La funzione dei numeri primi
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La funzione dei numeri primi La funzione dei numeri primi Presentation Transcript

  • UPGRADE. IMPROVE. ENHANCE. REFINE. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA Torino 16 Maggio 2010 Dott. Antonio Rita
  •  L’Ultimo Teorema  La “Meravigliosa Dimostrazione”  Le altre principali congetture di Fermat  Fermat e Galileo  Fermat e Cartesio  Fermat e Mersenne  Fermat e Tartaglia  Considerazioni sulla dimostrazione di Andrew Wiles  Il lemma del 2  Il teorema delle coppie dispari ad esponenti pari  Il lemma della parità semplice  Il lemma del cateto pari  Sintesi delle proprietà fondamentali di una terna pitagorica  Il lemma del 3  Il teorema della somma delle potenze pari  Il teorema della differenza delle potenze n-1  La Funzione dei Numeri Primi  Il “Segreto” di Fermat  La dimostrazione per n=4 FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Il teorema può essere sintetizzato in modo semplice: per un qualsiasi numero intero n>2 non esiste alcuna terna di numeri interi positivi che soddisfa l’equazione xn+yn=znn FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA View slide
  • "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina“  (x+y)n=xn+yn+C(x+y)n  (x+y)n=(x+h+t)n+C[(x+h+t)+(x-t)]n+(x-t)n  xn=nyn-1t+………+nytn-1+tn  yn=nxn-1(h+t)+………+nx(h+t)n-1+(h+t)n FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA View slide
  • Il “piccolo teorema” di Fermat  an-a=a(an-1-1) I numeri primi di Fermat  2p+1 con p=2n FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Q2=1, 4, 9, 16, 25, 36, ……… Galileo Galilei è stato il primo a intuire l’esistenza di una applicazione biunivoca tra l’insieme dei quadrati dei numeri interi positivi e l’insieme N f:Q2→N Se x>1 è un numero intero qualsiasi mai multiplo di 3, la differenza x2-1 è sempre multipla di 3; mentre la somma x2+1 non è mai multipla di 3 (x2-1), x2, (x2+1) FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Tutti i numeri interi positivi sono equidistanti da almeno due numeri primi  p1+p2=2a  a=p1+h  a=p2-h FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • I numeri primi di Mersenne  2n-1 L’ultimo numero primo di Mersenne conosciuto  243112609-1 I numeri perfetti costruiti dai numeri primi di Mersenne  (2n-1)(2n-1) FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Nicolò Fontana detto Tartaglia ha ideato un sistema geniale per ricavare i coefficienti binomiali: il Triangolo di Tartaglia. La somma dei coefficienti di un binomio elevato alla ennesima potenza è pari a 2n. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Egli ha utilizzato sofisticati strumenti della geometria algebrica (curve ellittiche e forme modulari, ovvero la congettura dei giapponesi Taniyama-Schimura: ”ogni equazione ellittica è correlata ad una forma modulare”), concetti della teoria di Galois e dell’algebra di Hecke. Le sue costruzioni matematiche sono ineguagliabili e meravigliose; suscitano ammirazione anche negli esperti. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Se a,b è una qualsiasi coppia di numeri interi positivi linearmente indipendenti con a>b, la somma a+b=sϵN e la differenza a-b=dϵN sono numeri interi positivi che non hanno fattori primi comuni ad eccezione di 2. Il fattore 2, comunque, risulta comune solo nel caso che a e b siano entrambi dispari. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Se (x,y)єΝ2 è una coppia di numeri positivi dispari con y>x, la relazione di Fermat non ammette soluzioni intere per qualsiasi nєΝ pari. znn=xn+yn=2xn+nxn-1h+………+nxhn-1+hn In sintesi, non esistono soluzioni intere per la equazione znn = x2p+y2p con x e y dispari e con esponente n=2pϵN, numero pari qualsiasi. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Se x,y è una qualsiasi coppia di interi positivi dispari ed n un numero pari qualsiasi, la somma delle loro potenze ennesime xn+yn è un numero pari con “parità semplice”. Il fattore primo 2 in detta somma ha sempre e solo esponente 1. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Se (a,b,c)ϵN3 è una terna pitagorica qualsiasi, abbiamo che i tre lati, interi e senza fattori comuni, del triangolo rettangolo legati dalla relazione a2+b2=c2, godono delle seguenti proprietà: 1. l’ipotenusa c non risulta mai multipla di 3; 2. l’ipotenusa c non risulta mai pari; 3. i cateti a e b sono sempre uno pari e l’altro dispari; 4. uno tra i due cateti (a oppure b) è sempre multiplo di 3; 5. il cateto pari risulta sempre con “parità multipla”; FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • 6. i numeri pari con “parità semplice” (2,6,10,14,…) non appartengono a nessuna terna pitagorica; 7. i due “parametri di Pitagora” che sono le differenze c-a=t e c-b=h+t (ovvero c-a=h+t e c-b=t) risultano uno pari e l’altro dispari. Considerando la scomposizione degli stessi in fattori primi, si evidenzia quanto segue: il parametro pari ha il fattore 2 solo con esponenti dispari (2i, con i≥1 dispari) e gli altri fattori primi con esponenti pari. Nel parametro dispari troviamo solo e sempre esponenti pari; 8. tutti i numeri dispari maggiori di 1 appartengono ad almeno una terna pitagorica. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Se (a,b) è una qualsiasi coppia di numeri interi positivi con a>b e con la ulteriore ipotesi che nessuno dei due è multiplo di 3, risulta multiplo di 3 la somma (a+b) o in alternativa la differenza (a-b). Con queste condizioni il risultato del prodotto notevole a²-b² è sempre multiplo di 3. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Sia 2mϵN un qualsiasi numero pari positivo e siano a≥b due numeri interi positivi non multipli di 3, la somma ottenuta con la relazione a2m+b2m=sϵN non risulta mai multipla di 3. La differenza a2m-b2m=dϵN0 , invece, risulta sempre multipla di 3 a meno che non sia multiplo di 3 a oppure b. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Sia nϵN un numero primo maggiore di 2 ed (a,b)ϵN2 una coppia di numeri interi con a e b che non siano entrambi multipli di n, la somma ottenuta con la relazione an-1+bn-1=sϵN non risulta mai multipla di n. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Sia n>2 un qualsiasi numero primo appartenente ad N, il rapporto (2n-2)/n è sempre un numero intero. In generale, per ogni aϵN si ha che il rapporto (an-a)/n=q è intero quando n>2 è primo.  y=(2x-1-1)/x  2x-1-1=2x-2+2x-3+……+23+22+2+1  y=(2x-1-1)/x =(2(x-1)/2-1)(2(x-1)/2+1)/x I falsi primi sono eliminabili. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Il“Segreto di Fermat” consiste in operazioni elementari che interessano di norma gli elementi degli insiemi Qn-1. Inedite applicazioni hanno permesso al genio francese di ricavare da polinomi o parti di essi la messa in evidenza di numeri primi oppure di accertare che lo stesso polinomio o una sua parte non fosse divisibile per un fissato numero primo. FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA
  • Se (a,b)ϵN2 è una coppia qualsiasi di numeri interi positivi linearmente indipendenti, non è possibile ottenere una potenza quarta dalla seguente relazione con c intero  a4+b4=c4 Abbiamo che a e b non possono essere entrambi dispari ed inoltre i due gruppi di fattori del prodotto notevole sono primi tra loro  a4=c4-b4=(c2-b2)(c2+b2)  b4=c4-a4=(c2-a2)(c2+a2)  FIORE ROSALBA EDITORIA & INFORMATICA