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Deducción de la Ecuación de Euler – Lagrange utilizando Cálculo Elemental,[object Object]
Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a los alumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo es mostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo elemental para deducir una de las ecuaciones más importantes de la Física.Nos hemos basado en “DerivingLagrange’sEquationUsingElementaryCalculus” por JosefHanc, Edwin F. Taylor y SlavomirTuleja.,[object Object],2,[object Object]
Lagrange (1736- 1813)  y Euler (1707- 1783) fueron dos matemáticos eminentes que aportaron enormemente a la ciencia. Utilizando cada uno sus propios procedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de las fórmulas más importantes de la Mecánica, base de su formulación Variacional. [1],[object Object],3,[object Object]
Dos Formulaciones de la Mecánica,[object Object],VECTORIAL, se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula.,[object Object],VARIACIONAL, se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula.,[object Object],4,[object Object]
La Braquistócrona, Ejemplo Clásico del Empleo del Cálculo Variacional,[object Object],Brachistos y Cronos significan –en griego- Corto y Tiempo, respectivamente.,[object Object],La Braquistócrona es la curva de descenso más rápido.,[object Object],El problema fue originalmente expuesto al público por Johannes Bernoulli en 1686.,[object Object],5,[object Object]
Enunciado del Problema de la Braquistócrona,[object Object],a,[object Object],M,[object Object],Fig. 1,[object Object],b,[object Object],“Dentro de la infinita cantidad de formas que puede tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M, por donde se deslizará una cuenta, para que, partiendo del punto a llegue al punto b, situado más abajo, (pero no debajo del punto a), en el menor tiempo (Fig. 1).”,[object Object],6,[object Object]
“Arte diabólico es…” puede decir uno parafraseando a Quevedo, hallar dentro de todas las formas posibles aquella que minimice el tiempo de recorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tres endiablados matemáticos encontraron la respuesta: tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La curva determinada resultó ser una Cicloide, la cual se obtiene integrando: ,[object Object],en donde g es la aceleración de la gravedad.,[object Object],7,[object Object]
Sin embargo esta solución no era general, y por lo tanto, el establecimiento de una teoría que cubra el conjunto de problemas variacionales era una necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella.,[object Object], Su método se basó en la utilización de la ecuación que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno tomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nos ocupamos en las láminas que siguen.,[object Object],8,[object Object]
El primero, Lagrange,  utilizó un enfoque analítico [2] y su procedimiento desborda al Cálculo tradicional.,[object Object],Lagrange, para su hallazgo-¡realizado a los 19 años de edad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción [3] y en su invención, el Cálculo de Variaciones.,[object Object],El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo, empleó una visualización geométrica  (su propio diagrama es el de la figura 2) y utilizó el análisis infintesimal.,[object Object],9,[object Object]
Nosotros nos enfocaremos en el trabajo de Euler.,[object Object],El carácter explícito de su plan de ataque constituye una excelente herramienta didáctica.,[object Object],10,[object Object]
Fig. 2,[object Object],Brevemente, su programa consiste en:,[object Object],Dividir a la curva a-z en intervalos finitos, (Fig. 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para minimizar su resistencia al agua. ,[object Object],Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada.,[object Object],Evaluar la suma en M y N (Fig. 2) donde se produce unavariación en la ordenada (de N-n hacia N-v). ,[object Object],Variación,[object Object],11,[object Object]
El ejemplo de la Braquistócrona nos ayudará a entender lo que significa una “variación”,[object Object],Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá que recorrer una ruta muy particular y única para cubrir la distancia en el menor tiempo. ,[object Object],Pero así como toma ese camino, es posible imaginar que puede “decidirse” por otros.,[object Object], A las rutas alternas que se diferencian de la que por hipótesis es la correcta, se les llama variaciones.,[object Object],Euler tomó una variación (ordenada de N-n a N-v en la figura 2) y utilizando un razonamiento muy similar al que veremos a continuación, comparó los trayectos para finalmente descubrir su fórmula [4].,[object Object],12,[object Object]
Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo utilizaremos dos principios establecidos por los pioneros del Cálculo de Variaciones [5]:,[object Object],Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimal alrededor de un extremo, es proporcional a          por lo que se puede tomar como nula.,[object Object],Principio 2. Si una curva que representa un trayecto entre dos puntos es una curva extrema (sea máxima o mínima), entonces cualquier segmento tendrá las mismas características, es decir, será extremo también.,[object Object],13,[object Object]
Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que lo explicaremos al detalle.,[object Object],Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x) en un punto cercano a       , y para ello utilizamos la aproximación cuadrática, ,[object Object],Supongamos, además, que       está situada en un extremo.  Entonces, y por la razón de que             = 0 en ese punto, la expresión anterior puede escribirse así:,[object Object],14,[object Object]
Fig. 2,[object Object],…donde vemos claramente que la diferencia entre                             , que es                                  , depende de un infinitésimo al cuadrado,             .,[object Object],Refiriéndonos otra vez al gráfico de la figura 2, la variación v, que Euler imprime a la curva a-z, es de segundo orden (está situada sobre un trayecto que, por hipótesis es ya un  mínimo) y por lo tanto su diferenciacon el segmento m-o, es, en la práctica, nula. ,[object Object],Nota: a esto es lo que se refieren los matemáticos cuando dicen “ignoremosla variación de segundoorden.” ,[object Object],15,[object Object]
En palabras del Marqués de L’Hôpital, “dos cantidades que difieren entre sí infinitesimalmente, pueden tomarse por iguales”; con mayor razón si la diferencia es un infinitésimo al cuadrado [6]. ,[object Object],En efecto, el Análisis Infinitesimal moderno, el cual se basa en la Teoría de las Categorías, tiene como elemento fundamental al infinitésimo. Dentro de este análisis el infinitésimo de segundo grado es llamado “nilpotente” y se define como idéntico a cero.,[object Object],16,[object Object]
Repaso a guisa de aclaración:,[object Object],La idea fundamental del Cálculo de Variaciones es el estudio entre un mínimo y su entorno, pero en este caso el mínimo no es un punto; es más bien una función integral que describe un trayecto. Para estudiar dicha diferencia infinitesimal,,[object Object],[object Object]
Se compara la “correcta” con otra apenas alejada de ella.
Por la razón de que la correcta es, por hipótesis, un trayecto mínimo, cualquier diferencia es proporcional a un infinitésimo al cuadrado y por lo tanto, despreciable.17,[object Object]
Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo de una función, el tema de la Curva de Menor Tiempo consiste en hallar lafunción mínima dentro de un conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras, buscar el extremo de la función f(x)(un tema del Cálculo)no es lo mismo abuscar aquella función y = f(x),[object Object],que haga que la integral                      sea un extremo (un tema del Cálculo de Variaciones).,[object Object],18,[object Object]
En la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresión depende de y,y’, y en muchos casos, de x también, razón por la cual los problemas variacionales se generalizan con una función F de tres variables,,[object Object],F = F ( y, y’, x),[object Object],y la integral definida,,[object Object], que se busca minimizar.  ,[object Object],Con esto en mente, regresemos al trabajo de Euler.,[object Object],19,[object Object]
v,[object Object],...z,[object Object],o,[object Object],n,[object Object],m,[object Object],a...,[object Object],k,[object Object],k+1,[object Object],Fig. 2,[object Object],Retomando los pasos de Euler,,[object Object],Primero dividimos la curva a-z (Fig. 2) en intervalos finitos       y escogemos dos puntos cualesquiera, k, k+1. Por la razón de que han sido escogidos arbitrariamente, el Segundo Principio nos asegura que sea donde quiera que estemos sobre la curva a-z, siempre estaremos en una segmento extremo.,[object Object],[object Object],20,[object Object]
21,[object Object],v,[object Object],...z,[object Object],o,[object Object],n,[object Object],m,[object Object],a...,[object Object],k,[object Object],k+1,[object Object],Fig. 2,[object Object],Tercero, evaluamos la suma en k y k+1 justo donde está la variación v, para formar los elementos Lky Lk+1siendo,,[object Object],y,[object Object],[object Object],[object Object]
Operando de la misma manera con Lk+1 y teniendo en cuenta que la pendiente               del segmento v – o es negativa, obtenemos, ,[object Object],[object Object],+,[object Object],23,[object Object]
Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuenta que                             obtenemos:,[object Object],Recordando que estamos tratando con cantidades tan cercanas como queramos [7], finalmente escribimos la última expresión comoque no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange.,[object Object],René F. Gastelumendi, 5 de Diciembre de 2004 / 5 de Febrero de 2005.,[object Object],24,[object Object]

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Ecuación de Euler-Lagrange: Deducción utilizando Cálculo Básico

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