. esconda a circunferência e as rectas auxiliares de que já não precisa Fig. 12 ; 9. Meça os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos do quadrado Fig. 13 10. verifique que a figura obtida tem a propriedades de um quadrado e que estas se mantêm quando arrasta um dos pontos azuis (A ou B) Fig. 7 . Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 8. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -7- Figura 8: Traçar uma recta que passa por um ponto dado e é per- Figura 9: Traçar uma circunferência definida pelo centro e um pendicular a um segmento. Seleccione a ferramenta em ponto. Seleccione a ferramenta em destaque, depois faça evidência na figura, depois, faça clique no segmento e no clique no Centro, arraste e faça clique no ponto que per- ponto. tence à circunferência Figura 10: Marcar um pontos de intersecção. Seleccione a ferra- Figura 11: Definir uma recta paralela ao segmento AB que passa menta destacada, aponte para o ponto de intersecção dos pelo ponto C. Com a ferramenta em destaque, faça clique objectos e faça clique quando estiverem ambos selecciona- sobre o segmento AB e depois sobre o ponto C dos (ficam ligeiramente mais escuros) Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 9. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -8- Figura 12: Esconder objectos. Para esconder um objecto faça clique, Figura 13: Ferramentas para obter comprimentos, distâncias e am- com o botão do lado direito, sobre o objecto e escolha a plitudes de ângulos. Para medir comprimentos basta se- opção “Exibir objecto” de modo a desactivar a sua visibi- leccionar a ferramenta e fazer clique sobre um segmento lidade ou circunferência. Pode também obter a distância entre dois pontos fazendo clique num e depois no outro. Para as amplitudes dos ângulos, seleccione a ferramenta des- tacada e, de seguida, três pontos de modo a que o vértice seja o segundo ponto a ser apontado. Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 10. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -9- Figura 14: Quadrado Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 11. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -10- 3.2 Construção de um quadrado utilizando rotações 1. Definina um segmento de recta AB Fig. 2 ; 2. obtenha um ponto (C) através de um rotação de 90o do ponto B em torno do ponto A Fig. 15 ; 3. obtenha o último vértice do quadrado (D) por rotação, no sentido inverso, do ponto A em torno do ponto B; 4. una os vértices obtidos e verifique que se trata de um quadrado que mantém as propriedades quando arrasta os pontos A ou B Fig. 7 . Estes processo pode ser utilizado para obter qualquer polígono regular. Os alu- nos podem ser desafiados investigar o ângulo da rotação para cada um dos polígonos regulares, relacionando-o com o número de lados. Podemos também fazer as construções partir de uma circunferência, encontrando as imagens da rotação de um ponto em torno do centro. Figura 15: Rodar um objecto com centro num ponto. Seleccione a Figura 16: Definir os parâmetros e sentido da rotação ferramenta em destaque na e depois faça clique no ponto a rodar e no centro da rotação. Na caixa que surge escreva o número de graus que o ponto deve rodar e termine com “aplicar”; Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 12. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -11- 4 Valor de π 1. Comece por representar uma circunferência Fig. 9 ; 2. represente o seu diâmetro • trace uma semi-recta que passe por um ponto da circunferência e pelo seu Centro Fig. 17 ; • Marque o segundo ponto de intersecção da semi-recta com a circunferência Fig. 10 ; • represente o diâmetro da circunferência e esconda a semi-recta de que já não precisa Fig. 12 ; 3. peça as medidas do perímetro e do diâmetro da circunferência Fig. 13 4. calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência, definindo uma variável de nome “razao” Fig. 18 ; 5. a variável “razao” aparece agora na janela álgebra e, como seria de esperar, o seu valor é igual a π. Pode aumentar o número de casas decimais no menu opções. Figura 17: Definir uma semi-recta. Com a ferramenta em destaque Figura 18: Na linha de entrada escreva “ra- seleccionada, faça clique no ponto que define a extremi- zao=Circunferencia[c]/b”. Circunferência é um dade da semi-recta e depois num outro ponto por onde ela dos comandos do Geogebra que nos devolve o perímetro deverá passar de uma circunferência. Repare o programa completa o nome do comando quando escrevemos as três primeiras letras. Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 13. