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    1anoem Mat1 1anoem Mat1 Document Transcript

    • Nome: ______________________________ Nº _____ Colégio 1º ano__EM Prof. Manuel Data: __ /__ /2009 Nossa Senhora das Dores Estudo Dirigido de Matemática – 2o Trimestre Prezado(a) aluno(a), Devido à interrupção das aulas durante o período compreendido entre 01 e 16 de agosto, apresento a você uma proposta de estudo visando a agilizar os estudos e repor, da melhor maneira possível, os conteúdos correspondentes a este semestre. Segue uma abordagem sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo de forma sucinta e abrangente. Acredito que você conseguirá obter êxito no processo de aprendizagem, pois a apresentação da teoria e os exercícios propostos favorecem a compreensão e a assimilação do conteúdo. Vale ressaltar que independentemente da apresentação desta atividade – que será considerada para efeito de nota de comprometimento e participação – estarei sempre à disposição para quaisquer esclarecimentos que se fizerem necessários. Bom estudo! Prof. Manuel Del Campo Rodriguez TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Razões trigonométricas no triângulo retângulo A Trigonometria nasceu entre os gregos para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras aplicações práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150 d.C., que a usou para determinar a latitude e a longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas. Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia, onde era usada, a partir do século V, nos cálculos astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chega a mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Alcança, com os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno de 1100. Com os portugueses encontra uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica. Até cerca de 1600, todas as aplicações da Trigonometria (Astronomia, Cartografia e Navegação Oceânica) nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É importante observar que, nesse período, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no Ensino Médio. Para iniciar este estudo cabem algumas perguntas: 1) O que você entende por razão entre dois números? ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... 2) Por que um triângulo pode ser classificado como triângulo retângulo?
    • ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... 3) O que são razões trigonométricas? ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... Razões trigonométricas no triângulo retângulo A Observando o triângulo retângulo ABC, da figura ao lado, podemos identificar e α nomear os seguintes segmentos e ângulos: AB: Hipotenusa AC: Cateto β C B BC: Cateto Ângulos agudos: α (alfa) e β (beta) Identificados os segmentos e ângulos – conforme a ilustração anterior – estabelecemos a seguintes igualdades entre as razões: BC = F (BC e AB indicam a medida do segmento correspondente) AB BC (O número F, assim obtido, é chamado seno do ângulo agudo α e se indica por: sen α = = F) AB cateto oposto C.O. Observe que o cálculo do seno de um ângulo agudo é dado pela razão → hipotenusa HIP. AC Analisando a igualdade anterior o que você pode afirmar sobre a razão ? AB ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ...................................................... Complete: AC (O número ..... , assim obtido, é chamado seno do ângulo agudo .... e se indica por: sen β = =G ) AB Observe o que acontece quando trabalhamos com o cateto adjacente ao ângulo:
    • Antes uma pergunta: Você tem clareza de quando um cateto e denominado oposto ou adjacente ao ângulo dado? ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ AC =H AB (O número H, assim obtido, é chamado cosseno do ângulo agudo α e se indica por: AC cos α = =G ) AB cateto adjacente C.A. Observe que o cálculo do cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão → hipotenusa HIP. BC =I AB (O número I, assim obtido, é chamado cosseno do ângulo agudo β e se indica por: BC cos α = =I ) AB Uma outra razão trigonométrica é conhecida como tangente de um ângulo agudo. Como você definiria tangente? ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ BC =J AC (O número J, assim obtido, é chamado tangente do ângulo agudo α e se indica por: BC tg α = = J) AC cateto oposto C.O. Observe que o cálculo da tangente de um ângulo agudo é dado pela razão → cateto adjacente C.A. AC =K BC (O número K, assim obtido, é chamado tangente do ângulo agudo β e se indica por: AC tg β= =K) BC Resumo Num triângulo retângulo, temos: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa
    • Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo. CONSEQUÊNCIA Acredito que você deve ter observado o que segue: ^ ^ No triângulo retângulo ABC da figura, α+ β = 90º ( B e C são ângulos complementares). A a sen α = α c sen α = cos β c a b cos β = c b sen β = c sen β = cos α β b cos α = C a B c EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos (α e β) da figura abaixo: A α 17 8 β C 15 B
    • Resolução: C.O. BC 15 C.O. AC 8 sen α = = = = 0,88235 sen β = = = = 0,47058 HIP. AB 17 HIP. AB 17 C.A. AC 8 C.A. BC 15 cos α = = = = 0,47058 cos β = = = = 0,88235 HIP. AB 17 HIP. AB 17 C.O. BC 15 C.O. AC 8 tg α = = = = 1,875 tg β = = = = 0,53333 C.A. AC 8 C.A. BC 15 C.A.: Cateto adjacente C.O.: Cateto oposto HIP.: Hipotenusa De acordo como que foi exposto procure responder as seguintes questões: 1) Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo assinalado: a) A sen β = 3 4 cos β = β tg β = C 5 B b) B sen α = 5 1 Não se esqueça de racionalizar o cos α = denominador. α .das frações. tg α = C 2 A 2) Num triângulo retângulo um cateto mede 15 cm e a hipotenusa 17 cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo. Para fazer este exercício, antes de tudo, você deve encontrar a medida do outro cateto. Para fazer este cálculo devemos recorrer ao Teorema de Pitágoras. Lembra-se: Hip2 = cat2 + cat2. Outra questão a ser solucionada - sem o uso de qualquer instrumento (compasso ou transferidor) e percebendo que a figura não apresenta uma proporcionalidade em suas
    • medidas – é qual ângulo agudo devemos considerar, pois o enunciado propõem calcular o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo. Perceba que o simples conhecimento teórico sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo não basta para solucionarmos todo e qualquer exercício, pois muitas vezes devemos utilizar outros conhecimentos para poder encaminhar a resolução de um problema. Você lembra quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer? Se você souber a resposta vai entender melhor o que segue. “A cada ângulo agudo de um triângulo retângulo está associado um único valor para o seno, o cosseno e a tangente. Esses valores podem ser indicados para os ânulos de 1º a 90º, variando de grau em grau.” Considerando a afirmação anterior, pesquise de quais maneiras os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo podem ser determinados. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ Defina ângulo agudo? Conhecendo os valores do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos agudos podemos resolver algumas situações-problema de ordem prática. Observe: Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A situado a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27). y x 15º B 2000 m A Parece ser um problema difícil, mas lendo o enunciado com atenção e conseguindo associar os conhecimentos até aqui tratados, iremos perceber que a resolução “salta aos nossos olhos”, pois aplicando corretamente os conhecimentos sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo temos: x x # Cálculo da altura x em relação ao solo: tg 15º = ⇒ 0,27 = ⇒ x = 0,27 . 2000 = 540 m 2000 2000 x 540 540 # Cálculo da distância percorrida y: sen 15º = ⇒ 0,26 = ⇒ 0,26 . y = 540 ⇒ y = ⇒y = y y 0,26 2076,9 m
    • Resp.: A altura é de 540 m e a distância percorrida é de 2076,9 m. TENTE VOCÊ: 1) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30° como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do , solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é: Use os valores: sen 30° = 0,5 , cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577 a) 112 b) 115 c) 117 d) 120 e) 124 2) Uma escada rolante de 10 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30° Determine a altura h entre um andar e outro, e m metros. . Use os valores: sen 30° = 0,5 , cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577 UMA TABELA MUITO IMPORTANTE Os ângulos de 30º, 45º e 60º aparecem com frequência em muitos problemas. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos é mais conveniente usar os valores indicados abaixo. 30º 45º 60º 1 2 3 sen 2 2 2 3 2 1 cos 2 2 2 3 tg 1 3 3
    • Obs.: Pode parecer estranho, mas é mais fácil memorizar as razões trigonométricas destes ângulos como apresentado na tabela do que em sua forma decimal. DESAFIO Qual a área do triangulo ABC indicado na figura? B 2 2 cm Você se lembra como calcular a área de um triângulo? 45º 30º A C Sugestão: Utilize os valores da tabela trigonométrica dada.