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -12- 5 Teorema de Pitágoras 1. Esconda os eixos Fig. 1 ; 2. desenhe um triângulo rectângulo. Um processo possível é começar por definir um segmento de recta AB; Fig. 2 depois trace uma recta perpendicular ao segmento AB que passe pelo ponto B. Para isso, depois de escolher a ferramenta em evidência na Fig. 8 faça clique no ponto B e no segmento de recta AB. 3. defina um ponto sobre essa recta e defina os segmentos de recta [AC] e [BC]. Podemos agora esconder a recta auxiliar b, que serviu apenas para garantir o ângulo ABC é recto e assim o triângulo ABC rectângulo. 4. construa quadrados sobre cada um dos lados do triângulo rectângulo utilizando a ferramenta em evidência na Fig. 19 . 5. torne visível a área dos quadrados (Ferramenta em evidência na Fig. 20 ). 6. defina uma nova variável que some as áreas dos dois quadrados construídos so- bre os catetos. Repare, na janela de álgebra, que o valor de cada área foi associado a uma va- riável de nome polyn em que n varia de 1 a 3. Assim temos a variável poly1, poly2 e poly3 correspondentes às áreas dos três polígonos (no nosso caso quadra- dos) que pedimos. Para somarmos as duas áreas escrevemos na linha de entrada Soma=poly2+poly3 Fig. 21 . Podemos agora comparar o valor obtido com o correspondente à área do quadrado maior construído sobre a hipótenusa. Tente a construção com outros polígonos regu- lares como triângulos equiláteros e hexágonos regulares. Experimente também com semi-cículos. Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 14. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -13- Figura 19: Construção de polígonos regulares. Para construir po- Figura 20: Mostrando áreas. Seleccione a ferramenta em destaque e lígonos regulares com esta ferramenta basta definir um aponte para objecto de que quer calcular a área segmento de recta apontando para dois pontos e depois indicar o número de lados polígono. Figura 21: Somando duas áreas. Na linha de entrada de comandos escreva “soma=poly2+poly3”, supondo que são estas as variáveis que representam as áreas dos dois quadrados mais pequenos Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 15. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -14- 6 Relações geométricas em triângulos (a ilha Triangular) . O João tenciona mandar construir uma casa numa ilha com a forma de um tri- ângulo equilátero. Cada lado do triângulo é uma praia espectacular: numa delas a ondulação é a ideal para a prática de surf, outra é uma praia de águas calmas, formi- dável para nadar, e a terceira costuma ser frequentada por umas miúdas muitos giras. Ora o João, que é um surfista de primeira água, um exímio nadador e um amante de boas vistas, pretende que a sua casa fique num sítio tal que a soma das distâncias às praias seja a menor possível. Onde deve o João mandar construir a casa? Investigue o problema com um programa de geometria dinâmica. . . 1. “Construa” uma ilha (com a forma de triângulo equilátero) e marque a casa (um ponto) no seu interior. Obtenha as distâncias da casa a cada um dos lados da ilha (incluindo as respectivas medidas). 2. Desloque a casa no interior da ilha e tente descobrir o que acontece à soma das três distâncias. Observe, em particular, o que acontece quando coloca a casa num dos lados da ilha ou num dos vértices. 3. Some as três distâncias e afixe esse resultado no ecrã. Calcule também a altura do triângulo e afixea igualmente no ecrã. Encontra alguma relação? No caderno desenhe uma tabela com cinco colunas e seis linhas. Nas células da 1a linha intro- duza, sucessivamente, as três distâncias, a respectiva soma e a altura. Desloque outra vez a casa no interior da ilha, e, noutra linha da tabela, introduza o novo conjunto de valores. Repita este procedimento mais três vezes. Modifique tam- bém o lado do triângulo. 4. Estabeleça uma conjectura sobre o que observou. Já consegue indicar qual é o melhor sítio para o João construir a casa? Adaptado de Educação e Matemática no 37, 1996 Nota: Tente elaborar uma prova geometricamente. Para o efeito una o ponto que representa a casa aos vértices do triângulo obtendo assim 3 novos triângulos. Através de rotações e translações, alinhe os três triângulos sobre a linha que representa a altura da ilha, de acordo com a figura abaixo. Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 16. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -15- Figura 22: Prova geométrica Tecnologias na aprendizagem da Matemática
  • 17. Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -16- 7 Estudo de famílias de funções 1. Comece por definir dois parâmetros (a e b) utilizando a ferramenta selector; 2. defina uma função afim que dependa destes dois parâmetros escrevendo na linha de entrada y=a*x+b 3. altere os valores de a e b arrastando os pontos sobre a linha. Note que pode alterar as propriedades dos parâmetros para, por exemplo, toma- rem só valores inteiros. Figura 23: Estudo de uma família de funções Tecnologias na aprendizagem da Matemática